HHX Matematik A 2015 15. december - Delprøven med hjælpemidler

Side 1

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2015

1

HHX Matematik A

15. december 2015

Delprøven med hjælpemidler hhx153-MAT-A-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HHX 3. år

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 6 a)

1) Når tangenten er vandret vil dens hældning og dermed 𝑓′(𝑥) være lig med 0. Dvs. 𝑓^{′} ( 𝑥) = 0

2) Funktionen differentieres og sættes lig med 0.

3) Der trækkes 5 fra på begge sider, hvorefter begge sider divideres med 5.

4) Begge sider stilles som potens af 𝑒. Der anvendes, at 𝑒^{ln}^{(}^{𝑥}^{)} = 𝑥 (jf. definitionen af naturlig
logaritme: ln ( 𝑎) = 𝑏 ⟺ 𝑒^{𝑏} = 𝑎).
5) Den isolerede 𝑥-værdi beregnes, hvorefter den tilhørende 𝑦-værdi beregnes som 𝑓(𝑒^{−1}).

Røringspunktets koordinatsæt opskrives.

b)

Funktionen defineres:

𝑔 ( 𝑥) ≔ 𝐾·𝑥·ln (𝑥)

Når tangenten er vandret vil dens hældning og dermed 𝑔′(𝑥) være lig med 0. Vi løser nu:

𝑔^{′} ( 𝑥) = 0

Side 2

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2015

2

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 𝑒^{−1} ≈ 0,3678794

𝑥-koordinaten til røringspunktet er således 𝑥 = 0,37

Side 3

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2015

3

Opgave 7 a)

Data fra filen pizza optælles i en pivottabel i Excel og indsættes i et skema som det angivne: b)

Vi opstiller en nulhypotese:

𝐻_{0}: Der er ingen sammenhæng mellem danskernes svar på spørgsmålet og deres beskæftigelse.

Hypotesen testes vha. tabellens data i en 𝜒^{2} -uafhængighedstest i WordMat på et 5%-signifikansniveau:

χ²-test

Observationer I alt

23 27 105 129 31

315

16 20 125 74 24

259

61 54 269 223 73

680

7 9 29 12 9

66

I alt 107 110 528 438 137 1320

P-værdi: 0,96% Der er en sammenhæng

Signifikans niveau: 5%

Da 𝑝 = 0,96% <5% forkastes nulhypotesen på et 5%-signifikansniveau. Der er således påvist en

signifikant sammenhæng mellem danskernes svar på spørgsmålet og deres beskæftigelse.

Arbejdsløs

Deltidsansat

Fuldtidsansat

Pensionist

Studerende

Total

Aldrig 23 27 105 129 31 315

Månedligt 16 20 125 74 24 259

Sjældent 61 54 269 223 73 680

Ugentligt 7 9 29 12 9 66

Total 107 110 528 438 137 1320

Side 4

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2015

4

Opgave 8 a)

Differentialligningen opskrives for 𝑓 og løses vha. begyndelsesbetingelsen 𝑓 ( 0) = 30

𝑓^{′} = 0,001·𝑓·(200−𝑓)
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen f(0)=30
𝑓 =

200

5,666667·𝑒^{−0,2·𝑥} +1

Grafen tegnes i WordMat:

Vi løser ligningen 𝑓 ( 𝑥) = 120:

200

5,666667·𝑒^{−0,2·𝑥} +1

= 120

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 10,70033

Løsningen til ligningen er således 𝑥 = 10,7.

Side 5

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2015

5

Opgave 9 a)

Et 𝑥𝑦-plot af skærmstørrelse 𝑥 og pris 𝑦 foretages i Excel vha. data fra filen laptop: b)

Vi finder nu en lineær regressionsmodel vha. Excel ved at indsætte en lineær tendenslinje med tilhørende

                                        2
regressionsligning og determinationskoefficient R .

Modellen aflæses og opskrives:

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

7 18

Pris i kr.

Skærmstørrelse i tommer

y = 348,64x + 363,38
R² = 0,0841

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

7 18

Pris i kr.

