HHX Matematik A 2016 17. august - Vejledende besvarelse

Side 1

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2016

1

HHX Matematik A

17. august 2016

hhx162-MAT/A-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver fra delprøven med hjælpemidler er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Delprøven uden hjælpemidler .......................................................................................................................... 2 Delprøven med hjælpemidler ........................................................................................................................... 7

Side 2

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2016

2

Delprøven uden hjælpemidler

Opgave 1

Først bestemmes den kumulerede frekvens:

Antal fejlbehæftede varer | Frekvens | Kumuleret frekvens
0 | 0,16 | 0,16
1 | 0,22 | 0,38
2 | 0,24 | 0,62
3 | 0,16 | 0,78
4 | 0,10 | 0,88
5 | 0,08 | 0,96
6 | 0,04 | 1,00

Herefter tegnes en sumkurve:

Medianen aflæses til ca. 1,5. Dvs. at der i 50% af stikprøverne er 1,5 eller mindre antal fejlbehæftede varer.

90% fraktilen aflæses til ca. 4,2. Dvs. at der i 90% af stikprøverne er 4,2 eller mindre antal fejlbehæftede varer.

Opgave 2

𝑓 ( 𝑥) = −𝑥^{3} + 3𝑥^{2} + 1

Den anden afledede bestemmes:

𝑓^{′} ( 𝑥) = −3𝑥^{2} + 6𝑥 (𝐼)

Side 3

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2016

3

𝑓^{′′} = −6𝑥+ 6 (𝐼𝐼)

Ved vendetangentens røringspunkt vil 𝑓ʼʼ(𝑥) = 0. Vi finder nulpunkter for 𝑓ʼʼ:

0 = −6𝑥+ 6

⇕

𝑥 = 1

Der er kun et nulpunkt. Vendetangenten tangerer således grafen for f i punktet med førstekoordinat x = 1.

Tangentens hældning bestemmes som:

𝑓^{′} ( 1) = −3 · 1^{2} + 6 · 1
= −3 + 6
= 3

Tangenten indtegnes nu på Bilag 2:

(I) 𝑓 ( 𝑥) 𝑓′(𝑥)

𝑥^{𝑎} 𝑎𝑥

𝑎−1

𝑘 0

(II) 𝑓 ( 𝑥) 𝑓′(𝑥)

𝑘· 𝑥 𝑘

Side 4

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2016

4

Opgave 3

𝑅 ( 𝑥) = −𝑥^{2} + 10𝑥

0 ≤ 𝑥 ≤ 10

Afsætningerne bestemmes ved:

𝑅 ( 𝑥) = 16

⇕

−𝑥^{2} + 10𝑥 = 16

⇕

−𝑥^{2} + 10𝑥 − 16 = 0

Diskriminanten bestemmes:

𝑑 =𝑏^{2} − 4𝑎𝑐
= 10^{2} − 4 · ( −1) · ( −16)
= 100 − 64
= 36

Ligningen løses ved:

𝑥 =

−𝑏± √ 𝑑

2𝑎

⇓

𝑥_{1} =

−10 + √ 36
2 · ( −1)
= = 2

−4
−2

𝑥_{2} =

−10 − √ 36
2 · ( −1)
=

−16
−2
= 8

En afsætning på 2 kg og 8 kg giver en omsætning på 16 tusinde.

Opgave 4

𝑓 ( 𝑥) = 6𝑥^{2} − 2 + 𝑒^{𝑥}

( 0,2)

Side 5

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2016

5

Først bestemmes stamfunktionen til f(x):

𝐹 ( 𝑥) = ∫𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥

= ∫6𝑥^{2} − 2 + 𝑒^{𝑥} 𝑑𝑥 ( 𝐼)

= 𝑥^{3} − 2𝑥+ 𝑒^{𝑥} + 𝑘

6

3

= 2𝑥^{3} − 2𝑥 +𝑒^{𝑥} + 𝑘

Konstanten k bestemmes:

𝐹 ( 0) = 2

⇕

2 = 2 · 0^{3} − 2 · 0 + 𝑒^{0} + 𝑘

⇕

2 = 1 + 𝑘

⇕

𝑘 = 1

Stamfunktionen F, der går gennem punktet (0,2), er 𝐹 ( 𝑥) = 2𝑥^{3} − 2𝑥+ 𝑒^{𝑥} + 1.

