HHX Matematik A 2016 25. maj - Delprøven med hjælpemidler

Side 1

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 25. Maj 2016

1

HHX Matematik A

25. maj 2016

Delprøven med hjælpemidler

hhx161-MAT/A-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HHX 3. år

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 6 a)

Forklaringer til linjerne gives herunder:

1) For at finde ekstrema skal ligningen 𝑓^{′} ( 𝑥) = 0 løses.

2) 𝑓(𝑥) differentieres og den afledede funktion sættes lig med 0.

3) Der lægges_{√}^{1}_{𝑥} til på begge sider.
4) Der ganges med 𝑥 𝑥 på begge sider, eller begge sider opløftes i −1.
√

5) Vi opløfter begge sider i anden.

6) Vi trækker 𝑥 fra på begge sider og får så 𝑥^{2} − 𝑥 = 0, hvorefter 𝑥 sættes udenfor parentes, så
𝑥· (𝑥− 1)= 0. Ved hjælp af nulreglen (𝐼) ser vi klart, at 𝑥 = 0 ∨ 𝑥 = 1. Man kunne også

                                          2
umiddelbart have indset, at de eneste løsninger til 𝑥 = 𝑥 er 𝑥 = 0 og 𝑥 = 1.

7) Da funktionen ikke er defineret for 𝑥 = 0, er 𝑥 = 1 det eneste sted med mulighed for ekstremum.

b)

Funktionen defineres:

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟:𝑓 ( 𝑥) = ln ( 𝑥) − 2 𝑥 + 4 , 𝑥 > 0
√

Side 2

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 25. Maj 2016

2

Vi ved allerede, at der kun er et muligt ekstremum. Vi undersøger fortegnet for 𝑓′ på begge sider af

nulpunktet for 𝑓′ i 𝑥 = 1.

𝑓^{′} ( 0,9) ≈ 0,05701856

𝑓^{′} ( 2) ≈ −0,2071068

Vi konkluderer så: 𝑓 er voksende i intervallet ]0;1]

𝑓 er aftagende i intervallet [1;∞[

(𝐼): Du kan evt. medtage en monotonilinje, men dette er ikke påkrævet. Herunder vises en monotonilinje for 𝑓 :

Side 3

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 25. Maj 2016

3

Opgave 7 a)

Vi kopierer data fra juni 2015 ind i WordMats regneark til rå data og tegner et histogram: b)

Vi bestemmer en række deskriptorer vha. WordMat:

Deskriptorer

Kvartilsæt

Nedre | 76
Median | 145,5
Øvre | 276,5

Obs. Fraktil

Middeltal

171,25

Spredning

97,97953

For juni 2015 har vi altså følgende deskriptorer:

Gennemsnit 171,25

Standardafvigelse 97,98

Kvartilsæt (76;145,5;276,5)

30 350

Liggetid i dage

Histogram

Et tern svarer til 4% af kommunerne

Side 4

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 25. Maj 2016

4 c)

De gennemsnitlige liggetider for lejligheder i juni 2015 i kommunerne fordeler sig, som det fremgår af histogrammet herunder:

Vi er desuden kommet frem til, at den gennemsnitlige liggetid for hver kommune er på ca. 171 dage - spredningen omkring gennemsnittet er på omtrent 98 dage. De kommuner, som ligger i den fjerdedel med de korteste gennemsnitlige liggetider, har alle gennemsnitlige liggetider på højst 76 dage. Tilsvarende har kommunerne i den øverste fjerdedel alle gennemsnitlige liggetider på mindst 277 dage.

30 350

Liggetid i dage

Histogram

Et tern svarer til 4% af kommunerne

Side 5

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 25. Maj 2016

5

Opgave 8 a)

Vi opskriver og løser differentialligningen med begyndelsesbetingelsen 𝑅 ( 0) = 0.

𝑅^{′} ( 𝑥) = −0,00005 · 𝑅 ( 𝑥) + 200
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen R(0)=0
𝑅 ( 𝑥) = 4000000 − 4000000· 𝑒^{−5,0·10^{−5}}

·𝑥

Vi kan altså konkludere, at 𝑅 har forskriften 𝑅 ( 𝑥) = 4000000 − 4000000 · 𝑒^{−0,00005·𝑥}

Side 6

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 25. Maj 2016

6

Opgave 9 a)

Vi definerer funktionerne for udbud og efterspørgsel:

𝑠 ( 𝑥) ≔ 1,75𝑥 + 24

𝑑 ( 𝑥) ≔ −2,25𝑥 + 380

Ligevægtsmængden 𝑞 er givet ved den værdi af 𝑥, som er løsning til ligningen:

𝑠 ( 𝑥) =𝑑(𝑥)

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 89

Ligevægtsprisen 𝑝 kan findes vha. en hvilken som helst af de opgivne funktioner for 𝑥 = 𝑞 = 89:

𝑠 ( 89) = 179,75

Vi konkluderer, at 𝑞 = 89 og 𝑝 = 179,75.

b)

Vi definerer 𝑝 som en konstant funktion: 𝑝(𝑥) ≔ 179,75

Arealet FO af det grå område kan nu bestemmes som arealet mellem graferne for 𝑑(𝑥) og 𝑝(𝑥) i intervallet

[0,89].

𝐹𝑂 = ∫ 𝑑 ( 𝑥) − 179,75 𝑑𝑥

89

0

= 8911,125

Forbrugeroverskuddet er således på 8911,13 𝑘𝑟.

c)

Arealet DT af det grå område kan bestemmes som arealet mellem graferne for 𝑑(𝑥) og 𝑠(𝑥) i intervallet

[𝑥_{𝑚𝑎𝑥},𝑞], hvor 𝑥_{𝑚𝑎𝑥} er den 𝑥-værdi, som er løsning til:

𝑠 ( 𝑥) = 104,5

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 46

Side 7

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 25. Maj 2016

7

Dødvægtstabet kan så bestemmes som:

𝐷𝑇 = ∫ 𝑑 ( 𝑥) − 𝑠 ( 𝑥) 𝑑𝑥

89

46

= 3698

Ved en maksimalpris på 104,50 𝑘𝑟. fås et dødvægtstab på 3698 𝑘𝑟.

Side 8

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 25. Maj 2016

8

Opgave 10 a)

Vi optæller data vha. en pivottabel i Excel og indsætter resultatet i et skema som det opgivne:

Ja Nej Total

Region Hovedstaden | 133 | 47 | 180
Region Midtjylland | 48 | 23 | 71
Region Nordjylland | 19 | 8 | 27
Region Sjælland | 56 | 16 | 72
Region Syddanmark | 65 | 28 | 93
Total | 321 | 122 | 443

b)

Vi tester nulhypotesen på et 5%-signifikansniveau ved at anvende skemaets data i en 𝜒^{2} -

uafhængighedstest i WordMat: χ²-test

Observationer I alt

133 | 47 | 180
48 | 23 | 71
19 | 8 | 27
56 | 16 | 72
65 | 28 | 93

I alt 321 122 443

P-værdi: 66,10%

Signifikans niveau: 5%

Da 𝑝 = 66,10% > 5%, kan vi ikke forkaste nulhypotesen på et 5%-signifikansniveau.

c)

Af skemaet kan vi se, at 321 ud af 443 kvinder svarede ”Ja” til, om de kunne lide øl. Vi kan nu bestemme et

95%-konfidensinterval for den generelle andel af kvinder, der vil svare ”Ja” til, om de kan lide øl. Vi antager at stikprøven er tilfældigt udvalgt og bruger så et ”Z estimat på proportion” i GeoGebra:

Side 9

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 25. Maj 2016

9

Vi aflæser konfidensintervallet (nedre/øvre grænse) til [0,683;0,7662] d)

Vi lader 𝑋 angive antallet af kvinder, der kan lide øl. I et selskab på 𝑛 kvinder med en generel andel 𝑝 af

kvinder, som kan lide øl, vil 𝑋 være binomialfordelt. Det vil sige 𝑋~𝑏(𝑛,𝑝). Sandsynligheden 𝑃(𝑋 = 10) for
at alle 10 kvinder i et selskab kan lide øl, kan nu bestemmes i WordMat idet 𝑛 = 10 og 𝑝= 0,725. Vi får så:

Binomialfordeling P(X= 10)= 0,0401
p= 0,725 P(X≤)=
n= 10 P( ≤X≤)=

Det vil sige, at sandsynligheden for, at alle 10 kvinder i selskabet kan lide øl, er på 4,01%.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 10

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 25. Maj 2016

10

Opgave 11 a)

Vi definerer de opgivne prisfunktioner for hhv. SIMCAT og FLATDOG:

𝑝 ( 𝑥) ≔ −0,2𝑥 + 60

𝑞 ( 𝑦) ≔ −0,3𝑦 + 80

Det samlede dækningsbidrag er en sum af dækningsbidraget for hhv. SIMCAT og FLATDOG. Jf. den opgivne beregningsforskrift kan det samlede dækningsbidrag altså bestemmes som:

𝑑𝑏 ( 𝑥,𝑦) = ( 𝑝 ( 𝑥) − 20) · 𝑥+ ( 𝑞 ( 𝑦) − 20) · 𝑦
= 𝑦 · ( −0,3 · 𝑦 + 60) + 𝑥· ( −0,2 · 𝑥+ 40)

Udtrykket udvides vha. CAS-værktøjet WordMat.

