SRP: Ikke-euklidisk geometri og erkendelsesteori | Historie A og Matematik A

Side 1

1

1

På figuren ses, trekanter tegnet i et hyperbolsk-plan

STX 3.g

STX 3.g

3.V Rungsted Gymnasium

Abstract

This assignment looks at the development of historical geometry, and the different kinds of geometry, we have seen through time. From the ancient time, there was only one dominating geometry called “Euclidian”. There have been different views on the geometrical space since then, and one of the most dominating views from the 18th century, was the one Kant had laid out in his work. Later Saccheri tried to prove that the “Euclidian geometry” was correct, but he never succeeded. Gauss wrote letters in which he argued that there could be another geometry than the Euclidian, and that Kant’s view on space was incorrect. Some of these letters will be analysed and discussed using the historical method. Through this discussion, it became clear that there is a logical possibility that another geometry than the Euclidian exits.

Additionally the “Hyperbolic geometry” will be analysed (a non-Euclidian geometry). Furthermore, the assignment will also look into where we use non- Euclidian geometry today.

Side 2

Rungsted Gymnasium SRP-MatA-HisA

Page 1 of 29

Indholdsfortegnelse

Indledning 2

Geometriens historie op til 1700 tallet. 2

Geometrien I 1700-tallet 3

Euklids elementer 3

Postulater/aksiomer 4

Filosofisk erkendelsesteori i oplysningstiden 6

Immanuel Kants erkendelsesteori og opfattelse af rummet 8

Saccheris firkant, og dens indvirkning på forståelsen af parallelpostulatet 10 Sætning I 11

Sætning II 11

Saccheris firkant 12

Sætning VIII 13

Sætning IX 14

Sætning XI-XII 14

Sætning XIII 15

Sætning XVII 15

Sætning XXXII 16

Kan man have en ikke-euklidisk geometri? 17

Hyperbolsk geometri 20

Den hyperbolske flade 20

Linjer på en hyperbolsk flade 21

Kongruente trekanter i hyperbolsk geometri 22

Vurdering af den s betydning 23

Konklusion 25

Litteraturliste 27

Side 3

Rungsted Gymnasium SRP-MatA-HisA

Page 2 of 29

Indledning

Denne opgave vil redegøre for den type geometri som eksisterede i 1700 tallet, samt hvilke erkendelses teorietiske tanker som var gældende i samme periode. Jeg vil her især fokusere på Kant og hans betragtninger. Dernæst gennemgås Saccheris forsøg på at bevise, at der kun findes den euklidiske geometri, samt udpege, hvorfor hans konklusioner er forkerte. Efter dette vil jeg diskutere, om det overhovedet er muligt at forestille sig andre geometrier end den euklidiske, samt redegøre for en af de geometrier som man kommer frem til, hvis man antager, at det er muligt. Slutteligt vil jeg vurdere betydningen af sådan en geometri.

Geometriens historie op til 1700 tallet.

Geometri [2] er en af de ældste matematiske videnskaber, man kender. De første tegn på en udvikling af geometri stammer fra det gamle Babylon, hvor man brugte sin viden om geometri inden for astronomien. Mesopotansk eller Babylonsk matematik gjorde Babylonierne i stand til bl.a. at kunne løse andengradsligninger med deres geometri. Den babylonske civilisation udviklede sig domminerende år f.kr. og udviklede en hel stand af skrivere eller matematikere, der med deres kunnen var med til at definere Babylons episke bidrag til historien. De hængende haver har, selvom deres eksistens i dag er diskuteret, krævet høj ingeniørkunst at anlægge, ligesom det er fristende, at drage paralleller fra babelstårnet og folkenes fælles sprog til matematikken, som netop er et fælles sprog for alle.