Skærmstørrelse i tommer

Side 6

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2015

6

𝑦 = 348,6·𝑥+363,4

Residualerne bestemmes i Excel som den observerede pris minus den forventede pris ifølge modellen

(beregnet vha. den lineære model indsat som formel i Excel):

Skærmstørrelse (i Pris (i kr.) Forventet pris ifølge modellen: Residual: tommer)

17,3 | 3429 | 6394,852 | -2965,85
13,3 | 3695 | 5000,292 | -1305,29

12,5 7213 4721,38 2491,62

14 3616 5244,34 -1628,34

15,6 | 6999 | 5802,164 | 1196,836

13,3 | 5139 | 5000,292 | 138,708
15,6 | 6403 | 5802,164 | 600,836

13,3 | 6111 | 5000,292 | 1110,708
15,6 | 8499 | 5802,164 | 2696,836

17,3 | 3445 | 6394,852 | -2949,85

11,6 1999 4407,604 -2408,6

12,5 5995 4721,38 1273,62

15,6 | 3059 | 5802,164 | -2743,16

13,3 | 5999 | 5000,292 | 998,708

15,6 | 3785 | 5802,164 | -2017,16
15,6 | 2745 | 5802,164 | -3057,16

14 | 7547 | 5244,34 | 2302,66

13,3 | 4156 | 5000,292 | -844,292

17,3 | 8807 | 6394,852 | 2412,148
13,3 | 8093 | 5000,292 | 3092,708

15,6 | 3995 | 5802,164 | -1807,16
15,6 | 4341 | 5802,164 | -1461,16
10,1 | 1545 | 3884,644 | -2339,64
17,3 | 3599 | 6394,852 | -2795,85

15,6 | 6250 | 5802,164 | 447,836

14 | 6564 | 5244,34 | 1319,66

14 5036 5244,34 -208,34

13,3 | 6869 | 5000,292 | 1868,708

15,6 | 5995 | 5802,164 | 192,836

17,3 | 9820 | 6394,852 | 3425,148
13,3 | 9613 | 5000,292 | 4612,708

14 | 8734 | 5244,34 | 3489,66

15,6 | 2064 | 5802,164 | -3738,16

17,3 | 9820 | 6394,852 | 3425,148

14 3345 5244,34 -1899,34

13,3 | 4739 | 5000,292 | -261,292

14 | 8133 | 5244,34 | 2888,66

Side 7

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2015

7

Skærmstørrelse (i Pris (i kr.) Forventet pris ifølge modellen: Residual: tommer)

15,6 | 5713 | 5802,164 | -89,164
11,6 | 2497 | 4407,604 | -1910,6

15,6 | 7980 | 5802,164 | 2177,836

14 8889 5244,34 3644,66

11,6 | 1995 | 4407,604 | -2412,6

13,3 | 7839 | 5000,292 | 2838,708

15,6 6495 5802,164 692,836

10,1 | 2709 | 3884,644 | -1175,64

11,6 | 2795 | 4407,604 | -1612,6

15,6 | 9499 | 5802,164 | 3696,836

15,6 | 3995 | 5802,164 | -1807,16
11,6 | 3427 | 4407,604 | -980,604

17,3 | 8115 | 6394,852 | 1720,148

14 7690 5244,34 2445,66

17,3 | 4326 | 6394,852 | -2068,85

15,6 6299 5802,164 496,836

11,6 | 2499 | 4407,604 | -1908,6

15,6 | 2499 | 5802,164 | -3303,16

17,3 | 6326 | 6394,852 | -68,852

14 4795 5244,34 -449,34

17,3 | 3595 | 6394,852 | -2799,85
17,3 | 5901 | 6394,852 | -493,852
15,6 | 3615 | 5802,164 | -2187,16

Det er tilstrækkeligt at indskrive formlen i det øverste felt og derefter ”trække den ned” over de følgende felter. Herunder ses et lille udsnit af formlerne anvendt i Excel: c)

Vi definerer kendte størrelser:

Antal punkter (𝑥,𝑦) i analysen: 𝑛 ≔ 60

Side 8

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2015

8

                       2
Determinationskoefficient 𝑅 defineres som 𝑅 for at undgå forvirring af WordMat 𝑅 ≔ 0,0841

Estimat af hældningskoefficient (vi skriver 𝑎
                                   𝑒

frem for 𝑎̂, da WordMat opfatter ”hat” som vektornotation):

𝑎_{𝑒} ≔ 348,64

                                                       1−𝑅
                                                             2
Standardfejlen er givet ved (igen undlades 𝑎̂-notation): 𝑠 ≔ 𝑎 ·( )
                                              𝑎    𝑒
                                                      𝑅· ( 𝑛−2 )

1

Konfidensintervallets grænser kan da bestemmes som:

𝑎_{𝑒} ±𝑡_{𝑛−2} ·𝑠_{𝑎}

                       𝛼
𝑡   er betegnelsen for 1− fraktilen af en 𝑡-fordeling med 𝑛−2= 58 frihedsgrader. 𝛼 er
 𝑛−2
                       2

signifikansniveauet (i vores tilfælde 5%), så vi skal finde 0,975-fraktilen. Denne beregnes i GeoGebra:

Vi definerer nu:

𝑡_{58} ≔ 2,0017

Grænserne for 95%-konfidensintervallet kan nu beregnes:

Side 9

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2015

9

Øvre: 𝑎_{𝑒} +𝑡_{58} ·𝑠_{𝑎} ≈651,0445

Nedre: 𝑎_{𝑒} −𝑡_{58} ·𝑠_{𝑎} ≈ 46,23551

Et 95%-konfidensinterval er således bestemt for hældningskoefficienten 𝑎: [46,24;651,04].

d)

Der er på baggrund af et 𝑥𝑦-plot bestem en lineær regressionsmodel, som siger, at prisen på en computer med en skærmstørrelse på 10 tommer er ca. 3500, hvorefter prisen stiger med 350 kr. pr. ekstra tomme.

Denne model kan forklare omkring 8% af variationen i prisen. Ekspedienten har således ret i, at der er andre faktorer, som har indflydelse på prisen. En yderligere analyse har vist, at prisstigningen pr. ekstra tomme med 95% sikkerhed ligger mellem 46 kr. og 651 kr. Det er således ret usandsynligt, at der ingen sammenhæng skulle være, da prisstigningen pr. ekstra tomme i så fald skulle være lig med 0. Et mere korrekt udsagn ville således være, at en lille del af prisforskellene kan forklares med forskelle i skærmstørrelse, mens resten må forklares vha. andre faktorer.

Side 10

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2015

10

Opgave 10 a)

𝑋 angiver antal aktier, som er steget i værdi. 𝑝 er andelen af danske aktier, som er steget i værdi

(succesraten). 𝑛 er stikprøvestørrelsen (antal binomialforsøg). 𝑋 er da binomialfordelt som: 𝑋~𝑏(𝑛,𝑝) Det antages, at kunden har været uvidende om aktiemarkedet og derfor blot har udvalgt 15 tilfældige aktier.

Det forventede antal aktier, som er steget i værdi, kan bestemmes som:

𝐸 ( 𝑋) = 𝑛·𝑝
= 15·0,56
= 8,4

Det forventes således, at 8 af kundens aktier er steget i værdi.

b)

Det antages, at kunden har været uvidende om aktiemarkedet og derfor blot har udvalgt 15 tilfældige aktier.

Sandsynligheden for, at alle 15 aktier var steget i værdi kan udtrykkes som 𝑃(𝑋 = 15). Denne

sandsynlighed bestemmes vha. WordMat:

Binomialfordeling P(X= 15)= 0,0002
p= 0,56 P(X≤)=
n= 15 P( ≤X≤)=

Sandsynligheden aflæses til

𝑃 ( 𝑋 = 15) = 0,0002
= 0,02%

Der er således en sandsynlighed på 0,02% for, at alle aktierne er steget.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 11

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2015

11

Opgave 11 a)

Funktionerne defineres:

𝑈 ( 𝑥) ≔ 10·𝑥^{0,95}

𝐸 ( 𝑥) ≔ 12000·0,999^{𝑥}

Vi løser nu:

𝑈 ( 𝑥_{𝑈}) = 3000

⇕ Ligningen løses for x_u vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥_{𝑈} = 405,0383

𝑥_{𝑈} ≔ 405,0383

Og:

𝐸 ( 𝑥_{𝐸}) = 3000

⇕ Ligningen løses for x_e vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥_{𝐸} = ln ( 4) ·999,4999

≈ 1385,601

𝑥_{𝐸} ≔ 1385,601

Størrelsen af importen 𝑀 ved en pris på 3000 kr. kan nu beregnes:

𝑀 = 𝑥_{𝐸} −𝑥_{𝑈}

≈ 980,5627

Der importeres således cirka 981 stk.

b)

Ved en naturlig prisstigning til 4200 kr. ville udbuddet stige til 𝑥 . Vi løser nu:
                                                   𝑈1

𝑈 ( 𝑥_{𝑈1}) = 4200

⇕ Ligningen løses for x_U1 vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥_{𝑈1} = 577,185

𝑥_{𝑈1} ≔ 577,185

Ved en prisstigning til 4200 kr. vil efterspørgslen falde til 𝑥 :
                                               𝐸1

Side 12

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2015

12

𝐸 ( 𝑥_{𝐸1}) = 4200

⇕ Ligningen løses for x_E1 vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥_{𝐸1} ≈ 1049,297

𝑥_{𝐸1} ≔ 1049,297

𝑥_{𝐸1} = 𝑥_{𝐸1}

Linjen med ligning 𝑦 = 3000 kan nu defineres som en konstant funktion 𝑓 ( 𝑥) ≔ 3000

Det grå areal til venstre afgrænses af graferne for 𝑈 og 𝑓 i intervallet [𝑥 ,𝑥 ], hvor 𝑈 ≥𝑓 i hele
                                                          𝑈  𝑈1

intervallet. Arealet kan da bestemmes som:

𝐴_{1} ≔ ∫ 𝑈 ( 𝑥) −𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥

𝑥_{𝑈1}

𝑥_{𝑈}

Det grå areal til højre afgrænses af graferne for 𝐸 og 𝑓 i intervallet [𝑥 ,𝑥 ], hvor 𝐸 ≥ 𝑓 i hele intervallet.
                                                        𝐸1 𝐸

Arealet kan da bestemmes som:

𝐴_{2} ≔ ∫ 𝐸 ( 𝑥) −𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥

𝑥_{𝐸}

𝑥_{𝐸1}

Det samlede areal kan nu beregnes som:

𝐴 = 𝐴_{1} +𝐴_{2} ≈ 294079,8

Det samfundsmæssige tab ved at pålægge en told på 1200 kr. oven i prisen er således på 294.079,80 kr.

ifølge modellen.

Side 13

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2015

13

Opgave 12 a)

Vi lader 𝑥 angive antallet af solgte HORISONT og 𝑦 angive antallet af solgte VERTICAL. Forskriften for det samlede dækningsbidrag i 1000 kr. bliver da:

𝑓 ( 𝑥,𝑦) ≔ 6𝑥+9𝑦

Kriteriefunktionens kapacitetsområde er afgrænset af en række uligheder:

Fræsning:

2,5𝑥+5𝑦 ≤ 30

⇕ Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦 ≤ −0,5·𝑥+6

Drejning:

6𝑥+3𝑦 ≤ 36

⇕ Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦 ≤ −2·𝑥+12

Montage:

20𝑥+20𝑦 ≤140

⇕ Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦 ≤−𝑥+7

Der gælder selvfølgelig også, at:

𝑥 ≥ 0

𝑦 ≥ 0

Det polygonformede kapacitetsområde, som afgrænses af disse uligheder, kan nu indtegnes i GeoGebra

(hjørnepunkter er fundet vha. GeoGebras skæringsværktøj).