(I) 𝑓 ( 𝑥) 𝐹(𝑥)

𝑘𝑥^{𝑎} 𝑥^{𝑎+1}

𝑘

𝑎+1

𝑘 𝑘𝑥

𝑒^{𝑥} 𝑒

𝑥

Opgave 5

𝑑 ( 𝑥) = −0,75𝑥+ 6750,0 ≤𝑥 ≤6000

𝑠 ( 𝑥) = 0,75𝑥 + 750,0≤𝑥 ≤ 6000

Side 6

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2016

6

Ligevægtsmængden bestemmes ved:

𝑑 ( 𝑥) = 𝑠(𝑥)

⇕

−0,75𝑥+ 6750= 0,75𝑥+ 750

⇕

6750= 1,5𝑥+ 750

⇕

6000= 1,5𝑥

⇕

𝑥 = 4000

Ligevægtsprisen bestemmes ved:

𝑠 ( 4000) = 0,75 · 4000 + 750
= 3750

For vare A er ligevægtsmængden bestemt til x = 4000 og ligevægtsprisen 3750.

Side 7

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2016

7

Delprøven med hjælpemidler

Opgave 6 a)

1. Det bestemte integral for f(x) er opstillet i intervallet [0; 4]

2. Integralet opfylder følgende sætning for substitution ved integration:

∫ 𝑓 ( 𝑔 ( 𝑥)) · 𝑔^{′} ( 𝑥) = [𝐹 ( 𝑔 ( 𝑥)]_{𝑎}^{𝑏} = ∫ 𝑓 ( 𝑡) 𝑑𝑡

𝑏 𝑔(𝑏) 𝑎 𝑔(𝑎)

Vi benytter substitutionen:

𝑡 =𝑔 ( 𝑥) = 𝑥^{2} + 9

Vi omskriver integralet jf. sætningen i 1. til.:

𝑀 = ∫ 𝑡 𝑑𝑡
√

25

9

                                                                           1
                                                                  𝑛            𝑛+1
3. Integralet omskrives jf. sætningen i 2. og følgende regel for integration 𝑓 ( 𝑥 ) : 𝑥 … 𝐹 ( 𝑥 ) : 𝑥 til:
                                                                          𝑛+1

[ · 𝑡]

2

3

3

2

9

25

4. Det bestemte integral udregnes, og arealet af det grå område M bestemmes til 65,333.

b)

Funktionen og definitionsmængden for a defineres:

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑎 > 0

𝑓 ( 𝑥) ≔ 2𝑥 · 𝑥 + 9

√^{2}

Det er oplyst at området Q er lig 100, og afgrænses af x - aksen og ligningen x = a, hvor a > 0.

Den første grænse for integralet beregnes ved:

𝑓 ( 𝑥) = 0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 0

Det bestemte integral, der udgør området Q, opskrives, og a beregnes:

Side 8

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2016

8

100= ∫ 𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥

𝑎

0

⇕ Ligningen løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑎 = 4,746003

Den positive værdi af a er bestemt til a = 4,75 (afrundet til 2 decimaler).