Senere udviklede de gamle ægyptere også deres geometri. De havde et mere praktisk formål med den, da de brugte den til at opmåle jorden omkring Nilen. Det sikrede blandt andet, at alle efter en oversvømmelse fik det areal, som tilhørte dem. [3] De brugte også deres geometriske viden, da de skulle bygge pyramiderne. Her gjorde de brug af ”cosinus”, til at regne vinklerne ud i selve pyramiden [4], så den fik de rigtige forhold mellem siderne og højden. Ægypterne anvendte tilnærmede geometriske værdier,

2

Ordet stammer fra græsk, og betyder ”jord”-”måling”. Selve geometrien arbejder med figurers størrelse, form og forhold til hinanden

3

Forelæsning over Matematik Historie, side 8 (bog 10)

4

Forelæsning over Matematik Historie, side 11 (bog 10)

Side 4

Rungsted Gymnasium SRP-MatA-HisA

Page 3 of 29 men opnåede alligevel nøjagtighed på deres konstruktioner i pyramiderne, der var forbløffende med en fejlmargen på under 1 %.

Senere begyndte grækerne at udvikle geometri, stærkt inspireret af både Ægypten og Babylon. De startede også med den praktiske tilgang til geometrien, men udviklede den efterhånden i en mere teoretisk retning. Et af de krav, de havde til deres beviser af geometri var, udover at den skulle være bygget efter den aksiomatiske deduktive metode, at figurerne skulle kunne tegnes med passer og

lineal^{5}.

Efter grækernes udvikling, af geometrien skete der ikke meget inden for grundlaget som geometrien var bygget på de næste ca. 2000 år. Det var først i starten af 1800- tallet, man udviklede en ”ny geometri”, som markant adskilte sig fra den græske, og denne ændrede markant den måde man anskuede det geometriske rum på.

Geometrien I 1700-tallet

Euklids elementer

I 1700-tallet var der kun en overordnet geometri, altså en geometri som byggede på de samme grundlæggende aksiomer [6]. Denne geometri kaldes ”Euklidsk geometri”, efter den græske matematiker Euklid, som levede ca. 300 år før vor tidsregning i Alexandria [7]. Grunden til, at man kalder ham græker, selvom han boede i det nuværende Ægypten, er, at på dette tidspunkt hører Ægypten ind under det græske verden, det vil sige den del af verden, hvor den græske kultur er dominerende.

Alexandria blev grundlagt af Alexander den store, hvilket gør det til en græsk by.

Man ved ikke særligt meget om Euklid, ud over de værker som han har skrevet, eller som man er kommet frem til han har skrevet. Den mest brugte kilde, man har om Euklid, er skrevet af Proclus [8]

(levede fra 410-485 efter Kristus). Denne kilde blev skrevet som kommentarer til den første bog og anden bog i Euklids hovedværk ”Elementerne”. Da man kun har denne kilde til Euklids liv, er det svært med sikkerhed at vide noget om ham og hans gerninger. Man kan ikke sikkert fastslå,

5

http://global.britannica.com/EBchecked/topic/194901/Euclidean-geometry

6

Aksiom er en grundsætning, som er logisk indlysende, og derfor ikke behøves et bevis, disse bygger man matematikken på. Heraf navnet den axiomatiske-deduktive metode

7

Forelæsning over Matematik Historie 1, side 23 (bog 10)

8

Euclid The Thirteen Books of The Elements, side 19 (bog 1)

Side 5

Rungsted Gymnasium SRP-MatA-HisA

Page 4 of 29 hvornår han levede, eller hvilke værker han ellers har skrevet. Dog er man ret sikker på, at han skrev Elementerne”, og et andet værk som kaldes ”Data”. Et andet kildekritisk problem med Euklids elementer er, at vi ikke har adgang til original versionen længere. Den ældste version vi har tilgængelig er fra år 888 [9]. Det betyder, at den er over 1000 år nyere end den originale. Det store problem med dette er, at når man skulle lave en kopi i oldtiden, skulle man skrive hele teksten om i hånden, hvilket har ført til en del fejl eller ændringer undervejs. Der har også været forskellige kopirister, eller oversættere, som har tilført/ændret noget i teksten, som det siden kan være vanskeligt at adskille fra den originale udlægning. Vores nuværende version stammer fra, hvor man har sammenlignet forskellige tidligere

10 oversættelser og kopier. Dermed er man kommet frem til en version, som nogenlunde passer til den originale. Det er i øvrigt ikke et enestående problem for overlevering af gamle skrifter, der alene knytter sig til matematikken eller filosofien.

Biblen er vel det mest berømte (og formentlig også mest fortrængte) eksempel på hvordan forskellige oversættere og dem, der har bestilt oversættelserne har tilføjet, ændret eller misforstået tekster.

