Matematikprojekt på grundforløbet til elektriker

Side 1

18-3-2011

POPCORN-PROJEKTET

Side 2

2

Opgaveformulering:

Jeg ønsker at finde en mere papirbesparende metode til fremstilling af popcornbægere. Årsagen til valg af opgave, er en betragtning og undren over, hvorfor man i biografer er gået fra det gammeldags ”kræmmerhus” til de nuværende spande- eller kasseformede bægere. Er det for at spare papir eller er det for at følge den amerikanske trend XXX-Large, der kræver, at popcornbeholderen har en ”fod” den kan stå på, hvis ikke det skal gå ud over behændigheden og håndteringen.

Jeg vil tage udgangspunkt i ”kræmmerhuset” (fremover betegnet som keglen) og give den en volumen, som jeg herefter vil sammenholde og sætte op imod hhv. keglestub (en ”spand”) og pyramidestub (en ”kasse”), da dette er de oftest forekommende former i biografernes popcornudsalg.

Forudsætninger:

Jeg vil tillade mig at forudsætte, at der er en vis sammenhæng forholdene imellem i de enkelte figurer, da jeg ellers ser mig nødsaget til at vove mig ud i differentialregning (optimering) og dette kan blive et problem af to årsager: 1) Jeg kan ikke regne det og 2) Anne-Mette kan ikke rette det!

Keglen m. tilhørende formler:

𝑽= ∙𝝅∙𝒓^{𝟐} ∙𝒉

𝟏

𝟑

𝑨= 𝝅∙𝒓∙ 𝒓 + 𝒉^{𝟐}

√^{𝟐}

(dette er arealet af den krumme flade, hvilket er, hvad jeg er interesseret i, da keglen er åben foroven)

Først vil jeg finde ud af det optimale papirforbrug, altså mindst muligt, for en kegle, der indeholder 1 liter

(1000ml). For at gøre det, vil jeg isolere h og derefter indsætte resultatet på h’s plads i arealformlen. Jeg vil da have en ligning med kun to ubekendte og ved indsættelse af forskellige værdier for r, kan jeg tegne en graf for arealets størrelse. Jeg formoder, at det vil blive en graf, der nærmer sig asymptotisk til y-aksen, da r aldrig kan blive 0 eller mindre, men at den ellers vil opføre sig lidt som en parabel, da arealformlen minder lidt om en

                                                              2
andengradsfunktion med en variabel i anden, en variabel og en konstant (y = ax +bx+c). Dog kan der aldrig

opstå negative værdier (da r ikke kan være mindre end 0) og grafen vil altså kun optræde på den positive del af akserne. ”Toppunktet” vil da kunne aflæses som det optimale areal, altså mindst muligt papirforbrug.

       1
             2
1000 =   ∙𝜋∙𝑟  ∙ℎ ⬄
       3

h r a

Side 3

3

ℎ=

1000

1

3

∙𝜋∙𝑟

2

Da nu h er fundet udtrykt ved r, kan den indsættes i formlen for arealet:

                 1000
             2       2
𝐴= 𝜋∙𝑟∙    (𝑟 + (   )
                 1
                  ∙𝜋∙𝑟
                 3

√

2

Nu vil jeg så indsætte forskellige værdier for r og dermed lave et klassisk ”sildebens”-diagram, der kan indtegnes i et koordinatsystem. For nemhedens og overskuelighedens skyld, har jeg valgt at gøre det i Excel (se bilag 1)

Værdierne, jeg som udgangspunkt har valgt, er de hele tal fra og med 1 til 50cm.

Jeg kan nu se, at toppunktet ligger omkring 8 og vil derfor indsnævre værdien af r for at aflæse mere præcist.

I nedenstående graf er det valgte spænd r = 8,770 til r = 8,778 (se bilag 2)

Jeg vælger at sige, at ovenstående graf er rigeligt præcis og aflæser derfor den optimale radius til at være

8,773cm.

