HHX Matematik A 2014 18. august - Delprøven uden hjælpemidler

Side 1

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014

1

HHX Matematik A

18. august 2014

Delprøven uden hjælpemidler

hhx142-MAT/A-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Opgave 1 a)

Grafen for en mulig funktion skitseres på bilag 1:

Side 2

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014

2

Opgave 2 a)

Funktionen differentieres

𝑓^{′} ( 𝑥) = 2𝑥 (𝐼)

𝑓(𝑥) og 𝑓′(𝑥) subsitueres ind i differentialligningen i stedet for hhv. 𝑦 og 𝑦′:

( 𝑥^{2} + 4) − 4 = · 𝑥· ( 2𝑥)

1

2

⇕

𝑥^{2} = 𝑥^{2}

Da der nu står det samme på begge sider af lighedstegnet, kan vi konstatere, at 𝑓 er en løsning til den angivne differentialligning.

(𝐼):

( 𝑘· 𝑓 ( 𝑥))^{′} = 𝑘· 𝑓^{′} ( 𝑥)

( 𝑓 ( 𝑥) ± 𝑔 ( 𝑥))^{′} = 𝑓^{′} ( 𝑥) ± 𝑔^{′} ( 𝑥)

Funktion Afledt funktion

𝑥^{𝑎} 𝑎· 𝑥

𝑎−1

𝑘 0

Opgave 3 a)

Da der er tale om en lineær sammenhæng, kan hældningskoefficienten bestemmes som:

𝑎 =

𝑦_{2} − 𝑦_{1}
𝑥_{2} − 𝑥_{1}
=

1800 − 2300
6000 − 4000
= −

500

2000

= −

1

4

Vi benytter nu, at:

Side 3

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014

3

𝑝 ( 𝑥) = 𝑎· 𝑥+ 𝑏

𝑝 ( 4000) = 2300

𝑎 = −

1

4

Det vil sige:

2300= (−) · 4000 + 𝑏

1

4

⇕

2300 = −1000 + 𝑏

⇕

𝑏 = 3300

Den endelige forskrift bliver da:

𝑝 ( 𝑥) = − · 𝑥+ 3300

1

4

Vi løser nu:

𝑝 ( 𝑥) = 800

Dvs.

− 𝑥+ 3300= 800

1

4

⇕

1

4

𝑥 = 3300 − 800

⇕

𝑥 = 2500 · 4
= 10000

Det vil sige, at afsætningen ved en pris på 800 kr. pr. stk. er på 10.000 stk.

Side 4

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014

4

Opgave 4 a)

Medianen findes ved aflæsning af den tilhørende 𝑥-værdi ved en kumuleret frekvens på 50%.

Medianalderen var således 55 år.

20% af mændene var 25 år eller under.

50% af mændene var 55 år eller under.

Andelen af mænd mellem 25 år og 55 år bliver da 50% − 20%= 30%

30% af mændene var således mellem 25 år og 55 år.

Opgave 5 a)

Integralet bestemmes:

∫ 𝑀𝐶(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥^{2} − 50𝑥+ 800 𝑑𝑥

𝑞 𝑞

0 0

= [ 𝑥^{3} − 50 · 𝑥^{2} + 800𝑥] (𝐼)

1 1

3 2

0 𝑞

= [ 𝑥^{3} − 25𝑥^{2} + 800𝑥]

1

3

0 𝑞

= 𝑞^{3} − 25𝑞^{2} + 800𝑞

1

3

De samlede variable omkostninger er således givet ved forskriften:

𝑉𝐶 ( 𝑞) = 𝑞^{3} − 25𝑞^{2} + 800𝑞

1

3

(𝐼):

Bestemt integral

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = [ 𝐹 ( 𝑥)]_{𝑎}^{𝑏} = 𝐹 ( 𝑏) − 𝐹(𝑎)

𝑏 𝑎

Sætte konstant udenfor ∫_{𝑎}^{𝑏} 𝑘 ·𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑘· ∫_{𝑎}^{𝑏} 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

Sum/differens kan splittes i to integraler ∫_{𝑎}^{𝑏} 𝑓 ( 𝑥) ± 𝑔 ( 𝑥) 𝑑𝑥 = ∫_{𝑎}^{𝑏} 𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥± ∫_{𝑎}^{𝑏} 𝑔 ( 𝑥) 𝑑𝑥

Side 5

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 18. august 2014

5

Funktion Stamfunktion

𝑥^{𝑎} 𝑥^{𝑎+1}

1

𝑎+1
𝑘 𝑘· 𝑥