HHX Matematik A 2014 18. august - Delprøven med hjælpemidler

Side 1

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014

1

HHX Matematik A

18. august 2014

Delprøven med hjælpemidler

hhx142-MAT/A-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HHX 3. år

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 6 a)

Ligningen løses vha. WordMat:

∫ (2𝑥+ 𝑎) 𝑑𝑥 = 50

𝑎

0

⇕ Ligningen løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑎 =−5 ∨ 𝑎 = 5

Den positive løsning er således 𝑎 =5.

b)

Forklaringer er givet til hver af linjerne (𝐼):

1) Ligningen er skrevet op.

2) Der er lagt 4 til på begge sider og herefter divideret med 2 på begge sider.

Side 2

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014

2

3) Man har taget begge sider og brugt som potenser af 𝑒. Dvs. 𝑒^{ln}^{(}^{𝑥^{2}}^{+1}^{)} = 𝑒^{2}. På venstre side går 𝑒 så
at sige ud med 𝑙𝑛 jf. definitionen af den naturlige logaritme: ln ( 𝑎) = 𝑏 ⇔ 𝑒^{𝑏} = 𝑎.

4) Der er trukket 1 fra på begge sider, hvorefter kvadratroden er taget på begge sider. Til venstre har

man så fået √𝑥^{2} = | 𝑥 | = ±𝑥. Løsningen er så splittet op i to ens udtryk med omvendt fortegn.

5) Løsningerne er udregnet.

Side 3

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014

3

Opgave 7 a)

Data kopieres ind i en tabel, og der anvendes eksponentiel regression i WordMat. Vi antager, at tabellens data er angivet i de efterspurgte enheder.

Mængde Pris

1100 | 180
1320 | 170
1620 | 160
1850 | 150
2150 | 140
2250 | 130
2600 | 120
2750 | 110
2950 | 100

3250 90

3600 80

Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 0,9855521

𝑦 =270,7923 · 0,9996692^{𝑥}

Funktionen defineres:

𝑑 ( 𝑥) ≔ 270,7923 · 0,9996692^{𝑥}

b)

Funktionen for udbudsprisen defineres:

𝑠 ( 𝑥) ≔ 0,05𝑥 + 10

Ligevægtsmængden bestemmes ved at løse:

𝑑 ( 𝑥) = 𝑠(𝑥)

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 2316,548

Ligevægtsprisen kan nu bestemmes som:

𝑠 ( 2316,548) = 125,8274

Side 4

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014

4

Ligevægtsmængden er således ca. 𝑥^{∗} = 2317, og ligevægtsprisen er ca. 𝑦^{∗} = 125,83. Enhederne er hhv.

stk. og kr. pr. stk.

c)

Linjen 𝑠 skærer med 𝑦-aksen i 𝑦_{0}:

𝑦_{0} = 𝑠 ( 0) = 10

Det grå område er en trekant med en grundlinje:

𝑔 = 𝑦^{∗} − 𝑦_{0}
= 125,8274 − 10
= 115,8274

Og en tilsvarende højde:

ℎ = 𝑥^{∗}
= 2316,548

Producentoverskuddet bestemmes nu som arealet af trekanten:

𝑇 = · 𝑔 · ℎ

1

2

= · 2316,548 · 115,8274

1

2

≈ 134159,9

Producentoverskuddet er således på 134.159,90 kr.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 5

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014

5

Opgave 8 a)

Funktionen defineres:

𝑓 ( 𝑥) ≔ 𝑥^{4} − 𝑥^{3} − 15𝑥^{2} + 216𝑥

1

12

Nulpunkter bestemmes ved at løse:

𝑓 ( 𝑥) = 0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = −14,02147 ∨ 𝑥 =0

Funktionen har således nulpunkter i 𝑥 = −14,02 og 𝑥 = 0.

b)

Stationære punkter søges ved at løse:

𝑓^{′} ( 𝑥) = 0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = −9 ∨ 𝑥 = 6 ∨ 𝑥 = 12

Fortegn for 𝑓′(𝑥) bestemmes på alle sider af nulpunkterne for 𝑓′(𝑥):

𝑓^{′} ( −10) = −

352

3

𝑓^{′} ( 5) =

98

3

𝑓^{′} ( 7) = −

80

3

𝑓^{′} ( 13) =

154

3

Dette sammenfattes i en monotonilinje:

Side 6

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014

6 𝑥 -9 6 12

𝑓^{′} ( 𝑥) 0 0 0

- + - +

𝑓 ( 𝑥) ↘ ↗ ↘ ↗

Af monotonilinjen kan vi se, at funktionen har lokale minimumspunkter i 𝑥 =−9 og 𝑥 = 12. Desuden kan
vi se, at: 𝑓(𝑥) → ∞ for både 𝑥 → ∞ og 𝑥 → −∞. Et af de to lokale minima må således være globalt

minimum. Vi undersøger nu funktionsværdierne i de to minima:

