HHX Matematik A 2017 17. august - Vejledende besvarelse

Side 1

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017

1

HHX Matematik A

17. august 2017

hhx172-MAT/A-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HHX 3. år

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Delprøven uden hjælpemidler .......................................................................................................................... 2 Delprøven med hjælpemidler ........................................................................................................................... 6

Side 2

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017

2

Delprøven uden hjælpemidler

Opgave 1 a)

𝑓 ( 𝑥) =𝑥^{2} − 3𝑥+ 2

𝑔 ( 𝑥) =𝑎· 𝑥^{2} + 4𝑥 + 2

ℎ ( 𝑥) =−0,75𝑥^{2} − 3𝑥 + 𝑐

Vi gør rede for sammenhængen mellem hhv. de tre grafer og de tre forskrifter. Vi har, at alle forskrifter er andengradspolynomier, dvs. at alle grafer vil være parabler:

𝑦=𝑎𝑥^{2} + 𝑏𝑥 + 𝑐

Betragter vi de tre forskrifter, ser vi, at forskriften for g(x) er den eneste af de tre forskrifter, der har en positiv b-værdi, dvs. at hældningen for tangenten til grafen for g(x) skal være positiv i punktet, hvor grafen skærer y-aksen. Den eneste af de tre grafer, der opfylder dette er graf B, vi kan dermed konkludere, at graf B er grafen for g(x).

Betragter vi forskrifterne for hhv. f(x) og h(x), ser vi, at begge har en negativ b-værdi, dvs. at hældningen for tangenten til graferne for hhv. f(x) og h(x) skal være negativ i punktet, hvor graferne skærer y-aksen, med dette in mente kan vi udelukke, at graf B er grafen for enten f(x) eller h(x), dvs. at graf A og graf C, som også er de to resterende grafer, må være graferne for f(x) og h(x). Ser vi på a-værdien for f(x) og h(x), ser vi, at for f(x) er a-værdien positiv, dvs. at grafen for f(x) vil være konveks, dette stemmer overens med, at graf C er grafen for f(x). Ser vi på, a-værdien for h(x), ser vi at a-værdien er negativ, dvs. af grafen for h(x) vil være konkav, dette stemmer overens med, at graf A er grafen for h(x).

Opgave 2 a)

𝑆 ( 𝑥) =𝑎𝑥+ 𝑏

Ugentlig afsætning x 30 40

Salgspris pr. stk. S(x) 50 45

Side 3

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017

3

Funktionen S(x) er oplyst til at være lineær. Vi bestemmer tallet a ved:

𝑎=

𝑦_{2} − 𝑦_{1}
𝑥_{2} − 𝑥_{1}
=

45 − 50
40 − 30
=−

5

10

=−

1

2

Vi bestemmer tallet b ved:

𝑏=𝑦_{1} − 𝑎𝑥_{1}
=50 − (−) · 30

1

2

=50 + 15
=65

Vi opstiller en model for S(x):

𝑆 ( 𝑥) =− 𝑥+ 65

1

2

Vi bestemmer den ugentlige afsætning, når salgsprisen er 55 kr. pr. stk., ved at løse for x i S(x) = 55:

55=− 𝑥+ 65

1

2

⇕

−10=− 𝑥

1

2

⇕

𝑥=20

Den ugentlige afsætning er bestemt til 20 stk.

Opgave 3 a)

Vi har, at den afledede funktion f’ viser forløbet for hældningen til tangenten til grafen for f som funktion af x, dvs. at når grafen for den afledede funktion f’ skærer x-aksen og er lig 0, vil tangenten til grafen for f i samme punkt være vandret. Vi indser, at når graf B skærer x-aksen er tangenten til grafen A vandret, med sammenhængen beskrevet tidligere in mente, kan vi konkludere, at graf B er grafen for den afledede funktion f’.

Side 4

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017

4

Opgave 4 a)

𝑓 ( 𝑥) =𝑥^{3} − 2𝑥^{2} + 5

𝑑𝑦 𝑑𝑥

+ 4𝑥=3𝑥^{2}

Vi undersøger om f(x) er en løsning til differentialligningen ved at gøre prøve. Vi indsætter f(x) i dy/dx og

reducerer.

𝑓^{′} ( 𝑥) + 4𝑥=3𝑥^{2}

⇕

( 𝑥^{3} − 2𝑥^{2} + 5)^{′} + 4𝑥=3𝑥^{2} (𝐼)

⇕

3𝑥^{2} − 4𝑥 +4𝑥=3𝑥^{2}

⇕

3𝑥^{2} =3𝑥^{2}

Vi indser, at f(x) er en løsning til differentialligningen dy/dx, vi har dermed gjort rede.

(I): Differentialkvotienter 𝑓 ( 𝑥) 𝑓 ( 𝑥)

′

𝑥^{𝑎} 𝑎· 𝑥

𝑎−1

𝑘 0

Opgave 5 a)

𝐷 ( 𝑥) =3𝑥^{2} − 80𝑥 + 600, 0≤𝑥≤13

𝑆 ( 𝑥) =8𝑥+ 20, 0≤𝑥≤13

Vi bestemmer ligevægtsprisen ved at bestemme S(10):

𝑆 ( 10) =8 · 10 + 20
=80 + 20
=100

Det er oplyst, at forbrugeroverskuddet kan bestemmes som arealet af det grå område. Vi bestemmer arealet af det grå område som differensen mellem arealet under grafen for D i intervallet [0; 10] og arealet

Side 5

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017

5

under grafen for ligningen y = 100 i intervallet [0; 10]. For overskuelighedens skyld integrerer vi hhv. D(x) og

y hver for sig:

For D(x):

𝐹_{𝐷} ( 𝑥) =∫𝐷 ( 𝑥) 𝑑𝑥

=∫3𝑥^{2} − 80𝑥+ 600𝑑𝑥(𝐼)

= · 3𝑥^{3} − · 80𝑥^{2} + 600𝑥

1 1

3 2

=𝑥^{3} − 40𝑥^{2} + 600𝑥 + 𝑘

For y = 100:

𝐹_{𝑦} ( 𝑥) =∫𝑦𝑑𝑥

=∫100𝑑𝑥(𝐼)
=100𝑥+ 𝑘

Vi bestemmer arealet af det grå område vha. af det bestemte integral herunder i intervaller [0; 10]:

𝐴_{𝑔𝑟å} =∫ ( 𝐷 ( 𝑥) − 𝑦) 𝑑𝑥

10

0

= [ 𝐹_{𝐷} ( 𝑥) − 𝐹_{𝑦} ( 𝑥)]_{0}^{10}
= ( 10^{3} − 40 · 10^{2} + 600 · 10 − 100 · 10) − ( 0^{3} − 40 · 0^{2} + 600 · 0 − 100 · 0)
= ( 1000 − 4000+ 6000 − 1000) − 0
=2000

Forbrugeroverskuddet er bestemt til 2000 kr.

(I): Stamfunktioner 𝑓 ( 𝑥) 𝐹 ( 𝑥)

𝑥^{𝑎} 𝑥^{𝑎+1}

1

𝑎+1

𝑘 𝑘𝑥

Side 6

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017

6

Delprøven med hjælpemidler

Opgave 6 a)

Vi giver en forklaring til udregningerne:

5𝑛 + 25000=25000 +

245 𝑛

Linje 1: Værdierne er blevet indsat i formlen med henblik på at bestemme n^{*}.

5𝑛=

245 𝑛

Linje 2: Der er blevet fratrukket 25000 på begge sider af lighedstegnet.

5𝑛^{2} =245

Linje 3: Der er blevet ganget igennem med n på begge sider af lighedstegnet.

𝑛=±7

                                                                              2
Linje 4: Først er der blevet divideret igennem med 5 på begge sider af lighedstegnet således, at n = 245/5 =

49, herefter er kvadratroden taget på begge sider af lighedstegnet, og løsningen til n bliver ± 7.
Det optimale antal producenter i den konkrete branche er n^{*} = 7, da n > 0.

b)

Vi bestemmer et generelt udtryk til n^{*} ved at løse for n i udtrykket herunder. Vi benytter et CAS-værktøj til

at løse for n, hvor n > 0:

𝐹𝑂 1

𝑆 𝑛 · 𝑏

· 𝑛 + 𝑐=𝑐+

⇕ Ligningen løses for n vha. CAS-værktøjet WordMat. med følgende antagelser/definitioner: 𝑛>0

𝑛=

√

𝑆

𝑏· 𝐹𝑂

Et generelt udtryk for n er bestemt til udtrykket herover.

Side 7

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017

7

Opgave 7 a)

Vi definerer forskriften for PLC(x) samt definitionsmængden for x:

𝑃𝐿𝐶 ( 𝑥) ≔− 𝑥^{3} + 12𝑥^{2} − 23𝑥 + 100

1

3

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 1<𝑥≤32

Vi tegner grafen for PLC(x):

Vi har tegnet grafen med kommandoen Graph i WordMat, det giver os mulighed for at indtegne hhv. det hule punkt ved grafens begyndelse og det udfyldte punkt ved grafens slutning.

Vi bestemmer det månedlige salg efter 9 måneder efter introduktion ved at bestemme PLC(9):

𝑃𝐿𝐶 ( 9) =622

Salget er bestemt til 622 (målt i 1000 stk.) 9 måneder efter introduktion af varen.

b)

Vi bestemmer det største månedlige salg i stk. efter introduktionen, ved at optimerer PLC(x). Vi bestemmer nulpunkter til den afledede funktion PLC’(x):

𝑃𝐿𝐶^{′} ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=23

Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunktet for den afledede funktion:

𝑃𝐿𝐶^{′} ( 22) =21

Side 8

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017

8

𝑃𝐿𝐶^{′} ( 24) =−23

Vi kan konkludere, at x = 23 betegner et maksimum. Vi bestemmer det største mulige salg ved at

bestemme PLC(23):

𝑃𝐿𝐶 ( 23) =1863,3333

Det største månedlige salg i stk. efter introduktion er bestemt til 1863,3 (målt i tusinde stk.) (afrundet til 1 decimal).

c)

Vi bestemmer tidspunktet, hvor væksten er størst ved at løse for x i PLC’’(x) = 0:

𝑃𝐿𝐶^{′′} ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=12

Væksten er størst 12 måneder efter introduktion.

Vi bestemmer en ligning for tangenten til grafen for PLC i punktet med 1. koordinaten x = 12. Vi definerer 1.
koordinaten som x_{0} = 12:

𝑥_{0} ≔12

Tangentens ligning er givet ved:

𝑦_{𝑡} =𝑃𝐿𝐶^{′} ( 𝑥_{0}) · ( 𝑥− 𝑥_{0}) + 𝑃𝐿𝐶 ( 𝑥_{0})
=121 · 𝑥 − 476

En ligning t for tangenten til grafen for PLC er bestemt til udtrykket herover.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 9

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017

9

Opgave 8 a)

Vi definerer kendte størrelser, hvor antallet af terminer n er lig 3: 𝑛≔3 𝑟≔0,013

𝐾_{𝑛} ≔8316,07

Vi bestemmer beløbet, der blev indsat på kontoen den 1. januar 2013, ved at løse for K_{0} i udtrykket

herunder.

𝐾_{𝑛} =𝐾_{0} · ( 1 + 𝑟)^{𝑛}

⇕ Ligningen løses for K_0 vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝐾_{0} =7999,9966

Den 1. januar 2013 blev der indsat 8000,0 kr. på kontoen (afrundet til 1 decimal).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: b)

Vi bestemmer det samlede beløb på kontoen 1. januar 2016, efter at Jette har indsat yderligere 2000 kr. på kontoen:

𝐾_{0} =8316,07 + 2000
=10316,07

Vi definerer nye kendte størrelser, hvor antallet af terminer n er lig 1:

𝐾_{0} ≔10316,07

𝑟≔0,0080 𝑛≔1

Vi bestemmer beløbet på kontoen den 1. januar 2017, ved at fremskrive beløbet 1 termin med en fast rente på 0,8 % p.a.:

𝐾_{𝑛} =𝐾_{0} · ( 1 + 𝑟)^{𝑛}

≈10398,599

Den 1. januar 2017 står der 10399 kr. på kontoen (afrundet til helt tal).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 10

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017

10

Opgave 9 a)

Vi laver en grafisk præsentation af fordelingen som et Histogram over det ugentlige forbrug på dagligvarer i kr. med data fra filen dagligvarer. Histogrammet tegnes med WordMats skabelon for Histogram med en intervallængde på 500 (målt i kr.), resultatet kopieres herefter ind i besvarelsen. Først sorteres dataet i intervallet med en Pivot-tabel i Excel, den sorterede data kan ses i tabellen herunder.

Tabel

Ugentligt forbrug på dagligvarer i kr. Total

2

6

8

12

3

2

2

6

5

3

1

Hovedtotal 50

Histogram

8000

Ugentligt forbrug på dagligvarer i kr.

Histogram et tern er 4%

Side 11

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017

11 b)

Vi bestemmer de 3 statiske deskriptorer hhv. middeltal, spredning/standardafvigelse og median, for såvel

den månedlige indkomst som for det ugentlige forbrug på dagligvarer, med WordMats skabelon for ugrupperede observationer, resultatet kopieres herefter ind i besvarelsen.

For den månedlige indkomst i kr. Først sorterer vi dataet fra filen dagligvarer i Excel med en Pivot-tabel:

Deskriptorer

Kvartilsæt

Median 33933

Middeltal

38766,66

Spredning

10320,15886

For det ugentlige forbrug på dagligvarer. Først sorterer vi dataet fra filen dagligvarer i Excel med en Pivot-tabel:

Deskriptorer

Kvartilsæt

Median 4290,5

Middeltal

4852,08

Spredning

1382,502453 c)

Vi laver et xy-plot samt bestemmer en lineær regressionsmodel, der viser sammenhængen mellem månedlig indkomst x og ugentligt forbrug på dagligvarer y i Excel med data fra filen dagligvarer, resultatet kopieres herefter ind i besvarelsen.

y = 0,1247x + 16,704
R² = 0,8669

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

Ugentligt forbrug på dagligvarer i kr.

Månedlig indkomst i kr.

Ugentligt forbrug på dagligvarer i kr.

Side 12

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017

12

Vi aflæser den lineære regressionsmodel fra diagrammet herover til:

𝑓 ( 𝑥) =0,1247𝑥 + 16,704

En lineær regressionsmodel, der beskriver sammenhængen mellem den månedlige indkomst (målt i kr.) og det ugentlige forbrug på dagligvarer (målt i kr.) er bestemt til udtrykket herover.

d)

Vi har den lineære regressionsmodel med tilhørende R^{2} - værdi:

𝑓 ( 𝑥) =0,1247𝑥 + 16,704

𝑅^{2} =0,8669

Vi ønsker at bestemme et 95%-konfidensinterval for hældningskoefficienten a. Konfidensintervallets grænser kan bestemmes med formlen herunder:

𝑎̂± 𝑡_{𝑛−2}^{∗} · 𝑠_{𝑎}_{̂}

Leddet 𝑡_{𝑛−2}^{∗} betegner 1 -^{𝛼}_{2} fraktilen af en t-fordeling med n - 2 frihedsgrader, hvor 𝛼 betegner

signifikansniveauet, som i vores tilfælde er 5%, dvs. 0,05, da konfidensniveauet er 95 %. Vi bestemmer først

𝑡_{𝑛−2}^{∗} med GeoGebras sandsynligheds lommeregner, vi benytter ”t-fordeling ”-fordeling, resultatet kopieres

herefter ind i besvarelsen.

Vi bestemmer antallet af frihedsgrader, hvor n er antallet af datapunkter benyttet i regressionen, dvs. n =

50.

