HHX Matematik A 2012 Efterår - Vejledende sæt 2

Side 1

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Efterår 2012

1

HHX Matematik A Efterår 2012

Vejledende opgave 2

hhxvejl2-MAT/A-efterår2012

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HHX 3. år

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Delprøven uden hjælpemidler ............................................................................ Error! Bookmark not defined.

Delprøven med hjælpemidler ............................................................................. Error! Bookmark not defined.

Side 2

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Efterår 2012

2

Opgaver uden hjælpemidler

Opgave 1 a)

𝑓 ( 𝑥) =−6𝑥^{2} + 12𝑥

Arealet af det grå område bestemmes ved:

𝐴_{𝑔𝑟å} =∫ 𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥

2

0

= [ 𝐹 ( 𝑥)]_{0}^{2}
= [ −2𝑥^{3} + 6𝑥^{2}]_{0}^{2} (𝐼)
= ( −2 · 2^{3} + 6 · 2^{2}) − ( −2 · 0^{3} + 6 · 0^{2})
=−16 + 24 − 0
=8

Arealet af det grå område er bestemt til 8:

(I) 𝑓 ( 𝑥) 𝐹(𝑥)

𝑥^{𝑎} 𝑥^{𝑎+1}

1

𝑎+1

Opgave 2 a)

𝑑𝑦 | 𝑦
𝑑𝑥 | 𝑥

=2 ·

𝑓 ( 𝑥) =5𝑥^{2}

Vi gør prøve:

𝑑𝑦 | 𝑦
𝑑𝑥 | 𝑥

=2 ·

⇕

𝑓^{′} ( 𝑥) =2 ·

𝑓 ( 𝑥) 𝑥

⇕

( 5𝑥^{2})^{′} =2 · (𝐼)

( 5𝑥^{2})

𝑥

Side 3

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Efterår 2012

3

⇕

10𝑥=2 · 5𝑥

⇕

10𝑥=10𝑥

                                                  𝑑𝑦
Vi kan konkludere, at f(x) er en løsning til differentialligningen .
                                                  𝑑𝑥

(I) 𝑓 ( 𝑥) 𝑓 ( 𝑥)

′

𝑘𝑥^{𝑎} 𝑘·𝑎𝑥

𝑎−1

Opgave 3 a)

Vi har at forskriften for V(x) kan beskrives med en lineær funktion.

𝑉 ( 𝑥) =𝑎𝑥+ 𝑏

Vi beskriver størrelser i forskriften.

V(x) betegner produktionsapparatets værdi x år efter anskaffelsen.

x betegner antal år efter anskaffelsen.

a betegner den årlige afskrivning, dvs. a er -200000 kr.

b betegner anskaffelsesprisen dvs. b er 1000000 kr.

Vi bestemmer en forskrift for V(x):

𝑉 ( 𝑥) =−200000𝑥 + 1000000

Vi bestemmer, hvor lang tid der går, før at produktionsapparatets værdi er afskrevet til 400000 kr., ved at

løse for x i V(x) = 400000:

𝑉 ( 𝑥) =400000

⇕

−200000 · 𝑥 + 1000000=400000

⇕

−200000𝑥=400000 − 1000000

Side 4

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Efterår 2012

4

⇕

𝑥=

−600000
−200000
=3

Ifølge modellen, går der 3 år efter anskaffelsen, før produktionsapparatets værdi er afskrevet til 400 000 kr.

Opgave 4 a)

Vi har at

• f har nulpunkt i x = 1
Dvs. at f skal skære eller have røringspunkt i x = 1.
• f(-3) = 9
Dvs. funktionsværdien i x = -3 skal være 9.
• f’(-3) = 0
Dvs. at tangenten til grafen for f i x = -3 skal være vandret.
• Dm(f) = [-5; 5]
Dvs. at f er defineret i intervallet −5≤𝑥≤5.