Side 9

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2016

9

Opgave 7 a) xy-plottet foretages i Excel med data fra filen omkostninger. Sammenhængen kan tilnærmelsesvis beskrives via en lineær funktion:

𝐶 ( 𝑥) =𝑎· 𝑥 + 𝑏

Parametrene a og b estimeres derfor ved lineærregression:

Modellens parametre aflæses fra regressionsligningen:

Modellens parametre er estimeret til a = 14,44 (afrundet til 2 decimaler) og b = 87645.

b)

Funktionerne og definitionsmængden defineres:

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 0 ≤ 𝑥 ≤ 9500

𝐶 ( 𝑥) ≔ 14,436 · 𝑥 + 87645

𝑅 ( 𝑥) ≔ −0,01𝑥^{2} + 95𝑥

Værdierne, hvor omkostning og omsætning er lige store, bestemmes ved:

𝐶 ( 𝑥) = 𝑅 ( 𝑥)

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 1296,553 ∨ 𝑥 = 6759,847

y = 14,436x + 87645
R² = 0,9969

0

50000

100000

150000

200000

250000

0 10000

Omkostninger / kr.

Mængde / kg

Omkostninger

Side 10

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2016

10

Omkostningerne og omsætningen er lige store ved en afsætning på 1296,6 kg og 6759,8 kg. (afrundet til 1 decimal).

c)

Overskuddet kan bestemmes som:

𝑜𝑣𝑒𝑟𝑠𝑘𝑢𝑑 = 𝑜𝑚𝑠æ𝑡𝑛𝑖𝑛𝑔 − 𝑜𝑚𝑘𝑜𝑠𝑡𝑛𝑖𝑛𝑔𝑒𝑟

Forskriften for overskuddet bestemmes ved:

𝑂 ( 𝑥) = 𝑅 ( 𝑥) − 𝐶 ( 𝑥)

Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion,

𝑂 ( 𝑥) = 95 · 𝑥− 0,01 · 𝑥^{2} − 87659,46

Forskriften defineres:

𝑂 ( 𝑥) ≔ 95 · 𝑥 −0,01 · 𝑥^{2} − 87659,46

Overskuddet optimeres:

Først bestemmes evt. ekstrema:

𝑂^{′} ( 𝑥) = 0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 4750

Der foretages en funktionsundersøgelse. Differentialkvotienten tjekkes på begge sider af ekstrema:

𝑂^{′} ( 4000) = 15

𝑂^{′} ( 5000) = −5

Det kan konkluderes på baggrund af funktionsundersøgelsen, at x = 4750 er et maksimum.

Det størst mulige overskud fås ved en afsætning på 4750 kg.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 11

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2016

11

Opgave 8 a)

Kendte størrelser defineres:

Lån: 𝐴_{0} ≔ 269995

Antal ydelser: 𝑛≔120

Månedlig rente: 𝑟 ≔ 0,004

Ydelsen, der skal betales ved lånes bestemmes ved:

𝐴_{0} = 𝑦 ·

1 − ( 1 + 𝑟)^{−𝑛}

𝑟

⇕ Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

y=2837,394

Ydelsen, der skal betales ved lånet, er bestemt til 2837,4 kr. (afrundet til 1 decimal).

b)

Restgælden efter 3 år bestemmes ved:

3 år. svarer til i alt 36 terminer dvs.

𝑡 ≔36

Vi definerer desuden den månedlige ydelse: 𝑦 ≔ 2837,394

Restgælden efter 3 år. bestemmes ved:

𝑅_{𝑡} = 𝐴_{0} · ( 1 + 𝑟)^{𝑡} − 𝑦 ·

( 1 + 𝑟)^{𝑡} − 1

𝑟

≈202091,8

Efter 3. år er restgælden 202092 kr. (afrundet).

c)

Først bestemmes de samlede omkostninger ved brug af bilforhandlerens lån ved salg af bilen efter 3 år.

Lånets samlede pris er givet ved:

𝑠𝑎𝑚𝑙𝑒𝑡 𝑏𝑒𝑡𝑎𝑙𝑖𝑛𝑔 = 𝑦𝑑𝑒𝑙𝑠𝑒· 𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑦𝑑𝑒𝑙𝑠𝑒𝑟

Side 12

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2016

12

= 𝑦 · 𝑛

≈ 340487,3

Den samlede pris for lånet hos bilforhandleren er beregnet til 340487 kr. (afrundet).

