Per Nørgaards uendelighedsrække som kompositorisk princip

Side 1

2x Lærere: Niels Bundgaard & Christina Speckt

Per Nørgaards uendelighedsrække som kompositorisk princip Musik & Matematik

Side 1 af 8

Per Nørgaards uendelighedsrække som kompositorisk princip

STX 2.g

Baggrund

• Lav en kort introduktion til Per Nørgaards forhold til den serielle musik.

Matematik

• Undersøg hvordan Per Nørgaard anvender det gyldne snit og fibonacci-rækken i sine kompositioner. Kan man finde ”gyldne snit” i partituren til ”Voyage into the golden screen”

(2. Sats).

• Per Nørgaard bruger i sin komposition ofte ”uendelighedsrækken”. Denne kan blandt andet fremkomme ved rekursion. Princippet kendes fra definitionen af fibonaccitallene.

• Undersøg hvordan man kan frembringe uendelighedsrækken ved rekursion. Gør nøje rede for dette i opgavebesvarelsen.

• Redegør kort for det binære talsystem og med eksempler på tal skrevet i det binære system, og forklar hvordan man kan bestemme en tone i uendelighedsrækken ved hjælp af binære tal. Hvad er fordelen ved denne metode frem for rekursion?

Musik

• Undersøg og beskriv partiturets ide og opbygning.

• Undersøg de fire første takter efter A, og beskriv instrumenternes forhold til hinanden rytmisk og melodisk.

•

Per Nørgaard

Side 2

2x Lærere: Niels Bundgaard & Christina Speckt

Per Nørgaards uendelighedsrække som kompositorisk princip Musik & Matematik

Side 2 af 8

Den 13. juli 1932 kom Per Nørgaard til verden. Rent historisk set var det midt i mellemkrigstiden, og en tid hvor den moderne musik var på vej frem. Per Nørgaard begyndte gå til lærer i klaver som

7-årig, men der gik ikke lang tid før han droppede øvningen og begyndte at improvisere og komponere. Som 11-årig lavede Per Nørgaard nogle mini-musicals - i stil med Disney. Han tegnede i øvrigt selv tegningerne! Men fik støtte og hjælp til det hele af sin storebror

Bent. Per Nørgaard blev i 1941 optaget på

Københavns Kommunes Sangskole og gik senere på Frederiksberg Gymnasium. Da Per Nørgaard var 16 år blev storebror Bent indkaldt til militæret. Efter dette droppede Per Nørgaard tegningerne. Han gad ikke lave dem alene. I stedet valgte han at fokusere udelukkende på komposition og det var på det tidspunkt han vidste, at han

                 1
ville være komponist.

Serialismen

Som sagt blev Per Nørgaard født i en tid hvor moderne musik begyndte at dominere. En af disse grene inden for moderne musik kaldes serialismen. Serialismen bygger på 12-tones-idéen. 12-tones-idéen handler om at alle toner skal være lige. Man skal ikke kunne opfatte nogen toner med fx en dominantisk effekt. Dette betyder at når musikken skrives, så skal alle 12 toner spilles før de må spilles igen. Der må desuden heller ikke forekomme halvtonespring, da dette kan få hjernen til at opfatte den ene tone som ledetone til den anden, og det vil dermed give denne tone en anden status

end de andre.^{2}

1

Palle og Ursula Andkjær Olsen: Nu musik efter 1945, systime 2001, kap. 9 (s. 223)

http://www.pernoergaard.dk/da/biografi/biografi.html

2

Palle og Ursula Andkjær Olsen: Nu musik efter 1945, systime 2001, kap. 9 (s. 225-229)

http://en.wikipedia.org/wiki/Twelve-tone_technique

Tegninger af lavet Per Nørgaard til hans mini-musicals

Eksempel på serialistisk komposition

Side 3

2x Lærere: Niels Bundgaard & Christina Speckt

Per Nørgaards uendelighedsrække som kompositorisk princip Musik & Matematik

Side 3 af 8

Ovenfor ses et eksempel på en serialistisk komposition. Bemærk at alle tolv toner bruges før nogle af dem dukker op igen og løg også mærke til at der ikke er et eneste halvtonetrin.

Per Nørgaards forhold til serialismen

Serialisme kom som en banebryder inden for musikken. Den blev skabt for at bryde krigstidernes værditomrum, og den bedste måde at adskille sig fra dette var ved hjælp af skemaer, systemer og talrækker – altså matematik.