−0,3 · 𝑦^{2} + 60 · 𝑦 − 0,2 · 𝑥^{2} + 40 · 𝑥

Vi kan altså konkludere, at:

𝑑𝑏 ( 𝑥,𝑦) = −0,2𝑥^{2} + 40𝑥 − 0,3𝑦^{2} + 60𝑦

b)

Vi tegner 𝑁(1000) vha. GeoGebra. Ligningen bliver:

1000 = −0,2𝑥^{2} + 40𝑥 − 0,3𝑦^{2} + 60𝑦

Niveaukurven får så nedenstående udseende i GeoGebra:

Side 11

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 25. Maj 2016

11

For en kvadratisk funktion af to variable på formen 𝑓 ( 𝑥,𝑦) = 𝑎𝑥^{2} + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑦^{2} + 𝑑𝑦 + ℎ, hvor 𝑎 ≠ 0, 𝑐 ≠ 0
og 𝑎 og 𝑐 har samme fortegn, gælder der, at niveaukurverne 𝑁 ( 𝑡):𝑓 ( 𝑥,𝑦) = 𝑡 er ellipser med centrum i
(𝑝,𝑞), når 𝑡 vælges, så 𝑡− 𝐾 har samme fortegn som 𝑎 og 𝑐, idet:

𝑝 = −

𝑏

2𝑎

𝑞 = −

𝑑

2𝑐

𝐾 = ℎ− 𝑎· 𝑝^{2} − 𝑐· 𝑞^{2}

Vi ser af forskriften for 𝑑𝑏(𝑥,𝑦), at 𝑎 < 0 og 𝑐 < 0. Vi skal så vise, at 𝑡− 𝐾 < 0 for 𝑡 < 5000.

Vi definerer kendte størrelser vha. funktionsforskriften:

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟:𝑎 = −0,2 , 𝑏 = 40 , 𝑐 = −0,3 , 𝑑 = 60 , ℎ = 0

Vi kan nu definere: 𝑝 ≔ − 𝑏

2𝑎 𝑞 ≔ − 𝑑

2𝑐

Side 12

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 25. Maj 2016

12

𝐾 ≔ ℎ− 𝑎 · 𝑝^{2} − 𝑐· 𝑞^{2}

Vi løser nu uligheden 𝑡− 𝐾 < 0:

𝑡− 𝐾 < 0

⇕ Uligheden løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑡 < 5000

Vi har nu vist, at 𝑡 − 𝐾 < 0 for 𝑡 < 5000, hvorfor 𝑁(𝑡) er ellipser for 𝑡 < 5000.

c)

Da både 𝑎 og 𝑐 er negative, har 𝑑𝑏(𝑥,𝑦) maksimum i centrum (𝑝,𝑞) for ellipserne. Vi bestemmer vha.

WordMat, at:

𝑝 = 100

𝑞 = 100

Vi ser let, at disse værdier 𝑥 = 𝑝 og 𝑦 = 𝑞 ligger indenfor funktionens definitionsmængde givet ved

følgende uligheder:

0 ≤ 𝑥 ≤ 300

0 ≤ 𝑦 ≤ 240

𝑥+ 𝑦 ≤ 240

Vi konkluderer så, at det antal FLATDOG og SIMCAT, der giver det største samlede dækningsbidrag, er 100 enheder af hver.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 13

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 25. Maj 2016

13

Til eksamen skal du kun udvælge én af de tre følgende opgaver, 12A, 12B og 12C. Her bringes alle løsninger, så du kan bruge dem til at øve de forskellige opgavetyper.

Opgave 12A a)

Funktionen defineres:

𝑔 ( 𝑥) ≔ 3𝑥^{4} − 140𝑥^{3}

Vi søger ekstrema ved at sætte den afledede funktion lig med 0 og derved finde alle steder med vandrette tangenter:

𝑔^{′} ( 𝑥) = 0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 0 ∨ 𝑥 = 35

Vi undersøger fortegn på begge sider af de to nulpunkter for 𝑔′:

𝑔^{′} ( −1) = −432

𝑔^{′} ( 1) = −408

𝑔^{′} ( 36) = 15552

Nulpunktet i 𝑥 = 0 repræsenterer en vandret vendetangent, da 𝑔^{′} < 0 på begge sider af nulpunktet.

Nulpunktet i 𝑥 = 35 repræsenterer et lokalt minimum, da 𝑔^{′} < 0 til venstre for nulpunktet og 𝑔^{′} > 0 til

højre for nulpunktet (det vil sige, at funktionen går fra at aftage til at vokse). Da dette minimum er det eneste ekstremum for funktionen, er der desuden tale om et globalt minimum.

