Et eksempel fra HHX 3. år
HHX Matematik A 2015 17. august - Delprøven uden hjælpemidler
Brug materialet til at undersøge opbygning, metode og faglige valg.
Lær af eksemplet på 15 minutter
Læs med de tre spørgsmål herunder, og skriv et kort svar på hvert, gerne med et sidetal. Så har du noget konkret at tage med over i din egen opgave.
- 4 min
Vælg én opgave i sættet. Står der med ord, hvad der regnes ud, og hvorfor metoden passer?
- 4 min
Find et sted, hvor besvarelsen bruger en formel eller et hjælpemiddel. Kan du se, hvad hvert tal står for?
- 4 min
Tjek svaret på samme opgave. Har det enhed, hvor der skal være en, og står konklusionen som en hel sætning?
- 3 min
Din egen opgave: Tag den opgave i dit eget sæt, du er usikker på. Kan du skrive i én sætning, hvad du skal finde, før du regner?
Skal du selv til eksamen i faget? Prøveformen og hjælpemidlerne står her: Eksamen i matematik A, B og C
Om opgaven
Ophavet er ikke dokumenteret for denne post. Katalogoplysninger: HHX 3. år, Matematik A, 4 sider. Brug materialet til at se, hvordan teksten er bygget op, og hvilke faglige valg der er truffet.
Læs, hvilke metoder matematik giver dig, og hvad du kan skrive en stor opgave om: Matematik i gymnasiet.
Hele opgavens tekst
Se originaldokumentetLæs teksten direkte her på siden. Figurer og den præcise opsætning af tabeller og formler finder du i originaldokumentet.
Gå til en side
Side 1
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2015
1
HHX Matematik A
17. august 2015
Delprøven uden hjælpemidler
hhx152-MAT/A-
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Opgave 1 a)
Grafen for en mulig funktion tegnes (bemærk, at prikken er hul ved højre intervalendepunkt, selvom det ikke er tydeligt).
Side 2
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2015
2
Opgave 2 a)
Da 𝑔 ≥ 𝑓 i hele intervallet [0,1], kan arealet mellem graferne for 𝑓 og 𝑔 i samme interval bestemmes som:
∫ 𝑔 ( 𝑥) − 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ −3𝑥^{2} + 6𝑥 − 3𝑥 𝑑𝑥1 1
0 0
= ∫ −3𝑥^{2} + 3𝑥 𝑑𝑥1
0
= 3 · ∫ −𝑥^{2} + 𝑥 𝑑𝑥 (𝐼)1
0
= 3 · [ − 𝑥^{3} + 𝑥^{2}] (𝐼𝐼)1 1
3 2
0
1
= 3 · (− · 1^{3} + · 1^{2} − 0)1 1
3 2
= − +
3 3
3 2
=
1
2
(𝐼):
∫ 𝑘 · 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑘 · ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏 𝑏 𝑎 𝑎
(𝐼𝐼):
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = [ 𝐹 ( 𝑥)]_{𝑎}^{𝑏} = 𝐹 ( 𝑏) − 𝐹(𝑎)𝑏 𝑎
∫ 𝑓 ( 𝑥) ± 𝑔 ( 𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥± ∫ 𝑔 ( 𝑥) 𝑑𝑥
𝑏 𝑏 𝑏 𝑎 𝑎 𝑎
Funktion Stamfunktion
𝑥^{𝑎} 𝑥^{𝑎+1}1
𝑎+1
Opgave 3 a)
Funktionen er på den generelle form for eksponentialfunktioner: 𝑓 ( 𝑥) = 𝑏 · 𝑎^{𝑥}.Side 3
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2015
3
Da 𝑎 > 1 er der tale om en voksende eksponentialfunktion (dvs. voksende i hele ℝ).
Vi ser, at den eneste graf, som er voksende i det viste interval, er 𝐴. Det vil sige, at 𝐴 er grafen for 𝑓.
Opgave 4 a)
Funktionen differentieres:
𝑓^{′} ( 𝑥) = −4 · 2𝑥 + 2 (𝐼)
= −8𝑥 + 2Vi indsætter 𝑓(𝑥) og 𝑓′(𝑥) på pladserne for hhv. 𝑦 og 𝑦′ i differentialligningen:
𝑥· ( −8𝑥+ 2) = 2 ·(−4𝑥^{2} + 2𝑥− 𝑥)⇕
−8𝑥^{2} + 2𝑥 = −8𝑥^{2} + 4𝑥− 2𝑥⇕
−8𝑥^{2} + 2𝑥 = −8𝑥^{2} + 2𝑥Da der står det samme på begge sider af lighedstegnet, kan vi konkludere, at 𝑓(𝑥) er en løsning til den opgivne differentialligning.
(𝐼):
( 𝑘· 𝑓 ( 𝑥))^{′} = 𝑘 · 𝑓^{′} ( 𝑥)( 𝑓 ( 𝑥) ± 𝑔 ( 𝑥))^{′} = 𝑓^{′} ( 𝑥) ± 𝑔^{′} ( 𝑥)Funktion Afledt funktion
𝑥^{𝑎} 𝑎· 𝑥𝑎−1
𝑘 0 𝑥 1
Side 4
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2015
4
Opgave 5 a)
Ligevægtsmængden findes ved at løse:
𝑑 ( 𝑥) = 𝑠(𝑥)
⇕
0,002𝑥^{3} − 0,35𝑥^{2} − 2𝑥+ 10 = 0,002𝑥^{3} + 0,65𝑥^{2} + 2⇕
0,002𝑥^{3} − 0,35𝑥^{2} − 2𝑥+ 10 − 0,002𝑥^{3} − 0,65𝑥^{2} − 2 = 0⇕
−𝑥^{2} − 2𝑥 + 8 = 0Ovenstående er en andengradsligning på formen 𝑎𝑥^{2} + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0Med løsningen:
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏^{2} − 4𝑎𝑐2𝑎
=
−(−2) ± √ ( −2)^{2} − 4 · ( −1) · 8
2 · (−1)=
2 ± √ 4 + 32 −2 =
2 ± √ 36 −2 =
2 ± 6 −2
Der er således to løsninger:
𝑥_{1} =2 + 6 −2 = −4
Og
𝑥_{2} =2 − 6 −2 = 2
Da definitionsmængden for begge funktioner er givet ved intervallet [0,3] kan vi forkaste 𝑥 som løsning.
1Vi kan nu konkludere, at ligevægtsmængden for vare A er 2 tons.
Se opgaven i originaldokumentet eller gå til tekstens begyndelse.
Materialet
Fuld skærmOpgaven åbner, når du ruller ned til den.