HHX Matematik A 2014 23. maj - Delprøven med hjælpemidler

Side 1

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 23. maj 2014

1

HHX Matematik A

23. maj 2014

Delprøven med hjælpemidler hhx141-MAT-A-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HHX 3. år

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 6 a)

𝑌 isoleres vha. WordMat:

𝑌 = 𝐶𝑆 + 𝑐· ( 𝑌− 𝑡· 𝑌+ 𝑇𝑅) + 𝐼 + 𝐺

⇕ Ligningen løses for Y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑌 =

𝑐· 𝑇𝑅+ 𝐼+ 𝐺 + 𝐶𝑆
𝑐· 𝑡− 𝑐 + 1

b)

Forklaringer er givet til hver af linjerne:

1) Ligningen er skrevet op.

2) 3𝑥 er sat udenfor en parentes.

3) Nulreglen er anvendt (𝑎 · 𝑏 = 0 ⇔ 𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0)

4) Venstre ligning løses ved at dividere begge sider med 3. Herefter foretages udelukkende operationer på højre ligning. 1 lægges til på begge sider.

Side 2

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 23. maj 2014

2

5) Den naturlige logaritme tages på begge sider. Her anvendes, at:

ln ( 𝑒^{𝑥+3}) = ( 𝑥+ 3) · ln ( 𝑒) = 𝑥+ 3 samt at ln ( 1) = 0

6) 3 trækkes fra på begge sider.

Side 3

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 23. maj 2014

3

Opgave 7 a)

Vi indtaster normalfordelingens parametre i WordMat og bestemmer 𝑃 ( 𝑋 < 490) = 𝑃(𝑋 ≤ 490) som
arealet under frekvensfunktionen i intervallet ] − ∞,490]

Normalfordeling

Middelværdi: 500

Spredning: 10

Grafvindue

X_{min} X_{maks}

Areal under frekvensfuntion

X_{min} X_{maks}

490 15,87% b)

Data kopieres ind i WordMats statistikark, optælles og grupperes, hvorefter der tegnes et histogram med en intervallængde på 5 gram.

c)

Ved optælling af data bestemmes en række deskriptorer i WordMat:

5

Vægt i gram

Histogram

Et tern er 4%

Side 4

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 23. maj 2014

4

Deskriptorer

Kvartilsæt

Nedre | 494
Median | 503
Øvre | 511

Obs. Fraktil

Middeltal

502,548

Spredning

10,5474

Vi udvælger og aflæser 3 udvalgte deskriptorer:

Gennemsnit (middeltal): 502,5 g

Standardafvigelse (spredning): 10,5 g

Kvartilsæt: ( 494,503,511) (enhed: gram).

Side 5

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 23. maj 2014

5

Opgave 8 a)

Funktionen defineres:

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑓 ( 𝑥) = 𝑥· −𝑥^{2} + 10𝑥 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 10

√

Nulpunkter bestemmes ved at løse:

𝑓 ( 𝑥) = 0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 0 ∨ 𝑥 = 10

Disse punkter er samtidig definitionsmængdens intervalendepunkter, så ved at undersøge fortegnet for 𝑓 i dette interval har vi kortlagt al fortegnsvariationen:

𝑓 ( 5) = 25

Vi konkluderer nu:

Funktionen har nulpunkter i 𝑥 = 0 og 𝑥 = 10.

Funktionen er positiv i intervallet ]0,10[ b)

Grafen tegnes i WordMat og nulpunkterne markeres:

Side 6

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 23. maj 2014

6

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 7

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 23. maj 2014

7

Opgave 9 a)

Differentialligningen løses vha. begyndelses betingelsen 𝑑 ( 0) = 10000:

𝑑^{′} ( 𝑥) =

−𝑑 ( 𝑥)

𝑥+ 10
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen d(0)=10000
𝑑 ( 𝑥) =

100000

𝑥+ 10
Definitionsmængden ændres ikke, så der gælder selvfølgelig stadig, at 𝑥 ≥ 0.

b)

Begrænsningen på 𝑥 defineres:

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟:𝑥 ≥ 0

Funktionen for efterspørgslen defineres: 𝑑 ( 𝑥) ≔

100000

𝑥+ 10

Funktionen for udbuddet defineres:

𝑠 ( 𝑥) ≔ 80𝑥+ 100

Ligevægtsmængden bestemmes ved at løse:

𝑠 ( 𝑥) =𝑑(𝑥)

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 30

Ligevægtsprisen bestemmes nu som:

𝑠 ( 30) = 2500

Vi kan konkludere, at ligevægtsmængden er 𝑄 = 30 og ligevægtsprisen er 𝑃 = 2500.

c)

Linjen 𝑦 = 𝑃 kan opfattes og defineres som en konstant funktion:

𝑃 ( 𝑥) ≔ 2500

Side 8

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 23. maj 2014

8

Vi ser, at der i hele intervallet [ 0,𝑄] =[0,30] gælder, at 𝑑 ( 𝑥) ≥ 𝑃(𝑥). Arealet mellem graferne for de to

funktioner i dette interval (det grå område) kan således bestemmes som:

𝐴_{𝑔𝑟å} = ∫ 𝑑 ( 𝑥) − 𝑃 ( 𝑥) 𝑑𝑥

30

0

≈ 63629,44

Forbrugeroverskuddet er således 63.629,44.

