HHX Matematik A 2013 16. december - Delprøven med hjælpemidler

Side 1

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. december 2013

1

HHX Matematik A

16. december 2013

Delprøven med hjælpemidler

hhx133-MAT/A-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HHX 3. år

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 6 a)

Vi definerer 𝑀 og 𝑆 i WordMat:

𝑀 ≔ 1 + 𝑎 𝑏

𝑆 ≔ 𝑎 + 𝑏

𝑀 = 𝑆

⇕ Ligningen løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑎 = −𝑏

Det vil sige, at 𝑎 = −𝑏

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: b)

Forklaringer er givet til hver af linjerne:

Side 2

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. december 2013

2

1) Udtrykket er skrevet op.

2) Begge sider er opløftet i anden potens.

3) Der er ganget med 𝑃 på begge sider.

4) Der er divideret med 2 · 𝐹· 𝑂 på begge sider

5) Begge sider er opløftet i minus første potens.

Side 3

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. december 2013

3

Opgave 7 a)

Fordelingen af udbudspriser fra filen golf kopieres ind i WordMats statistikark, hvor vi udregner en række deskriptorer:

Deskriptorer

Kvartilsæt

Nedre | 141400
Median | 212400
Øvre | 249900

Obs. Fraktil

Middeltal

197661,783

Spredning

85029,7125

Den gennemsnitlige udbudspris i stikprøven er således på 197.661,78 kr.

Kvartilsættet er (141400,212400,249900).

b)

Et 𝑥𝑦-plot med tilhørende tendenslinje, regressionsligning og determinationskoefficient foretages i Excel:

Regressionsmodellen kan nu aflæses og opskrives:

𝑢 ( 𝑥) =−0,8214𝑥 + 278374

y = -0,8214x + 278374
R² = 0,7397

-50000

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

350000

400000

450000

00

Udbudspris i kr.

Antal kørte km

Side 4

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. december 2013

4 b)

Vi definerer kendte størrelser:

Antal punkter (𝑥,𝑦) i analysen: 𝑛 ≔ 60

                       2
Determinationskoefficient 𝑅 defineres som 𝑅 for at undgå forvirring af WordMat 𝑅 ≔ 0,7397

Estimat af hældningskoefficient (vi skriver 𝑎
                                   𝑒

frem for 𝑎̂, da WordMat opfatter ”hat” som vektornotation):

𝑎_{𝑒} ≔ −0,8214

                                                       1−𝑅
                                                             2
Standardfejlen er givet ved (igen undlades 𝑎̂-notation): 𝑠 ≔ 𝑎 · ( )
                                              𝑎    𝑒
                                                      𝑅· ( 𝑛−2 )

1

Konfidensintervallets grænser kan da bestemmes som:

𝑎_{𝑒} ± 𝑡_{𝑛−2} · 𝑠_{𝑎}

                       𝛼
𝑡   er betegnelsen for 1 − fraktilen af en 𝑡-fordeling med 𝑛 − 2= 58 frihedsgrader. 𝛼 er
 𝑛−2
                       2

signifikansniveauet (i vores tilfælde 5%), så vi skal finde 0,975-fraktilen. Denne beregnes i GeoGebra:

Side 5

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. december 2013

5

Vi definerer nu:

𝑡_{58} ≔ 2,0017

Grænserne for 95%-konfidensintervallet kan nu beregnes:

Øvre: 𝑎_{𝑒} + 𝑡_{58} · 𝑠_{𝑎} ≈−0,9494705

Nedre: 𝑎_{𝑒} − 𝑡_{58} · 𝑠_{𝑎} ≈ −0,6933295

Et 95%-konfidensinterval er således bestemt for hældningskoefficienten 𝑎: [−0,949;−0,693].

Hvis udbudsprisen falder med 1 kr. pr. kørt km., må der gælde, at 𝑎 = −1. Der er kun 2,5% sandsynlighed
for, at 𝑎 ligger til venstre for konfidensintervallet. Da 𝑎 = −1 ligger til venstre for konfidensintervallet,

afvises påstanden på et 2,5%-signifikansniveau.

d)

En analyse er foretaget på baggrund af en stikprøve på 60 stk. brugte VW Golf. Den gennemsnitlige udbudspris ligger på 197.661,78 kr.

Den billigste fjerdedel af bilerne koster højst 141.400 kr. pr. bil, mens den dyreste fjerdedel koster mindst

249.000 kr. pr. bil. Der er lige mange biler til over som til under 212.400 kr.