Efter 3 år er bilens værdi faldet til 160000 kr. dvs. de samlede omkostninger vil i alt være:

340487,3 − 160000 = 180487,3

De samlede omkostninger vil i alt være 180487 kr. (afrundet).

Leasingaftalens samlede omkostninger beregnes ved:

𝑠𝑎𝑚𝑙𝑒𝑡 𝑏𝑒𝑡𝑎𝑙𝑖𝑛𝑔 = 𝑦𝑑𝑒𝑙𝑠𝑒· 𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙𝑦𝑑𝑒𝑙𝑠𝑒 + 𝑜𝑝𝑟𝑒𝑡𝑡𝑒𝑙𝑠𝑒𝑠𝑔𝑒𝑏𝑦𝑟
= 4275 · 36 + 5000
= 158900

Den samlede pris på leasingaftalen er beregnet til 158900 kr.

Anbefaling til Anton:

Hos bilforhandleren har du mulighed for permanent at erhverve bilen med en nyværdi på 269995 kr. ved et

10-årigt lån med de samlede omkostninger af 340487,3 kr. Du skal dog være opmærksom på, at allerede efter tre år er bilens værdi faldet til 160000 kr. Hvis du har planer om at sælge bilen efter 3 år, er det fra et økonomisk perspektiv en dårlig forretning, da du over en 10. årig periode i alt vil have tabt ca. 180000 kr.

Hvis du kun har behov for bilen i en 3. årig periode, vil du med leasingaftalen have en samlet udgift på

158900 kr. Den månedlige ydelse vil dog være større end ved købet af bilen, men i det langsigtede perspektiv vil det være mere økonomisk hensigtsmæssigt at lease bilen, hvis du altså kun har behov for en bil i en 3. årig periode. Den økonomiske besparelse ved Leasing af bilen i en 3. årig periode sammenlignet med købet af bilen og derefter salg vil være ca. 21100 kr.

Side 13

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2016

13

Opgave 9 a)

Den uafhængige variabel t skiftes ud med x, da WordMat ellers ikke kan løse differentialligningen.

Først defineres intervallet for t dvs. x:

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 0 ≤ 𝑥 ≤ 25

Forskriften for p(t) bestemmes ved at lade WordMat løse differentialligningen med starts betingelsen p(10)

= 490.

𝑝^{′} ( 𝑥) = 50 − 0,20 · 𝑝(𝑥)
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen p(10)=490

𝑝 ( 𝑥) = 240 · 𝑒^{−0,2·𝑥+2} + 250

Forskriften er bestemt til:

𝑝 ( 𝑡) = 240 · 𝑒^{−0,2·𝑡+2} + 250

b)

Forskriften P(t) defineres:

𝑝 ( 𝑡) ≔ 240 · 𝑒^{−0,2·𝑡+2} + 250

Antal måneder bestemmes ved at løse ligningen p(t) = 258:

𝑝 ( 𝑡) = 258

⇕ Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑡 =27,00599

Ifølge modellen vil der gå ca. 27 måneder, efter at varen er sat til salg, før at prisen på varen er 258 kr.

(afrundet til helt antal måneder).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 14

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2016

14

Opgave 10 a)

Skemaet konstrueres i Excel vha. pivottabel med data fra filen madpakker. Resultatet kopieres ind i dokumentet:

Hvor ofte har du madpakke med på

arbejde/i skole? 18-29 år 30-39 år 40-49 år 50-59 år 60+ år Hovedtotal

Ca. 1 gang om ugen 15 8 11 10 6 50

Ca. 2-3 gange om ugen 37 14 16 23 7 97

Ca. 4-5 gange om ugen 65 18 65 90 38 276

Et par gange om måneden eller sjældnere 15 9 16 21 10 71

Jeg har aldrig madpakke med på

arbejde/i skole 36 34 63 86 48 267

Hovedtotal 168 83 171 230 109 761 b)

Først opstilles nulhypotesen:

𝐻_{0}: Der er ingen sammenhæng mellem danskernes svar og deres aldersgruppe.