”Elementerne” er det værk, som danner grundlaget for geometrien helt op til 1800- tallet. Op til slutningen af 1800-tallet blev det stadig brugt som undervisnings bog i geometri visse steder.

Elementerne er en samling af den grundlæggende geometri, som man kendte til i antikkens Grækenland. Det skal pointeres, at det ikke er det første af denne type værker fra Grækenland, det er dog det eneste værk, som vi har bevaret, thi de andre er gået tabt, da Euklids Elementer næsten var komplet, set med datidens øjne.

Værket er også et skoleeksempel i den axiomatiske-deduktive metode. Med aksiomatisk-deduktiv metode forstås, at man tager udgangspunkt i nogle få selvindlysende sandheder og derefter bruger logikken til at komme videre – eller deducere sig frem til resultatet.

¨

9

Euclid The Thirteen Books of The Elements, side 47 (bog 1)

10

Euclid The Thirteen Books of The Elements, side vii. (bog 1) Den græske version af Euklids Elementer er samlet af den danske filolog Ludvig Heiberg

Side 6

Rungsted Gymnasium SRP-MatA-HisA

Page 5 of 29

Postulater/aksiomer

Euklid starter med at definere de forskellige matematiske objekter og begreber, f.eks. i hans første definition ”Et Punkt er det, som ikke deles”. [11]

Efter det, går han videre til selve aksiomerne. Disse deler han op i to: Postulater

(matematiske axiomer) og almindelige begreber (almen gyldige axiomer). Denne opdeling stammer fra Aristoteles [12], men i dag er vi gået over til at kalde dem begge axiomer, et eksempel er hans femte postulat; ”At når en ret linje skærer to rette Linier, og de indvendige

Vinkler paa samme Side, ere mindre end to rette, saa mødes de to Liner, når de forlænges ubegrænset, paa den Side, hvor de to Vinkler ligge, der ere mindre end to rette”. Dette postulat ses tegnet på Figur 1.

Her efter, går han i gang med at bevise de matematiske sætninger, som han dedukterer ud fra hans definitioner og axiomer.

I bog 1, er der 48 sætninger, på Figur 2 ses det [13], hvordan de indbyrdes bruges til at bevise hinanden. Hvis vi kigger på sætning 47, som er beviset for pythagoras lærersætning, kan vi se at for at bevise denne, gjorde han direkter brug af sætning 46, 41, 14 og 4. Hvis vi går videre fra sætning 14, ser vi at denne bygger på sætning 13, som bygger på sætning 11, som igen på sætning 8, 3 og 1.

I selve værket kommer han rundt om trigeometri, geometrisk algebra, de platoniske legemer, forholdslæren, hvordan man indskriver en cirkel i forskellige figurer og

11

Euklids Elementer I-II, side 1 (bog 2)

12

Euclid The Thirteen Books of The Elements, side 117. Værket hvor Aristoteles redegør for dette,

hedder Posterior Analytics. (bog 1)
13

Sætning 48 er ikke med på denne model.

Figur 2: Her ses hvordan de forskellige sætninger i Euklids Elementer bruges til at bevise hinanden

Figur 1: Illustration Euklids femte postulat

Side 7

Rungsted Gymnasium SRP-MatA-HisA

Page 6 of 29 hvordan man omskriver en cirkel med forskellige figurer. I alt skrev han 13 bøger i

dette værk.^{14}

Som sagt er det stadig dette værk, som er grundlaget for geometrien i 1700-tallet.

Dog er der kommet nogle ændringer, for det meste i formuleringer af aksiomerne og definitionerne, eller man har fundet en nemmere måde, at bevise en sætning på. En af de vigtigste ændringer, både for denne opgaves mål, og geometrien generelt, er udskiftningen af det forvirrende femte postulat, til Playfairs aksiom: ”In a plane, given a line and a point not on it, at most one line parallel to the given line can be drawn through the point. ” [15] På figur 3 kan man se hvordan situationen bliver tegnet. Dette aksiom er ens betydende med Euklids femte postulat, thi udfaldet af dem er ens, de afviger kun fra hinanden i formuleringen. De betyder nemlig begge, at man godt kan have parallelle linjer, dog at man kun kan have en som går gennem et givent punkt.

Sætningen er forsøgt eftervist – det er faktisk en geometrisk sætning og ikke et aksiom, da den ikke er en selvindlysende sandhed. Mange har forsøgt at bevise den ved at deduktere sig frem til den, dog uden at det lykkes.

Filosofisk erkendelsesteori i oplysningstiden

Oplysningstiden var en tidsperiode i europæisk historie, som gik fra ca. 1600 til ca

1800. Som navnet angiver, var det en periode, hvor man forsøgte at oplyse befolkningen, og vigtigst af alt at adskille videnskaben fra religionen. Oplysningstiden bygger videre på det fundament, som blev opbygget i renæssancen, hvor man

14

Når jeg fremover henviser til sætninger fra dette værk, gør jeg således” Euklid ”romertal for bog

nummer”-”arabisktal for sætningsnummer”
15

http://en.wikipedia.org/wiki/Playfair's_axiom

Figur 3: Illustration af Playfairs aksiom

Side 8

Rungsted Gymnasium SRP-MatA-HisA

Page 7 of 29 havde genfundet de antikke græske og romerske tænkere, som kirken havde gjort op med gennem middelalderen.

Inden for filosofien, i oplysningstiden, var der to store hovedretninger Empiristerne og rationalisterne. [16] De adskiller sig fra hinanden på to hovedpunkter. Den første er deres geografiske tilhørested, empiristerne kom fra England, hvorimod rationalisterne kom fra det kontinentale Europa, hovedsaligt Frankrig.

Det andet, og væsentligt vigtigere punkt, de adskiller sig fra hinanden på, er deres syn på erkendelse og hvad vi kan vide noget om. Et klassisk eksempel på en ”rationel” tankegang er den, som Descartes giver udtryk for i hans værk ”

Meditationer”. Herfra stammer det berømte citat ”Cogito, ergo sum” [17]. Dette er ifølge Descartes, det eneste vi kan være sikre på. Vi kan ikke være sikre på, om det uden om os eksisterer. [18] Dette er det grundlæggende princip for rationalismen, dog har de forskellige filosofer forskellige holdninger til, hvor sikker man kan være på det, som eksisterer uden for ens eget jeg. De mener, at viden skal være a priori [19], altså komme fra fornuften.

Empiristerne mener der imod, at man sagtens kan stole på ens sanser og de skaber teorier ud fra disse. De mener også, at fornuften ikke skal bruges til erfaring og erkendelse, men at det er sansernes job. Derfor mener de, at viden skal fås a

        20
posteriori , altså via sanserne.

Descartes mener, at alle mennesker er født med en vis viden, som de finder i deres sjæl, i løbet af deres liv, hvorimod de fleste empiristiske filosofer mener, at vi bliver

født ”blanke”^{21}, og tilegner os viden gennem sanserne.

Selvom forskellen på deres erkendelse er stor, er begge parter dog enige om, at Euklidsk geometri og rum er gældende. Empiristerne ville ikke kunne forestille sig mere end en type rum, for man kan kun erkende et type rum via sin erfaring, og det er det rum, som man lever i.

16

Det filosofiske blik, side 214 (bog 9)

17

På dansk ”Jeg tænker, ergo er jeg”

18

Det filosofiske blik, side 218 (bog 9)

19

Kommer fra latin og betyder ” fra det tidligere”.

http://ordnet.dk/ddo/ordbog?entry_id=&query=apriorisk

20

Kommer også fra latin og betyder ”fra det senere”

http://www.denstoredanske.dk/Sprog,_religion_og_filosofi/Filosofi/Filosofiske_begreber_og_fagudtryk/

a_posteriori
21

Den engelske filosof John Locke, var den første til at komme med denne tese.

Side 9

Rungsted Gymnasium SRP-MatA-HisA

Page 8 of 29

Der er imidlertid filosofer, som tager synspunkter fra begge skoler, dog med vægtning mod en af dem. En af de få, som ikke kan sættes i den ene eller den anden skole er Immanuel Kant.

Immanuel Kants erkendelsesteori og opfattelse af rummet

Kant er en af de sidste filosofer i oplysningstiden [22]. Han boede i Köningsberg i det gamle Østpreussen [23]. Ud over sit filosofiske arbejde var han mest kendt for sin ekstrem strukturerede hverdag. Han gjorde de samme ting hver dag, og til præcist samme tidspunkt.

Det revolutionerende ved hans filosofi var, hans sammenblanding af rationalisme og empirisme. I sit erkendelsesteoretiske hoved værk ”Kritik der reinen Vernuft [24] ” redegør han for dette.

Ordet kritik refererer til, at han undersøger de betingelser, som vi har for at erkende.

Bogen findes i en A udgave (den først udgivet i 1881) og i en B udgave (udgivet i

1787), de to udgaver bliver dog i dag udgivet i samme værk. De havde forskellige forord, og allerede i forordet kommer han med nogle interessante filosofiske bemærkninger om matematikken og erkendelse generelt. Det Kant gør, allerede i indledningen til udgave A, er, at han indfører to former for domme, som stammer fra

filosoffen David Hume [25]; ”syntetiske og analytiske domme”^{26}.

Analytiske domme er sætninger, hvor omsagnsleddet er indeholdt i selve subjektet, f.eks. ”Alle cirkler er runde”. Det er en del af en cirkels definition, at den er rund.

Disse analytiske er dermed også a priori, da de kun bygger på fornuften. De syntetiske domme, er domme, hvor det ikke ligger i ordene, at de er sande, derfor bliver man nødt til at indsamle data for at kunne bekræfte dem. Dermed er de for det meste også a posterioriske.

Det nyskabende ved Kant er, at han mener, der findes syntetisk a priori domme.

Altså domme som både bygger på fornuft (a priori) og på erfaring (a posteriori).

22

Nogle mener sågar den sidste

23

Byen hedder nu Kalingrad og ligger i Rusland.

24

Titlen kan oversættes til dansk på to måder pga af den tyske genitiv konstruktion. Enten ”Kritik af den rene fornuft” eller ”Den rene fornufts kritik”

25

Engelsk empirist

26

Kritik af den rene fornuft, side 43-47 (bog 3)

Side 10

Rungsted Gymnasium SRP-MatA-HisA

Page 9 of 29

Dette er et eksempel på hans forsøg på at blande rationalisme og empirisme sammen.

”Alle matematiske domme er syntetiske” skriver Kant i indledning til udgave B^{27}. Dog

mener han stadig, at matematiske beviser er a priori. Et eksempel, han selv kommer

med, er sætningen 7 + 5 = 12^{28}.

Det eneste som summen af 7 og 5 angiver, er at de to tal bliver til et samlet tal. Det

ligger ikke i begrebet 7+5, at det skal give 12. For at finde ud af at 5+7 giver 12,

bliver man ifølge Kant nød til at bruge sin erfaring, eller som han selv formulerer det ”gå hinsides begrebet”. F.eks. kan man være ude og købe ind, og køber man 5 liter mælk, samtidigt har man 7 liter mælk derhjemme. Man kan først være 100 % sikker på, at man har 12 liter mælk, når man kommer hjem og tæller antallet af mælk i køleskabet sammen med antallet af mælk, man lige har købt.

Lige såvel ligger det heller ikke i begrebet om den rette linje, at den er den korteste afstand mellem to punkter, thi dette har du fundet ud af via din erfaring [29]. I samme afsnit som dette redegør han også for, at naturvidenskaben indeholder syntetiske a prior sætninger, og det samme gør metafysikken. Hele formålet med værket ”Kritik der reinen Vernuft” er at sammenblande den empiriske og den rationelle metafysik.

Derfor er det også vigtigt for Kant, at de syntetiske a priori domme findes, for hvis disse ikke findes, så bliver værket ligegyldigt.

En anden ting Kant skriver om, som er relevant i forhold til geometri, er hans definition af rummet [30]. Rummet deles op i fire dele:

1. Det er ikke empirisk, vi bliver nød til at have en forståelse for rummet for at kunne anskue det.

2. For at et fænomen skal ske, bliver det nød til at ske i et rum, det giver ingen mening at snakke om fænomener, som ikke sker nogle steder.