Per Nørgaard var dybt inspireret af denne serialistiske tankegang. Per Nørgaard syntes den serialistiske musik var interessant på grund af dens forhåndstilrettelæggelse, men dens samtidige uforudsigelige lyd. Matematikken i serialisme interesserede Per Nørgaard, og han ville ud fra det element udvikle sin egne kompositionssystemer.

Der var dog nogle ting, han ikke brød sig om ved serialismen. Især var det bruddet med fortiden, der gik ham på. Han ville hellere bruge de matematiske systemer til at skabe melodier, som hyldede nordiske traditioner. Således forskede Per Nørgaard i matematik i musik. [3]

Uendelighedsrækker

Per Nørgaard videreudviklede serialismen. Først skabte han en slags uendelighedsrække i sin sidste sats af Nine Studies. Denne uendelighedsrække byggede på fire toner i en initialgruppe, a, f, ges og es. Derefter blev alle fire toner spillet igen, blot med en ændring. Første tone blev transponeret, i dette tilfælde en kvint op. I tredje gennemspilning af de fire toner forblev den første tone en kvint over dens startposition og denne gang blev anden tone så transponeret, mens tredje og fjerde forblev som i initialgruppen. Næste gennemspilning blev tredje tone transponeret og sidste gennemspilning var det den fjerde tones tur. Efter disse fire gennemspilninger var alle tonerne nu transponeret. Så havde man et nyt udgangspunkt og kunne derfor gentage processen. Og det kunne fortsættes i det uendelige.

Per Nørgaard var dog ikke helt tilfreds med en række ting her. For det første skulle han bestemme hvilke toner der var i initialgruppen og for det andet skulle han bestemme hvilke intervaller tonerne skulle transponeres med. Det var altså ikke tilfældigt. [4]

3

Palle og Ursula Andkjær Olsen: Nu musik efter 1945, systime 2001, kap. 9 (s. 225-229)

4

Palle og Ursula Andkjær Olsen: Nu musik efter 1945, systime 2001, kap. 9 (s. 224-225)

Side 4

2x Lærere: Niels Bundgaard & Christina Speckt

Per Nørgaards uendelighedsrække som kompositorisk princip Musik & Matematik

Side 4 af 8

Til sidst ”fandt” Per Nørgaard sin rigtige uendelighedsrække. Denne byggede på rekursion, hvilket betød at det var minimalt hvad han skulle forudbestemme. Rekursion er når man definerer værdier ved hjælp af tidligere værdier, altså noget selvdefinerbart. Fx er fibonaccitalrækken rekursiv, den definerer sig selv ved at bestemmer, at de summen af de to foregående tal danner værdien af det næste tal i talrækken. Ligeledes brugte Per Nørgaard rekursion til at finde denne uendelighedsrække. Han skulle kun definere de to første toner og så var resten ellers forudbestemt.

For at forklare denne uendelighedsrække skal man vide, at der er en sammenhæng mellem tonerne.

Alle ulige toner (tone nummer 1,3,5…) hænger sammen og alle lige toner (tone nummer 2,4,6…)

hænger sammen, samtidig hænger tonerne sammen to og to (tone 1&2, 3&4, 5&6…). Ud fra intervallet mellem tone 1 og 2 defineres tone 3 og 4. De lige toner er retvendige, modsat de ulige toner, som er omvendige. Tone 3 sættes ud fra tone 1 ved en omvending af intervallet mellem tone

1 og 2. Altså hvis der en lille sekund op mellem tone 1 og 2, vil tone 3 være en lille sekund ned fra tone 1. Tone 4 vil så være en lille sekund op fra tone 2, da den er retvendig. For tone 5 og 6 bruger man så intervallet mellem tone 2 og 3. I dette tilfælde vil der være skabt en stor sekund ned fra tone

2 til tone 3. Da ulige toner er omvendige vil tone 5 ligge en stor sekund op fra tone 3, mens tone 6 vil være en stor sekund ned fra tone 4. [5]

For at vise dette, ses uendelighedsrækkens første 32 toner med udgangspunkt i tonen g og med første interval værende en lille sekund op.

For at vise min forståelse for uendelighedsrækken har jeg nedenfor lavet en uendelighedsrække på

16 toner med udgangspunkt i tonen f og med første interval værende en stor sekund ned:

5

Palle og Ursula Andkjær Olsen: Nu musik efter 1945, systime 2001, kap. 9 (s. 229-235)

Side 5

2x Lærere: Niels Bundgaard & Christina Speckt

Per Nørgaards uendelighedsrække som kompositorisk princip Musik & Matematik

Side 5 af 8

Uendelighedsrækken ved rekursion

Uendelighedsrækken kan også frembringes ved hjælp af en metode kaldet rekursion. Denne metode kræver at man kender de første fire toner. Det er en slags udfoldelsesmetode. For at forklare fremgangsmåden tager jeg udgangspunkt i at jeg kender de første 16 toner af talrækken.