0

2000

4000

6000

8000

10000

0 50 60

Areal cm2

Radius cm

Areal kegle r 1 - 50cm

418,80775

418,8078

418,80785

418,8079

418,80795

418,808

418,80805

8,768 8,77 8,772 8,774 8,776 8,778 8,78

Areal cm2

Radius cm

Areal kegle r 8,77 - 8,778cm

Side 4

4

                                                                1000
Denne værdi kan nu indsættes i den oprindelige formel for h udtrykt ved r, ℎ=
                                                                1
                                                                  2
                                                                ∙𝜋∙𝑟
                                                                3

ℎ=        ⬄
    1

1000

3

∙𝜋∙8,773

2

ℎ= 12,41 cm

For at krydschecke vil jeg nu lave en tilsvarende formel for arealet, hvor r er udtrykt ved h:

    1000
ℎ=     ⬄ 𝑟=
    1
    ∙𝜋∙𝑟
    3

2

√^{1000} 1_{3}_{∙𝜋∙ℎ}

𝐴= 𝜋∙𝑟∙ √ 𝑟^{2} + ℎ^{2} ⬄

         1000    1000
                        2
𝐴= 𝜋∙   (   ) ∙ (   ) + ℎ
         1       1
          ∙𝜋∙ℎ    ∙𝜋∙ℎ
         3       3

√ √

og også her indsætte forskellige værdier for h. Jeg vælger området omkring 12,41 cm, da jeg formoder, det hidtil gjorte er korrekt. (Igen vælger jeg at udføre beregningerne i Excel, bilag 3)

Det, der nu er beregnet er, at det mindste overfladeareal for en kegle med en volumen på 1 liter, er ca. 418,81

cm^{2} og at forholdet mellem radius og højde er ca. 1:1,41 (12,41/8,773)

Dette er ikke et særligt praktisk størrelsesforhold, da det medfører, at keglen – eller kræmmerhuset – bliver meget ”fladt”, som en omvendt kineserhat og altså ikke er synderligt håndtérbart.

Hvad der dog er interessant at bide mærke i er, at 1,41 er det samme som kvadratroden af 2. Er det et tilfælde

eller vil forholdet altid være mest optimalt, når ℎ= 𝑟∙ √ 2?? Jeg prøver derfor nu at indsætte værdien ℎ= 𝑟∙
√ 2 i de oprindelige formler for arealet og volumen:

    1
          2
𝑉=   ∙𝜋∙𝑟  ∙ℎ ⬄
    3

418,8

418,81

418,82

418,83

418,84

418,85

12,2 12,25 12,3 12,35 12,4 12,45 12,5 12,55 12,6

Areal cm2

Højde cm

Areal kegle h 12,2 - 12,55cm

Side 5

5

    1
          2
𝑉=   ∙𝜋∙𝑟  ∙𝑟∙ √ 2 ⬄
    3

    1
          3
𝑉=   ∙𝜋∙𝑟  ∙ √ 2
    3

og

𝐴= 𝜋∙𝑟∙ √ 𝑟^{2} + ℎ^{2} ⬄

𝐴= 𝜋∙𝑟∙ 𝑟 + (𝑟∙ √ 2)^{2} ⬄

√^{2}

𝐴= 𝜋∙𝑟∙√3𝑟^{2} ⬄

𝐴= 𝜋∙ √ 3 ∙𝑟^{2}

Da det er forholdet de to formler imellem, jeg er interesseret i, vil jeg nu prøve at sætte dem over hinanden og foretage yderligere reduktion:

𝐴 √ 3∙𝑟^{2}
𝑉 √ 2∙𝑟^{3}

  𝜋∙
=      ⬄
  1
   ∙𝜋∙
  3

𝐴 √ 3∙𝑟^{2}
𝑉 √ 2∙𝑟^{3}

  𝜋∙3
=       ⬄
  𝜋∙

𝐴 3

𝑉 ∙𝑟

  3 √
=
  √ 2

Okay, når man så har en given volumen, eksempelvis 1 liter, så kommer det til at ligne funktionen for en

                  𝑘
hyperbel, nemlig 𝑦= , hvilket i dette tilfælde kommer til at se ud som følger:
                  𝑥

    3
𝐴=

√ 3∙1000
√ 2 ∙𝑟

Det, jeg nu har fundet en formel for, er forholdet mellem areal pr. liter i forhold til radius. Det vil altså sige, at mængden af papir brugt vil blive forholdsvis mindre jo mere kræmmerhuset skal indeholde.