Side 9

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 23. maj 2014

9

Opgave 10 a)

                                                                                    2
Der foretages et 𝑥𝑦-plot med tilhørende tendenslinje, regressionsligning og determinationskoefficient R i

Excel:

Regressionsligningen aflæses, og modellen opstilles:

𝐵 ( 𝑥) = 18375 · 𝑥+ 1499230

b)

Vi definerer kendte størrelser:

Antal punkter (𝑥,𝑦) i analysen: 𝑛 ≔ 13

                       2
Determinationskoefficient 𝑅 defineres som 𝑅 for at undgå forvirring af WordMat 𝑅 ≔ 0,985

Estimat af hældningskoefficient (vi skriver 𝑎
                                   𝑒

frem for 𝑎̂, da WordMat opfatter ”hat” som vektornotation):

𝑎_{𝑒} ≔ 18375

                                                       1−𝑅
                                                             2
Standardfejlen er givet ved (igen undlades 𝑎̂-notation): 𝑠 ≔ 𝑎 · ( )
                                              𝑎    𝑒
                                                      𝑅· ( 𝑛−2 )

1

Konfidensintervallets grænser kan da bestemmes som:

𝑎_{𝑒} ± 𝑡_{𝑛−2} · 𝑠_{𝑎}

                       𝛼
𝑡   er betegnelsen for 1 − fraktilen af en 𝑡-fordeling med 𝑛 − 2= 11 frihedsgrader. 𝛼 er
 𝑛−2
                       2

signifikansniveauet (i vores tilfælde 5%), så vi skal finde 0,975-fraktilen. Denne beregnes i GeoGebra:

y = 18375x + 1499230
R² = 0,985

1450000

1500000

1550000

1600000

1650000

1700000

1750000

2 14

Side 10

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 23. maj 2014

10

Vi definerer nu:

𝑡_{11} ≔ 2,201

Grænserne for 95%-konfidensintervallet kan nu beregnes:

Øvre: 𝑎_{𝑒} + 𝑡_{11} · 𝑠_{𝑎} ≈ 19879,8

Nedre: 𝑎_{𝑒} − 𝑡_{11} · 𝑠_{𝑎} ≈ 16870,2

Et 95%-konfidensinterval er således bestemt for hældningskoefficienten 𝑎: [16870,19880].

c)

Stigningen i antal familier med ”egne hjul at køre på” kan beregnes som antallet af familier med bil i år

2012 minus antallet af familier med bil i år 2000. Da vi har de korrekte data, er denne beregning mere præcis end anvendelse af modellen. Vi får da:

𝑆𝑡𝑖𝑔𝑛𝑖𝑛𝑔 𝑖 𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑖𝑒𝑟 𝑚𝑒𝑑 𝑏𝑖𝑙 = 1711175 − 1492778
= 218397

Det ser således ud til, at journalisterne har haft adgang til samme datamateriale som det i filen familier.

En samlet stigning på 220000 over 12 år giver en gennemsnitlig, årlig stigning på:

Side 11

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 23. maj 2014

11

220000

12

≈ 18333,33

Denne størrelse passer fint med modellen, hvor den årlige stigning i antal familier med bil estimeres til

18375.

I avisartiklen bliver den årlige stigning anført som 17000. Dette svarer til den årlige stigning, hvis målingerne var foretaget over en 13-årig periode, i det:

220000

13

≈ 16923,08

Hvis journalisterne bag undersøgelsen har haft adgang til samme datamateriale som i filen familier, må man således formode, at de har begået den fejl at tro, at data er målt i en periode på 13 år. Man må rimeligvis antage, at målingerne er foretaget samme tidspunkt på året, og i så fald er der altså kun gået 12 år fra første datapunkt til sidste datapunkt. Man kunne forestille sig, at alle målingerne er foretaget 1.

januar det pågældende år, men at journalisterne alligevel har medregnet hele år 2012.