Vi tegner en graf, der opfylder ovenstående kriterier:

Side 5

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Efterår 2012

5

Opgave 5 a)

𝐶 ( 𝑥) =2𝑥+ 5,𝑥≥0

𝑅 ( 𝑥) =−𝑥^{2} + 8𝑥,0≤𝑥≤8

𝑜𝑣𝑒𝑟𝑠𝑘𝑢𝑑=𝑜𝑚𝑠æ𝑡𝑛𝑖𝑛𝑔 − 𝑜𝑚𝑘𝑜𝑠𝑡𝑛𝑖𝑛𝑔𝑒𝑟

Vi bestemmer først en forskrift for overskuddet p.

𝑃 ( 𝑥) =𝑅 ( 𝑥) − 𝐶 ( 𝑥)

⇕

𝑃 ( 𝑥) =−𝑥^{2} + 8𝑥 − 2𝑥− 5
=−𝑥^{2} + 6𝑥 − 5

Side 6

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Efterår 2012

6

En forskrift for overskuddet P, hvor 0≤𝑥≤8, er bestemt til ovenstående udtryk.

Vi bestemmer virksomhedens største overskud, ved at optimere P(x).

Vi bestemmer først P’(x):

𝑃^{′} ( 𝑥) = ( −𝑥^{2} + 6𝑥 − 5)^{′}
=−2𝑥+ 6(𝐼)

Vi bestemmer nulpunkter til den afledede funktion P’:

𝑃^{′} ( 𝑥) =0

⇕

−2𝑥+ 6=0

⇕

2𝑥=6

⇕

𝑥=3

Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunktet for den afledede funktion:

𝑃^{′} ( 1) =−2 · 1 + 6
=4

𝑃^{′} ( 4) =−2 · 4 + 6
=−2

Vi kan konkludere, at nulpunktet er et maksimum:

Vi bestemmer virksomhedens størst mulige overskud ved at bestemme P(3):

𝑃 ( 3) =−3^{2} + 6 · 3 − 5
=−9 + 18 − 5
=4

Virksomhedens størst mulige overskud er bestemt til 4000 kr. og opnås ved en afsætning på 3 tons.

(I) 𝑓 ( 𝑥) 𝑓 ( 𝑥)

′

𝑘𝑥^{𝑎} 𝑘· 𝑎𝑥

𝑎−1

𝑘 0

Side 7

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Efterår 2012

7

Opgaver med hjælpemidler

Opgave 6 a)

Vi opskriver udtrykket og reducerer med WordMat:

𝑎· 𝑏 +𝑎· 𝑎
( 𝑏− 𝑎)^{2}

· ( 𝑎 − 𝑏)^{3} =𝑏^{3} − 𝑎 · 𝑏^{2}

Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion,

𝑎^{3} − 𝑎· 𝑏^{2} =𝑏^{3} − 𝑎 ·𝑏^{2}

⇕

𝑎^{3} ≠𝑏^{3}

Vi kan konkludere, at udtrykket ikke er sandt.

b)

Linje 1:

∫ 2𝑥 ·ln

( 𝑥^{2} + 5) 𝑑𝑥

Integralet der skal bestemmes.

Linje 2:

= ∫ ln ( 𝑡) 𝑑𝑡

Der gøres brug af substitutionen t = x^{2} + 5, og dx substitueres med dt = 2x·dx, som metoden følger af

integration ved substitution.

Linje 3:

= 𝑡 · ln ( 𝑡) − 𝑡+ 𝐾

Integralet reduceres, der gøres brug af ∫ln(x) = x·ln(x) - x.

Linje 4:

= (x^{2} + t) · ln(x^{2} + 5) - (x^{2} + 5) + K

Der substitueres igen med t = x^{2} + 5, og integralet er bestemt.

Side 8

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Efterår 2012

8

Opgave 7 a)

Skemaet konstrueres i Excel med data fra filen husholdning vha. en Pivottabel. Resultatet kopieres ind i besvarelsen.

Syn på egen økonomiske

situation | Arbejdsløs | Lønmodtager | Pensionist | Selvstændig | Studerende | Hovedtotal
a. Meget let | 8 | 148 | 64 | 91 | 20 | 331
b. Let | 8 | 180 | 72 | 96 | 35 | 391
c. Nogenlunde let | 16 | 176 | 55 | 95 | 56 | 398
d. Lidt svært | 16 | 63 | 28 | 32 | 40 | 179
e. Meget svært | 32 | 31 | 12 | 12 | 20 | 107
Hovedtotal | 80 | 598 | 231 | 326 | 171 | 1406

b)

Vi opstiller en nulhypotese:

H_{0}: Der er uafhængighed mellem arbejdsmæssig status og syn på egen økonomiske situation.