Som oprindelig vil jeg nu atter forsøge at indsætte forskellige værdier for r i denne formel og se, om hypotesen holder (bilag 4).

0

1000

2000

3000

4000

0 50 60

Areal cm2/liter

Radius cm

Areal/liter kegle h=r x 2^{½}

Side 6

6

Kurven viser en hyperbel og bekræfter altså, at arealet pr. liter bliver mindre og mindre i forhold til radius. Det vil altså sige, at det bedre kan betale sig for producenten af popcorn-kræmmerhuse at lave ét 10-liters kræmmerhus end 10 1-liters kræmmerhuse. De er nok sværere afsat til biograferne, men teoretisk ville det være fordelagtigt.

Desværre kan jeg ikke finde ud af, hvorfor forholdet mellem radius og højde netop bliver 1: √ 2, men taget i
betragtning, at √ 2 er et tal, der går igen mange gange i geometrien (f.eks. i en retvinklet trekant med kateterne 1
vil hypotenusen være √ 2), vælger jeg bare at acceptere, at det sådan. En kegle er jo faktisk bare en retvinklet

er trekant drejet om sin ene katete uendeligt mange gange…

Afslutningsvis vil jeg blot repetere, at det optimale papirforbrug for en kegle indeholdende 1 liter er 418,81

cm^{2}, som jeg så senere kan sammenholde med papirforbruget ved en keglestub og en pyramidestub.

Keglestub (”Spanden”) m. tilhørende formler:

𝑽= ∙𝝅∙𝒉∙(𝒂^{𝟐} + 𝒂𝒃+ 𝒃^{𝟐})

𝟏

𝟑

𝐴= 𝜋∙(𝑎+ 𝑏) ∙ √ ℎ^{2} + (𝑏−𝑎)^{2}

(Dette er formlen for arealet af den krumme h overflade og da jeg ønsker at få arealet af bunden med, tillægger jeg arealet for en

cirkel 𝜋𝑎^{2}):

a 𝑨= 𝝅∙ ( 𝒂+ 𝒃) ∙ √ 𝒉^{𝟐} + ( 𝒃−𝒂)^{𝟐} + (𝝅∙
𝒂^{𝟐})

Som tidligere nævnt, vil jeg tillade mig nogle forudsætninger for at undgå differentialregningen.

Forudsætningen her bliver, at b er dobbelt så lang som a, hvilket jeg vælger at leve med, da det giver keglestubben en vis symmetri, der kan accepteres i biografens mørke. Dette vil altså sige, at b fremover vil blive benævnt 2a.

Derved ender jeg igen, som med keglen, op med kun to ubekendte, nemlig h og a, og jeg vil derfor fortsætte efter samme fremgangsmåde som før, med nedkogning af ligninger, udførsel af ”sildeben” og indsættelse i koordinatsystem med aflæsning af optimal højde og længde for mindst muligt papirforbrug.

       1
                2        2
1000 =  ∙𝜋∙ℎ∙(𝑎   + 𝑎𝑏+ 𝑏 ) ⬄
       3

       1
                2     2    2
1000 =  ∙𝜋∙ℎ∙(𝑎   + 2𝑎 + 4𝑎 ) ⬄
       3

       1
                 2
1000 =  ∙𝜋∙ℎ∙7𝑎   ⬄
       3

      3∙1000
  2
7𝑎  =     ⬄

𝜋∙ℎ b

Side 7

7

     3∙1000
 2
𝑎  =     ⬄
      𝜋∙ℎ∙7

𝑎= √^{3000}_{𝜋∙ℎ∙7}

Hermed er der fundet en værdi for a udtrykt ved h. Jeg vil nu erstatte værdien b med værdien 2a i arealformlen og dernæst indsætte værdien a udtrykt ved h i den endelige formel.