𝑛 − 2=50 − 2
=48

Resultat fra GeoGebra:

Side 13

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017

13

Vi aflæser 𝑡_{𝑛−2}^{∗} fra resultatet herover til:

𝑡_{𝑛−2}^{∗} =2,0106

Standardfejlen 𝑠 er givet ved, hvor 𝑎̂ er estimatet af hældningskoefficienten bestemt i regressionsligning
             𝑎 ̂

dvs. 𝑎̂ = 0,1247:

𝑠_{𝑎}_{̂} =𝑎̂· ()

1 − 𝑅^{2}
𝑅^{2} · ( 𝑛− 2)

1

2

=0,1247 · ()^{2}

1 − 0,8669
0,8669 · ( 50 − 2)

1

≈0,007052618

Vi bestemmer hhv. øvre og nedre grænse for 95%-konfidensintervallet:

0,1247 + 2,0106· 0,007052618≈0,13887999

0,1247 − 2,0106· 0,007052618≈0,11052001

Et 95%-konfidensinterval for hældningskoefficienten a er bestemt til [0,111; 0,139] (afrundet til 3 decimaler).

e)

Der er foretaget en analyse af den månedlige indkomst såvel som det ugentlige forbrug på dagligvarer i et bestemt område i Danmark. Ser vi på gennemsnittet for de to, ser vi, at den gennemsnitlige månedlige indkomst er på 38767 kr. (afrundet), og at det gennemsnitlige ugentlige forbrug på dagligvarer er på 4852 kr. (afrundet). Sammenligner vi spredningen for den månedlige indkomst på 10320 kr. (afrundet) og spredningen for det ugentlige forbrug på dagligvarer på 1382 kr. (afrundet), ser vi, at de rimeligvis udgør

Side 14

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017

14 lige store andele af deres gennemsnit. Dette må altså være et udtryk for at den månedlige indkomst varierer med nogenlunde samme andel som det ugentlige forbrug på dagligvarer.

Der er desuden fundet en lineær sammenhæng med en relativt høj forklaringsgrad (R2 = 0,8669) mellem

den månedlige indkomst og det ugentlige forbrug på dagligvarer. Det viser sig, at det gennemsnitlige

ugentlig forbrug vokser med ca. 𝑎̂ = 0,1247 pr. x kr. månedlige indkomst.

Der er yderligere foretaget en analyse af udviklingen i det gennemsnitlige ugentlige forbrug på dagligvarer.

Resultatet for analysen viser med 95 % sandsynlighed, at det gennemsnitlige ugentlig forbrug vokser mellem 0,111 og 0,139 kr. pr. x kr. månedlige indkomst.

Side 15

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017

15

Opgave 10 a)

Differentialligningen er givet ved:

𝑄^{′} =0,05 · 𝑄

Vi bestemmer en løsning til differentialligningen, ved at løse differentialligningen herover med WordMat. Vi

benytter startbetingelsen Q(1) = 20:
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen Q(1)=20
𝑄=20 · 𝑒

𝑥−1

20

En løsning til differentialligningen er bestemt til udtrykket herover.

Side 16

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017

16

Opgave 11 a)

Vi definerer forskrifterne for hhv. p (x) og p (y) samt definitionsmængden for hhv. x og y:
                             1     2

𝑝_{1} ( 𝑥) ≔−0,25𝑥 + 200

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 100≤𝑥≤720

𝑝_{2} ( 𝑦) ≔−0,75𝑦 + 470

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 0≤𝑦≤600

Vi har, at de variable enhedsomkostninger (VE) er 20 kr. pr. stk. for begge modeller. Dækningsbidraget for én af modellerne er oplyst til at være givet ved:

𝑑æ𝑘𝑛𝑖𝑛𝑔𝑠𝑏𝑖𝑑𝑟𝑎𝑔= ( 𝑠𝑎𝑙𝑔𝑠𝑝𝑟𝑖𝑠 − 𝑉𝐸) · 𝑎𝑓𝑠æ𝑡𝑛𝑖𝑛𝑔

Det samlede dækningsbidrag er da givet ved:

𝑓 ( 𝑥;𝑦) = ( 𝑝_{1} ( 𝑥) − 20) · 𝑥+ ( 𝑝_{2} ( 𝑦) − 20) · 𝑦

Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion, Udvid,

𝑓 ( 𝑥;𝑦) =−0,75𝑦^{2} + 450𝑦 − 0,25𝑥^{2} + 180𝑥

Forskriften for det samlede dækningsbidrag er bestemt til udtrykket herover.

b)

Det generelle udtryk for en ellipse:

( 𝑥− 𝑥_{0})^{2} ( 𝑦− 𝑦_{0})^{2}
𝑎^{2} 𝑏^{2}

+ =1

Vi omskriver niveaukurven N(69900), så ligningen kan identificeres til ligningen for en ellipse:

−0,75𝑦^{2} + 450𝑦 − 0,25𝑥^{2} + 180𝑥=69900

⇕

−0,75 ( 𝑦^{2} − 600𝑦) − 0,25 ( 𝑥^{2} − 720𝑥) =69900

⇕

−0,75 ( (𝑦 +) − (−)) − 0,25 ( (𝑥+) − (−)) =69900

−600^{2} 600^{2} −720^{2} 720^{2}

2 2 2 2

⇕

−0,75 ( 𝑦 − 300)^{2} − ( −0,75) · 90000 − 0,25· ( 𝑥− 360)^{2} − ( −0,25) · 129600=69900

Side 17

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017

17

⇕

−0,75 ( 𝑦 − 300)^{2} + 67500 − 0,25 ( 𝑥 − 360)^{2} + 32400=69900

⇕

−0,75 ( 𝑦 − 300)^{2} − 0,25 ( 𝑥 − 360)^{2} =−30000

⇕

−0,75 ( 𝑦 − 300)^{2} −0,25 ( 𝑥 − 360)^{2} −30000
−30000 −30000 −30000

+ =

⇕

( 𝑦 − 300)^{2} ( 𝑥− 360)^{2}

40000 120000

+ =1

Vi kan konkludere, at niveaukurve N(69900) er ellipse.

Polygonområdet er begrænset af hhv.:

𝑥 + 𝑦≤1000

Og:

100≤𝑥≤720

Og:

0≤𝑦≤600

Vi indtegner niveaukurven N(69900) sammen med polygonområdet i GeoGebra, resultatet kopieres herefter ind i besvarelsen.

Side 18

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017

18 c)

Vi definerer forskriften for det samlede dækningsbidrag:

𝑓 ( 𝑥;𝑦) ≔−0,75𝑦^{2} + 450𝑦 − 0,25𝑥^{2} + 180𝑥

Vi indser, at centrum af ellipsen befinder sig indenfor polygonområdet, vi har da, at det størst mulige samlede dækningsbidrag indtræffer i ellipsens centrum. Vi aflæser ellipsens centrum til C(360, 300). Vi bestemmer det størst mulige samlede dækningsbidrag ved:

𝑓 ( 360;300) =99900

Det størst mulige samlede dækningsbidrag er bestemt til 99900 kr.

Side 19

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017

19

Kun én af besvarelse af opgaverne 12A, 12B og 12C skal afleveres til bedømmelse.

Opgave 12A a)

Vi opstiller en tabel som nedenstående i Excel med en Pivot-tabel med data fra filen meat. Resultatet kopieres herefter ind i besvarelsen.

Spørgsmål 25 Total

a. Ja, jeg er holdt op / vil holde op med at spise kødpålæg 20
b. Ja, jeg har skåret ned / vil skære ned på mit forbrug af kødpålæg 113

c. Ja, jeg overvejer at skære ned på mit forbrug af kødpålæg 49

d. Nej, men jeg vil overveje at skære ned på mit forbrug af kødpålæg efter denne oplysning 125

e. Nej, men jeg har skåret ned/er holdt op med at spise kødpålæg af andre årsager 98

f. Nej, jeg har ikke ændret mit forbrug af kødpålæg og kommer heller ikke til det 582

g. Ved ikke 50

Total 1037

En tabel som i opgaveformuleringen er bestemt til tabellen herover.