3. Man kan kun forestille sig ét rum [31].

4. Rummet består af en uendelig mængde forestillinger, derfor kan man ikke forsimple det til et begreb.

27

Kritik af den rene fornuft, side 55 (bog 3)

28

Kritik af den rene fornuft side 55-56 (bog 3)

29

Kritik af den rene fornuft, side 56 (bog 3)

30

Kritik af den rene fornuft, side 65-69 (bog 3)

31

I Kants tilfælde det euklidiske rum

Side 11

Rungsted Gymnasium SRP-MatA-HisA

Page 10 of 29

Dette medfører alt sammen for Kant, at man kun kan forestille sig en geometri, nemlig den euklidiske, thi hvis man skulle have andre geometrier end denne, ville man også være nødsaget til at have et andet rum. Ifølge Kant kan vi ikke erfare begreberne rum og tid. Rummet er ikke et erfaringsobjekt, men rummet er en betingelse for, at vi kan iagttage objekter omkring os. Vi kan ikke erfare en ting

(objekter) uden at erfare den et eller andet sted i rummet i forhold til andre ting. Man kan forestille sig, at alle genstande er væk, men man kan ikke forestille sig, at rummet er væk, netop fordi rummet grundlæggende er en a priori opfattelse, altså en betingelse for at tale om ting. Der er nogle som mener, at Kants filosofi som omhandler geometrien, var et forsvar for den Euklidiske geometri. For Kant måde at anskue verden på, ville ikke holde vand, hvis det viste sig, at den Euklidiske geometri ikke var den eneste gældende. Dette vil betyde, at hele Kants teori om rummet måtte omskrives, og i sidste ende forårsager, at geometrien ikke er en syntetisk a priori videnskab.

Saccheris firkant, og dens indvirkning på forståelsen af parallelpostulatet [32] Lige siden Euklids ”Elementer” udkom for første gang, har der været store diskussioner omkring, hvor vidt at hans femte postulat faktisk var et aksiom og ikke et bevis i sig selv. En af de utallige som arbejdede med det, var italieneren Gerolamo Saccheri.

Saccheri var matematiker og filosof, som i det meste af sit liv arbejdede på

universitetet i Pavia. I 1733 udgav han værket ”Euclides ab omni naevo vindicatus”^{33}.

Som titlen antyder, prøver han at få de sidste ting gjort perfekte ved Euklid i dette værk, især problematikken omkring det femte postulat.

I starten af bogen beviser han nogle sætninger via de aksiomer, som Euklid opstillede, dog uden at bruge det femte postulat.

32

Alle beviserne i de efterfølgende afsnit, er tager fra Euclides Vindicatus (bog 8).

33

På dansk ”Euklid fri for alle skavanker”

Side 12

Rungsted Gymnasium SRP-MatA-HisA

Page 11 of 29

Sætning I

I sætning I (Figur 4) viser han, at hvis de to lige lange linjer AC og BD, står på linje stykket AB, så

vinkel CAB = DBA, så vil vinklerne ACD og BDC

også være lige store. Han starter med at forbinde

AD og CB, så vi får to trekanter: CAB og DBA. Da

de to trekanter har linjen AB fælles og CA = BD

gælder Euklid I-4 [34]. Derfor er grundlinjerne CB og

AD lige store. Vi kigger nu på trekanterne ACD og BDC fra samme figur. Da AC og BD lige store, og da CD er fælles, mens deres grundlinjer er lige store gælder Euklid I-8 [35], vil vinklerne ACD og CDB være lige store, da de indesluttes af de lige store linjer.

Q.E.D

Sætning II

Vi kigger igen på firkant ACDB (Figur 5). Vi halverer linjerne AB og CD ved punkterne M og H. Saccheri siger nu, at vinklerne ved M og H vil være rette. Vi forbinder AH, BH, CM og DB. Da vinklerne ved A og

B er lige store, så gælder det ifølge sætning I, at vinklerne ved C og D er lige store. Vi kigger nu på de to dannede trekanter CAM og DBM, da AM, BM og AC, BD er lige store gælder det ifølge Euklid I-4, at grundlinjerne CM og DM er lige store, og det samme gælder for trekanterne ACH, BDH og deres grundlinjer AH og BH.