Det viser sig, at ca. 74% af variationen i udbudspriser kan forklares med følgende model:

En bil, der har kørt 0 km koster 278.374 kr., hvorefter prisen falder med 82 øre. pr. kørt kilometer.

På baggrund af stikprøven kan vi foretage en generel konklusion:

Prisen på en tilfældigt udvalgt brugt VW Golf falder med 95% sikkerhed med en værdi på mellem 69 øre og

95 øre pr. kørt kilometer.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 6

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. december 2013

6

Opgave 8 a)

Funktionen defineres:

𝑓 ( 𝑥) ≔ 𝑥^{3} − 8𝑥^{2} + 28𝑥

1

3

Nulpunkter bestemmes ved at løse:

𝑓 ( 𝑥) = 0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 0 ∨ 𝑥 = 4,254033 ∨ 𝑥 = 19,74597

Funktionen har således tre nulpunkter med følgende førstekoordinater:

𝑥_{1} = 0

𝑥_{2} =4,254033

𝑥_{3} =19,74597

b)

For at undersøge monotoniforholdene for 𝑓 bestemmes først nulpunkter for 𝑓ʼ. Dette gøres ved at løse ligningen:

𝑓^{′} ( 𝑥) = 0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 2 ∨ 𝑥 = 14

Vi udregner nu fortegnet for f’ på begge sider af alle nulpunkterne:

𝑓^{′} ( 1) = 13

𝑓^{′} ( 3) = −11

𝑓^{′} ( 15) = 13

Vi sammenfatter dette i en monotonilinje:

Side 7

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. december 2013

7 𝑥 2 14

𝑓^{′} ( 𝑥) + 0 - 0 +

𝑓 ( 𝑥) ↗ ↘ ↗

Vi kan dermed konkludere:

f er voksende i intervallerne ] − ∞,2] og [14,∞[

f er aftagende i intervallet [2,14]

Side 8

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. december 2013

8

Opgave 9 a)

Funktionen defineres (OBS: vinkelenheden indstilles til radianer):

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑑 ( 𝑡) = 500· cos ( −0,5𝑡 + 3) + 75𝑡 + 1200 , 0 ≤𝑡 ≤ 12

Vi bestemmer nu: 𝑑 ( 3) ≈ 1460,369

Den forventede efterspørgsel til tiden 𝑡 = 3 er ca. 1460,4.

b)

Vi har, at 𝑚 ≔6 og bestemmer så:

𝑆𝐷 = ∫ 𝑑 ( 𝑡) 𝑑𝑡

𝑚

0

≈ 8691,12

Den samlede efterspørgsel efter de første 6 måneder er ca. 8691,1.

Side 9

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. december 2013

9

Opgave 10 a)

Registreringerne optælles vha. en pivottabel i Excel. Resultaterne af optællingen ses i skemaet herunder:

Faktureringsvaluta Antal

DKK 66

EUR 78

Total 144

Et estimat af andelen 𝑝 bestemmes som antal ordrer i stikprøven faktureret i euro divideret med stikprøvens størrelse:

𝑝̂ =

78

144

≈ 0,5416667

Det vil sige, at 𝑝̂ = 0,542.

b)

Vi har, at: 𝑋~𝑏(144;0,54)

Den efterspurgte sandsynlighed kan skrives som: 𝑃(𝑋 ≥^{144}_{2})= 𝑃(72 ≤ 𝑋 ≤144)

Denne sandsynlighed bestemmes i WordMat:

Binomialfordeling P(X=)=
p= 0,54 P(X≤)=
n= 144 P( 72 ≤X≤ 144)= 0,852344

Vi kan således konkludere, at sandsynligheden for, at mindst halvdelen af 144 tilfældigt udtagne ordrer er

faktureret i euro, er 𝑝 =85,2%

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 10

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. december 2013

10

Opgave 11 a)

Funktionerne defineres:

𝑓 ( 𝑥) ≔ ln ( 𝑥− 1) + 4

𝑔 ( 𝑥) ≔ − 𝑥^{2} + 𝑥 + 3

1

4

Området til venstre for skæringspunktet afgrænses af graferne for 𝑓 og 𝑔 i intervallet [1,5;2]. Vi ser, at

𝑔 ≥ 𝑓 i hele intervallet. Arealet af dette område kan således bestemmes som:

𝐴_{𝑣𝑒𝑛𝑠𝑡𝑟𝑒} ≔ ∫ 𝑔 ( 𝑥) − 𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥

2

1,5

Området til højre for skæringspunktet afgrænses af graferne for 𝑓 og 𝑔 i intervallet [2;6]. Vi ser, at 𝑓 ≥𝑔 i

hele intervallet. Arealet af dette område kan således bestemmes som:

𝐴_{ℎø𝑗𝑟𝑒} ≔ ∫ 𝑓 ( 𝑥) − 𝑔 ( 𝑥) 𝑑𝑥

6

2

Det samlede areal er en sum af de to arealer:

𝐴 =𝐴_{𝑣𝑒𝑛𝑠𝑡𝑟𝑒} + 𝐴_{ℎø𝑗𝑟𝑒}

≈9,523533

Det samlede areal af de grå områder er således 9,52

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 11

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. december 2013

11

Opgave 12 a)

Funktionen defineres:

𝐷𝐵 ( 𝑥, 𝑦) ≔ −𝑥^{2} + 800𝑥 − 0,25𝑦^{2} + 300𝑦

Da 𝑥 og 𝑦 angiver afsætningen pr. uge, mens vi udelukkende oplyses om et antal producerede enheder, bliver vi nødt til at antage, at alle de producerede enheder afsættes inden for en uge. Dækningsbidraget kan i så fald bestemmes som:

𝐷𝐵 ( 300;600) = 240000

Det samlede ugentlige dækningsbidrag ved en produktion på 300 stk. af vare A og 600 stk. af vare B (hvor vi antager, at det hele afsættes inden for en uge) er således på 240.000.

b)

𝐷𝐵(𝑥,𝑦) er en kvadratisk funktion på formen:

𝑓 ( 𝑥,𝑦) = 𝑎𝑥^{2} + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑦^{2} + 𝑑𝑦 + ℎ

Konstanterne defineres:

𝑎 ≔ −1

𝑏 ≔ 800

𝑐 ≔ −0,25

𝑑 ≔ 300 ℎ ≔ 0

(Den sidste konstant benævnes ℎ, da 𝑒 i WordMat er reserveret til Eulers tal).

En række nye konstanter anvendes til at afgøre formen på niveaukurverne: 𝑝 ≔ − 𝑏

2𝑎 𝑞 ≔ − 𝑑

2𝑐

𝐾 ≔ ℎ− 𝑎· 𝑝^{2} − 𝑐· 𝑞^{2}
Da 𝑎 og 𝑐 begge er negative, vil niveaukurverne 𝑁 ( 𝑡):𝐷𝐵 ( 𝑥,𝑦) = 𝑡 være ellipser med centrum i (𝑝,𝑞), når

blot

𝑡− 𝐾 < 0

⇕ Uligheden løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.

t < 250000

Vi har nu vist, at niveaukurverne er ellipser med centrum i (𝑝,𝑞), når 𝑡 < 250000

Vi beregner koordinatsættet for ellipsernes centrum:

𝑝 = 400

Side 12

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. december 2013

12

𝑞 = 600

Da 240000< 250000 vil 𝑁(240000) fremstille en ellipse med centrum i (400,600)

Ellipsen tegnes i GeoGebra: c)

Da 𝑎 og 𝑐 begge er negative, findes den største funktionsværdi i ellipsernes centrum dvs. når:

( 𝑥,𝑦) = (400,600)

Funktionen er dog kun defineret på et begrænset kapacitetsområde, som afgrænses af ulighederne:

𝑥 ≥ 0

𝑦 ≥ 0

1,5𝑥+ 3𝑦 ≤ 2400

⇕ Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦 ≤ −0,5 · 𝑥+ 800

0,25𝑥+ 0,25𝑦 ≤ 250

⇕ Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦 ≤ −𝑥+ 1000

Side 13

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. december 2013

13

Kapacitetsområdet indtegnes i GeoGebra. Kapacitetsområdets hjørnepunkter findes vha. GeoGebras skæringsværktøj:

Vi ser, at et af hjørnepunkterne, 𝐵(400,600) har samme koordinatsæt som ellipsernes centrum, hvorfor funktionens maksimum altså ligger inden for kapacitetsområdet.

Det størst mulige samlede ugentlige dækningsbidrag opnås således ved en ugentlig afsætning på 400 stk. af vare A og 600 stk. af vare B.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 14

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. december 2013

14

Til eksamen skal du kun udvælge én af de tre følgende opgaver, 13A, 13B og 13C. Her bringes alle løsninger, så du kan bruge dem til at øve de forskellige opgavetyper.