𝐴= 𝜋∙ ( 𝑎+ 𝑏) ∙ √ ℎ^{2} + ( 𝑏−𝑎)^{2} + (𝜋∙𝑎^{2}) ⬄
𝐴= 𝜋∙ ( 𝑎+ 2𝑎) ∙ √ ℎ^{2} + ( 2𝑎−𝑎)^{2} + (𝜋∙𝑎^{2}) ⬄
𝐴= 𝜋∙3𝑎∙ √ ℎ^{2} + 𝑎^{2} + (𝜋∙𝑎^{2}) ⬄

          3000         3000        3000
                   2
𝐴= 𝜋∙3 ∙ √    ∙ √ ℎ + (    ) + (𝜋∙(    ))
           𝜋∙ℎ∙7       𝜋∙ℎ∙7        𝜋∙ℎ∙7

Nu har jeg den endelige formel og ved at indsætte forskellige værdier for a, vil der fremkomme en kurve i et koordinatsystem, hvor det igen vil være muligt at aflæse den optimale a-værdi.

De valgte h-værdier vil som udgangspunkt være hele tal fra 1 til 20, da jeg forventer, at højden h ikke vil være af væsentlig forskel fra den beregnede højde i keglen (12,41 cm). (Bilag 5)

Her er det lidt sværere at aflæse, men det ligner noget omkring 7cm. Så jeg prøver mig lidt frem og ender med at beslutte et spænd fra 7,6 til 7,8, hvilket resulterer i nedenstående kurve: (bilag 6)

0

1000

2000

3000

25

Areal cm2

Højde cm

Areal keglestub h 1 - 20cm

403,76

403,78

403,8

403,82

403,84

7,6 7,65 7,7 7,75 7,8 7,85

Areal cm2

Højde cm

Areal keglestub h 7,6 - 7,8cm

Side 8

8

Nu er kurven præcis nok til, at jeg – sammenholdt med beregningerne - kan bestemme den optimale højde af keglestubben til at være 7,74 cm. Igen kan jeg nu indsætte den nys fundne værdi i en ligning, hvor jeg udtrykker a ved h.

𝑎= √^{3000}_{𝜋∙ℎ∙7}

𝑎= 4,198 𝑐𝑚

                                                              3000        3000
Igen vil jeg krydschecke resultatet. Derfor indsætter jeg h udtrykt ved a (𝑎= √ ⬄ ℎ= ) i den
                                                                           2
                                                              𝜋∙ℎ∙7       𝑎 ∙𝜋∙7

reducerede arealformel:

𝐴= 𝜋∙3𝑎∙ √ ℎ^{2} + 𝑎^{2} + (𝜋∙𝑎^{2}) ⬄

             3000
                             2
                 2   2
𝐴= 𝜋∙3𝑎∙  √ (   ) + 𝑎  + (𝜋∙𝑎 )
              2
            𝜋∙𝑎

∙7

Jeg forventer, at den optimale længde a på keglestubben vil være ca. 4,2cm og vælger derfor at lave mit koordinatsystem med nogle intervaller, der er tilpasset efter dette. (Bilag 7)

Både ved udregning af a udtrykt ved h og omvendt kommer jeg frem til et areal på 403,77 cm^{2} og kan dermed
konkludere, at det optimale forhold i en keglestub - hvor det er forudsat, at 𝑏= 2𝑎 - er 1:1,84. Altså, at højden

skal være 1,84 gange længere end længden a for at få den mindst mulige overflade til den størst mulige volumen.