Vi bestemmer funktionsværdien i det globale minimum:

𝑔 ( 35) = −1500625

Funktionen har kun et ekstremum, og dette er et globalt minimum med koordinatsættet (35,−1500625).

b)

Vi tegner grafen og markerer ekstremumspunktet:

Side 14

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 25. Maj 2016

14

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 15

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 25. Maj 2016

15

Opgave 12B a)

Vi definerer kendte størrelser:

Slutkapital: 𝐾 ≔ 35000

Årlig rente: 𝑟 ≔ 0,025

Antal terminer (år): 𝑛 ≔ 3

Vi anvender kapitalfremskrivningsformlen:

𝐾 = 𝐾_{0} · ( 1 + 𝑟)^{𝑛}

⇕ Ligningen løses for K_0 vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝐾_{0} = 32500,98

Hjalte skal således indsætte 32.500,98 𝑘𝑟.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: b)

Den samlede renteindtægt, 𝐼_{𝑎}, ved mulighed a) kan bestemmes som slutkapital minus startkapital:

𝐼_{𝑎} = 35000 − 32500,98

≈ 2499,02

Den samlede renteindtægt, 𝐼_{𝑏}, ved mulighed b) kan bestemmes som:

𝐼_{𝑏} = 35000 − 7 · 𝑦

Hvor 𝑦 er størrelsen af hver enkelt ydelse. Vi starter med at definer kendte størrelser:

Annuitetens fremtidsværdi: 𝐴 ≔ 35000
                        𝑛

Den halvårlige rente: 𝑟 ≔ 0,017

Antal terminer: 𝑛 ≔ 7

Størrelsen ydelsen findes vha. formlen for annuitetsopsparinger:

𝐴_{𝑛} = 𝑦 ·

( 1 + 𝑟)^{𝑛} − 1

𝑟

⇕ Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦 = 4750,73

Side 16

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 25. Maj 2016

16

Vi bestemmer nu den samlede renteindtægt ved mulighed b)

𝐼_{𝑏} = 35000 − 7 · 4750,73

≈ 1744,89

Den største renteindtægt opnås således ved mulighed a), som er den første mulighed.

Side 17

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 25. Maj 2016

17

Opgave 12C a)

Vi opstiller en lineær regressionsmodel i Excel vha. de opgivne data:

Vi aflæser funktionsforskriften:

𝑀 ( 𝑥) = 0,0013𝑥+ 0,4186

b)

Vi definerer kendte størrelser:

Antal punkter (𝑥,𝑦) i analysen: 𝑛 ≔ 18

                         2
Determinationskoefficienten 𝑅 defineres som 𝑅 for at undgå forvirring af WordMat 𝑅 ≔ 0,4849

Estimat af hældningskoefficient (vi skriver 𝑎
                                    𝑒

frem for 𝑎̂, da WordMat opfatter ”hat” som vektornotation):

𝑎_{𝑒} ≔ 0,0013

                                                       1−𝑅
                                                             2
Standardfejlen er givet ved (igen undlades 𝑎̂-notation): 𝑠 ≔ 𝑎 · ( )
                                              𝑎    𝑒
                                                      𝑅· ( 𝑛−2 )

1

Konfidensintervallets grænser kan da bestemmes som:

𝑎_{𝑒} ± 𝑡_{𝑛−2} · 𝑠_{𝑎}

                           𝛼
𝑡   er betegnelsen for 1 −   fraktilen af en 𝑡 -fordeling med 𝑛 − 2 = 16 frihedsgrader. 𝛼 er
 𝑛−2
                           2

signifikansniveauet (i vores tilfælde 5%), så vi skal finde 0,975-fraktilen. Denne beregnes i GeoGebra:

y = 0,0013x + 0,4186
R² = 0,4849

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

00

Motivation

Velfærdsydelse

Side 18

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 25. Maj 2016

18

Vi definerer nu:

𝑡_{16} ≔ 2,1199

Grænserne for 95%-konfidensintervallet kan nu beregnes:

Øvre: 𝑎_{𝑒} + 𝑡_{16} · 𝑠_{𝑎} ≈ 0,002010098

Nedre: 𝑎_{𝑒} − 𝑡_{16} · 𝑠_{𝑎} ≈ 0,0005899018

Et 95%-konfidensinterval er således bestemt for hældningskoefficienten 𝑎: [0,002;0,0059].

Konfidensintervallet fortæller os, at hældningskoefficienten 𝑎 med 95% sikkerhed ligger i intervallet. Der er altså med mindst 95% sikkerhed en positiv korrelation mellem størrelsen af velfærdsydelser og motivationen for at arbejde.

Overskriften må umiddelbart tolkes som en afvisning af, at der skulle være en årsagssammenhæng i retning af, at højere velfærdsydelser sænker motivationen for at arbejde. Man kan dog ikke alene ud fra denne

statistik sige noget om, hvilken årsagssammenhæng, der er/ikke er på spil. En mere passende overskrift

ville være: ”Der er en positiv korrelation mellem størrelsen af velfærdsydelser (korrigeret for købekraft) og motivationen for at arbejde”.