HHX Matematik A 2012 Forår - Vejledende sæt 1 - Delprøven uden hjælpemidler

Side 1

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Forår 2012

1

HHX Matematik A

Forår 2012

Delprøven uden hjælpemidler

Vejledende sæt 1

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Opgave 1 a)

Da vi ikke gives flere oplysninger, kan vi højst bestemme en forskrift for alle stamfunktioner til 𝑓. Dette gøres ved at integrere 𝑓(𝑥) mht. 𝑥:

∫4 · − 𝑥^{3} + 7 𝑑𝑥 = 4 · ln | 𝑥 | − 𝑥^{4} + 7𝑥+ 𝑘 (𝐼)

1 1 𝑥 4

Alle stamfunktioner til 𝑓 kan således skrives på formen:

𝐹 ( 𝑥) = 4 · ln | 𝑥 | − 𝑥^{4} + 7𝑥 + 𝑘

1

4

Hvor 𝑘 er en vilkårlig konstant.

(𝐼):

HHX 3. år

𝑥^{𝑎} 𝑥^{𝑎+1}

1

𝑎+1

1 𝑥 ln|x|

𝑘 𝑘· 𝑥

Regneregler for integration

Ubestemt integral hvor F(x) er stamfunktion til f(x)

Side 2

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Forår 2012

2

∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹 ( 𝑥) + 𝑐

Sætte konstant udenfor ∫ 𝑘· 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘 · ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

Sum/differens kan splittes i to integraler ∫ 𝑓 ( 𝑥) ± 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥± ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥

Opgave 2 a)

Modellen bygger på en eksponentiel funktion på formen:

𝑚 ( 𝑡) = 𝑏 · 𝑎^{𝑡}

Hvor:

𝑏 = 1100000 angiver 𝑚(0), hvilket svarer til, at der ifølge modellen var 1,1 mio. oliefyr i Danmark i år

1980.

𝑎 = 0,94 er fremskrivningsfaktoren, som fortæller os noget om vækstraten, i det:

𝑟 = 𝑎− 1
= 0,94 − 1
= −0,06
= −6%

Det vil sige, at antallet af oliefyr i Danmark er faldet med 6% om året i perioden efter år 1980.

Opgave 3 a)

Funktionen differentieres:

𝑓^{′} (𝑥) = 5 · 2 · 𝑒^{2𝑥}
= 10𝑒^{2𝑥}

                                             ′
Vi indsætter nu i differentialligningen, at 𝑦 = 𝑓(𝑥) og 𝑦 = 𝑓′(𝑥):

10𝑒^{2𝑥} = 2 · 5𝑒^{2𝑥}

⇕

10𝑒^{2𝑥} = 10𝑒^{2𝑥}

Side 3

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Forår 2012

3

Da ovenstående er et sandt udsagn (der står det samme på begge sider af lighedstegnet), er 𝑓 en løsning til den angivne differentialligning.

Opgave 4 a)

Grafen for en mulig funktion tegnes på bilag 1:

Opgave 5 a)

Ligevægtsmængden bestemmes ved at løse ligningen:

𝑑 ( 𝑥) = 𝑠(𝑥)

⇕

1,5𝑥^{2} + 𝑥+ 1 = 0,5𝑥^{2} − 3𝑥+ 13

Side 4

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Forår 2012

4

⇕

1,5𝑥^{2} + 𝑥+ 1 − 0,5𝑥^{2} + 3𝑥− 13 = 0

⇕

𝑥^{2} + 4𝑥 −12= 0

Ovenstående er en andengradsligning på formen 𝑎𝑥^{2} + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 med den generelle løsningsform:

𝑥 =

−𝑏± √𝑏^{2} − 4𝑎𝑐

2𝑎

=

−4 ± √ 4^{2} − 4 · 1 · (−12)
2 · 1
=

−4 ± √ 16 + 48

2

=

−4 ± √ 64

2

=

−4 ± 8

2

Der er således to løsninger:

𝑥_{1} =

−4 + 8

2

= 2

Og

𝑥_{2} =

−4 − 8

2

= −6

Den sidste løsning bortkastes, da den ikke ligger indenfor funktionernes definitionsmængde, som er:

𝐷𝑚 ( 𝑑) = 𝐷𝑚 ( 𝑠) = [0,3]

Det vil sige, at ligevægtsmængden for vare 𝐴 er 2.