Vi sammenligner nu trekanterne CHM og DHM. Da CH=DH og MH er fælles, gælder

det ifølge Euklid I-8, at vinkel CHM og DHM er lige store, men da linjen CD er ret, så skal vinklerne tilsammen være 180 grader, hvilket resulterer i at de begge skal være

34

Naar to trekanter have to Sider parvis ligestore og de Vinkler, der indesluttes af de ligestore rette Linier, altsaa ville de også have Grundlinierne ligestore, og Trekanterne ville være ligestore, og de øvrige Vinkler, overfor hvilke de ligestore Sider ligge, ville være parvis ligstore.

35

Naar to Trekanter have to Sider parvis ligestore og tillige Grundlinierne ligestore, saa ville de ogsaa have de Vinkler ligestore, som indesluttets af de ligestore linjer.

Figur 4: Illustration til bevis af Sætning I

Figur 5: Illustration af beviset for sætning II

Side 13

Rungsted Gymnasium SRP-MatA-HisA

Page 12 of 29

90 grader. Det samme gælder for trekanterne AMH og BMH, og derfor er vinklerne ved M også lig med 90 grader.

Q.E.D

Saccheris firkant

Han opskriver nu tre hypoteser ud fra Playfair’s aksiom(vi kalder det originale aksiom for A1 fremover): ”In a plane, given a line and a point not on it, no line parallel to the

given line can be drawn through the point (fremover A2).”^{36} eller ”In a plane, given a

line and a point not on it, more than one line parallel to the given line can be drawn

through the point (fremover A3).”^{37} Han vil nu vise, at A2 og A3 er falske, og at det er

det oprindelige, som er gældende. Han beviser dette, ved først at tegne en firkant ABCD med to linje stykker CA og DB, som begge står vinkelret på firkantens base

AB. Han får hermed disse tre tilfælde, når vinkel C=vinkel D^{38}:

Som vi kan se, giver det tre vidt forskellige vinklesumme for firkanten, de tre firkanter kaldes dog alle Saccheris firkant. Den, hvor vinklesummen er 360 grader, tilhører det originale aksiom. Den hvor vinklesummen er > 360 passer sammen med A2, hvor man kan have flere linjer parallelle gennem sammen punkt, til en given linje, og den hvor vinklesummen er < 360 passer til A3, altså den hvor man ikke kan have parallelle linjer. Selvom man ikke kan se det på Figur 6, thi de er tegnet i et euklidisk plan, så er linje stykket CD større i A1 end linje stykket CD i A2, og mindre end linjestykket CD i A3.

Han nu går efter at vise, at A2 og A3 ikke er gældende, da de er selvmodsigende.

Hvis disse ikke gælder, har han også vist, at man kun kan bygge en meningsfuld

36

Ergo kan man ikke have nogle parallelle linjer

37

Ergo kan man godt have mere end en linje gennem et givent punkt, som er parallelle til en given

linje
38

Måden hvor på han tegner disse tre tilfælde er lang og indviklet, derfor er den udeladt.

Figur 6: Illustration af Saccheris firkant

Side 14

Rungsted Gymnasium SRP-MatA-HisA

Page 13 of 29 geometri på A1, og at dette aksiom dermed også må være sandt. Denne form for matematisk bevisførelse kaldes også for ”reductio ad absurdum. ”

Det interessante ved hans arbejde er, at han faktisk mislykkes med sin mission, han er dog ikke selv klar over dette. Dette skyldes, at hans argumenter for hvorfor A2 og A3 ikke gælder, enten bygger på en misforståelse af det geometriske rum, eller at han slet ikke kommer med et rigtigt argument.

Sætning VIII

I sætning VIII går han i gang med at bevise at A2 og A3 er falske. Han starter med den retvinklede trekant ABD. Her er B den rette vinkel. Det første, vi gør, er at forlænge linjestykke DA til et punkt X. Ved punktet A, tegner vi linje stykket HAC ortogonal til linjestykket AB, hvor punktet H ligger i vinkle XAB. Situationen ses på Figur 7.

Han kommer nu med 3 hypoteser om den udvendige vinkel XAHs forhold til den indvendige vinkel ADB.

∠𝑋𝐴𝐻 = ∠𝐴𝐷𝐵 for A1, ∠𝑋𝐴𝐻 < ∠𝐴𝐷𝐵 for A2 og

∠𝑋𝐴𝐻 > ∠𝐴𝐷𝐵 for A3.