Vi opstiller en alternativ nulhypotese:

H_{1}: Der er sammenhæng mellem arbejdsmæssig status og syn på egen økonomiske situation.

De forventede værdier bestemmes med WordMats skabelon til X^{2} -uafhængighedstest. Resultatet kopieres

ind i besvarelsen.

Forventede | Arbejdsløs | Lønmodtager | Pensionist | Selvstændig | Studerende | Total

I alt

a. Meget let | 18, | 140,7809388 | 54,3819346 | 76, | 40,2567568 | 331
b. Let | 22, | 166,3001422 | 64,2396871 | 90, | 47,5540541 | 391
c. Nogenlunde let | 22,6458037 | 169,2773826 | 65,3897582 | 92, | 48,4054054 | 398
d. Lidt svært | 10, | 76, | 29,4089616 | 41, | 21,7702703 | 179
e. Meget svært | 6,7 | 45, | 17,5796586 | 24, | 13,0135135 | 107

80 598 231 326 171 1406

Side 9

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Efterår 2012

9 c)

Vi foretager en X^{2} -uafhænighedstest på et 5% signifikansniveau med WordMats skabelon til netop dette.

Resultatet kopieres ind i besvarelsen.

P-værdi: 0,00% Der er en sammenhæng

Signifikans

niveau: | 5%
Frihedsgrader: | 16
Q-værdi: | 191,2398109

6,2317577 0,370184 1,7010646 2,6470645

Kritisk Q-værdi: | 26,2962276

Da P-værdien på 0,00% er mindre end signifikansniveau på 5% forkaster vi nulhypotesen H_{0} og godtager
den alternative hypotese H_{1}, vi kan altså på baggrund af X^{2} -uafhængighedstesten konkludere, at der på et

5 % signifikansniveau er en sammenhæng mellem arbejdsmæssig status og økonomisk situation.

Side 10

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Efterår 2012

10

Opgave 8 a)

Dataet optælles i Excel med en Pivot tabel, og der foretages et boksplot som grafisk præsentation.

Resultatet kopieres ind i besvarelsen.

Vi vælger at beskrive aldersfordelingen vha. Gennemsnit, median og kvartilsæt. Deskriptorerne bestemmes i Excel, og resultatet kopieres ind i besvarelsen.

Følgende kommandoer er benyttet i Excel:

Minimum = MIN(MATRIX)

Nedre = KVARTIL.MEDTAG(MATRIX; 1)

Median = MEDIAN(MATRIX)

Øvre = KVARTIL.MEDTAG(MATRIX; 3)

Maksimum = MAKS(MATRIX)

Resultat fra Excel:

Deskriptorer

Kvartilsæt

Minimum | 15
Nedre | 23
Median | 33
Øvre | 47
Maksimum | 63
Middeltal | 35,5

0

Alder

Boksplot

Side 11

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Efterår 2012

11 b)

Vi skriver en kort redegørelse og sammenligner udviklingstendensen fra året 2008 til året 2011.

Vi kan fra oplysningerne aflæse at inden finanskrisen i år 2008, var den gennemsnitlige alder for en arbejdsløs i kommunen 43,0 år. Sammenligner vi med den gennemsnitlige alder for en arbejdsløs i år 2011 på 35,5 år, kan vi konkludere, at den gennemsnitlige alder for en arbejdsløs er faldet relativt drastisk. Den samme tendens finder vi ved at sammenligne hhv. median og kvartilsæt for de to år. I år 2008 var nedre kvartil Q1 på 36,2 år, hvorimod i år 2011 finder vi nedre kvartil Q1 til 23 år. Vi kan altså konkludere, at der er en langt højere koncentration af unge arbejdsløse efter finanskrisen. En lignende drastisk forskydning til yngre side findes igen ved at sammenligne medianen, der faldt fra 44,4 år i år 2008 til 33 år i år 2011.

