HHX Matematik A 2015 15. december - Delprøven uden hjælpemidler

Side 1

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2015

1

HHX Matematik A

15. december 2015

Delprøven uden hjælpemidler hhx153-MAT-A-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Opgave 1 a)

Grafen for en mulig funktion skitseres på bilag 1:

Side 2

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2015

2

Opgave 2 a)

Begge skæringspunkter kan bestemmes ved at løse:

𝑓 ( 𝑥) = 𝑔(𝑥)

⇕

−0,5𝑥+8 = 𝑥^{2} −2,5𝑥

⇕

𝑥^{2} −2,5𝑥+0,5𝑥−8 = 0

⇕

𝑥^{2} −2𝑥−8 = 0

Dette er en andengradsligning på den generelle form: 𝑎𝑥^{2} +𝑏𝑥+𝑐 = 0

Som har den generelle løsning:

𝑥 =

−𝑏±√𝑏^{2} −4𝑎𝑐

2𝑎

=

−(−2)± √ ( −2)^{2} −4·1·(−8)
2·1
=

2± √ 4+32

2

=

2± √ 36

2

=

2±6

2

Ligningen har således to løsninger:

𝑥_{1} =

2−6

2

= −2

Og:

𝑥_{2} =

2+6

2

= 4

Andenkoordinaterne til de to skæringspunkter bestemmes:

Side 3

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2015

3

𝑓 ( −2) = −0,5· ( −2) +8
= 1+8
= 9

Og:

𝑓 ( 4) = −0,5·4+8
= −2+8
= 6

Koordinatsættene til de to skæringspunkter 𝑆 og 𝑆 er således:
                                     1   2

𝑆_{1} (−2,9)

𝑆_{2} (4,6)

Opgave 3 a)

Integralet bestemmes:

∫ ( 12𝑥^{3} +6𝑥^{2} −4𝑥) 𝑑𝑥 = [ 12· 𝑥^{4} +6· 𝑥^{3} −4· 𝑥^{2}] (𝐼)

1

0

1 1 1

4 3 2

0

1

= [ 3𝑥^{4} +2𝑥^{3} −2𝑥^{2}]_{0}^{1}
= 3·1^{4} +2·1^{3} −2·1^{2}
= 3

(𝐼):

Bestemt integral

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = [ 𝐹 ( 𝑥)]_{𝑎}^{𝑏} = 𝐹 ( 𝑏) −𝐹(𝑎)

𝑏 𝑎

Sætte konstant udenfor ∫_{𝑎}^{𝑏} 𝑘·𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑘· ∫_{𝑎}^{𝑏} 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

Sum/differens kan splittes i to integraler ∫_{𝑎}^{𝑏} 𝑓 ( 𝑥) ±𝑔 ( 𝑥) 𝑑𝑥 = ∫_{𝑎}^{𝑏} 𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥± ∫_{𝑎}^{𝑏} 𝑔 ( 𝑥) 𝑑𝑥

Funktion Stamfunktion

𝑥^{𝑎} 𝑥^{𝑎+1}

1

𝑎+1

Side 4

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2015

4

Opgave 4 a)

Funktionen differentieres:

𝑓^{′} ( 𝑥) = 2·2𝑥+2
= 4𝑥+2

Vi indsætter nu 𝑦= 𝑓(𝑥) og 𝑦^{′} = 𝑓′(𝑥) i differentialligningen:

4· ( 2𝑥^{2} +2𝑥) −2𝑥 =2𝑥·(4𝑥+2+1)

⇕

8𝑥^{2} +8𝑥−2𝑥 =8𝑥 +4𝑥+2𝑥

2

⇕

8𝑥^{2} +6𝑥 = 8𝑥^{2} +6𝑥

Da der står det samme på begge sider af lighedstegnet, er 𝑓 en løsning til differentialligningen.

(𝐼):

Regneregler

( 𝑘·𝑓 ( 𝑥))^{′} = 𝑘·𝑓^{′} ( 𝑥)

( 𝑓 ( 𝑥) ±𝑔 ( 𝑥))^{′} = 𝑓^{′} ( 𝑥) ±𝑔^{′} ( 𝑥)

Funktion Afledt funktion

𝑥^{𝑎} 𝑎·𝑥

𝑎−1

𝑥 1

Opgave 5 a)

Prisfunktionen er på formen 𝑃 ( 𝑥) = 𝑎𝑥+𝑏

Vi kan så bestemme hældningskoefficienten 𝑎 som:

𝑎 =

( 𝑦_{2} −𝑦_{1})
𝑥_{2} −𝑥_{1}

Side 5

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2015

5

=

40−70
600−300
= −

30

300

= −

1

10

                  1
Vi anvende nu 𝑎 = − samt 𝑃 ( 300 ) = 70 i forskriften for 𝑃(𝑥):
                  10

70 = − ·300+𝑏

1

10

⇕

𝑏 =70+ ·300

1

10

= 70+30
= 100

Forskriften for prisfunktionen er så:

𝑃 ( 𝑥) = − ·𝑥+100

1

10

Grænseomkostningen bliver:

𝐺 ( 𝑥) = 2·(−)·𝑥+100

1

10

0 = − ·𝑥+100

1

5

Vi løser nu:

𝐺 ( 𝑥) = 0

⇕

− ·𝑥+100 = 0

1

5

⇕

− 𝑥 =−100

1

5

⇕

𝑥 =−100·(−5)
= 500

Den afsætning, som giver maksimal omsætning er 𝑥_{0} = 500.