𝑓 ( −9) = −1883,25

𝑓 ( 12) = 432

Da 𝑓 ( −9) < 𝑓(12), kan vi konkludere at funktionen har globalt minimum i 𝑃(−9;−1883,25)

Grafen behøver ikke tegnes i en eksamensbesvarelse, men her bringes den for at illustrere besvarelsen:

Side 7

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014

7

Opgave 9 a)

Fordelingen af produktionstallene kopieres ind i WordMats regneark til statistik, hvor data optælles og grupperes. Herefter tegnes et histogram med en intervallængde på 100 MWh: b)

De relevante data optælles i en pivottabel i Excel og indsættes i et skema som det angivne: over gennemsnit under gennemsnit Total efter 2002 74 64 138 før 2002 38 91 129

Total 112 155 267 c)

Vi opstiller en nulhypotese:

𝐻_{0}: Der er ingen sammenhæng mellem alder og produktionsniveau

Nulhypotesen testes vha. en 𝜒^{2} -uafhængighedstest i WordMat med anvendelse af data fra ovenstående

skema:

00 3300

Observationer

Histogram

Et tern er 4%

Side 8

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014

8 χ²-test

Observationer I alt

74 64 138

38 91 129

I alt 112 155 267

Forventede

I alt

57,88764 80,11236 138

54,11236 74,88764 129

112 155 267

P-værdi: 0,01%

Signifikans niveau: 5%

Da 𝑝 = 0,01% < 5% forkastes nulhypotesen på et 5%-signifikansniveau. Der kan således ikke antages

uafhængighed mellem møllernes alder og produktionsniveau.

d)

Der er foretaget en analyse af produktionsniveauet af 267 møller af en bestemt størrelse. Fordelingen er som histogrammet herunder:

I analysen er møllerne blevet inddelt i 4 grupper ud fra to variable: alder (før/efter 2002) og
produktionsniveau (over/under gennemsnit). Det er så blevet undersøgt på et 5% signifikansniveau, om der

kan antages uafhængighed mellem en mølles alder og dens produktionsniveau. Konklusionen er, at der ikke kan antages uafhængighed. De nye møller ligger hyppigere over gennemsnittet, end man ville forvente, hvis produktionsniveauet og møllens alder var uafhængige af hinanden.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

00 3300

Produktionstal i MWh

Histogram

Et tern er 4%

Side 9

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014

9

Opgave 10 a)

Den generelle form for en ellipses ligning er:

( 𝑥− 𝑥_{0})^{2} ( 𝑦− 𝑦_{0})^{2}
𝑎^{2} 𝑏^{2}

+ = 1

Hvor (𝑥_{0},𝑦_{0}) er koordinatsættet for ellipsens centrum, mens 𝑎 er vandret halvakse og 𝑏 er lodret halvakse.

Niveaukurven 𝑁(11400000) kan skrives på formen:

11400000= −0,64𝑥^{2} + 2560𝑥 − 𝑦^{2} + 6000𝑦

⇓

( 𝑥− 2000)^{2} ( 𝑦 − 3000)^{2}

250000 160000

+ = 1

Du kan fx omskrive ligningen ved at skrive den ind i GeoGebra™.

Den vandrette halvakse bestemmes som 𝑎 = √ 250000= 500

Den lodrette halvakse bestemmes som 𝑏 = √ 160000= 400

Vi kan nu aflæse, at centrum har koordinatsættet ( 𝑥_{0},𝑦_{0}) = (2000,3000).

Vi kan konkludere, at niveaukurven 𝑁(11400000) er en ellipse med centrum i punktet (2000,3000) og

vandret halvakse 𝑎 =500 og lodret halvakse 𝑏 =400.

b)

Herunder ses niveaukurven indtegnet i et koordinatsystem.

Side 10

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014

10

Du kan fx tegne niveaukurven i GeoGebra.

c)

Alle begrænsninger opskrives:

1000 ≤ 𝑥 ≤ 4000

1000≤ 𝑦 ≤ 5000

𝑦 ≤ −1,5𝑥 + 6000

Begrænsningerne afgrænser kriteriefunktionens kapacitetsområde. Dette indtegnes nu i samme koordinatsystem som 𝑁(11400000). Ellipsens centrum indtegnes også.

Kriteriefunktionen er på formen for kvadratiske funktioner i 2 variable:

𝑓 ( 𝑥,𝑦) = 𝑎𝑥^{2} + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑦^{2} + 𝑑𝑦 + 𝑒

Niveaukurverne er koncentriske ellipser med centrum i (2000,3000)

Da både 𝑎 og 𝑐 er negative, vil funktionen have globalt maksimum i dette centrum.