Denne gang ligner tallet ikke noget ”interessant” (som √ 2) og jeg vil derfor lade kapitlet ende her med at

                                                                              2
konstatere, at det optimale overfladeareal for en keglestub med en volumen på 1 liter, er 403,77 cm , og

dermed ca. 3,6% mindre

403,5

404

404,5

405

405,5

3,9 4 4,1 4,2 4,3 4,4

Areal cm2

Længde a cm

Areal keglestub a 4 - 4,4cm

Side 9

9

Pyramidestub (”Popcornbægeret”) m. tilhørende formler:

𝑽= ∙𝒉∙ ( 𝑮+ 𝒈+ √ 𝑮∙𝒈)

𝟏

𝟑

(hvor G er arealet af den øverste flade, g er arealet af den nederste)

Der findes tilsyneladende ikke nogen formel for arealet af en pyramidestub, så jeg ser mig nødsaget til at lave

min egen, der fremover vil blive kendt som Meiers Lov . Jeg vil dog igen forudsætte, at 𝑏= 2𝑎

En pyramidestub består jo af fire trapezer og to grundflader. I mit tilfælde er det arealet af de fire flader samt den mindste grundflade, der er relevant, da popcornbægeret ikke skal have noget ”låg”.

T er her lig arealet for et trapez.

    𝑎+2𝑎
𝑇=      ∙𝑠 ⬄ 𝑇=      ∙𝑠

2 2

3𝑎

𝑠= √ ℎ^{2} + 𝑐^{2} (jf. Pythagoras) ⬄

    3𝑎
         2    2
𝑇=    ∙ √ ℎ + 𝑐

2

    2𝑎−2
𝑐=     ⬄ 𝑐=         ⬄

2 2 𝑎 h a b s h

2a a c

Side 10

10

    3𝑎        𝑎
          2     2
𝑇=    ∙ √ ℎ + ( ) Dette er altså formlen for arealet af én sideflade. Den skal nu ganges med 4 og så skal
              2

2

”bunden” lægges til:

       3𝑎        𝑎
                         2
             2     2
𝐴= 4 ∙(   ∙ √ ℎ + ( ) )+ 𝑎 ⬄
        2        2

               𝒂
                     𝟐
          𝟐     𝟐
𝑨= 𝟔𝒂∙  √ 𝒉 + ( ) + 𝒂
               𝟐

Så er jeg igen fremme ved to formler, hvor den ene ubekendte kan isoleres og resultatet kan så indsættes på dennes plads i den anden formel, som ved de to foregående figurer.

Først vil jeg lige vende tilbage til formlen for volumen, da den godt kan reduceres yderligere i og med, at 𝑏=
2𝑎 (og 𝑉= 1000)

    1
𝑉=   ∙ℎ∙ ( 𝐺+ 𝑔+ √ 𝐺∙𝑔 ) ⬄
    3

    1
            2   2
                       2   2
𝑉=   ∙ℎ∙ ( 4𝑎 + 𝑎 + √4𝑎 ∙𝑎 ) ⬄
    3

    1
            2
                   4
𝑉=   ∙ℎ∙ ( 5𝑎 + √ 4𝑎 ) ⬄
    3

    1
            2    2
𝑉=   ∙ℎ∙ ( 5𝑎 + 2𝑎 ) ⬄
    3

    1
           2
𝑉=   ∙ℎ∙7𝑎  ⬄ (herefter sættes værdien 𝑉= 1000 ind)
    3

      3∙1000
  2
7𝑎  =     ⬄

ℎ

     3∙1000
 2
𝑎  =     ⬄

ℎ∙7

𝑎= √^{3∙1000}_{ℎ∙7}

Herefter sættes værdien ind i Meiers Lov :

        3∙1000         ℎ∙7     3∙1000
                          2
𝐴= 6 ∙ √     ∙ ℎ  + (    )  + √      ⬄
         ℎ∙7           2        ℎ∙7

√_{2}

√^{3∙1000}

2

        3∙1000      3000 3000
                2
𝐴= 6 ∙ √     ∙ √ ℎ +   +
         ℎ∙7        ℎ∙7∙4 ℎ∙7

Nu kan jeg så, som før, indsætte forskellige værdier for h og aftegne resultaterne i et koordinatsystem. Igen lægger jeg ud med værdierne 1 – 50 cm, blot for lige at skabe et overblik. Jeg ønsker igen, at det skal være en graf, der har en form for toppunkt, hvoraf det optimale areal kan aflæses (bilag 8):

Side 11

11

Grafen her minder forholdsvis meget om de to foregående grafer og ud fra kurven og beregningerne vælger jeg

at koncentrere mig om området omkring ℎ= 7 (bilag 9):

Det ser jo meget lovende ud. Igen vil jeg krydschecke ved at udtrykke h ved a og så indsætte den værdi i arealformlen (Meiers Lov) og håbe, at det endnu engang går op i en højere enhed.