Undersøger vi øvre kvartil Q3 for de to år, kan vi udlede, at arbejdsløsheden for de ældre ligger mere stabilt, da den øvre kvartil Q3 mellem de to år er faldet med ca. 7 år, som er relativt mindre end Med og Q1. Vi kan umiddelbart konkludere at finanskrisen har ramt den yngre del af befolkningen.

Side 12

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Efterår 2012

12

Opgave 9 a)

Produktionen optimeres inden for det polygonformede kapacitetsområde. Vi opstiller begrænsninger for polygonområdet.

Produktion:

300≥20 · 𝑥+ 15 · 𝑦

⇕ Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

− · 𝑥+ 20≥𝑦

4

3

Testning:

40≥2 · 𝑥+ 4 · 𝑦

⇕ Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

− 𝑥+ 10≥𝑦

1

2

Der må desuden gælde, at:

𝑥≥0

𝑦≥0

Vi indtegner det polygonformede kapacitetsområde i GeoGebra, resultatet kopieres ind i besvarelsen:

Vi aflæser koordinaterne til hjørnepunkterne:

𝐴= ( 0;10)

𝐵= ( 12;4)

Side 13

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Efterår 2012

13

𝐶= ( 15;0)

𝐷= ( 0;0)

Vi definere kriteriefunktionen:

𝑓 ( 𝑥,𝑦) ≔10000𝑥 + 10000𝑦

Vi undersøger funktionsværdien i, hvert af hjørnepunkterne:

𝑓 ( 0;10) =100000

𝑓 ( 12;4) =160000

𝑓 ( 15;0) =150000

𝑓 ( 0;0) =0

Vi kan konkludere, at det størst mulige samlede dækningsbidrag findes ved en produktion af 12 stk.

FLEXSTAIRS og 4 stk. UPLIFT pr. måned.

b)

Vi foretager en følsomhedsanalyse.

Vores kriteriefunktion bliver nu, (i det a bliver vores variabel).

𝑓 ( 𝑥;𝑦) =𝑎· 𝑥+ 10000 · 𝑦

                                 𝑎
Dvs. niveaulinjen får hældningen −  . Hvis maksimum stadig skal findes i ( 𝑥, 𝑦 ) =(12;4), må
                                10000

hældningen ligge mellem hældningerne for de to rette linjer givet ved ligningerne.

− · 𝑥+ 20≤𝑦

4

3

Og:

− 𝑥+ 10≤𝑦

1

2

Det vil sige:

− ≤− ≤−

4 𝑎 1

3 10000 2

Vi løser de to uligheder hver for sig:

− ≤−

4 𝑎

3 10000

⇕ Uligheden løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.

Side 14

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Efterår 2012

14

𝑎≤13333,33

Og:

− ≤−

𝑎 1

10000 2

⇕ Uligheden løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑎≥5000

Der spørges til, hvor meget dækningsbidraget på en FLEXSTAIRS mindst skal stige til, for at det bedst kan betale sig for virksomheden udelukkende at producere FLEXSTAIRS. Dvs. hvis dækningsbidraget for produktionen skal forblive uændret, med den nuværende produktionssammensætning, så kan dækningsbidraget for FLEXSTAIRS variere i intervallet.

[5000≤𝑎≤13333,33]

Overstiger dækningsbidraget for FLEXSTAIRS derimod 13333,33 dvs. 𝑎<13333,33, vil det optimale dækningsbidrag findes ved en produktionssammensætning af udelukkende FLEXSTAIRS.

Dækningsbidraget for FLEXSTAIRS skal mindst stige til > 13333,33 før at det bedst kan betale sig for virksomheden udelukkende at producere FLEXSTAIRS.

Side 15

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Efterår 2012

15

Opgave 10 a) xy-plottet foretages i Excel med data fra filen afs-pris, resultatet kopieres ind i besvarelsen.

Sammenhængen kan beskrives vha. en eksponentiel funktion. Vi estimerer derfor tallene a og b med eksponentiel regression.

Vi estimerer modellens parametre b og a ved eksponentiel regression:

Afsætning 1500 1100 2200 2500 1800 3000 500 2000 600 i stk.