Det ser ud til, at centrum akkurat ligger på en af kapacitetsområdets kanter og dermed overholder kapacitetsområdets begrænsninger. Vi undersøger, om dette er tilfældet ved at indsætte koordinatsættet for centrum i den sidste ulighed:

Side 11

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014

11

𝑦 ≤ −1,5𝑥 + 6000

3000 ≤ −1,5 · 2000+ 6000

Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion,

3000≤ 3000

Vi konstaterer, at uligheden er overholdt, hvorfor maksimum for 𝐷𝐵(𝑥,𝑦) findes når ( 𝑥,𝑦) =

(2000,3000).

Prisen pr. stk. SEATALK kan da bestemmes som:

𝑝 ( 2000) = −0,64 · 2000 + 3560
= 2280

Prisen pr. stk. OCEANKOM kan bestemmes som:

𝑞 ( 3000) = −3000 + 7200
= 4200

Det største samlede dækningsbidrag opnås således, hvis SEATALK koster 2280 kr. pr. stk. og OCEANKOM koster 4200 kr. pr. stk.

Side 12

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014

12

Opgave 11 a)

Differentialligningen løses vha. betingelse 𝑝 ( 2) = 190

𝑝^{′} ( 𝑥) = −0,5 · 𝑝 ( 𝑥) + 150
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen p(2)=190
𝑝 ( 𝑥) = 300 − 110 · 𝑒^{1−}

𝑥

2 b)

Funktionen defineres:

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑝 ( 𝑥) = 300 − 110 · 𝑒^{1−}, 1 ≤ 𝑥 ≤ 7

𝑥

2

Vi bestemmer nu

𝑝 ( 4) = 259,5333

Dækningsbidraget er således på 259,53 kr. pr. stk. ved en salgspris på 4000 kr.

Side 13

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014

13

Til eksamen skal du kun udvælge én af de tre følgende opgaver, 12A, 12B og 12C. Her bringes alle løsninger, så du kan bruge dem til at øve de forskellige opgavetyper.

Opgave 12A a)

De samlede produktionsomkostninger er en sum af produktionsomkostninger for maskintid og arbejdstid:

𝑓 ( 𝑥,𝑦) = 4𝑥 + 7𝑦

Kapacitetsområdet er uendelig stort, da der ikke er nogen øvre begrænsninger for hverken 𝑥 eller 𝑦. Her tegnes et udsnit, hvor de nedre begrænsninger ses:

Du kan fx tegne kapacitetsområdet i GeoGebra.

b)

Skæringspunkterne 𝐴, 𝐵 og 𝐶, mellem de linjer som udgør områdets kanter, har koordinatsæt: A(5;26,25), B(20;15) og C(40;10).

Du kan fx bestemme punkternes koordinater vha. skæringsværktøjet i GeoGebra.

Vi ser nu, at minimum findes i punkt B.

Hvis produktionsomkostningerne pr. arbejdstime ændres, får vi nu:

𝑓 ( 𝑥,𝑦) = 4𝑥+ 𝑏𝑦

Side 14

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014

14

                                                    4
Hældningen af alle niveaulinjer til denne funktion er givet ved −
                                                    𝑏

Denne hældning skal ligge i et interval mellem hældningerne af de to linjer gennem hhv. A og B og B og C, for hvilke B er skæringspunkt. Disse linjer er givet ved ligningerne:

𝑦 = −0,25𝑥+ 20

Og

𝑦 = −0,75𝑥+ 30

Der må altså gælde, at:

− ≥ −0,75

4 𝑏

⇕ Uligheden løses for b vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑏 ≤ 0 ∨ 𝑏 ≥

16

3

Samt at:

− ≤ −0,25

4 𝑏

⇕ Uligheden løses for b vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑏 ≥0 ∧ 𝑏 ≤16

Fællesmængden af disse løsninger bliver: 𝑏 ∈[,16]

16

3

Den maksimale stigning bliver da den maksimalt mulige værdi minus den oprindelige værdi af 𝑏:

16 − 7 = 9

Produktionsomkostningerne pr. arbejdstime kan således maksimalt med 9 kr., når 𝑓 stadig skal antage sin mindsteværdi i punktet (20,15).

Side 15

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014

15

Opgave 12B a)

Hvis en person er villig til at gå ned i løn for at bevare sit job betegnes det som en succes. Succesraten

bliver da 𝑝 = 33% = 0,33.

Antallet af ansatte i virksomheden er 𝑛 = 650.