Side 14

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2015

14 b)

Den største værdi af 𝑓 inden for kapacitetsområdet findes i et af hjørnepunkterne. Vi undersøger nu funktionsværdien i alle hjørnepunkterne:

𝑓 ( 0;0) = 0

𝑓 ( 0;6) = 54

𝑓 ( 2;5) = 57

𝑓 ( 5;2) = 48

𝑓 ( 6;0) = 36

Vi ser, at den største værdi af 𝑓 findes i ( 𝑥,𝑦) = (2,5). Det største dækningsbidrag opnås således ved at

sælge 2 HORISONT og 5 VERTICAL.

c)

Hvis dækningsbidraget for HORISONT skal kunne ændres, skal vi opskrive en ny funktionsforskrift:

𝑓 ( 𝑥,𝑦) =𝑎𝑥 +9𝑦

Hældningen af alle niveaulinjerne for en lineær funktion i to variable, 𝑓 ( 𝑥,𝑦) = 𝑎𝑥+𝑏𝑦, er givet ved

           𝑎
udtrykket: −
           𝑏

Side 15

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2015

15

                                                   𝑎
Hældningen af alle niveaulinjerne i vores tilfælde vil da være −
                                                   9

De to kanter, som mødes i punktet (2,5) udgøres af linjerne med ligningerne:

𝑦 = −0,5𝑥+6

Og

𝑦 = −𝑥+7

Hældningen af alle niveaulinjerne skal ligge i et interval mellem de to ovenstående linjers hældninger, hvis den optimale løsning fortsat skal findes i punktet (2,5). Det vil sige:

− ≥ −1

𝑎

9

⇕ Uligheden løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑎 ≤ 9

Og

− ≤ −0,5

𝑎

9

⇕ Uligheden løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑎 ≥ 4,5

Fællesmængden af de to løsningsmængder kan nu skrives som: 𝑎 ∈ [4,5;9]

Dækningsbidraget pr. solgt HORISONT kan altså maksimalt stige til 9000 kr. dvs. en stigning på 3000 kr. pr.

solgt HORISONT. Stiger dækningsbidraget mere end dette, vil løsningen i b) ikke længere være den optimale.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 16

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2015

16

Til eksamen skal du kun udvælge én af de tre følgende opgaver, 13A, 13B og 13C. Her bringes alle løsninger, så du kan bruge dem til at øve de forskellige opgavetyper.

Opgave 13A a)

Funktionen defineres:

𝑓 ( 𝑥) ≔ 0,5𝑥^{2} +2𝑥+cos (𝑥)

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟:−10 ≤ 𝑥 ≤ 10

Nulpunkter bestemmes ved at løse:

𝑓 ( 𝑥) = 0

Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 ≈ −4,22275 ∨ 𝑥 ≈ −0,5013048

Der blev fundet løsninger vha. numeriske metoder, men der findes muligvis flere.

Vi tegner grafen i hele funktionens definitionsmængde og kontrollerer antallet af løsninger:

Vi ser nu, at alle løsninger er fundet. Vi kan desuden aflæse fortegnsvariationen af grafen (med viden om definitionsmængde og nulpunkter in mente), og konkluderer nu samlet:

𝑓 har nulpunkter for 𝑥 = −4,22 og 𝑥 = −0,50

Side 17

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2015

17

𝑓 er positiv i intervallerne [−10;−4,22[ og ]−0,50;10]

𝑓 er negativ i intervallet ]−4,22;−0,50[

b)

Vi finder førstekoordinaten for røringspunktet ml. grafen og tangenten til grafen ved at løse:

𝑓^{′} ( 𝑥) = 2

Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 ≈ 0

Der blev fundet løsninger vha. numeriske metoder, men der findes muligvis flere.

I opgaveteksten nævnes kun eksistensen af én tangent med hældningen 2, så vi går ud fra, at vi har fundet

den eneste løsning. Vi definerer nu førstekoordinaten til røringspunktet: 𝑥 ≔ 0
                                                            0

En ligning for denne tangent kan nu bestemmes som:

𝑦 = 𝑓^{′} ( 𝑥_{0}) · ( 𝑥−𝑥_{0}) +𝑓 ( 𝑥_{0})
= 2·𝑥+1
Vi kan nu konkludere, at den omtalte tangent har ligningen 𝑡:𝑦 = 2𝑥+1

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 18

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2015

18

Opgave 13B a)

En række størrelser defineres:

Månedlig rente: 𝑟 ≔ 0,0028

Startkapital: 𝐾 ≔ 5000000
            0

Umiddelbart inden første udbetaling den 1. august (efter 7 fremskrivninger) vil fondens kapital være vokset

til et beløb, 𝐾_{7}:

𝐾_{7} = 𝐾_{0} · ( 1+𝑟)^{7} ≈ 5098827

Dvs. 𝐾_{7} ≔ 5098827

Udbetalingens størrelse defineres: 𝑈 ≔ 150000

Efter første udbetaling falder kapitalbeholdningen så til 𝐾 −𝑈 = 4948827
                                              7

Denne kapital kalder vi 𝐾_{𝑈}. 𝐾_{𝑈} ≔ 𝐾_{7} −𝑈

Inden 1. januar året efter når kapitalbeholdningen så at blive fremskrevet yderligere 5 gange. Den 1. januar året efter er formuens størrelse således:

𝐾_{12} ≔ 𝐾_{𝑈} · ( 1+𝑟)^{5}

𝐾_{12} ≈ 5018500

Den 1. januar året efter er kapitalen således vokset, og hvis renten holdes fast, vil kapitalen vokse mere og mere for hvert år, der går.

b)

Vi sletter tidligere definitioner og gendefinerer alle de størrelser, som kan genbruges uanset udbetalingens størrelse:

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Månedlig rente: 𝑟 ≔ 0,0028

Startkapital: 𝐾 ≔ 5000000
            0

Kapitalen inden første udbetaling: 𝐾 ≔ 5098827
                             7

Kapitalen efter første udbetaling af størrelsen 𝑈: 𝐾 ≔ 𝐾 −𝑈
                                         𝑈    7

                                            5
Kapitalen den 1. januar året efter: 𝐾 ≔ 𝐾 · ( 1+𝑟 )
                             12    𝑈

Side 19

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2015

19

Hvis kapitalen ikke skal blive mindre med tiden, må der gælde, at 𝐾_{12} ≥ 𝐾_{0}. Ved den størst mulige

udbetaling må der således gælde, at:

𝐾_{12} = 𝐾_{0}

⇕ Ligningen løses for U vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑈 = 168242,8

Der kan altså maksimalt udbetales 168.242,80 kr. årligt den 1. august, uden at fondens formue bliver mindre med tiden.

Side 20

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2015

20

Opgave 13C a)

Funktionen defineres:

𝑓 ( 𝑥,𝑦) ≔ −0,2𝑥^{2} +60𝑥−0,4𝑦^{2} +80𝑦+8000

𝑓(𝑥,𝑦) er en kvadratisk funktion på formen:

𝑓 ( 𝑥,𝑦) = 𝑎𝑥^{2} +𝑏𝑥+𝑐𝑦 +𝑑𝑦+ℎ

2

Konstanterne defineres:

𝑎 ≔−0,2

𝑏 ≔ 60

𝑐 ≔ −0,4

𝑑 ≔80 ℎ ≔ 8000

(Den sidste konstant benævnes ℎ, da 𝑒 i WordMat er reserveret til Eulers tal).

En række nye konstanter anvendes til at afgøre formen på niveaukurverne: 𝑝 ≔ − 𝑏

2𝑎 𝑞 ≔ − 𝑑

2𝑐

𝐾 ≔ℎ−𝑎·𝑝 −𝑐·𝑞^{2}

2

Da 𝑎 og 𝑐 begge er negative, vil niveaukurverne 𝑁 ( 𝑡):𝐷𝐵 ( 𝑥,𝑦) = 𝑡 være ellipser med centrum i (𝑝,𝑞), når

blot 𝑡−𝐾 < 0

⇕ Uligheden løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑡 < 16500

Vi har nu vist, at niveaukurverne er ellipser med centrum i (𝑝,𝑞), når 𝑡 < 16500.

b)

Da 𝑎 og 𝑐 begge er negative, findes den største værdi af 𝑓(𝑥,𝑦) i ellipsernes centrum, og denne værdi har

størrelsen 𝐾 = 16500

Vi beregner koordinatsættet for funktionens maksimum:

𝑝 = 150

𝑞 = 100

Dvs. funktionens maksimum findes i ( 𝑥,𝑦) = (150,100)

Vi ser af de begrænsende uligheder, at de er oveholdt, da:

Side 21

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2015

21

20 < 150< 200

Og

50 < 100< 180

Størsteværdien af 𝑓 indenfor kapacitetsområdet er således 𝐾 = 16500