Pris i kr. 120 140 95 90 110 80 200 105 180

Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 0,9691746

𝑦=219,3601 · 0,9996378^{𝑥}

Vi aflæser tallene a og b:

Tallet a er estimeret til 0,100 (afrundet til 3 decimaler).

Tallet b er estimeret til 219,4 (afrundet til 1 decimal).

b)

Vi definerer d(x):

𝑑 ( 𝑥) ≔219,36𝑥 · 0,999638^{𝑥} − 100𝑥

Vi bestemmer den afledede funktion d’(x):

0

50

100

150

200

250

3500

Priis i kr.

Afsætning i stk.

xy-plot

Side 16

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Efterår 2012

16

𝑑^{′} ( 𝑥) ≈−0,0794227 · 0,999638^{𝑥} · 𝑥+ 0,999638^{𝑥} · 219,36− 100

Den afledte funktion d’(x) er bestemt til ovenstående udtryk.

Vi bestemmer den afsætning, der giver størst muligt dækningsbidrag vha. optimering. Vi bestemmer først nulpunkter til den afledede funktion d’.

𝑑^{′} ( 𝑥) =0

Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥≈971,8515

Der blev fundet løsninger vha. numeriske metoder, men der findes muligvis flere.

Vi undersøger differentialkvotienten på begge sider af nulpunktet til den afledede funktion.

𝑑^{′} ( 900) ≈6,755296

𝑑^{′} ( 1000) ≈−2,570508

Vi kan konkludere, at nulpunktet er et maksimum.

En afsætning på 972 stk. (afrundet til helt produkt) giver det største dækningsbidrag.

c)

Vi bestemmer prisen i kr. pr. stk., der giver det størst mulige dækningsbidrag, ved at bestemme p(972):

Vi definerer først p(x):

𝑝 ( 𝑥) ≔219,3601 · 0,9996378^{𝑥}

Vi bestemmer p(972): 𝑝 ( 972) ≈154,2528

Den pris p(x) i kr. pr. stk., der giver det størst mulige dækningsbidrag er bestemt til 154,25 kr. (afrundet til 2 decimaler).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 17

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Efterår 2012

17

Opgave 11 a)

Vi definerer funktionen f:

𝑓 ( 𝑥) ≔0,1𝑥^{3} − 4𝑥^{2} + 15𝑥

Vi bestemmer monotoniforhold for f. Vi bestemmer først nulpunkter til den afledede funktion f’:

𝑓^{′} ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=2,02945 ∨ 𝑥=24,63722

Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunktet:

𝑓^{′} ( 1) =7,3

𝑓^{′} ( 3) =−6,3

𝑓^{′} ( 25) ≈2,5

f er voksende i intervallet ]∞; 2,02945] og [24,63722; ∞[

f er aftagende i intervallet [2,02945; 24,63722] b)

Vi definerer g:

𝑔 ( 𝑥) ≔10 · ln ( 𝑥)

Vi bestemmer intervallet for det grå område, som skæringen mellem grafen for f og x-aksen og skæringen mellem grafen for f og grafen for g.

Vi bestemmer den nederste grænse i intervallet som skæringen mellem grafen for f og x-aksen:

𝑓 ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=0 ∨ 𝑥=4,188612 ∨ 𝑥=35,81139

Vi bestemmer den øverste grænse i intervallet som skæringen mellem grafen for f og grafen for g:

𝑔 ( 𝑥) =𝑓 ( 𝑥)
Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat. med følgende antagelser/definitioner: 𝑥>0

𝑥≈3,072708 ∨ 𝑥≈36,12234

Side 18

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Efterår 2012

18

Der blev fundet løsninger vha. numeriske metoder, men der findes muligvis flere.

Sammenligner vi punkterne med skitsen i opgaveformuleringen, kan vi konkludere, at intervallet for det grå område er [0; 3,072708]:

I et stykke af samme interval som det grå område finder vi under det grå område et blankt område.

Intervallet for det blanke område bestemmer vi som skæringen mellem grafen for g og x-aksen og skæringen mellem grafen for f og grafen for g (bestemt tidligere).