Opgave 13A a)

Kendte størrelser defineres:

Rente: 𝑟 ≔ 0,042

Antal terminer: 𝑛 ≔ 4

Slutkapital: 𝐾 ≔ 442081,30
           𝑛

Vi kan nu bestemme startkapitalen 𝐾_{0} vha. kapitalfremskrivningsformlen:

𝐾_{𝑛} = 𝐾_{0} · ( 1 + 𝑟)^{𝑛}

⇕ Ligningen løses for K_0 vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝐾_{0} = 375000

Det indsatte beløb (startkapitalen) var således 375.000 kr.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: b)

Vi kan opfatte situationen som, at banken har ’lånt’ 442.081,30 kr., som tilbagebetales med en fast årlig ydelse over 5 år og en årlig rente på 4,2%. Kendte størrelser defineres:

”Lånets” størrelse: 𝐴 ≔ 442081,30
                 0

Rente: 𝑟 ≔ 0,042

Antal ydelser: 𝑛≔ 5

Vi kan nu bestemme ydelsens størrelse 𝑦 vha. annuitetsformlen:

𝐴_{0} = 𝑦 ·

1 − ( 1 + 𝑟)^{−𝑛}

𝑟

⇕ Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦 = 99862,04

Den årlige ydelse bliver da på 99.862,04 kr.

Side 15

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. december 2013

15

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 16

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. december 2013

16

Opgave 13B a)

Differentialligningen opskrives (𝑎 = −0,82 indsættes) og løses vha. WordMat:

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟:𝑥 > 0

𝑝^{′} ( 𝑥) = −0,82·

1 𝑥

Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion

𝑝 ( 𝑥) = 𝑐− 41 ·

ln ( 𝑥)

50

Den fuldstændige løsning til differentialligningen er således givet ved (funktionen defineres):

𝑝 ( 𝑥) ≔ 𝑐− 41 ·

ln ( 𝑥)

50 b) 𝑐 bestemmes ved at løse:

𝑝 ( 10000) = 89

⇕ Ligningen løses for c vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑐 = 96,55248

Forskriften for 𝑝 bliver da:

𝑝 ( 𝑥) = 96,55 − 41 ·

ln ( 𝑥)

50

Side 17

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. december 2013

17

Opgave 13C a)

Data fra filen film optælles i en pivottabel i Excel og indsættes i et skema som det angivne:

15-25 år 26-40 år over 40 år Total

a) Vil bestemt anbefale | 16 | 16 | 39 | 71
b) Vil måske anbefale | 20 | 23 | 38 | 81

c) Vil ikke anbefale 7 16 38 61

d) Vil fraråde | 11 | 16 | 32 | 59
e) Ved ikke | 14 | 18 | 21 | 53

Total 68 89 168 325

Vi opstiller en nulhypotese:

𝐻_{0}: Der er ingen sammenhæng mellem alder og holdning til filmen.

b)

                                                                  2
Nulhypotesen testes på et 5%-signifikansniveau vha. tabellens data i WordMats 𝜒 -uafhængighedstest:

χ²-test

Observationer I alt

16 16 39 71

20 | 23 | 38

81

7 16 38

61

11 | 16 | 32

59

14 | 18 | 21

53

I alt 68 89 168 325

P-værdi: 33,77%

Signifikans niveau: 5%

Da 𝑝 = 33,77% > 5%, kan nulhypotesen ikke forkastes på et 5% signifikansniveau. Vi kan således ikke

afvise, at der er uafhængighed mellem alder og holdning til filmen.

Bidragene er bestemt vha. WordMat og opstillet i en tabel:

Side 18

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. december 2013

18

15-25 år 26-40 år over 40 Total år

a) Vil bestemt anbefale | 0,088193 | 0,609717 | 0,143943 | 0,841853

b) Vil måske anbefale 0,549726 0,0302 0,357836 0,937761

c) Vil ikke anbefale | 2,602277 | 0,029721 | 1,326609 | 3,958607

d) Vil fraråde 0,14646 0,001524 0,073926 0,22191

e) Ved ikke | 0,764037 | 0,837357 | 1,493621 | 3,095015
Total | 4,150692 | 1,508519 | 3,395934 | 9,055146

Jo større bidragene er, desto større er afvigelserne fra de forventede værdier. Aldersgrupperne 15-25 og

26-40 år afviger således mest fra de forventede værdier (ved antagelse af, at 𝐻 er sand).
                                                                0