Man deler det hidtil definerede stykke op i otte lige store dele (fire dele hvis der kun er fire toner).

(eksempel med 16 definerede toner: tone nummer 1&2 er 1. del, 3&4 er 2. del osv.)

De næste toner i uendelighedsrækken (altså tone 17&18) vil være de samme som 3. del (tone 5&6).

Derefter kommer de næste (tone 19&20), som vil være de samme som 4. del (tone 7&8).

Så kommer de næste (tone 21&22), som er de samme som 1. del (tone 1&2).

De næste (tone 23&24), er de samme som 2. del (tone 3&4).

Derefter kommer de næste (tone 25&26), som også er de samme som 4. del (tone 7&8).

Så er der de næste toner (tone 27&28), som svarer til 3. del (tone 5&6).

De næste to toner (tone 29&30), får man ved at tage retrograden af 4. del (tone 8&7)

Den næstsidste tone (tone 31) finder man ved at finde den laveste tone, der hidtil har været (tone

15) og tage halvtonen under.

Den sidste tone (tone 32) finder man ved at finde den højeste tone, der hidtil har været (tone 16) og tage halvtonen over.

Hvis det første interval i rækken var nedadgående, skal der byttes rundt på de to sidste trin, så man første finder en halvtone over den højeste tone og derefter en halvtone under den laveste. (det vil

                                                                      6
stadig være tone 15&16 i eksemplet). Se eventuelt billede nedenfor for bedre forståelse.

6

http://www.pernoergaard.dk/da/strukturer/uendelig/ukonstruktion02.html

Side 6

2x Lærere: Niels Bundgaard & Christina Speckt

Per Nørgaards uendelighedsrække som kompositorisk princip Musik & Matematik

Side 6 af 8

Det binære talsystem

Det binære talsystem er et 2-talssystem. De eneste to tal der findes er 0 og 1, hvor vores almindelige

10-talssystem indeholder tallene 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9.

Cifrenes værdi i et binært talsystem kan sammenlignes med cifrene i et 10-talssystem:

Ciffer 1 2 3 4 5 6 7 8 nummer

Binær 2^{0} 2^{1} 2^{2} 2^{3} 2^{4} 2^{5} 2^{6} 2^{7}

værdi

10- 10^{0} 10^{1} 10^{2} 10^{3} 10^{4} 10^{5} 10^{6} 10^{7}

talsværdi

Det skal lige noteres at ciffertallene læses fra højre mod venstre. Man gange cifferværdien med det tal der står på cifferets plads for at få cifferets talværdi. Summen af cifrenes talværdi er lig tallets værdi.

Eksempel på binært tal:

(1001011) =1*1+1*2+0*4+1*8+0*16+0*32+1*64=75

2

Eksempel 2:

(1) =1+2+4+64+256+1024+8192+16384+32768=58695

2

Ud fra det binære talsystem kan man definere en vilkårlig tones interval i forhold til starttonen i uendelighedsrækken. Det tonenummer man vil have noden på skriver man med binære tal.

Man skriver det binære tal for tallet en under det tonenummer man vil finde. Fx når man vil finde tonenummer 397 skriver man det binære tal for 396. Dette er grundet at starttonen (tone nummer 1) noteres med tallet 0. For så fx at finde tonen på tone nummer 397 skriver man som sagt 396 i binær:

(0)

2

Kilde: http://www.pernoergaard.dk

Side 7

2x Lærere: Niels Bundgaard & Christina Speckt

Per Nørgaards uendelighedsrække som kompositorisk princip Musik & Matematik

Side 7 af 8

Man læser så tallet fra venstre mod højre. Og adderer 1-tallerne. Når man kommer til et 0 skifter man fortegn på den allerede adderede sum så den altså bliver negativ og vice-versa ved et nyt 0. Det efter følgende 0’er bliver adderet som normalt uanset fortegn.

Tone nummer 397 må altså være den samme som tone nummer 1:

Første 1-tal (sum=1), andet 1-tal (sum=2), 0-tal (sum=-2), 0-tal (sum=2), 0-tal (sum=-2), 1-tal
(sum=-1), 1-tal (sum=0), 0-tal (sum=0), 0-tal (sum=0)

Fordelen ved denne metode frem for rekursion er at man kan definere et hvilket som helst tal i uendelighedsrækken uden at kende dem der ligger før.