Vi bestemmer den nedre grænse for det blanke område, som skæringen mellem grafen for g og x-aksen, hvor x > 0:

𝑔 ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat. med følgende antagelser/definitioner: 𝑥>0
𝑥=1

Sammenligner vi punkterne med skitsen i opgaveformuleringen, kan vi konkludere at intervallet for det blanke område [1; 3,072708].

Arealet af det grå område er lig differensen mellem arealet under grafen f i intervallet [0; 3,072708] og arealet under grafen for g i intervallet [1; 3,072708].

Vi bestemmer arealet af det grå område:

𝐴_{𝑔𝑟å} =∫ 𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥 − ∫ 𝑔 ( 𝑥) 𝑑𝑥

3,072708 3,072708

0 1

≈20,59275

Arealet af det grå område er bestemt til 20,59 (afrundet til 2 decimaler).

Side 19

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Efterår 2012

19

Opgave 12 a)

Vi bestemmer forskriften for p(x) ved at løse differentialligningen med WordMat. Vi benytter

startbetingelsen p(4) = 21.

𝑝(𝑥)^{′} =−𝑝(𝑥) + 𝑥
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen p(4)=21
𝑝(𝑥)=18 · 𝑒^{4−𝑥} + 𝑥 − 1

Forskriften for p(x) er bestemt til ovenstående udtryk.

b)

Vi definerer p(x):

𝑝 ( 𝑥) ≔18 · 𝑒^{4−𝑥} + 𝑥− 1

Vi bestemmer afsætningen ved en kg-pris på 90, ved at løse for x i p(x) = 90:

𝑝 ( 𝑥) =90

Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥≈2,406311 ∨ 𝑥≈91

x = 91 ligger uden for definitionsområdet og er derfor ikke en løsning. Afsætningen ved en kg-pris på 90 er

bestemt til 2,41 (målt i tons) (afrundet til 2 decimaler).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 20

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Efterår 2012

20

Til eksamen skal du kun udvælge én af de tre følgende opgaver, 13A, 13B og 13C. Her bringes alle løsninger, så du kan bruge dem til at øve de forskellige opgavetyper.

Opgave 13A a)

Den generelle ligning for en cirkel er givet ved, hvor C(x_{0}, y_{0}) betegner cirklens centrum, og r betegner

cirklens radius:

( 𝑥− 𝑥_{0})^{2} + ( 𝑦− 𝑦_{0})^{2} =𝑟^{2}

Vi omskriver niveaukurven N(55 000) til normalformen:

55000=−50𝑥^{2} + 5000𝑥 − 50𝑦^{2} + 2000𝑦

⇕

55000=−50 ( 𝑥^{2} + 100𝑥) − 50 ( 𝑦^{2} + 40)

⇕

55000=−50 ( (𝑥+) − ()) − 50 ( (𝑦 +) − ()) (𝐼)

100^{2} 100^{2} 40^{2} 40^{2}

2 2 2 2

⇕

55000=−50 (( 𝑥 + 50)^{2} − 2500) − 50 (( 𝑦 + 20)^{2} − 400)

⇕

55000 −50 (( 𝑥 + 50)^{2} − 2500) − 50 (( 𝑦 + 20)^{2} − 400)
−50 −50

=

⇕

−1100= ( 𝑥+ 50)^{2} − 2500 + ( 𝑦+ 20)^{2} − 400

⇕

1800= ( 𝑥− 50)^{2} + ( 𝑦 − 20)^{2}

Ovenstående udtryk er en ligning for en cirkel med centrum i C(50, 20), og en radius på r = √ 1800. Vi har

dermed redegjort for formen for niveaukurven N(55 000).

                                            𝑎
                          2
(I) Vi benytter omskrivningen: 𝑥 + 𝑎𝑥=(𝑥+ ) − ( )
                                             2

𝑎

2

2 2

Side 21

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Efterår 2012

21 b)

Vi indtegner niveaukurven N(55 000) og begrænsninger for afsætningen i GeoGebra. Resultatet kopieres ind i besvarelsen.