Antallet af ansatte, som er villige til at gå ned i løn, vil da være binomialfordelt som:

𝑋~𝑏(650;0,33)

Vi bestemmer nu 𝑃(200≤ 𝑋 ≤ 650) for denne binomialfordeling vha. WordMat:

Binomialfordeling

P(X=)=
p= 0,33 P(X≤)=
n= 650 P( 200 ≤X≤ 650)= 0,895095

Sandsynligheden for, at mindst 200 af virksomhedens ansatte er villige til at gå ned i løn for at bevare jobbet er ca. 89,5%.

b)

Data optælles vha. en pivottabel i Excel:

Antal af Villig til lønnedgang

Villig til lønnedgang Total

Ja | 15
Nej | 35
Hovedtotal | 50

        15
Dvs. 𝑝̂ = = 0,3
        50

Denne værdi er et skøn af den sande værdi, 𝑝.

Du kan bestemme et 95%-konfidensinterval for 𝑝 vha. GeoGebras sandsynlighedslommeregner. Vælg ”Z

Estimat på Proportion” og indtast Succeser = 15 og N = 50. Konfidensintervallets grænser aflæses ved

”Nedre grænse” og ”Øvre grænse”.

Konfidensintervallet:

[0,173;0,427]

Side 16

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014

16

Vores estimat for virksomhedens andel er: 𝑝̅ = 0,3
                                    𝑣𝑖𝑟𝑘𝑠𝑜𝑚ℎ𝑒𝑑

Vi ser, at 𝑝_{𝑙𝑎𝑛𝑑𝑠𝑝𝑙𝑎𝑛} = 0,33 > 0,3 = 𝑝̅_{𝑣𝑖𝑟𝑘𝑠𝑜𝑚ℎ𝑒𝑑} og vil nu undersøge, om denne forskel er signifikant.

Hvis andelen på landsplan er signifikant større end andelen i virksomheden, skal 𝑝 ligge til højre
                                                                  𝑙𝑎𝑛𝑑𝑠𝑝𝑙𝑎𝑛

for konfidensintervallet for 𝑝  . Dette efterlader en sandsynlighed på under 2,5% for, at
                       𝑣𝑖𝑟𝑘𝑠𝑜𝑚ℎ𝑒𝑑

𝑝         = 𝑝        . Vi ser dog, at dette ikke er tilfældet, da 𝑝 = 0,33 ligger indenfor
 𝑣𝑖𝑟𝑘𝑠𝑜𝑚ℎ𝑒𝑑  𝑙𝑎𝑛𝑑𝑠𝑝𝑙𝑎𝑛                                 𝑙𝑎𝑛𝑑𝑠𝑝𝑙𝑎𝑛

konfidensintervallet. Vi kan derfor ikke på et 2,5% signifikansniveau afvise, at andelen på landsplan er den samme som andelen i virksomheden.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 17

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014

17

Opgave 12C a)

Funktionerne for hhv. omsætning og omkostninger defineres:

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 0 ≤ 𝑥 ≤ 2000

𝑅 ( 𝑥) ≔ −0,006𝑥^{2} + 12𝑥

𝐶 ( 𝑥) ≔ 1,6𝑥 + 1230 + 624 · sin (0,002𝑥)

Overskuddet (i 1000 kr.) kan bestemmes som:

𝑃 ( 𝑥) = 𝑅 ( 𝑥) − 𝐶 ( 𝑥)
= −624 · sin ( 0,002 · 𝑥) − 0,006 · 𝑥^{2} + 10,4 · 𝑥− 1230

Forskriften kan omskrives manuelt:

𝑃 ( 𝑥) ≔ −0,006𝑥^{2} + 10,4𝑥 − 1230 − 624 · sin (0,002𝑥)

Funktionens nulpunkter bestemmes:

𝑃 ( 𝑥) = 0

Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 ≈ 148,5712 ∨ 𝑥 ≈ 1611,337

Da der kun er 2 nulpunkter i definitionsmængden, er dette de samme to nulpunkter, som ses af grafen for 𝑃 i opgaveteksten. Vi ser her, at 𝑃 er positiv i intervallet mellem nulpunkterne (og kun i dette interval, da der ikke er flere nulpunkter). Det vil sige, at 𝑃 er positiv i intervallet: ]148,6;1611,3[.

b)

Stationære punkter bestemmes ved at løse:

𝑃^{′} ( 𝑥) = 0

Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 ≈ 887,8222

Der er kun et stationært punkt i definitionsmængden, og dette må således være det maksimum, som ses på grafen i opgaveteksten. Da punktet er det eneste ekstremum i definitionsmængden, er der tale om et globalt maksimum. Det maksimale overskud kan således bestemmes som:

𝑃 ( 887,8222) ≈2663,028

Ovenstående resultat er i 1000 kr. Det vil sige:

Det maksimale overskud er 2.663.028 kr.