Voyage into the golden screen

Voyage into the golden screen er et af Per Nørgaards hovedværker og det er her han for alvor bruger uendelighedsrækken. Kompositionen er i to sats. Idéen bag kompositionen er en slags bevægelse (voyage), som samtidig er en tilstand (screen). Og denne beskrivelse kan også nemt føres hen på uendelighedsrækken. Uendelighedsrækken bevæger sig hele tiden og finder nye toner, men samtidig springer den også hele tiden tilbage til nogle bestemte toner. Den udvikler sig for at trække sig tilbage mod startpunktet, for så at udvikle sig mere og trække sig tilbage, og så udvikle sig endnu mere og så videre.

Første sted uendelighedsrækken dukker op er på fløjtens del ved ”A”. I første takt starter fløjte 1 med at spille fra en ende af på uendelighedsrækken i ottendedele. Og fløjtemelodien fortsætter hele sangen igennem og danner en helt klart fremtrædende melodistemme, som blot understøttes af de andre instrumenter. Både klarinetten og oboen spiller hver deres egne uendelighedsrækker, blot forskudt i forhold til fløjten. Klarinetten starter på tone 2 hos fløjten og spiller halvt så hurtigt. På den måde bliver klarinetten enstemmig med fløjten. Samme gælder for oboen som starter på fløjtens fjerde tone og som spiller i kvart tempo af fløjten. Samtidig kan man sætte oboen i forhold til klarinetten. Oboen starter på klarinettens anden tone og spille halvt så hurtig og er derfor enstemmig med klarinetten. Det er ikke kun klarinetten og oboen, der spiller uendelighedsrækker. Det gør alle instrumenterne – og alle sammen enstemmigt. På hver 256. tone spiller alle instrumenterne. Det sker kun 4 gange i løbet af denne sats.

Matematisk kan man stille det op så at en fordobling i starttonenummer skal betyde en halvering i tempoet hvis det skal være enstemmigt. Eller ved en funktion der definerer enstemmighed:

Side 8

2x Lærere: Niels Bundgaard & Christina Speckt

Per Nørgaards uendelighedsrække som kompositorisk princip Musik & Matematik

Side 8 af 8

Rytmisk er instrumenterne forskudt i forhold til hinanden. Dette er grundet at instrumenterne skal starte på et tone nummer i to’er-potensrækken (2,4,8…). At starte på tone 4 er skævt. I almindelig musisk sammenhæng vil det virke mere naturligt at starte på femte tone. Det giver satsen en dynamisk egenskab.

Det gyldne snit

Per Nørgaard bruger ofte det gyldne snit i sine kompositioner. Det gyldne snit er et virkemiddel som ofte bruges inden for kunst. Per Nørgaard har valgt at brug det til at forminddele sit stykke.

I almindelig forklaring bruges det gyldne snit om en linje som deles så netop det ene stykke er phi gange så stort som det andet:

x x*Φ

Phi er defineret ved tallet og det kan tilnærmes med værdien 1,618.

Per Nørgaard bruger det gyldne snit til at dele de forskellige instrumenters nodelængder op. Hvis man tager udgangspunkt i instrumenterne med laveste nodelængder, så kan man se at forholdet til nodelængderne ved de instrumenter med lidt længere nodelængder vil være en tilnærmelse af phi.

For at tage udgangspunkt i klarinetten. Den spiller fjerdedele (som i øvrigt bliver spillet på et sted, der deler hver takt op i det gyldne snit). Oboen spiller ottendedele, der er forlænget over en fjerdedel. Altså 1½ gang så lange noder, hvilket er en tilnærmelse af phi. Harpen spille en ottendedel forlænget over en halvnode. Dette giver igen et gyldent forhold. Næste instrument er fagotten. Den ligger ikke helt i samme forhold, da den har dobbelt så store nodelængder som harpen. Fagotten sat i forhold til fløjten giver dog igen et gyldent forhold. Den ene fløjte spiller helnoder som er forlænget i par. Og det samme forhold fortsætter tilnærmelsesvis.

Konklusion

Med Voyage into the golden screen har Per Nørgaard fået sat alt i system. Intet forekommer uden en matematisk grund. Hans uendelighedsrække bliver ført ud i verden. Om det er med 4 toner i løbet af satsen, som hos klaver, vibrafon og chimes, eller om det er 1024 toner som hos fløjterne, så er der blevet skabt et værk hvor alt følger hinanden i system.