Nulhypotesen testes på et 5% signifikansniveau med X^{2} -uafhængighedstest. Testen foretages i WordMats
skabelon for X^{2} -uafhængighedstest:

χ²-test

Observationer I alt

15 | 8 | 11 | 10 | 6

50

37 14 16 23 7 97

65 18 65 90 38 276

15 | 9 | 16 | 21 | 10

71

36 | 34 | 63 | 86 | 48

267

I alt 168 83 171 230 109 761

P-værdi: 0,04% Der er en sammenhæng

Signifikans niveau: 5%

Da 𝑝 = 0,04% < 5%, kan nulhypotesen på et 5% signifikansniveau forkastes. Vi kan således konkludere på

baggrund af testen, at der er sammenhæng mellem danskernes svar og deres aldersgruppe.

Side 15

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2016

15 c)

Andelen af der har madpakke med ca. 4-5 gange om ugen bestemmes ved division af hovedtotalen og andelen af, der har madpakke med ca. 4-5 gange om ugen. Værdierne er aflæst fra Pivot-tabellen.

276

761

≈ 0,3626807 · 100%= 36,26807%

Konfidensintervallet bestemmes i GeoGebras sandsynlighedsregner vha. af ”Z estimat på Proportion”, på et

95%-konfidensinterval. Resultatet af testen kopieres ind i besvarelsen.

Vi betragter succes som en person, der har madpakke med 4-5 gange om ugen dvs. 𝑋 = 276. Stikprøvens
størrelse er 𝑛 = 761.

95%-konfidensintervallet for andelen, der har madpakke med ca. 4-5 gange om ugen, aflæses til:

[ 0,326;0,397]

Side 16

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2016

16

Opgave 11 a)

Vi opskriver og definerer funktionen:

𝐷𝐵 ( 𝑥,𝑦) ≔ 80𝑥+ 100𝑦

Vi opskriver betingelser:

Skæreanlæg:

10 · 𝑥+ 15 · 𝑦 ≤ 120000

⇕ Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦 ≤−0,3333333 · ( 2 · 𝑥− 24000)

Lakeringsanlæg:

25 · 𝑥+ 15 · 𝑦 ≤ 180000

⇕ Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦 ≤−0,3333333 · ( 5 · 𝑥− 36000)

Træ:

1,2 · 𝑥+ 1 · 𝑦 ≤9000

⇕ Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦 ≤ −1,2 · 𝑥+ 9000

Desuden må der selvfølgelig gælde:

𝑥 ≥ 0

𝑦 ≥ 0

Kapacitetsområdet indtegnet nu i GeoGebra, og hjørnepunkternes koordinatsæt bestemmes vha.

GeoGebras skæringsværktøj:

Side 17

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2016

17

Det maksimale dækningsbidrag skal findes i et af det polygonformede kapacitetsområdes hjørnepunkter. Vi undersøger de mulige værdier:

𝐷𝐵 ( 0;8000) = 800000

𝐷𝐵 ( 1875;6750) = 825000

𝐷𝐵 ( 6428,57;1285,71) =642856,6

𝐷𝐵 ( 7200;0) = 576000

𝐷𝐵 ( 0;0) = 0

Det størst mulige dækningsbidrag opnås ved end produktion af 1875 stk. WKS og 6750 stk. BKS.

b)

Intervallet bestemmes ved en følsomhedsanalyse:

Maksimum for dækningsbidraget blev fundet i punktet (x; y) = (1875; 6750). Hjørnepunktet er bestemt som

skæringen mellem linjerne:

𝑦 = −0,3333333 · ( 2 · 𝑥− 24000)

Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion,

𝑦 = 7999,9992 − 0,6666666 · 𝑥

og

𝑦 = −1,2 · 𝑥+ 9000

Side 18

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2016

18

Linjerne har hver især hældningskoefficienterne -1,2 og - 0,6666666. Hvis maksimum skal forblive i samme punkt, skal niveaulinjernes hældningskoefficient ligge mellem -1,2 og -0,6666666.

