HHX Matematik A 2016 25. maj - Delprøven uden hjælpemidler

Side 1

Matematik A/B HHX – Skriftlig eksamen – 25. Maj 2016

1

HHX Matematik A

25. maj 2016

Delprøven uden hjælpemidler hhx161-MAT-A-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Opgave 1 a)

Der er tale om en eksponentiel model på formen 𝑣 ( 𝑥) = 𝑏 · 𝑎^{𝑥}

Hvor: 𝑏 angiver 𝑣(0). Det vil sige, at værdien af maskinen ved købstidspunktet er på 1.000.000 kr.

𝑎 er fremskrivningsfaktoren og fortæller noget om vækstraten 𝑟, idet:

𝑟 = 𝑎 − 1
= 0,75− 1
= −0,25
= −25%

Det vil sige, at værdien af maskinen aftager med 25% om året efter købstidspunktet.

Værdien af maskinen efter 1 år kan bestemmes som 𝑣(1).

𝑣 ( 1) = 1000000· 0,75^{1}
= 750000

Værdien af maskinen efter 1 år er således på 750.000 kr.

Side 2

Matematik A/B HHX – Skriftlig eksamen – 25. Maj 2016

2

Opgave 2 a)

Vi differentierer funktionen og indsætter forskriften for 𝑓′ i differentialligningen. Hvis der så står det samme på begge sider af ligningen, er 𝑓 en løsning til differentialligningen:

𝑓 ( 𝑥) = −0,5𝑥^{2} + 20𝑥 + 15

Så (𝐼):

𝑓^{′} ( 𝑥) = −0,5 · 2𝑥 + 20
= −𝑥+ 20

                                                ′        2
Dette udtryk for 𝑓′(𝑥) indsættes i differentialligningen 𝑥· 𝑓 ( 𝑥 ) = −𝑥 + 20𝑥. Vi får så:

𝑥· ( −𝑥+ 20) = −𝑥^{2} + 20𝑥

⇕

−𝑥^{2} + 20𝑥 = −𝑥^{2} + 20𝑥

Da vi får det samme på begge sider af ligningen, er 𝑓 en løsning til differentialligningen.

(𝐼):

( 𝑘· 𝑓 ( 𝑥))^{′} = 𝑘 · 𝑓^{′} ( 𝑥)

( 𝑓 ( 𝑥) ± 𝑔 ( 𝑥))^{′} = 𝑓^{′} ( 𝑥) ± 𝑔^{′} ( 𝑥)

Funktion Afledt funktion

𝑥^{𝑎} 𝑎· 𝑥

𝑎−1

𝑘 0 𝑥 1

Opgave 3 a)

Den samlede afsætning 𝐴 efter 10 måneders salg bestemmes vha. det bestemte integral (𝐼) af funktionen i intervallet [0;10]

𝐴 = ∫ ( −18𝑥^{2} + 300𝑥) 𝑑𝑥

10

0

Side 3

Matematik A/B HHX – Skriftlig eksamen – 25. Maj 2016

3

= [ −18 · 𝑥^{3} + 300 · 𝑥^{2}]

1 1

3 2

0

10

= [ −6𝑥^{3} + 150𝑥^{2}]_{0}^{10}
= −6 · 1000 + 150 · 100 − 0
= −6000 + 15000
= 9000

Den samlede afsætning efter 10 måneders salg er på 𝐴 = 9000

(𝐼):

Funktion Stamfunktion

𝑥^{𝑎} 𝑥^{𝑎+1}

1

𝑎+1

Regneregler for integration:

Bestemt integral:

∫ 𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥 = [ 𝐹 ( 𝑥)]_{𝑎}^{𝑏} = 𝐹 ( 𝑏) − 𝐹 ( 𝑎)

𝑏 𝑎

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥+ ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

𝑏 𝑐 𝑏 𝑎 𝑎 𝑐

Sætte konstant udenfor: ∫_{𝑎}^{𝑏} 𝑘 ·𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑘 · ∫_{𝑎}^{𝑏} 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

Sum/differens kan splittes i to integraler: ∫_{𝑎}^{𝑏} 𝑓 ( 𝑥) ± 𝑔 ( 𝑥) 𝑑𝑥 = ∫_{𝑎}^{𝑏} 𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥± ∫_{𝑎}^{𝑏} 𝑔 ( 𝑥) 𝑑𝑥

Opgave 4 a)

                                                          2
Alle funktionsforskrifterne er andengradspolynomier på formen 𝑦 =𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 , 𝑎 ≠ 0.

Forskriften for 𝑓 er den eneste, hvor 𝑐 ≠ 0. 𝑐 angiver 𝑦-værdien for 𝑥 = 0 (værdien af 𝑦 i skæringspunktet
med 𝑦-aksen). Vi ser, at den eneste graf, hvor 𝑦 ≠0, når 𝑥 = 0 er 𝐶. Det vil sige, at 𝐶 er grafen for 𝑓.

𝑏 angiver hældningen af tangenten til grafen for andengradspolynomiet med røringspunkt i 𝑥 = 0. Vi ser,
at 𝑏 =4 for 𝑔(𝑥), mens 𝑏 =2 for ℎ(𝑥). Grafen for 𝑔 må da være mere stejl i 𝑥 = 0 end grafen for ℎ. 𝐴 er
stejlere end 𝐵 i 𝑥 = 0.

Det vil sige, at 𝐴 er grafen for 𝑔(𝑥), mens 𝐵 er grafen for ℎ(𝑥).

Side 4

Matematik A/B HHX – Skriftlig eksamen – 25. Maj 2016

4

Opgave 5 a)

Vi skitserer grafen for en mulig funktion: