SRP: Galilelo og den katolske kirke

Side 1

STX 3.g

Renæssancen og Galileis projektilbevægelse

Matematik A og Historie A

[navn fjernet] 3.e

Side 2

Studieretningsprojekt 2013 – Renæssancen og Galileis projektilbevægelse

Matematik A og Historie A

[navn fjernet] 3.e

Side 2 af 29

Abstract

This paper examines the scientific development during the renaissance, which the scientist Galileo Galilei had a lot of influence on. By means of historical books this paper accounts for the development as well as Galileis role in the conflict with the church, which arose in connection with his new theories about among other things the world system and mechanics. This conflict and Galileis thoughts about the new heliocentric world view will be analyzed by means of Galileis own famous works, “Dialogue” and “Two New Sciences”, of which “Dialogue”, because of among other things scorn of the believers in the geocentric world view, made the climax of the conflict. Galileis theories about motion, which “Two New Sciences” deals with, did also scandalize the church, because Galilei thus rejected the Greek philosopher Aristoteles’ theories, which the church believed in. One of Galileis new theories of motion deals with the projectile motion, which will be gone through by means of geometry like he himself does it in his work. With his empirical view on science Galilei founded the modern science, which we know today, and his importance in connection with the projectile motion, the belonging math and the heliocentric view will be evaluated through books and the knowledge from the review, the analysis and the mathematical treatment. The basic math of the projectile motion, which Galilei created as well, we have gone on working on, why we today have even more knowledge of the topic. Galileis knowledge of this projectile motion will be compared to the modern knowledge of the topic and the formulas, which we today use in that connection. Finally a task about calculating the altitude and the amplitude for a given angle will be solved in two different ways, which both are connected to Galilei.

Side 3

Studieretningsprojekt 2013 – Renæssancen og Galileis projektilbevægelse

Matematik A og Historie A

[navn fjernet] 3.e

Side 3 af 29

Indhold

Abstract ................................................................................................................................................ 2 Indledning ............................................................................................................................................ 4 Den moderne naturvidenskab fødes ..................................................................................................... 4 Reformation og modreformation ................................................................................................. 4 En moderne videnskabsmand ....................................................................................................... 5 Et nyt verdensbillede .................................................................................................................... 6 I konflikt med kirken.................................................................................................................... 6 Et kig ind i Galileis tanker ................................................................................................................... 7 Fattig på forklaringer ................................................................................................................... 7 Et empirisk verdensbillede ........................................................................................................... 8 En ny måde at bryde igennem på ................................................................................................. 8 Et provokerende værk .................................................................................................................. 9 Et miks af religion og videnskab................................................................................................ 10 Projektilbevægelsen – en ny matematik ............................................................................................. 11 Med faldlovene som grundlag .................................................................................................... 11 Parablen som keglesnit............................................................................................................... 12 Projektilbevægelsen som parabel ............................................................................................... 15 Galilei – en betydningsfuld videnskabsmand .................................................................................... 18 Et effektivere krigsvåben ........................................................................................................... 18 Naturvidenskab for alle .............................................................................................................. 18 En uvurderlig videnskab i dag ................................................................................................... 19 Projektilbevægelsen i nutiden ............................................................................................................ 20 Moderne beregning af projektilbevægelser ................................................................................ 20 Projektilbevægelse med luftmodstand ....................................................................................... 21 Opgave ............................................................................................................................................... 23 Konklusion ......................................................................................................................................... 26 Litteraturliste ...................................................................................................................................... 27

Side 4

Studieretningsprojekt 2013 – Renæssancen og Galileis projektilbevægelse

Matematik A og Historie A

[navn fjernet] 3.e

Side 4 af 29

Indledning

I det nordlige Italien opstod i 1300-tallet den historiske periode kaldet renæssancen. Nu søgte man bl.a. tilbage til den gamle, græske kultur, og de græske filosoffers teorier om naturen, kaldet naturfilosofi, fungerede som den naturvidenskab, vi kender i dag. Især filosoffen Aristoteles (ca.

384 f.Kr. – 322 f.Kr.) havde stor autoritet i denne tid, idet hans lære stemte godt overens med den katolske kirkes tankegang, som på denne tid stadig havde en vældig magt i bl.a. Italien, og havde man indvendinger mod Aristoteles’ lære, fik man problemer. Og det fik matematiker, fysiker og astronom Galileo Galilei () gennem sine nye videnskabelige teorier. Men hvordan hænger den naturvidenskabelige udvikling i renæssancens Europa sammen med Galileis konflikt med kirken? Dette vil der blive redegjort for, ligesom grundtankerne bag Galileis verdensbillede, som stred imod Aristoteles’ lære, og hans opgør med kirken vil blive analyseret med særlig brug af Galileis værk ”Dialogue Concerning the Two Chief World Systems”, som der også vil blive set kritisk på. Derudover vil Galileis brug af parablen ifm. projektilbevægelsen matematisk blive gennemgået, hvorefter Galileis betydning for denne matematik og generelt for det naturvidenskabelige verdensbillede vil blive vurderet. Derudover vil der blive perspektiveret til nutidig viden om projektilbevægelser, og til slut vil en tilhørende opgave omhandlende denne bevægelse blive løst vha. Galileis tabel samt hans regnemetoder. [1]

Den moderne naturvidenskab fødes

Den moderne naturvidenskab fik sit endelige gennembrud i 1600-tallets Europa, godt hjulpet på vej af Galileo Galilei, der, som noget nyt havde et kvantitativt syn på naturen: Han eksperimenterede for at eftervise teorier, og analyserede dem matematisk. På denne måde kom han frem til nye teorier om projektilbevægelsen og verdensbilledet, og med 1500-tallets bogtrykkerkunstopfindelse havde Galilei en unik mulighed for offentligt med mange tilhørere at stå frem med sine nye teorier, hvilke dog stak imod Aristoteles’ tankegang, som den magtfulde kirke i Italien støttede fuldt ud. [2] Reformation og modreformation

Aristoteles havde i mere end 1800 år haft stor betydning for videnskaben, og havde det stadig i renæssancen. Han havde teorier om næsten alt, og han mente at Jorden lå i universets centrum omgivet af et perfekt himmelrum. Dette geocentriske verdensbillede passede godt ind i den katolske

1

Ellegaard 2013 og Parker 1992, s. 5

2

Thiedecke 2005, s. 189 og McTavish 1991, s. 13

Side 5

Studieretningsprojekt 2013 – Renæssancen og Galileis projektilbevægelse

Matematik A og Historie A

[navn fjernet] 3.e

Side 5 af 29 kirkes tankegang, hvorfor kirken tog denne og andre aristoteliske teorier til sig, og tilmed tilpassede dem til deres egen lære. Gik man, ligesom Galilei, imod Aristoteles’ lære, fik man derfor problemer med den katolske kirke, som, i modsætning til i Nordeuropa, stadig havde stor magt i Italien.

At kirken ikke brød sig om nye videnskabelige teorier skyldtes dens konflikt med den protestantiske kirke. Konflikten tog for alvor fat, da tyske Martin Luther () i starten af 1500-tallet startede et opgør mod den katolske kirke, kaldet reformationen, hvilket førte til, at den nordlige del af Europa blev protestantisk, mens den sydligere del forblev katolsk. Den katolske kirke reagerede herpå, og modreformationen startede. Den katolske kirke indrømmede flere af de ting, den var beskyldt for, men den ville stadig kæmpe for at få sin magt tilbage, hvilket gik ud over videnskaben, som den holdt nøje øje med, for den havde ikke råd til, at folk begyndte at tvivle på deres lære. Hvis nogen på nogen måde gik imod Aristoteles’ og kirkens ord, blev de anset som kættere, som kunne

ende på bålet.^{3}

En moderne videnskabsmand

I 1564 fødtes i Italien en dreng, Galilei, som senere skulle vise sig at blive en af den moderne videnskabs største personligheder. Som ung studerede han medicin, men snart blev han fanget af andre fagområder, fysik og matematik, hvor han havde mulighed for selv at foretage forsøg, og ikke blot skulle lytte til en underviser. Han afbrød sit studie og begyndte at undervise på et akademi i Firenze, og blev også senere professor. Samtidig eksperimenterede han lystigt for at undersøge diverse teorier omkring naturen, hvormed han brød den ellers anerkendte naturfilosofiske arbejdsmetode. Ingen havde nogensinde overvejet at lave forsøg for at undersøge, om filosoffernes teorier var sande, men det gjorde Galilei, og hans forsøg viste ofte, at Aristoteles tog fejl, hvilket mange lærde ikke brød sig om, da de mente, at ingen kunne tillade sig at være så fræk at modsige de gamle, græske ”sandhedssigersker”. Selvom Galilei beviste overfor en større skare af tilskuere, at to kugler af forskellig masse ramte Jorden samtidig, og ikke forskelligt, som man ifølge Aristoteles’ lære antog, ville de færreste godtage hans teori, og mange kaldte det svindel og upassende for en professor at lege med kugler. Det var altså alt andet end nemt for en moderne videnskabsmand som Galilei at bryde igennem med nye teorier, når ingen accepterede dem. Italien var delt i forskellige uafhængige bystater, og i 1592 rejste Galilei fra Pisa til Padova, hvor han kunne ytre sig mere frit. [4]

3

Parker 1992, s. 5 og Lauber 1991, s. 12+15+23 og Bertelsen 2008, s. 6 og McTavish 1991, s. 11 og Jørgensen 2008, s.

88-90 og Thiedecke 2005, s. 40
4

Parker 1992, s. 8-11 og Lauber 1991, s. 30+33+42-43 og Jørgensen 2008, s. 94 og Meadows 1988 s. 29

Side 6

Studieretningsprojekt 2013 – Renæssancen og Galileis projektilbevægelse

Matematik A og Historie A

[navn fjernet] 3.e

Side 6 af 29

Et nyt verdensbillede

Ud over mekanik interesserede også universet Galilei, og da han første gang hørte om kikkerten, blev han så optaget af astronomien, at mekanikken blev tilsidesat flere år frem. Med sin selvkonstruerede kikkert studerede han himmellegemerne, og gjorde adskillelige nye observationer, han så bl.a. flere tegn på, at Jorden ikke var i centrum. Da han ca. år 1597 læste et værk af den polske astronom Nikolaus Kopernikus omhandlende et verdensbillede, hvor Solen og ikke Jorden var i centrum, så han, at Kopernikus’ teorier stemte overens med hans egne observationer. Endelig havde han fundet en, som delte hans tanker og teorier. Kopernikus var dog allerede død, så i stedet begyndte Galilei at udveksle private breve med astronom og matematiker Johannes Kepler, som havde udgivet Kopernikus’ værk, og som også var af samme overbevisning som Galilei. Galileis teorier betød, at det geocentriske verdensbillede måtte forkastes, hvilket, ligesom Galileis mekanik, vakte voldsom debat blandt bl.a. andre professorer. I 1611 tog Galilei dog mod til sig, og fremviste i Rom sin kikkert for videnskabsmænd og sågar også folk fra kirken. Det var noget nyt at anvende kikkerter til astronomiske formål, idet de ellers hovedsageligt blev brugt i militære sammenhænge, og for en gangs skyld fik Galilei ros for sin stærke kikkert. [5]

I konflikt med kirken

Selvom Galileis kikkert blev rost, havde han dog stadig mest modgang, og i 1616 fik han forbud om nogensinde at ytre sig om det heliocentriske verdensbillede igen. Til Galileis fordel blev hans ven Maffeo Barberini under navnet Urban VIII imidlertid den nye pave, og Galilei fik atter lov til at udgive bøger om det nye verdenssystem på betingelse af, at han skrev neutralt om det og det geocentriske verdensbillede. Dette førte i 1632 til udgivelsen af et af Galileis storværker, som under engelsk titel hedder ”Dialogue concerning the Two Chief World Systems” (vil efterfølgende blot kaldes ”Dialogue”), og for en gangs skyld var både kirken, filosoffer og videnskabsmænd over hele Europa tilfredse med et af Galileis værker. Det varede dog ikke længe, for snart blev der opdaget, at bogen slet ikke var så neutral som påkrævet. Til gengæld var Galilei blevet langt mere dristig end tidligere. Værket var skrevet som en dialog mellem tre personer – Simplicio, Salviati og Sagredo – hvor Salviati var den heliocentriske tilhænger, som gang på gang vandt diskussionerne, og som ofte gjorde grin af den tåbefremstillede Simplicio, som var tilhænger af det geocentriske verdensbillede.

Segredo skulle fungere som den neutrale person i dialogen, men gav alligevel ofte udtryk for, at Simplicios argumenter ikke gav megen mening. Galilei havde altså ikke skrevet så velafbalanceret,

5

Parker 1992, s. 12+17 og Bertelsen 2008, s. 12 og Lauber 1991, s. 61

Side 7

Studieretningsprojekt 2013 – Renæssancen og Galileis projektilbevægelse

Matematik A og Historie A

[navn fjernet] 3.e

Side 7 af 29 som krævet, og det skabte oprør blandt Galileis modstandere. I 1633 kom Galilei for domstolen, og for at redde sit eget liv, måtte han erkende, at han var gået for vidt. Samtlige af hans bøger blev forbudte, og alle eksemplarer af ”Dialogue” skulle tilintetgøres. Galilei fik en dom, som lød på fængsel på livstid. Galileis fængselsdom var så hård, som den kunne blive, men snart ændrede paven dommen til blot at fungere som livsvarig husarrest, og Galilei kunne vende hjemad. Nu fokuserede han igen mere på mekanik, hvilket endte ud i et sidste storværk: ”The Discourses and Mathematical Demonstrations Relating to Two New Sciences” (benævnes efterfølgende med ”Two New Sciences”). I dette værk samlede han alle sine eksperimenter omhandlende bl.a. det frie fald og projektilbevægelsen. På trods af at han havde forbud mod at udgive bøger, lykkedes det ham at få smuglet værket til det protestantiske Holland, hvor det blev trykt af Louis Elzevir i 1638. På denne måde formåede Galilei alligevel at bringe den nye viden om fysik og matematik ud i verden. [6] Et kig ind i Galileis tanker

Med sine mange nye teorier, som stak imod Aristoteles’ lære, var Galilei i sin samtid en upopulær mand blandt mange personer, som gjorde det vanskeligt for ham at bryde igennem med sin nye viden. Alligevel stod Galilei fast ved sine klare holdninger om, hvordan naturvidenskab skulle fungere, og hvilke teorier omhandlende naturen og universet der var sande, og hvilke der var falske.

Med sine beviser og observationer ville Galilei overbevise verden om, at hans teorier var de sande, men i et forsøg på at styrke sin magt, blandede kirken sig i Galileis arbejde, for en forkastelse af Aristoteles’ lære, var, ifølge kirken, en forkastelse af kirkens lære.

Fattig på forklaringer

Allerede da Galilei i sine unge dage studerede medicin, ønskede han forklaringer og beviser på, at de teorier, han blev undervist i, var sande. Han ønskede bedre forklaringer end blot et ”sådan er det, fordi Aristoteles sagde det.”. Én af de ting, som han bestemt ikke brød sig om ved naturfilosofien var, at man ikke efterviste filosoffernes teorier, men blot antog, at de var sande, fordi filosofferne havde sagt det. Galileis holdning til bevisføring kommer tydeligt til udtryk i hans to værker ”Dialogue” og ”Two New Sciences”. At han gjorde meget ud af sine eksperimenter, ses tydeligt:

“We repeated this experiment more than once in order to measure the time with an accuracy such that the deviation between two observations never exceeded one-tenth of a pulse-beat”. (Galilei, Galileo. The Discourses and Mathematical Demonstrations Relating to Two New Sciences, s. 179).

6

Parker 1992, s. 20-23 og Meadows 1988, s. 48 og McTavish 1991, s. 33 og Lauber 1991s s. 86

Side 8

Studieretningsprojekt 2013 – Renæssancen og Galileis projektilbevægelse

Matematik A og Historie A

[navn fjernet] 3.e

Side 8 af 29

Salviati, som siger dette i værket, træder netop i Galileis sted, og skal indirekte give udtryk for Galileis holdninger og tanker. Ligeledes gør han meget ud af at beskrive, hvorledes forsøgene blev udført, højst sandsynlig af den årsag, at læseren skulle overbevises på samme måde, som Galilei selv blev det – gennem eksperimentelle beviser. [7]

Et empirisk verdensbillede

Gennem sine eksperimenter og observationer kom Galilei frem til et verdensbillede, som stemte overens med Kopernikus’ teorier. Med sin kikkert kunne han bevise, at Jorden roterer, og at himmellegemerne ikke er så perfekte, som ellers antaget. At han så stædigt blev ved med at prøve at slå igennem med sine teorier på trods af fjender og trusler, viser hans selvsikkerhed og fuldstændige overbevisning om, at det heliocentriske verdensbillede var det korrekte, og I ”Two New Sciences” roser han ligefrem sig selv for sine opdagelser. Galilei var god til at argumentere, og han havde ligeledes sat sig ind i Aristoteles’ lære, hvorfor han kunne bruge Aristoteles’ egne ord til sin fordel.

Aristoteles sagde f.eks., at såfremt der var bestemte faser om Venus, ville Venus bevægede sig om Solen, og derfor ikke om Jorden, men at dette ikke var tilfældet. Med sin kikkert beviste Galilei til gengæld, at Venus virkelig havde disse faser, men at de bare ikke kunne ses med det blotte øje. På denne måde kunne Galilei bruge Aristoteles’ eget argument til at bekræfte, at Kopernikus havde ret.

8

En ny måde at bryde igennem på

Galilei vidste, at hans tro på det heliocentriske verdensbillede kunne give ham problemer, så derfor undgik han den, når han underviste. I stedet støttede han Kopernikus’ teori skriftligt, først forsigtig, men efterhånden med større drist. Umiddelbart er det ikke til at sige, hvor megen umage Galilei gjorde sig med at holde løftet om at skrive et neutralt værk, men allerede i indledningen til ”Dialogue” bryder Galileis virkelige holdninger igennem. Her står, at han skrev bogen for at stå frem med sine teorier om verdensbilledet med hele verden ”as a witness of the sober truth” (Galilei, Galileo. ”Dialogue Concerning the Two Chief World Systems, s. 1), som han selv udtrykker det.

Dette gjorde han pga. uvidende personer, som ikke troede på, at Jorden roterer. I et brev til Kepler gør han ligeledes udtryk for sin holdning til det, at andre professorer, videnskabsmænd m.m. blot lukkede øjnene for de nye teorier, og, ifølge Galilei, opførte sig uforskammet. I brevet skriver han ligeledes, at han ville ønske, at han sammen med Kepler kunne grine ad disse uvidende mennesker.

7

Galilei 1638, s. 178 og Lauber 1991, s. 26

8

Bertelsen 2008, s. 58 og Lauber 1991, s. 83

Side 9

Studieretningsprojekt 2013 – Renæssancen og Galileis projektilbevægelse

Matematik A og Historie A

[navn fjernet] 3.e

Side 9 af 29

Da de to mænd havde samme holdninger, kunne Galilei i brevet ytre sig frit, hvorfor man må antage, at det, der står skrevet i brevet, er Galileis virkelige tanker og meninger. Samme holdninger kommer til udtryk i hans to storværker, hvorfor der også må antages, at det, som står i disse værker, også er Galileis virkelige holdninger og tanker, og at han ikke har ladet sig holde tilbage som før, men i sandhed har været dristig.

Galilei henvendte sig nu ikke kun til lærde personer, men ville også overbevise den øvrige befolkning, hvorfor han måtte skrive letforståeligt og ligeledes på italiensk, så selv almindelige håndværkere, som dog kunne læse, kunne være med. Om Galileis personlige liv ved historikere en del fra bl.a. en række breve skrevet til Galilei fra en datter. Der vides bl.a., at han både læste og skrev skuespil. Hans evne til at skrive ses i begge storværker, som begge var bestsellers. Ud over at skabe underholdning og letforståelighed ses der også tydeligt, bl.a. ved citatet omhandlende Galileis brug af eksperimenter, hvorledes han gennem fiktive personer indirekte får ytret sine tanker omkring bl.a. verdensbillede, hvorved han håbede på at kunne styre udenom en konflikt med kirken. Taktikken virkede dog ikke, og Galilei kom, som sagt, for

           9
inkvisitionen.

Et provokerende værk

Selvom Galilei kom i stor konflikt med kirken efter ”Dialogue”, var dette, ifølge troværdige bøger imod Aristoteles og kirken, men hans forsøg, som han stolede fuldstændigt på, viste ham i en anden retning, som han ikke kunne ignorere. I sine storværker langer han heller ikke ud efter kirken og Aristoteles, men den hårde tone generelt mod de geocentriske tilhængere er nu engang til stede. I ”Dialogues” indledning benævner han dem, som hævder, at Jorden ikke roterer, som uforskammede folk uden nogen form for astronomiske færdigheder. Galilei gik meget ind for en fri videnskab, hvilket bl.a. ses i hans brev til hertuginde Christina fra 1615, og han kunne ikke acceptere, at hans modstandere blandt geocentriske tilhængere ikke tillod dette, og ikke ville acceptere hans teorier på trods af beviser. Flere ville ikke engang selv se beviserne ved at kigge i kikkerten, men afviste blot blankt Galileis hypoteser. Gennem historiebøger får man ofte fortalt, at kirken selv, som, pga.

trangen til magt, blandede sig, og skabte hele postyret. Men Galilei selv var også provokerende.

Simplicio, som repræsenterer de geocentriske tilhængere, blev nemlig fremstillet som en tåbe, og selvom det i ”Two New Sciences” skulle være blevet mildnet, fremstilles han også her som en type, der ifm. videnskab er temmelig uvidende og forvirret. ”Gentlemen, please give me a chance to

9

Jørgensen 2008, s. 104 og Bertelsen 2008, s. 12 og Galilei ”Brev til Kepler” 1623 og Lauber 1991, s. 74

Side 10

Studieretningsprojekt 2013 – Renæssancen og Galileis projektilbevægelse

Matematik A og Historie A

[navn fjernet] 3.e

Side 10 af 29 restore harmony to my mind, which I now find very much upset by certain matters which Salviati has just touched upon.” (Galilei, Galileo. The Discourses and Mathematical Demonstrations Relating to Two New Sciences, s. 50) siger Simplicio, som Galilei altså hånede andre geocentriske tilhængere igennem. Igennem Salviati siger han også om en bestemt filosof og matematiker, som troede på det geocentriske verdensbillede, at hans beregninger er ringe, at hans mave ligefrem i samme forbindelse vender sig ved tanken. Herudfra får man altså også en forståelse for, hvorfor kirken og andre geocentriske tilhængere blev så forargede over ”Dialogue”. [10]

Et miks af religion og videnskab

Udover Galileis hårde tone mod de geocentriske tilhængere var hans tilbøjelighed til at blande religion ind i sine videnskabelige tanker og teorier, ifølge historikere, også medårsag til, at kirkens blod kom i kog. Selvom han ønskede at undgå en konflikt med kirken, lagde han herved på en måde alligevel op til, at kirken skulle blande sig. Et berømt citat fra Galilei siger, at Guds natur er skrevet i matematikkens sprog, og også i indledningen til ”Dialogue” skriver han, at værket ikke skulle være det rene matematik, men at der også skulle være plads til bl.a. religiøse tanker. I 1615 skrev Galilei et brev omhandlende brugen af bibelcitater i naturvidenskabelige sammenhænge. Brevet havde bl.a. til hensigt at forklare kirkens folk, at astronomien ikke burde gøres til et religionsspørgsmål, men i stedet beskyldte kirken Galilei for at prøve at belære dem om, hvorledes Biblen skulle fortolkes. Alligevel valgte Galilei at blande religion og videnskab sammen i sit værk, evt. med samme hensigt som med brevet – at overbevise om, at han ikke var imod Gud og det religiøse, men at det heliocentriske verdensbillede var en del af Guds værk. Hermed ansås Galileis heliocentriske overbevisning som værende imod kirkens fortolkning af Biblen, som sagde, at Jorden er ubevægelig. ”Ja, Jorden står fast, den rokkes ikke” siger salme 93 i Biblen om sammenligning af Guds styrke og Jorden, hvilket flere geocentriske tilhængere tog bogstaveligt. Ligeledes mente man, at Jorden var en guddommelig skabning, som man ikke skulle eksperimentere med, sådan som Galilei gjorde det. Ved at påstå, at Solen og Månen er plettede, beskyldte man Galileis astronomi for at være fornærmende over for engelens bolig, som ellers ansås som værende perfekt, hvorfor håbet om et liv efter døden i Paradis også blev formindsket. [11]

10

Bertelsen 2008, s. 44-45+47+53 og Galilei 1632, s. 44 og Parker 1992, s. 19

11

Meadows 1988, s. 44-45 og Poole 1994, s. 15+28+90+92 og Bibelselskabet.dk og Friedell 1977, s. 350+353 og

Parker 1992, s. 19 og Galilei 1632, s. 1-2 og Bertelsen 2008, s. 91

Side 11

Studieretningsprojekt 2013 – Renæssancen og Galileis projektilbevægelse

Matematik A og Historie A

[navn fjernet] 3.e

Side 11 af 29

Projektilbevægelsen – en ny matematik

Galilei satte skub i en helt ny, revolutionerende videnskab, hvor matematikken, ifølge Galilei, var naturens sprog, hvilket også tydeligt ses i hans brug af matematikken til beskrivelse af verdensbilledet, naturen og dens love. Især ses hans brug af matematik ifm. bevægelseslæren, og han grundlagde eksempelvis ballistikken, som er læren om projektilers bevægelse. Affyres en kanonkugle, vil den pga. resultatet af en fremadrettet, horisontal kraft og en naturlig, vertikal kraft følge en bane, som starter ud med at være lineær og slutter i et lodret fald. Sådan lød Aristoteles’ teori omhandlende projektilbevægelser. Ligesom hans geocentriske verdensbillede var denne projektilbevægelsesteori den gyldige antagelse omkring sådanne bevægelser på denne tid, men også dette skulle Galilei vise sig at ændre. Som mange andre teorier var det ifm. et forsøg, denne gang med en kugle og et skråplan, at Galilei fik øjnene op for, at projektiler i virkeligheden bevæger sig i en anden form for bane, end den, Aristoteles havde fremsat. [12]

Med faldlovene som grundlag

”Two New Sciences” er delt op i fire dage, hvoraf fjerdedagen omhandler projektilbevægelsen, som vi særligt vil fokusere på. For forståelse af denne bevægelse vidste Galilei dog, at det var nødvendigt først at se på det frie fald, som han behandler på tredjedagen, idet projektilbevægelser netop er en kombination af en horisontal bevægelse og vertikal bevægelse, som finder sted ved frit fald. Vha. forsøg fandt Galilei frem til, at accelerationen ved frit fald for alle genstande uanset masse er 982 cm. pr. sekund, som netop er tyngdeaccelerationen i denne del af verden, hvilket betyder, at alle genstande falder med samme hastighed uanset masse. Denne teori kender vi som Galileis 1. faldlov, som i et nutidigt matematiksprog kan opskrives som en lineær funktion med hastigheden (v), tiden (t) og tyngdeaccelerationen (hældningskoefficienten) (g):

Galileis 2. lov beskriver ikke sammenhængen mellem tid og hastighed men sammenhængen mellem tid og strækning. Denne lov siger, at den strækning, hvormed et legeme falder, er proportional med kvadratet på tiden. Der ses, at sammenhængen udgør en parabel, og kan med moderne matematik opskrives som følgende:

13

12

McTavish 1991, s. 39 og Grøn 2012, s. 58 og Bertelsen 2008, s. 6 og Meadows 1988, s. 34

13

Brydensholt 2012, s. 274-275+468-469 og Grøn 2012, s. 59 og Lauber 1991, s. 40+48 og Bertelsen 2008, s. 19

Side 12

Studieretningsprojekt 2013 – Renæssancen og Galileis projektilbevægelse

Matematik A og Historie A

[navn fjernet] 3.e

Side 12 af 29

Parablen som keglesnit

Ligesom det frie fald må den generelle parabel også gennemgås, inden arbejdet specifikt med projektilbevægelsen begynder. For at komme frem til projektilbevægelsen som en parabel, gjorde Galilei brug af sin viden omkring parabler som keglesnit, som han kendte fra Apollonius (ca. 262 f.Kr. – 190 f.Kr.), der var græsk matematiker. Galilei gør meget ud af at beskrive parablen som keglesnit, idet Simplicio kun har en ringe forståelse for de mange ukendte begreber. På universiteterne i renæssancens Italien var den mest udbredte matematik den græske geometri, hvor man anvendte græske Euklids ”Elementerne”, som er en matematisk lærebog, der netop benytter sig af geometrien, hvilket Galilei på samme måde også gør det. [14]

De forskellige punkter og længder på de kommende figurer er benævnt med bogstaver. Der skal dog gøres opmærksom på, at bogstaverne ikke angiver tilsvarende ting på alle figurer. Ligeledes skal der gøres opmærksom på, at en linje mellem to punkter, f.eks. AB, er identisk med linjestykket BA, såfremt de forekommer på samme figur.

På nedenstående figur ses en symmetrisk keglestub placeret på en cirkulær bund. Bunden er kaldt IBKC, og keglens top benævnes med ”L”. Et plan parallelt med siden LK skærer keglen, og udgør ud fra skæringspunkterne en parabel:

Figur 1 (Grundtegning fra ”Two New Sciences”)

Skæringen mellem planen og bunden kaldes BC, og skæringspunktet mellem denne og diameteren IK kaldes D. Det sidstnævnte skæringspunkt danner rette vinkler mellem BC og IK, som vist på nedenstående skitse:

14

Bertelsen 2008, s. 34 og Thiedecke 2005, s. 13 og Bertelsen 2008, s. 40 og Galilei 1638, s. 246

Side 13

Studieretningsprojekt 2013 – Renæssancen og Galileis projektilbevægelse

Matematik A og Historie A

[navn fjernet] 3.e

Side 13 af 29

Figur 2

Fra punktet A trækkes en linje til D. Nu vælges et tilfældigt punkt på parablen, som kaldes F. Fra dette punkt trækkes en linje til AD, således at den er parallel med BC. Her rammer F linjen AD i punktet E. Igennem punktet E går et vandret plan, som er parallelt med den cirkulære bund. Dette plan skærer LI og LK i hhv. punktet G og punktet H.

.

Figur 3 (Grundtegning fra ”Two New Sciences”)

Om forholdene mellem keglebunden og planet gennem E siger Galilei, at forholdet mellem kvadratet på BD og kvadratet på FE vil svare til samme størrelsesforhold, som gør sig gældende mellem parablens symmetriakse AD og aksedelen AE.

Forholdet mellem det øvre og det nedre plan kan ligeledes beskrives ved at se på eksempelvis det vandrette plan ovenfra:

Figur 4

I sin bog beviser Galilei, at en periferivinkel, der spænder over en diameter, er ret. Her spænder periferivinklen GFH over diameteren GH, og er derfor vinkelret. Det samme gælder for

Side 14

Studieretningsprojekt 2013 – Renæssancen og Galileis projektilbevægelse

Matematik A og Historie A

[navn fjernet] 3.e

Side 14 af 29 keglebunden, med diameteren IK, som danner en retvinklet trekant med periferien B. Da de to trekanter er ensvinklede, er linjestykkerne, som danner trekanterne, proportionale.

På figur 2 sås der, at de to linjer BC og IK skærer hinanden, således at BD står vinkelret på IK.

Derfor må det gælde, skriver Galilei, at kvadratet på BD er lig med det arealet af det rektangel, som dannes af ID og DK. Arealet af et rektangel dannet af to linjestykker beregnes ved at multiplicere de to linjestykker. Galileis udsagn kan som ligning altså opskrives som følgende:

Denne formel kan også bestemmes på anden vis, idet der lige før blev vist, at trekanten BIK er vinkelret. Igen bruges der, at BD står vinkelret på diameteren IK. Altså er BD mellemproportional til både ID og DK. At BD er mellemproportional til de to linjestykker betyder, at den er lig med kvadratroden af produktet af ID og DK:

Ved at kvadere på begge sider af lighedstegnet ophæves kvadratroden, og ligningen kommer til at se således ud:

Denne ligning er netop identisk med den foregående ligning.

På samme måde som produktet af linjestykkerne ID og DK er lig med kvadratet på BD, er produktet af linjestykkerne GE og EH lig med kvadratet på FE:

Også i dette tilfælde kunne teorien omkring den retvinklede trekant benyttes til bestemmelse af ligningen.

Flere forhold beskrives: Linjestykket ED er lig med linjestykket HK, idet disse to er parallelle og lige lange. Forbindes disse to linjer med linjerne EH og DK, opstår et parallelogram EDKH:

Figur 5 (Grundtegning fra ”Two New Sciences”)

Da de modstående sider i et parallelogram er parallelle og lige lange, er EH og DK altså også lig med hinanden på samme vis som ED og HK. Derfor gælder det, at forholdet mellem rektanglet mellem ID og DK og rektanglet mellem GE og EH svarer til forholdet mellem ID og GE, som igen svarer til forholdet mellem DA og AE.

Før så vi, at kvadratet på BD var lig med produktet af ID og DK, ligesom kvadratet på FE var lig med produktet af GE og EH. Derfor må forholdet mellem produktet af ID og DK og produktet af

Side 15

Studieretningsprojekt 2013 – Renæssancen og Galileis projektilbevægelse

Matematik A og Historie A

[navn fjernet] 3.e

Side 15 af 29

GE og EH svare til forholdet mellem kvadratet på BD og kvadratet på FE, ligesom samtlige førnævnte forhold, som svarer til hinanden, også må gøre det. For at gøre alt dette mere overskueligt, stilles det op som en ligning:

Herfra kan man på enkel facon vise, hvorledes der er en tydelig sammenhæng mellem ovenstående ligning og den parabelligning, vi i dag benytter os af:

Benytter vi os af, at følgende gælder: kan AE isoleres, ved at DA multipliceres på begge sider af lighedstegnet, så følgende ligning fås:

Det eneste, der nu kræves, for at ovenstående ligning kan komme til at ligne den nutidige, er en udskiftning af variablerne, således at

Indsættes y, x og a i stedet for variablerne i det udtryk, hvor AE netop er blevet isoleret, fås:

, hvilket netop er den parabelligning, vi i dag kender og benytter os af. [15]

Projektilbevægelsen som parabel

Nu er både det frie fald og den mere generelle parabel som keglesnit blevet gennemgået, og parablen specifikt ifm. projektilbevægelsen kan nu komme på banen. Ifm. faldlovene blev der arbejdet med legemers vertikale bevægelse, som, pga. tyngdekraften, trækker legemet mod Jorden.

Ved beskrivelsen af projektilbevægelsen opererer Galilei med en kombination af den vertikale bevægelse og en ensartet, horisontal bevægelse. Med kanoner som et af de mest anvendte krigsvåben var det oplagt for Galilei at arbejde med netop dette instrument. Her var tyngdekraften

15

Bertelsen 2008, s. 22 + 40-43 og Galilei 1638, s. 246-247 og Carstensen 1994, s. 215-217

Side 16

Studieretningsprojekt 2013 – Renæssancen og Galileis projektilbevægelse

Matematik A og Historie A

[navn fjernet] 3.e

Side 16 af 29 og krudtet, som sendte kuglen af sted, de to kræfter, som påvirkede kanonkuglen.

For beskrivelse af projektilets bevægelse benytter Galilei nedenstående figur:

Figur 6 (Grundtegning fra ”Two New Sciences”)

Linjestykket CB kalder han amplituden, hvilken er halvdelen af den maksimale skudlængde. AC er skudhøjden og EA, som han kalder ”sublimity”, er ment til bestemmelse af den horisontale hastighed, som, i modsætning til den vertikale, kan have mange forskellige værdier. Galilei fandt ud af, at amplituden er størst ved en vinkel på 45˚, og at vinkler, som afviger lige med fra 45˚, giver den samme amplitude. F.eks. vil amplituden være den samme ved en elevation på 40˚ som ved 50˚.

Dette ses også i en tabel, som Galilei har udformet, hvori amplituden samt skudhøjden til enhver elevation er opgivet. Ud over tabellen, hvor man direkte kan aflæse amplituden og skudhøjden, udleder Galilei også en regnemetode til bestemmelse af disse. Her starter han med at forklare, hvorledes man kan beregne amplituderne til alle parabler med samme udgangspunktshastighed. Til dette formål benytter han følgende figur:

Figur 7 (Grundtegning fra ”Two New Sciences”)

Den horisontale linje BC er lige så lang som den vertikale linje BA. Tegnes diagonalen CA, vil der dannes en trekant ABC med vinklen ACB på 45˚. D markerer midtpunktet på BA, DC er projektilets bane for en vinkel på 45˚, DB er skudhøjden og AD er ”sublimity”. Derudover fastsætter han den størst mulige amplitude, der som sagt forekommer ved 45˚, til værende 10.000 enheder, og da den maksimale amplitude BC er lige så lang som linjestykket BA, er også BA

10.000 enheder. Han bruger 10.000 på samme måde, som vi i moderne matematik ifm.

cirkelenheden bruger 1, som er radius i cirklen. Ved 45˚ fås amplituden for en parabel med elevationen BCE, hvor summen af skudhøjden og ”sublimity” er distancen mellem linjestykkerne GA og CB. Et uendeligt antal af større og mindre parabler lignende hinanden kan dog også være med vinklen BCE. Parablen ved 45˚ er som en slags rettesnor for bestemmelse af andre parabelbaner, derfor må der findes en parabel lignende DC, men forskellig fra denne (for DC er jo parablen ved 45˚), men hvor summen af dens skudhøjde og ”sublimity” stadig er lig afstanden mellem GA og BC. Denne parabel går fra C og igennem F, hvorfor dens skudhøjde bliver BF.

Side 17

Studieretningsprojekt 2013 – Renæssancen og Galileis projektilbevægelse

Matematik A og Historie A

[navn fjernet] 3.e

Side 17 af 29

Forholdet mellem BO og BA vil så svare til forholdet mellem BC og CR, hvor CR så er amplituden for parablen CF. Regneprocessen for bestemmelse af amplituden kan altså beskrives således:

Linjestykket BE for vinklen BCE bestemmes, hvilket på moderne vis kan gøres ved at tage tangens til vinklen og multiplicere med 10.000, hvorefter halvdelen af denne tages, og tilføjes til FO, som er mellemproportionalen til BI og BF. Herved fås linjestykket OB. Amplituden CR kan nu bestemmes

vha. følgende: OB:BA = BC:CR.