Hvis vi antager, at alle målingerne blev foretaget 1. januar, ville et korrekt udsagn være:

”Antallet af familier med bil er steget med ca. 18.400 hvert eneste år siden årtusindskiftet, så ca. 220.000 flere danske familier har fået egne hjul at køre på i perioden fra januar 2000 til januar 2012.”

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 12

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 23. maj 2014

12

Opgave 11 a)

Funktionerne for salgspriserne defineres:

ERGO:

𝑝 ( 𝑥) ≔ −0,2𝑥+ 700

FLEX:

𝑞 ( 𝑦) ≔ −0,25𝑦 + 900

Det samlede ugentlige dækningsbidrag kan beregnes en sum af dækningsbidragene for hhv. ERGO og FLEX.

Det vil sige:

𝐷𝐵 ( 𝑥,𝑦) = 𝑥· ( 𝑝 ( 𝑥) − 100) + 𝑦 · ( 𝑞 ( 𝑦) − 100)
= ( −0,25 · 𝑦 + 800) · 𝑦 + ( −0,2 · 𝑥 +600) · 𝑥

Udtrykket udvides vha. CAS-værktøjet WordMat.

= 800 · 𝑦 − 0,25 · 𝑦^{2} + 600 · 𝑥− 0,2 · 𝑥^{2}

Det vil sige, at:

𝐷𝐵 ( 𝑥,𝑦) ≔ −0,2𝑥^{2} + 600𝑥 − 0,25𝑦^{2} + 800𝑦

b)

𝐷𝐵(𝑥,𝑦) er en kvadratisk funktion på formen:

𝑓 ( 𝑥,𝑦) = 𝑎𝑥^{2} + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑦^{2} + 𝑑𝑦 + ℎ

Konstanterne defineres:

𝑎 ≔ −0,2

𝑏 ≔ 600

𝑐 ≔ −0,25

𝑑 ≔ 800 ℎ ≔ 0

(Den sidste konstant benævnes ℎ, da 𝑒 i WordMat er reserveret til Eulers tal).

En række nye konstanter anvendes til at afgøre formen på niveaukurverne: 𝑝 ≔ − 𝑏

2𝑎 𝑞 ≔ − 𝑑

2𝑐

𝐾 ≔ ℎ − 𝑎· 𝑝^{2} − 𝑐· 𝑞^{2}
Da 𝑎 og 𝑐 begge er negative, vil niveaukurverne 𝑁 ( 𝑡):𝐷𝐵 ( 𝑥,𝑦) = 𝑡 være ellipser med centrum i (𝑝,𝑞), når
blot 𝑡 − 𝐾 < 0.

Side 13

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 23. maj 2014

13

Vi undersøger, om denne ulighed er opfyldt for 𝑡 ≔ 890000

𝑡− 𝐾 = −200000

Da uligheden er opfyldt, er niveaukurven 𝑁(890000) en ellipse.

c)

Da 𝑎 og 𝑐 begge er negative, findes den største værdi af 𝐷𝐵(𝑥,𝑦) i ( 𝑥,𝑦) = (𝑝,𝑞), som samtidig er

ellipsernes centrum.

Vi beregner koordinatsættet for funktionens maksimum:

𝑝 = 1500

𝑞 = 1600

Vi skal dog huske på, at kapacitetsområdet er begrænset af en række uligheder:

𝑥 + 𝑦 ≤ 4000

⇕ Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦 ≤ 4000 − 𝑥

100≤ 𝑥 ≤ 2500

100 ≤ 𝑦 ≤ 3000

Kapacitetsområdet indtegnes sammen med ellipsernes centrum:

Side 14

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 23. maj 2014

14

Da centrum for ellipserne findes inden for kapacitetsområdet, findes den største værdi af 𝐷𝐵(𝑥,𝑦) i dette centrum med koordinatsættet (1500,1600). Det maksimale dækningsbidrag kan bestemmes som:

𝐷𝐵 ( 𝑝,𝑞) = 1090000

Det største dækningsbidrag opnås altså ved en ugentlig omsætning på 1500 stk. ERGO og 1600 stk. FLEX.

Dette dækningsbidrag er på 1.090.000 kr.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 15

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 23. maj 2014

15

Til eksamen skal du kun udvælge én af de tre følgende opgaver, 12A, 12B og 12C. Her bringes alle løsninger, så du kan bruge dem til at øve de forskellige opgavetyper.

Opgave 12A a)

Data optælles vha. en pivottabel i Excel og indsættes i et skema som det angivne:

1. 2. Total

Kvartal Kvartal

Norge 27 25 52

Sverige 324 247 571

Øvrigt 37 192 229 udland

Total 388 464 852 b)

Vi opstiller en nulhypotese og en alternativ hypotese:

𝐻_{0}: Der er uafhængighed mellem oprindelsesland og besøgstidspunkt.