Hældningskoefficienten er ens for alle niveaulinjer og bestemmes ud fra kriteriefunktionens ligning som:

− 𝑎 𝑏

Vi har b = 100, mens a nu er en variabel. Det vil sige.

−1,2≤ − ≤ −0,6666

𝑎

100

Ulighederne løses hver for sig:

−1,2 ≤ −

𝑎

100

⇕ Uligheden løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑎 ≤ 120

og

− ≤ −0,6666

𝑎

100

⇕ Uligheden løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑎 ≥ 66,66

Dvs. at dækningsbidraget på WKS kan variere i intervallet [66,66; 120], uden at det ændrer

maksimumspunktets placering i polygonområdet så længe BKS = 100.

c)

Vi udregner det maksimale samlede dækningsbidrag ved et køb af 1000 m ekstra træ:

Vi opstiller begrænsningerne:

For skæreanlæg og lakering er forbliver begrænsningen identisk med opgave a).

Begrænsningen for træ er nu:

1,2 · 𝑥+ 1 · 𝑦 ≤ 10000

⇕ Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦 ≤−1,2 · 𝑥 + 10000

Desuden må der selvfølgelig stadig gælde:

Side 19

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2016

19

𝑥 ≥ 0

𝑦 ≥ 0

Kapacitetsområdet indtegnes nu i GeoGebra, og hjørnepunkternes koordinatsæt bestemmes vha.

GeoGebras skæringsværktøj. Resultatet kopieres ind i besvarelsen:

Det maksimale dækningsbidrag skal findes i et af det polygonformede kapacitetsområdes hjørnepunkter. Vi undersøger de mulige værdier:

𝐷𝐵 ( 0;0) = 0

𝐷𝐵 ( 0;8000) = 800000

𝐷𝐵 ( 3750;5500) = 850000

𝐷𝐵 ( 4285,71;4857,14) =828570,8

𝐷𝐵 ( 7200;0) = 576000

Det maksimale DB ved 9000 m træ er aflæst i a) til 825000 og det maksimale DB ved 10000 m træ er aflæst til 850000, differensen mellem disse beregnes ved:

Δ𝐷𝐵 = 850000 − 825000= 25000

Virksomheden må altså maksimalt betale 25000 kr. for de 1000 m træ, for at det kan betale sig for virksomheden.

Side 20

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2016

20

Til eksamen skal du kun udvælge én af de tre følgende opgaver, 12A, 12B og 12C. Her bringes alle løsninger, så du kan bruge dem til at øve de forskellige opgavetyper.

Opgave 12A a)

Gennemsnit og standardafvigelse beregnes i Excel vha. data fra filen TANF. Resultatet kopieres ind i besvarelsen.

Difference:

Gennemsnit: 524,34

Standardafv: 9758,147

Gennemsnittet for differensen mellem antallet af familier, der modtager penge gennem TANF i 2009 og

2012 er bestemt til 524 (afrundet til helt antal familie).

Standardafvigelsen for antallet af familier, der modtager penge gennem TANF i 2009 og 2012 er bestemt til

9758 (afrundet til helt antal familier).

b)

Det antages at differensen er normalfordelt 𝑁 ( 𝜇,𝜎):

Vi har således:

Den samlede størrelse af differensen N er bestemt i Excel.

𝑁 = 26217

𝜎 =9758,147

𝜇 = 524,34

Vi antager at spredningen 𝜎 er sand. Vi bestemmer derefter 95%-konfidensintervallet for middelværdien 𝜇 vha. ”Z estimat af middel” i GeoGebras sandsynlighedsberegner. Resultatet kopieres ind i besvarelsen.