Når vi nu kan beregne amplituden til en given parabel, kan også skudhøjden bestemmes. Til dette formål er givet en figur for forståelse af de forskellige længder (bogstaverne angiver ikke det samme på denne som på figur 7):

Figur 8 (Grundtegning fra ”Two New Sciences”)

BC er den maksimale amplituden, og OB er summen af skudhøjden og ”sublimity” (svarer til BA på figur 7). BF er skudhøjden, og er elevationen 45˚ vil punktet F ligge på punktet D, hvorfor BD i dette tilfælde er skudhøjden. På figur 7 så vi nemlig, at skudhøjden for denne vinkel var halvdelen af AB, altså halvdelen af OB på figur 8. Er elevationen over 45˚ fås skudhøjden BF ved at lægge længden BD til længden FD, er elevationen mindre end 45˚ vil punktet F befinde sig under D, hvorfor FD trækkes fra BD for skudhøjden BF. For at kunne bestemme FD og BD skal kvadratet på halvdelen af OB tages. OB’s længde er altid 10.000, og da halvdelen af denne er BD, er BD altså altid 5.000, og kvadratet på BD er altid Amplituden, som skal kendes, før skudhøjden kan beregnes, deles i to, kvadreres og trækkes fra de Af dette resultat tages kvadratroden, hvorfor vi så har længden FD, som afhængigt at vinkelstørrelsen enten lægges til eller

trækkes fra BD.^{16}

Eksempel på brug af disse regnemetoder kan ses i matematikopgaven længere inde i opgaven.

16

Galilei 1638, s. 244+283-286 og Lauber 1991, s. 52

Side 18

Studieretningsprojekt 2013 – Renæssancen og Galileis projektilbevægelse

Matematik A og Historie A

[navn fjernet] 3.e

Side 18 af 29

Galilei – en betydningsfuld videnskabsmand

Faldlove, verdensbilleder og projektilbevægelser – Blot tre af mange ting, som Galilei i en tid for omtrent 400 år siden undersøgte, beviste og fremsatte teorier om, og samtlige teorier om disse tre, benytter vi os stadig af i dag anno 2013. Ved præcise observationer, forsøg, beregninger og logik fornyede Galilei videnskaben til den moderne version, vi i dag kender og anvender, og samtidig viste han, hvorledes man kunne gøre store opdagelser inden for den. [17]

Et effektivere krigsvåben

Ikke kun i dag har vi nytte af Galileis geniale teorier, med projektilbevægelsen gjorde han også en af datidens vigtige manøvrer lettere at udføre. Galilei underviste i matematik, men også store dele af undervisningen fokuserede på militære sammenhænge. På kurser underviste han også specifikt i brugen af matematikken bag denne bevægelse med henblik på militære sammenhænge, hvor det nu var muligt at beregne, hvor et projektil, såsom en kanonkugle, nøjagtigt ville ramme. ”Two New Sciences” udspiller sig ved arsenalet i Venedig, hvor man bl.a. byggede kanoner, og her fungerede Galilei også som en form for konsulent, mens han arbejdede i Padova.

På Galileis tid blev kanonen et af de mest anvendte krigsvåben. Kanonen i sig selv var kraftfuld og effektiv, men med den, dengang nye, viden, som Galilei havde anført, kunne man nu også indstille sine kanoner til at ramme et bestemt mål på en langt mere effektiv og hurtig måde, end man førhen var i stand til. En sådan effektivisering af indstilling af kanoner kunne komme til at spille en afgørende rolle for bl.a.

et slags udfald, og kendskabet til den nye metode for beregning af projektilbevægelser, og derfor også Galilei, fik en væsentlig betydning for militæret i datiden. [18]

Naturvidenskab for alle

I renæssancens Europa var langt de fleste borgere håndværkere og landarbejdere. Ikke mange gik i skole, hvorfor heller ikke mange kunne læse, og de få, dyre bøger, der fandtes, var også henvendt til lærde, kirken og andre, som kunne latin. Intet sted kunne almindelige borgere med en baggrund som eksempelvis tømrer eller pottemager derfor finde viden. I stedet måtte de tro på det, de kunne se og antage, at de få personer, som kunne læse og skrive latin, f.eks. kirken, havde ret i de ting, de sagde.

Selvom ikke mange kunne læse, gjorde Galilei det alligevel en del nemmere for dem, som kunne det, at få et indblik i naturvidenskaben. Med hans nye, banebrydende form for skrivemetode behøvede man ikke længere at være lærd eller munk for at kunne læse og forstå naturvidenskab, det

17

Jørgensen 2008, s. 112

18

Bertelsen 2008, s. 11+34+58+68-69

Side 19

Studieretningsprojekt 2013 – Renæssancen og Galileis projektilbevægelse

Matematik A og Historie A

[navn fjernet] 3.e

Side 19 af 29 eneste der krævedes, var, at man kunne læse et almenfatteligt skoleitaliensk. Dette kan meget muligt have været medvirkende til, at folk nu åbnede øjnene op for og begyndte at interessere sig for en anden form af videnskab end den, kirken og filosofferne stod inde for. Galilei var ikke grundlæggeren af teorien om det heliocentriske verdensbillede, men han havde en stor betydning for undersøgelsen heraf, og han sørgede for at introducere verden for det og argumentere for det gennem beviser. Borgerne havde nu en ny mulighed for selv at danne sig tanker om naturvidenskaben og astronomien, heriblandt det heliocentriske verdensbillede, hvorved flere begyndte at tvivle på Aristoteles og det geocentriske verdensbillede. Galilei gjorde det også nemmere for andre videnskabsmænd at arbejde eksperimentelt og matematisk, idet han bl.a.

udviklede forskellige matematiske instrumenter, som han også solgte. Der opstod samtidig private laboratorier, hvor interesserede kunne mødes og lære om naturvidenskab på den moderne måde, som universiteterne ikke tilbød. Folk havde altså, pga. Galilei, nu bedre muligheder for selv at undersøge tingene og skabe sine egne holdninger vedrørende videnskaben og verdensbilledet. [19] En uvurderlig videnskab i dag

Galilei brød med de græskfilosofiske teorier, som holdt om videnskaben med et jerngreb, og åbnede døren ind til den moderne videnskabelig verden, vi kender i dag. Uden den eksperimenterende, moderne videnskab bygget på empiri, havde verden i dag måske stadig set ud som for 400 år siden, og vi ville muligvis stadig tro på Aristoteles’ teorier omkring verdensbilledet og projektilbevægelsen. I tiden umiddelbart efter Galilei var der ikke mange videnskabsmænd i de kirkedominerede lande som Italien, som, pga. den store affære med Galilei, turde gøre ham efter og tro på et heliocentrisk verdensbillede. Derfor er det et held, at Galilei som blind og svag mand formåede at smugle sit sidste storværk til Holland, hvorfor videnskabsmænd i det nordlige Europa havde muligheden for at arbejde videre på Galileis bevægelseslære og teorier om det heliocentriske verdensbillede. Som Galilei selv havde håbet, startede dette værk en ny epoke, hvor videnskaben frit kunne eksperimentere og undersøge. I stedet for at tænke sig til sandheden, skulle den nemlig erfares. Lidt efter lidt blev et helt nyt videnskabeligt samfund opbygget, hvor videnskabsfolk kunne dele deres resultater og nye opdagelser med hinanden, samtidig med at videnskabelige grupper, tidsskrifter og universiteter opstod. Den naturvidenskab, vi kender i dag, var altså godt hjulpet på vej af Galileo Galilei, og ikke uden grund kaldes han ”Den moderne Videnskabs Fader”. [20]

19

Parker 1992, s. 6+ 22 og Lauber 1991, s. 11 og Pade 2004, s. 49

20

Parker 1992, s. 27 og Lauber 1991, s. 28 og Jørgensen 2008, s. 113+140 og Thiedecke 2005, s. 170

Side 20

Studieretningsprojekt 2013 – Renæssancen og Galileis projektilbevægelse

Matematik A og Historie A

[navn fjernet] 3.e

Side 20 af 29

Projektilbevægelsen i nutiden

Da Galilei i sin tid udførte forsøget med kuglen trillende op ad et skråt plan, som skulle vise sig at blive et helt igennem banebrydende forsøg inde for viden om projektilers bevægelse, skabte han samtidig grundlaget for videre undersøgelse af projektilbevægelsen, som har ført til et, i dag, yderligere kendskab om emnet. Takket være den kendsgerning at Galilei inden sine sidste dage nåede at skrive sit sidste storværk omhandlende mekanik, og i al hemmelighed formåede at udgive bogen, fik de næste generationer en uvurderlig viden om projektilbevægelser, som de kunne arbejde videre med, og som vi stadig, 400 år efter, har stor gavn af. Ifm. den revolutionerende moderne videnskab, hvor matematik som noget nyt blev brugt til at beskrive fysik, blev den græske geometri efterhånden erstattet af andre matematiske regnemetoder, som vi kender dem i dag. I dag benytter vi ligeledes koordinatsystemer til at placere bevægelser i, når vi regner dermed: En vertikal y-akse og en horisontal x-akse, som skærer hinanden i punktet (0,0), og som står vinkelret på hinanden.