𝐻_{1}: Der er ikke uafhængighed mellem oprindelsesland og besøgstidspunkt.

                                          2
Tabellens data indsættes i WordMats Excel-ark til 𝜒 -uafhængighedstest med følgende resultat:

χ²-test

Observationer I alt Forventede I alt

27 25 52 23,68075 28,31925 52

324 247 571 260,0329 310,9671 571

37 192 229 104,2864 124,7136 229

I alt 388 464 852 388 464 852

P-værdi: 0,00% Der er en sammenhæng

Signifikans niveau: 5%

Frihedsgrader: 2

Q-værdi: 109,4647904

0,4652476 0,3890433 15,735682 13,158286 43,413698 36,302834

Kritisk Q-værdi: 5,7

Da 𝑝 = 0,00% < 5%, forkastes nulhypotesen på et 5% signifikansniveau. Der kan således ikke antages

uafhængighed mellem land og tidspunkt for besøg.

Side 16

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 23. maj 2014

16

Bidragene til teststørrelsen 𝑄 = 109,5 kan aflæses som de små grå tal ud for 𝑄-værdien, og de opstilles nu

i et bidragsskema:

1. Kvartal 2. Kvartal

Norge 0,465 0,389

Sverige 15,7 13,2

Øvrigt udland 43,4 36,3

Ved antagelse om uafhængighed, ser vi, at de største afvigere er fra øvrigt udland og dernæst Sverige.

Afvigelserne er generelt størst i 1. kvartal.

Side 17

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 23. maj 2014

17

Opgave 12B a)

Kendte størrelser defineres:

Lånets størrelse: 𝐴 ≔ 840000 · 0,4
               0

Antal terminer: 𝑛 ≔ 20 · 12

Månedlig rente: 𝑟 ≔ 0,0044

Den månedlige ydelse, 𝑦, kan nu bestemmes som:

𝐴_{0} = 𝑦 ·

1 − ( 1 + 𝑟)^{−𝑛}

𝑟

⇕ Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦 = 2269,751

Det vil sige, at den månedlige ydelse på banklånet 2269,75 kr.

b)

Den månedlige ydelse defineres: 𝑦 ≔ 2269,75

Antal terminer omdefineres: 𝑛 ≔ 10 · 12

Restgælden efter 10 år kan nu bestemmes som:

𝑅_{𝑛} = 𝐴_{0} · ( 1 + 𝑟)^{𝑛} − 𝑦·

( 1 + 𝑟)^{𝑛} − 1

𝑟

≈ 211258,9

Det vil sige, at restgælden efter 10 år er på 211.258,90 kr.

Arven på 200.000 kr. er altså ikke alene nok til, at Andrea kan betale restgælden på banklånet.

Side 18

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 23. maj 2014

18

Opgave 12C a)

Funktionerne for hhv. omsætning og omkostninger defineres:

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 0 ≤ 𝑥 ≤ 6000

𝑅 ( 𝑥) ≔ −0,75𝑥^{2} + 4500𝑥

𝐶 ( 𝑥) ≔ 0,0001𝑥^{3} − 0,7𝑥^{2} + 2700𝑥

Dækningsbidraget kan da bestemmes som:

𝐷𝐵 ( 𝑥) = 𝑅 ( 𝑥) − 𝐶 ( 𝑥)
= −0,0001 · 𝑥^{3} − 0,05 · 𝑥^{2} + 1800 · 𝑥

Det vil sige:

𝐷𝐵 ( 𝑥) ≔ −0,0001𝑥^{3} − 0,05𝑥^{2} + 1800𝑥

Når 𝑥 = 2000, får vi:

𝐷𝐵 ( 2000) = 2600000

Dækningsbidraget ved et salg på 2000 espressomaskiner er således 2.600.000 kr. (Det formodes, at der er tale om kr., da denne enhed er anvendt på grafen i opgaveformuleringen.)

b)

Stationære punkter bestemmes ved at løse ligningen:

𝐷𝐵^{′} ( 𝑥) = 0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 2288,487

Da der kun er et stationært punkt i definitionsmængden, må dette være det lokale maksimum, som ses på grafen i opgaveteksten ser vi. Da punktet er det eneste ekstremum, må det desuden være globalt maksimum.

Da 𝑥 er en diskret variabel (der kan kun sælges et helt antal kaffemaskiner), kan den maksimale afsætning bestemmes som en af følgende værdier:

𝐷𝐵 ( 2288) ≈ 2658898

𝐷𝐵 ( 2289) ≈ 2658898

Værdierne er ens, så det størst mulige dækningsbidrag har størrelsen 2.658.898 kr.