Side 21

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2016

21

95%-konfidensintervallet for middelværdien for differensen aflæses til:

[406,2;642,5]

Vi kan på baggrund af 95%-konfidensintervallet konkludere, at der en 95% chance for at middelværdien befinder sig indenfor intervallet [406,2; 642,5]. Dvs. der ifølge estimatet er en 95% sandsynlighed for at antallet af familier i USA på tværs af staterne, der modtager hjælp fra ”TANF”, er steget i årene fra 2009 til 2012.

Side 22

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2016

22

Opgave 12B a)

Funktionen defineres:

𝑓 ( 𝑥) ≔ · 𝑥^{3} + 5𝑥^{2} + 3𝑥− 20

1

3

Ekstrema for f bestemmes ved:

𝑓^{′} ( 𝑥) = 0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = −9,690416 ∨ 𝑥 = −0,3095842

f har ekstrema i x = -9,69 og x = -0,310.

b)

Først bestemmes førstekoordinaten til røringspunktet for tangenten til grafen f, der har en hældning på -

22:

𝑓^{′} ( 𝑥) = −22

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = −5

Førstekoordinaten defineres:

𝑥_{0} ≔ −5

Herefter bestemmes tangentens ligning ved:

𝑦 =𝑓^{′} ( 𝑥_{0}) · ( 𝑥− 𝑥_{0}) + 𝑓 ( 𝑥_{0})

Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion,

𝑦 = −22 · 𝑥− 61,66667

Tangentens ligning med hældning på -22 er bestemt til ovenstående udtryk.

Side 23

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2016

23

Opgave 12C a)

Vi er oplyst med følgende kvadratiske funktion:

𝑅 ( 𝑥,𝑦) = −0,02𝑥^{2} + 3𝑥 −0,005𝑦^{2} + 1,5𝑦

Dvs. sige en kvadratisk funktion på formen:

𝑓 ( 𝑥,𝑦) = 𝑎𝑥^{2} + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑦^{2} + 𝑑𝑦 + 𝑒

Dvs. formen på niveaukurverne er ellipser.

Vi ønsker at bestemme det punkt (x, y) indenfor kapacitetsområdet, som giver den største funktionsværdi.

Konstanterne defineres:

𝑎 ≔−0,02

𝑏 ≔3

𝑐 ≔−0,005

𝑑 ≔ 1,5 ℎ ≔ 0

(den sidste konstant benævnes h, da e i WordMat er reserveret til Eulers tal).

Da a og c begge er negative, findes den største værdi af R(x, y) i (x, y) = (p, q), som samtidig er elipsiernes

centrum.

En række nye konstanter anvendes til at afgøre centrum for ellipsen: 𝑝 ≔ − 𝑏

2𝑎 𝑞 ≔ − 𝑑

2𝑐

Vi udregner koordinatsættet for funktionens maksimum:

𝑝 = 75

𝑞 =150

Kapacitetsområdet indtegnes i GeoGebra sammen med ellipsens centrum:

Side 24

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2016

24

Da centrum for ellipsen ligger indenfor kapacitetsområdet, findes den største værdi af R(x, y) i centrum med koordinatsættet (75; 150).

Dvs. for at virksomheden kan få størst mulig omsætning pr. uge, skal virksomheden sælge 75 vare på det indenlandske marked og 150 vare på det udenlandske marked.

b)

Vi definerer forskrifterne for prisen på varen på eksport- og indenlandske marked:

𝑝 ( 𝑥) ≔ −0,02𝑥+ 3

𝑞 ( 𝑦) ≔ −0,005𝑦 + 1,5

Vi ved at den størst mulige omsætning opnås ved (x; y) = (75; 37,5). Vi beregner prisen:

For det indenlandske marked:

𝑝 ( 75) = 1,5

For det udenlandske marked:

𝑞 ( 150) = 0,75

Ved den størst mulige omsætning sælges varen på det indenlandske marked til en pris på 1,5 (i 1000 kr.), og varen på det udenlandske marked sælges til en pris på 0,75 (i 1000 kr.)