Moderne beregning af projektilbevægelser

Galilei lavede, som sagt, en tabel, hvorudfra man kan aflæse et projektils amplitude og skudhøjden ud fra en given vinkel. Ligeledes udviklede han en regneproces, hvorved man kan komme frem til samme resultaterne. Denne proces er der arbejdet videre på, og i dag er man kommet frem til formler, hvorved skudvidde og skudhøjde kan beregnes på samme måde, som vi i dag også kan udregne en del flere elementer ifm. projektilbevægelsen. Ved de følgende formler antages der, ligesom Galilei gjorde det, at der ingen luftmodstand er. Kender vi begyndelseshastigheden v samt

0 elevationsvinklen α, kan vi beregne hastigheden langs x- og y-aksen:

På sidste formel er leddet -g∙t påsat, da dette netop beskriver den påvirkende tyngdeacceleration modsatrettet y-aksen. Dette led stammer ses også i Galileis 1. faldlov.

For beregning af den horisontale bevægelse, skudvidden, som funktion af tiden benytter vi os i dag af følgende formel:

For beregning af den vertikale bevægelse, skudhøjden, som funktion af tiden t bruges:

Side 21

Studieretningsprojekt 2013 – Renæssancen og Galileis projektilbevægelse

Matematik A og Historie A

[navn fjernet] 3.e

Side 21 af 29

Her ses i første led brugen af Galileis 2. faldlov.

Ligesom Galilei kan vi i dag også beregne skudhøjden, som er den maksimale højde, projektilet kommer. Dette kan gøres ud fra følgende formel:

2 ⋅ g

v_{0} ⋅)(sin
y_{max} =

22 α

For bestemmelse af skudvidden, den maksimale længde, projektilet kommer, benytter vi os af

følgende formel, hvor starthøjden y = 0:

0

I dag er det også muligt at beregne banekurvens ligning. Som Galilei fandt ud, ses der, at denne ligning beskriver en parabel:

2

y x x y = − ⋅ + ⋅ +  tan( )
        2
            2

0

2 cos ( ) ⋅⋅ v o g α α

Ved at isolere variabler i formlerne, kan andre værdier, såsom starthøjde, elevationsvinklen m.m. også

       21
beregnes.

Projektilbevægelse med luftmodstand

I løbet af sin karriere indså Galilei, at luftmodstanden forårsagede en ændring i hastigheden under projektilets bevægelse, således at den var forskellig fra start til slut. Alligevel så han i sine beregninger bort fra denne modstand, da mange faktorer, såsom projektilets form, vægt og hastighed, spiller en rolle herfor, hvorfor det ville være en svær størrelse at regne med. Derudover anvendte han massive kanonkugler, som han ikke mente forårsagede stor modstand. Idet han måtte se bort fra luftmodstanden, blev hans resultater ud fra matematiske formler ikke altid helt præcise, men afvigelser pga. sådanne tilfælde er dog også i dag karakteristisk ved den naturvidenskabelige arbejdsmetode, og det ses bl.a. også ved de tidligere nævnte, nutidige formler, hvor der ses bort fra luftmodstanden. Vi er dog i dag i stand til at regne på projektilbevægelser med luftmodstanden.

Fundamentet for beregning heraf lagde Isaac Newton () efter at have arbejdet videre på Galileis teorier. I praksis opererer vi i dag ofte med andre genstande end lige netop kanonkuglelignende genstande, hvorfor luftmodstanden også kan spille en større rolle, hvis man antager, at Galileis udsagn om, at kuglerunde, massive genstande ikke påvirkes besynderligt at luftens modstand, passer. Også i dag er luftmodstanden dog en svær faktor at regne med, da der bl.a. skal bruges forskellige formler i forskellige situationer. Man har fundet ud af, at man ud fra det

21

Godekarakterer.dk og Brydensholt 2012, s. 276-280

Side 22

Studieretningsprojekt 2013 – Renæssancen og Galileis projektilbevægelse

Matematik A og Historie A

[navn fjernet] 3.e

Side 22 af 29 såkaldte Reynolds tal kan afgøre, hvornår man skal bruge hvilken formel:

Her er ρ densiteten af det materiale, legemet bevæger sig i, f.eks. væske eller gas, η er væskens, gassens eller andet materiales dynamiske viskositet, v er legemets hastighed og L kan være længden, diameteren eller andet karakteristisk mål for legemet. Ud fra undersøgelser har det vist sig, at luftmodstanden ved Re<1 er proportional med hastigheden, ved 1000<Re<300000 antages der, at luftmodstanden er modsatrettet hastigheden og proportional med kvadratet på farten, hvilket gælder i langt de fleste tilfælde med beregning med luftmodstand. Hvis 1<Re<1000 er det usikkert, hvilken model der skal bruges. Ligesom Galilei vidste, at luftmodstanden afhænger af flere faktorer, afhænger også resultat for Reynolds tal af mange ting: Legemets størrelse, materialet, det bevæger sig igennem, om flowet om legemet er turbulent eller ej m.m. I de fleste tilfælde ligger Reynolds

tal, som sagt, mellem 1.000 og 300.000, hvorved den såkaldte v^{2} -loven anvendes:

A er arealet af legemet og størrelsen c w kaldes formfaktoren, hvis værdi afhænger af hvor

                       22
strømlinet, legemets form er.

22

Vestergaard 2009 og Brydensholt 2012, s. 285-286 og Bertelsen 2008, s. 6 og Galilei 1638, s. 251-254 og Lauber

1991, s. 54

Side 23

Studieretningsprojekt 2013 – Renæssancen og Galileis projektilbevægelse

Matematik A og Historie A

[navn fjernet] 3.e

Side 23 af 29

Opgave

I den tilhørende matematikopgave forestiller vi os en kanon, som med konstant hastighed skyder en kugle af sted. Vinklen mellem kanonen og vandret er 37˚, og skudhøjde og –længde skal findes.

Opgaven løses på to forskellige måder.

Tabelaflæsning:

Med Galileis tabel angivet i ”Two New Sciences” kan man nemt aflæse amplituden og skudhøjden.

Amplituden ved en elevation på 37˚ kan i tabellen aflæses som vist på nedenstående tabeludsnit:

Amplituden er ifølge tabellen 9612 enheder, og svarer til halvdelen af skudlængden, hvorfor værdien multipliceres med 2 for bestemmelse af skudlængden: enheder

Skudhøjden kan som amplituden aflæses ud fra tabellen, som set på nedenstående tabeludsnit:

Skudhøjden aflæses til 3621 enheder.

Ud fra tabellen kan der konkluderes, at skudlængden ved en elevation på 37˚ er 19.224 enheder, mens skudhøjden ved samme vinkel er 3621 enheder.

Beregning:

Tidligere i opgaven blev Galileis metode fra ”Two New Sciences” til beregning af hhv. skudhøjde

Side 24

Studieretningsprojekt 2013 – Renæssancen og Galileis projektilbevægelse

Matematik A og Historie A

[navn fjernet] 3.e

Side 24 af 29 og amplitude gennemgået. Denne metode vil nu blive anvendt, og her er det en forudsætning, at amplituden beregnes først, da dennes værdi skal benyttes til beregning af skudhøjden:

Linjestykket BE bestemmes:

Dette tal ganges med 10.000:

Halvdelen af denne værdi svarer til linjestykket BF:

Halvdelen af BC er altid 5000, da BC er den maksimale amplitude, som Galilei har bestemt til værende 10.000 enheder.