Vi bestemmer antallet af personer, der overvejende svarer Ja, dvs. dem der svarer a, b eller c:

𝑎𝑛𝑑𝑒𝑙_{𝑗𝑎} =20 + 113 + 49
=182

Vi bestemmer andelen af personer, der overvejende svarer Ja:

%_{𝑗𝑎} = · 100

182

1037

=17,550627

Andelen, der overvejende svarer Ja, er bestemt til 17,55 % (afrundet til 2 betydende cifre).

b)

Vi bestemmer et 95%-konfidensinterval for andelen af danskere, der overvejende svarer Ja, med GeoGebras sandsynlighedslommeregner, vi benytter ”Z-interval for andel”. Resultatet kopieres herefter ind i besvarelsen.

Vi har størrelserne, hvor N betegner det samlede antal af deltagere i undersøgelsen, og Successer betegner antallet af deltagere i undersøgelser, der overvejende svarer Ja:

𝑆𝑢𝑐𝑐𝑒𝑠𝑠𝑒𝑟=182

𝑁=1037

Side 20

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017

20

Vi aflæser det 95% - konfidensinterval fra resultatet herover (afrundet til 3 betydende cifre):

[ 0,152;0,199] = [ 15,2%; 19,9%]

Et 95 % - konfidensinterval for andelen af danskere, der overvejende svarer Ja til spørgsmål 25 er bestemt til intervallet herover.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 21

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017

21

Opgave 12B a)

Vi opskriver og definerer en forskrift for det samlede dækningsbidrag ved videresalg af ørrederne, hvor x betegner mængden af regnbueørreder målt i kg, og y betegner mængden af guldørreder målt i kg.

𝐷𝐵 ( 𝑥;𝑦) ≔42𝑥+ 67𝑦

Vi opstiller en række uligheder, der beskriver dambrugets begrænsninger. De variable x og y betegner stadig hvor mange kg hhv. regnbue- og guldørred, der produceres.

Plads:

420≥0,4 · 𝑥+ 0,6 · 𝑦

⇕ Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦≤700,0 − 0,6667𝑥

Tilførsel af frisk vand:

20≥0,020 · 𝑥 + 0,025 · 𝑦

⇕ Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦≤800,0 − 0,8 · 𝑥

Produktionen må desuden være begrænset af:

𝑦≥0

𝑥≥0

Side 22

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017

22

Vi indtegner begrænsningerne i GeoGebra. Resultatet kan ses herunder.

Vi aflæser de fire hjørnepunkter til hhv. A(0, 700), B(0, 0), C(1000, 0) og D(750, 200). Vi undersøger dækningsbidraget i de fire hjørnepunkter:

𝐷𝐵 ( 0;700) =46900
𝐷𝐵 ( 0;0) =0
𝐷𝐵 ( 1000;0) =42000
𝐷𝐵 ( 750;200) =44900

Vi konkluderer, at Hans skal producere 0 kg regnbueørred og 700 kg guldørred for at opnå det størst mulige dækningsbidrag.

b)

Vi skal se på, hvor meget dækningsbidraget for guldørred kan falde uden at det ændrer på den optimale løsning. Vi fastholder derfor dækningsbidraget for regnbueørred på 42 kr. pr. kg. og ser på kriteriefunktionen

𝑓 ( 𝑥,𝑦) =42𝑥+ 𝑏 · 𝑦

                              42
Niveaulinjerne har nu hældningen − .
                              𝑏

Den optimale løsning (0,700) fundet i a) ligger på y-aksen og er skæringspunktet mellem y-aksen og linjen

med ligningen 420=0,4 · 𝑥+ 0,6 · 𝑦. Hvis (0,700) fortsat skal være den optimale løsning, så skal
niveaulinjernes hældning være større end hældningen på linjen med ligningen 420=0,4 · 𝑥+ 0,6 · 𝑦. Vi

isolerer y i ligningen for at bestemme linjens hældning:

Side 23

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017

23

420=0,4 · 𝑥+ 0,6 · 𝑦

⇕ Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦=−0,6666667 · 𝑥+ 700

Linjens hældning er -0,667. Når niveaulinjernes hældning skal være større end -0,667, så må følgende ulighed gælde:

− >−0,6666667

42 𝑏

⇕ Uligheden løses for b vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑏<0 ∨ 𝑏>63

Hvis det skal være optimalt at producere 0 kg regnbueørred og 700 kg guldørred, så skal dækningsbidraget for guldørred være mere end 63 kr. pr. kg. På nuværende tidspunkt er dækningsbidraget 67 kr. pr. kg, så dækningsbidragets fald skal være mindre end 4 kr. pr. kg.

Side 24

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017

24

Opgave 12C a)

OBS: Husk at skifte til enheden radianer, når der regnes med trigonometriske funktioner:

Vi definerer forskriften for hhv. f(x) og g(x): 𝑓 ( 𝑥) ≔sin ( 𝑥) 𝑔 ( 𝑥) ≔cos ( 𝑥)

Det udgår fra grafen, at det grå område må befinde sig i intervallet [-2𝜋; 2𝜋]. Vi definerer yderligere definitionsmængden for x:

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟:−2𝜋≤𝑥≤2𝜋

Vi bestemmer nedre grænse for det grå område, som skæringen mellem grafen for g og x-aksen, hvor x < 0:

𝑔 ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat. med følgende antagelser/definitioner: 𝑥<0

𝑥=−

𝜋

2

Vi bestemmer øvre grænse for det grå område, som skæringen mellem grafen for hhv. f(x) og g(x):

𝑓 ( 𝑥) =𝑔 ( 𝑥)

Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥≈0,78539816

Der blev fundet løsninger vha. numeriske metoder, men der findes muligvis flere.

Vi bestemmer arealet af det grå område, som summen af arealet under grafen for g i intervallet [-^{𝜋}_{2};

0,] og arealet mellem graferne for hhv. f(x) og g(x) i intervallet [0; 0,6], dvs. arealet af grå område er givet ved:

𝐴_{𝑔𝑟å} =∫ 𝑔_{𝜋} ( 𝑥) 𝑑𝑥 + |∫ ( 𝑔 ( 𝑥) − 𝑓 ( 𝑥)) 𝑑𝑥 |

0,78539816 0,78539816

− 0

2

≈2,1213203

Arealet af det grå område er bestemt til 2,12 (afrundet til 2 decimaler).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 25

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. august 2017

25 b)

Tangentens ligning er

𝑦=−𝑥+ 𝜋

dvs. at tangentens hældning er -1. Vi undersøger, hvor grafen for 𝑓

( 𝑥

)

≔sin (𝑥) og grafen for 𝑔

( 𝑥

)

≔ cos (𝑥) har en hældning på -1. Det gør vi ved at løse ligningerne:

𝑓^{′} ( 𝑥) =−1

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=𝜋

𝑔^{′} ( 𝑥) =−1

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=

𝜋

2

I punktet

( 𝜋,𝑓

( 𝜋

)

)

                                        𝜋
har grafen for f en hældning på -1, og i punktet (
                                        2

   𝜋
,𝑔(
   2

)) har grafen for g en hældning på -1. Graferne har en hældning på -1 i mere end ét punkt hver, da cosinus og sinus er periodiske funktioner, så det er ikke sikkert, at vi har fundet det rigtige punkt endnu.

Vi tjekker, om vi har fundet det punkt, vi leder efter, ved at bestemme ligningen for tangenten. Vi starter med punktet ( 𝜋,𝑓 ( 𝜋)):

𝑦=𝑓^{′} ( 𝜋) · ( 𝑥− 𝜋) + 𝑓 ( 𝜋)

Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion,

𝑦=𝜋− 𝑥

Tangentligningen er netop den, der er givet i opgaven. Linjen med ligningen 𝑦=−𝑥+ 𝜋 er altså en tangent

til grafen for f.