Begrænsninger for afsætning er givet ved:

10≤𝑥≤100

0≤𝑦≤60

Niveaukurven N(55 000) er givet ved:

55000=−50𝑥^{2} + 5000𝑥 − 50𝑦^{2} + 2000𝑦

Resultat fra GeoGebra:

Vi kan konkludere fra figuren, at centrum for niveaukurverne ligger i det rektangulære kapacitetsområde, dvs. at dækningsbidraget DB antager maksimum i netop centrum af cirklen C(50, 20).

Vi kan konkludere, at det størst mulige dækningsbidrag opnås ved en afsætning af 50 stk. af vare A pr. uge og 20 stk. af vare B pr. uge.

Side 22

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Efterår 2012

22

Opgave 13B a)

Vi skal bestemme, hvor stor Carolines gæld er d. 1. august 2012. Størrelsen af udbetalingerne, renten og antallet af betalinger defineres: 𝑦≔2755 𝑟≔0,0033 𝑛≔36

Vi bestemmer gælden, som Caroline skal betale:

𝐴_{36} =𝑦 ·

( 1 + 𝑟)^{𝑛} − 1

𝑟

≈105127,8162

Den 1. august 2012 har Caroline en gæld på 105.127,82 kr.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: b)

Fra den 1. august 2012 ændres renten til 0,15% pr. måned. På dette tidspunkt har Caroline i forvejen en gæld på 105.127,82 kr. Vi bestemmer størrelsen af Carolines gæld d. 1. december 2013 ved at fremskrive

gælden. Startkapitalen 𝐾 er størrelsen af Carolines gæld, som vi netop har bestemt.
                    0

𝐾_{0} ≔105127,8162

Vi skal fremskrive gælden 16 måneder, og renten er 0,15% pr. måned. De to størrelser defineres: 𝑛≔16 𝑟≔0,0015

Vi benytter renteformlen til at bestemme størrelsen af gælden:

𝐾_{16} =𝐾_{0} · ( 1 + 𝑟)^{𝑛}

≈107679,47

D. 1. december 2013 har Caroline en gæld på 107.679,47 kr.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 23

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Efterår 2012

23

Opgave 13C a)

Vi undersøger sandsynligheden for at, der er fejl på mere end 13 enheder, med en binomialfordeling.

Fordelingen foretages med WordMats skabelon for binomialfordeling, resultatet kopieres ind i besvarelsen.

Vi har at:

𝑝=10 %
=0,10

Og:

𝑛=120

Vi bestemmer 𝑃 ( 𝑋≤14), omskrivningen er mulig, da X kun kan antage heltals værdier, eftersom X er en

diskret variabel.

Binomialfordeling P(X=)=
p= 0,1 P(X≤ 14)= 0,7818
n= 120 P( ≤X≤)=

µ = 12
σ = 3,2863

Vi aflæser, at der en 78,2 % chance for, at der er fejl på flere end 13 enheder (afrundet til 1 decimal).

b)

Vi estimerer først andelen af enheder med fejl i stikprøven. Vi foretager en Pivot-tabel på dataet i filen maskindele i Excel. Resultatet kopieres ind i besvarelsen:

Rækkenavne | Antal af Stikprøve
fejl | 13
ok | 107
Hovedtotal | 120

Vi estimerer andelen af enheder med fejl:

𝑝̂ = ≈0,1083333

13

120

Vi har estimeret andelen af enheder med fejl til 10,83 % (afrundet til 2 decimaler).

Vi bestemmer et 95 % - konfidensinterval for andelen af enheder med fejl med GeoGebras sandsynlighedslommeregner. Vi benytter Z interval for andel (tidligere proportion). Resultatet kopieres ind i besvarelsen.

Vi har 13 fejl dvs.:

Side 24

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Efterår 2012

24

Antal succes = 13:

Stikprøven er foretaget på 120 enheder dvs.:

Stikprøvestørrelsen = 120:

Et 95 % - konfidensinterval for andelen af enheder med fejl er bestemt til:

[0,0527;0,1639]

Dvs. der på baggrund af konfidensintervallet er en 95 % sandsynlighed for at andelen af fejl på enheder vil være mellem 5,3 % og 16,4 % (afrundet til 1 decimal).