Mellemproportionalen FO til BF og BC bestemmes:

OB bestemmes:

Amplituden CR bestemmes:

Ved at multiplicere amplituden med 2 fås skudlængden:

Side 25

Studieretningsprojekt 2013 – Renæssancen og Galileis projektilbevægelse

Matematik A og Historie A

[navn fjernet] 3.e

Side 25 af 29

Skudlængde ≈

Da vi nu har amplitudens værdi, kan skudhøjden beregnes:

Halvdelen af amplituden er:

Kvadratet på halvdelen af amplituden:

Dette tal trækkes fra kvadratet på halvdelen af OB, som altid er :

Kvadratroden af dette resultat tages:

Da de 37˚ er mindre end 45˚, trækkes ovenstående værdi fra halvdelen af BO, som altid er 5000, hvorfor skudhøjden BF bestemmes:

Der kan konkluderes, at skudlængden ved beregning er 19.225,42 enheder, mens skudhøjden er

3621,97 enheder.

Side 26

Studieretningsprojekt 2013 – Renæssancen og Galileis projektilbevægelse

Matematik A og Historie A

[navn fjernet] 3.e

Side 26 af 29

Skudlængden og –højden ved 37˚ fås til stort set de samme værdier, hvad enten man aflæser værdierne i Galileis tabel eller beregninger værdier vha. hans regnemetoder. De små afvigelser skyldes afrunding. Galilei skriver i sin bog, at han har været nødsaget til at beregne uden decimaler, hvorimod jeg vha. computer har været i stand til at regne temmelig præcist med flere decimaler. [23] Konklusion

Galilei begyndte at udvikle renæssancens videnskab, som bar præg af filosofiens lære, og grundlagde den moderne videnskab. Den katolske kirke, som pga. reformationen ønskede opretholdelse af sin magt, så Galileis nye videnskabsteorier, som stak imod Aristoteles’, og dermed kirkens, lære, som en trussel, og en konflikt herimellem opstod. Galileis forsøg pegede bl.a. i retning af et heliocentrisk verdensbillede, og ikke et geocentrisk. De færreste accepterede de nye teorier, og til sidst, i håbet om at overbevise verden, skrev Galilei ”Dialogue”, som ift. hans meninger og tanker er en troværdig kilde. Her fik han bragt teorien og beviserne omkring det heliocentriske verdensbillede ud til folk, som alle nu, fordi bogen var pædagogisk og på italiensk, kunne få indsigt i videnskaben. Han ville undgå konflikter, men med det provokerende sprog, som fandtes i bogen, blev geocentriske tilhængere blot endnu mere forargede, end de var i forvejen, og Galilei fik forbud om at udgive bøger. Alligevel fik han smuglet sit sidste værk ”Two New Sciences” til Holland, hvor det kunne trykkes. I dette værk gør han op med Aristoteles’ projektilbevægelseslære, og beviser vha. geometri, hvorledes matematik kan beskrive projektilbevægelsen som en parabel, og hvordan man kan beregne amplituden og skudhøjden hertil.

Derudover lavede han en tabel over amplituder og skudhøjder til alle vinkler, hvilken sammen med regneprocessen er blevet benyttet til beregning af en opgave, som viser, at tabellens og regnemetodens resultater er identiske. Denne matematik fik stor betydning for bl.a. militæret, som flittigt gjorde brug af kanoner, som sender kugler af sted i parabelbaner, og i dag har vi stadig nytte heraf. I tiden efter Galilei arbejdede man videre på projektilbevægelsen, og i dag har vi udviklet formler på grundlag af Galileis matematik, hvor vi ud over skudhøjde og skudlængde bl.a. også kan beregne starthøjde m.m.

23

Galilei 1638, s. 283 - 286

Side 27

Studieretningsprojekt 2013 – Renæssancen og Galileis projektilbevægelse

Matematik A og Historie A

[navn fjernet] 3.e

Side 27 af 29

Litteraturliste

Bøger

Bertelsen, Aksel. Tre dage hos Galileo. Århus: Systime, 2008

Brydensholt, Morten, m.fl. Orbit BA. Århus, Systime, 2012

Carstensen, Jens og Jesper Frandsen. Matematik 3 for højt niveau. Århus: Systime, 1994 Friedell, Egon. Kulturhistorie 1, Renæssance og reformation. Overs. af Inger Snorrason.

København: Roskilde og Bagger, 1977

Galilei, Galileo. Brev til Kepler, 1623. Europa i opbrud Renæssance, reformationer, oplysningstid og kolonisation. Valby: Pantheon, 2005: 171-172

Galilei, Galileo. Dialogue Concerning the Two Chief World Systems – Ptolemaic and Copernican.

Overs. af Stillman Drake New York: The Modern Library, 2001

Galileo Galilei. The Discourses and Mathematical Demonstrations Relating to Two New Sciences.

Overs. af Henry Crew og Alfonso De Salvio. New York: The Macmillan Company, 1914

Grøn, Bjørn, m.fl. Hvad er matematik? B. København: L&R Uddannelse, 2012

Jørgensen, Nanna Dissing Bay og Marie Sørensen. Den naturvidenskabelige revolution

Århus: Systime, 2008

Lauber, Patricia. Galilei, fysikkens fornyer. Overs. af Edvard og Bjørn Runge. København: Hernovs Forlag, 1991

McTavish, Douglas. Galilei – den moderne videnskabs fader. Overs. af Jens Peder Agger. Værløse:

Bogfabrikken Fakta, 1991

Side 28

Studieretningsprojekt 2013 – Renæssancen og Galileis projektilbevægelse

Matematik A og Historie A

[navn fjernet] 3.e

Side 28 af 29

Meadows, Jack. Store videnskabsmænd. Overs. af Henning Dehn-Nielsen og Jerk W. Langer.

København: Politikens Forlag, 1988

Pade, Marianne og Minna Skafte Jensen. Renæssancen. Københavns Universitet: Museum

Tusculanums Forlag, 2004

Parker, Steve. Galilei og Universet. Overs. af Franz Berliner. Risskov: Klematis, 1992 Poole, Michael. Videnskab og tro. Overs. af Villy Mølgaard. Gesten: OP-forlag Aps, 1994 Thiedecke, Johnny. Europa i opbrud Renæssance, reformationer, oplysningstid og kolonisation. Valby: Pantheon, 2005

Internetmateriale

Bibelselskabet.dk. ”Det Gamle Testamente, Salmernes Bog, Kapitel 93”.

https://www.bibelselskabet.dk/BrugBibelen/BibelenOnline.aspx?book=sl&id=1&chapter=18b

(Dato: )

Erik Vestergaard. ”Det skrå kast – med luftmodstand”. Matematiksider.dk 2009,

http://www.matematiksider.dk/projekter/skraakast.pdf (Dato: )

Godekarakterer.dk. ”Det skrå kast – kasteparablen”. http://www.godekarakterer.dk/det-skra-kast-

kasteparablen (Dato: )

Louise Herping Ellegaard. ”Renæssancen”. Historiefaget.dk ,

http://www.historiefaget.dk/tidsperioder/renaessancen/ (Dato: )

Forside:

Portræt af Galileo Galilei:

Zipminis.com. ”Quotes on god and atheism: Annie Besant and Galileo Galilei”.

Side 29

Studieretningsprojekt 2013 – Renæssancen og Galileis projektilbevægelse

Matematik A og Historie A

[navn fjernet] 3.e

Side 29 af 29

http://www.zipminis.com/35/post/2013/07/quotes-on-god-and-atheism-annie-besant-and-galileo-

galilei.html#.UrFkt_TuKSo (Dato: )

Forside af ”Two New Sciences”:

Oll.libertyfund.org. “Galileo Galilei, Dialogues Concerning Two New Sciences [1638]”

http://oll.libertyfund.org/index.php?option=com_staticxt&staticfile=show.php%3Ftitle=753&layout
=html (Dato: )