HHX Matematik A 2015 26. maj - Delprøven uden hjælpemidler

Side 1

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2015

1

HHX Matematik A

26. maj 2015

Delprøven uden hjælpemidler

hhx151-MAT/A-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Opgave 1 a)

De anvendte oplysninger bruges til at tegne en graf for en mulig funktion på bilaget.

Grafen skal have en vandret tangent, når 𝑥 = 3.

Funktionsværdierne må ikke komme over 7 eller under 0.

Punktet 𝑃(1,4) skal ligge på grafen.

Side 2

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2015

2

Opgave 2 a)

Da produktionsapparatet afskrives lineært, kan vi anvende en lineær model:

𝑓 ( 𝑥) = 𝑎𝑥+ 𝑏

𝑓 angiver værdien af produktionsapparatet i tusinde kr.

𝑥 angiver antal år efter 2012 𝑏 angiver 𝑓(0) og har således værdien 475 𝑎 angiver hældningskoefficienten. Denne kan tolkes som 𝑦-tilvæksten, når 𝑥 vokser med 1. Vi får da, at

𝑎 =−25

Den endelige forskrift bliver nu: 𝑓 ( 𝑥) = −25𝑥+ 475

Vi løser nu ligningen 𝑓 ( 𝑥) = 150

150 = −25𝑥 + 475

⇕

25𝑥 = 475 − 150

⇕

𝑥 =

325

25

= 13

𝑥 antager værdien 13 i årstallet 2012 + 13= 2025

Værdien af produktionsapparatet vil således være 150.000 kr. i år 2025.

Opgave 3 a)

Funktionen differentieres:

𝑓^{′} ( 𝑥) = 4𝑥^{3} + 3 · (𝐼)

1 𝑥

Dette indsættes nu i differentialligningen, og vi undersøger, om den viser det samme på begge sider af lighedstegnet:

Side 3

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2015

3

𝑥· (4𝑥^{3} + 3 ·)=4𝑥^{4} + 3

1 𝑥

⇕

𝑥· 4𝑥^{3} + 𝑥· 3 · = 4𝑥^{4} + 3

1 𝑥

⇕

4𝑥^{4} + 3 = 4𝑥^{4} + 3

Da der står det samme på begge sider af lighedstegnet, har vi nu vist, at 𝑓 er en løsning til den angivne differentialligning.

(𝐼): Regneregler

( 𝑘· 𝑓 ( 𝑥))^{′} = 𝑘· 𝑓^{′} ( 𝑥)

( 𝑓 ( 𝑥) ± 𝑔 ( 𝑥))^{′} = 𝑓^{′} ( 𝑥) ± 𝑔^{′} ( 𝑥)

Funktion Afledt funktion ln(𝑥)

1 𝑥

𝑥^{𝑎} 𝑎· 𝑥

𝑎−1

Opgave 4 a)

Funktionen integreres, hvorved vi finder en forskrift for samtlige stamfunktioner til 𝑓:

𝐹 ( 𝑥) = ∫3𝑥^{2} − 6𝑥+ 9𝑑𝑥

= 3 · 𝑥^{3} − 6 · 𝑥^{2} + 9𝑥 + 𝑘 (𝐼)

1 1

3 2

= 𝑥^{3} − 3𝑥^{2} + 9𝑥 + 𝑘

Da grafen for 𝐹 går gennem punktet 𝑃, ved vi, at 𝐹 ( 2) = 10. Dvs.

10 = 2^{3} − 3 · 2^{2} + 9 · 2 + 𝑘

⇕

10 = 8 − 12 + 18 + 𝑘

⇕

Side 4

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2015

4

𝑘 =10 − 14
= −4

Den endelige funktionsforskrift kan nu opskrives:

𝐹 ( 𝑥) = 𝑥^{3} − 3𝑥^{2} + 9𝑥 − 4

(𝐼): Ubestemt integral hvor F(x) er stamfunktion til f(x)

∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹 ( 𝑥) + 𝑐

Sætte konstant udenfor ∫ 𝑘· 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =𝑘· ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

Sum/differens kan splittes i to integraler ∫ 𝑓 ( 𝑥) ± 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥± ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥

Funktion Stamfunktion

𝑥^{𝑎} 𝑥^{𝑎+1}

1

𝑎+1
𝑘 𝑘· 𝑥

Opgave 5 a)

Omkostningsfunktionen differentieres:

𝐶^{′} ( 𝑥) = · 3𝑥^{2} − 2 · 2𝑥+ 10 (𝐼)

1

3

= 𝑥^{2} − 4𝑥 + 10

Forskriften er således:

𝐺𝑅𝑂𝑀𝐾 ( 𝑥) = 𝑥^{2} − 4𝑥 + 10, 𝑥 ≥0

Vi løser nu: 𝐺𝑅𝑂𝑀𝐾 ( 𝑥) = 15

15 = 𝑥^{2} − 4𝑥+ 10

⇕

𝑥^{2} − 4𝑥− 5 = 0

Vi har nu en andengradsligning på formen: 𝑦=𝑎𝑥^{2} + 𝑏𝑥 + 𝑐

Den har løsningen:

Side 5

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2015

5

𝑥 =

−𝑏 ± √𝑏^{2} − 4𝑎𝑐

2𝑎

=

−(−4) ± √ ( −4)^{2} − 4 · 1 · (−5)
2 · 1
=

4 ± √ 16 + 20

2

=

4 ± √ 36

2

=

4 ± 6

2

Det vil sige:

𝑥_{1} =

4 + 6

2

= 5

Og

𝑥_{2} =

4 − 6

2

= −1

𝑥_{2} < 0 og ligger således uden for funktionens definitionsmængde.

Vi kan nu konkludere, at produktionsmængden er 5 tons, når grænseomkostningerne er 15.000 kr.

(𝐼): Regneregler

( 𝑘· 𝑓 ( 𝑥))^{′} = 𝑘· 𝑓^{′} ( 𝑥)

( 𝑓 ( 𝑥) ± 𝑔 ( 𝑥))^{′} = 𝑓^{′} ( 𝑥) ± 𝑔^{′} ( 𝑥)

Funktion Afledt funktion

𝑥^{𝑎} 𝑎· 𝑥

𝑎−1

𝑥 1