     3∙1000         3∙1000
𝑎=  √     ⬄ 𝑎     =      ⬄ ℎ=
       ℎ∙7

2

ℎ∙7 7∙𝑎^{2}

3000

              𝑎
                    2
          2     2
𝐴= 6𝑎∙ √ ℎ  + ( ) + 𝑎 ⬄
              2

                 𝑎
                       2
                  2
𝐴= 6𝑎∙        + ( ) + 𝑎
                 2

√^{3000}_{7∙𝑎^{2}}

2

Nu indsættes forskellige værdier for a ind i fiskebensudregningerne og efter at have forsøgt mig lidt frem, finder jeg ud af, at værdierne fra 7,72 til 7,77 cm giver det mest præcise resultat (bilag 10):

0

500

1000

1500

2000

0 50 60

Areal cm2

Højde cm

Pyramidestub areal h 1 - 50cm

437,62

437,64

437,66

437,68

437,7

437,72

437,74

6,95 7 7,05 7,1 7,15 7,2 7,25 7,3 7,35

Areal cm2

Højde cm

Pyramidestub areal h 7 - 7,3cm

Side 12

12

Beregningerne ser ud til at stemme overens, forstået på den måde, at arealet ved de to forskellige værdier for

hhv. højde og længde a bliver det samme, nemlig 437,63 cm^{2}, altså ca. 8,4 % større papirforbrug end for

keglestubben.

Konklusion:

I praksis ville ingen af de beregnede figurer fungere fornuftigt i en biograf til opbevaring af popcorn, da de alle ville blive ganske uhandy at sidde med. Kræmmerhuset fordi det ville blive fladt og keglestubben og pyramidestubben fordi jeg har betinget visse forudsætninger, der formodentlig ikke ville blive brugt i virkeligheden, da de ikke rigtig fremmer det æstetiske udtryk Hertil kan det dog siges, at bare der er ét forhold, der er kendt, kan beregningerne bruges. At b ikke nødvendigvis behøver at være præcis dobbelt så lang som a, men at et hvilket som helst forhold kan bruges, bare a forholder sig til b, så ligningerne ender op med kun to ubekendte.

Jeg har med vilje kun beregnet forholdet areal/liter for keglen, da jeg formoder, at det vil være tilnærmelsesvis

det samme for de andre figurer. Ikke samme forhold, naturligvis, men samme tendens, at arealet bliver mindre i forhold til volumen jo større volumen bliver.

Ikke overraskende viser det sig, at den figur, der minder mest om en kugle, nemlig keglestubben, er den, der har det bedste forhold volumen og areal imellem Optimalt ville en popcornbeholder formet som en halvkugle have det bedste forhold mellem areal og volumen (bilag 11) og måske det bliver den nye trend i fremtiden.

Jeg har valgt ikke at tage kuglen med, da opgaven i forvejen løb mig lidt af hænde og blev væsentligt mere omsiggribende end oprindeligt forventet.

Det piner mig dog stadig, at jeg ikke har fundet ud af, hvorfor forholdet i keglen netop bliver √ 2, og dette vil

formodentlig medføre mangen en søvnløs nat i den nærmeste fremtid.

Oliver C. Meier

437,628

437,63

437,632

437,634

437,636

437,638

437,64

7,71 7,72 7,73 7,74 7,75 7,76 7,77 7,78

Areal cm2

Længde a cm

Pyramidestub areal a 7,72 - 7,77cm