Han antager først, at AC har sammen længde som

BD, og vi forbinder CD, så vi danner en Saccheris firkant med punkterne ABCD. Hvis A1 gælder, så vil linjestykket CD være lig med linjestykket AB. Derfor vil vinkel ADB være ligeså stor som vinkel DAC pga. af

Euklid I-8, hvilket så medføre at vinkel ADB= vinkel XAH, da Euklid I-15^{39} er

gældende. Dette var, hvad der skulle bevises.

Hvis vi antager, at A2 gælder, så vil linjestykket CD være mindre en linjestykket AB.

Efter Euklid I-15 er vinkel DAC stadig lig med vinkel XAH, men vinkelene DAC og XAH vil være mindre end vinkel ADB efter Euklid I-25 [40], da linjestykket CD er mindre end linjestykket AB. Ergo er vinkel ADB større end XAH.

Q.E.D

Hvis vi antager at A3 gælder, medfører det, at linjestykket CD er længere end linjestykket AB, og derfor pga. Euklid I-15 er vinklerne DAC og XAH lige store, men

39

”Når to rette Linier skære hinanden, ere Topvinklerne ligestore”.

40

”Naar to Trekanter have to Sider parvis lige store, men den ene har en større Grundlinje end den anden, saa vil den ogsaa have en større Vinkel mellem siderne”.

Figur 7: Illustration af beviset for sætning VIII

Side 15

Rungsted Gymnasium SRP-MatA-HisA

Page 14 of 29 pga. af Euklid I-25, er vinkel XAH større end vinkel ADB, da linjestykket CD er længere end linjestykket AB (se Figur 7).

Q.E.D

Sætning IX

I næste sætning (IX) går han videre til at bevise, at i en retvinklet trekant er de to ikke rette vinkler enten lig med en ret vinkel for A1, større end en ret vinkel for A2 og mindre end en ret vinkel for A3.

Vi tager udgangspunkt se i samme konstruktion som før (se Figur 7). Da linjen XD er

ret, er vinklerne ∠𝐻𝐴𝐷 + ∠𝑋𝐴𝐻 = 180𝑔𝑟𝑎𝑑𝑒𝑟, og ∠𝐷𝐴𝐵 + ∠𝑋𝐴𝐻 − ∠𝐻𝐴𝐵 =
90 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑒𝑟. Her af kan vi konkludere ved hjælp af VIII. at de to vinkler er = 90 grader
for A1, thi ∠𝐶𝐴𝐵 = 45 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑒𝑟, og derfor er ∠𝐴𝐷𝐵 = 45 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑒𝑟, og hermed er de lig

to rette vinkler. Af samme grund er det gældende for A2, at de to vinkler er større end to rette, og for A3, at de er mindre end to rette.

Q.E.D

Sætning XI-XII

I XI-XII beviser han, at under A1 og A2 gælder det at, hvis en linje AP står vinkelret på en linje PL, og der fra punktet A er en spids vinkel PAD, så vil linje stykket AD skærer linjen PL, hvis de forlænges i det uendelige.

Dette gør han således. Han tegner en masse punkter

ved navn m 1, m 2, m 3, op til m i^{41}, afstanden mellem hvert
M skal være den samme, så man får at Am 1 = m 1 m 2 =

m 2 m 3... Fra hvert m-punkt, tegner han en linje som står vinkelret på linjestykket AP, og det punkt hvor denne linje skærer AP kalder han henholdsvis; N 1, N 2, N 3, op til N i. [42] Dette er tegnet på figur 8.

Da det derfor gælder at AN_{1} ≤ N_{1} N_{2} ≤ N_{2} N_{3} …., gælder det at der findes et punkt N i,

som skærer ligger på den anden side af punktet P, og for at dette punkt skal kunne eksistere, så må linjen AD havde skåre linjen PL.

Q.E.D

41

”i er hvilket som helst tal”.

42 i er det samme tal som man har valgt for M i

Figur 8: Illustration af beviset for sætning XI-XII

N

1

D

Side 16

Rungsted Gymnasium SRP-MatA-HisA

Page 15 of 29

Sætning XIII

Denne viden bruger han i sætning XIII. Her har han en ret linje XA, som møder de to linjer AD og XL, og med disse dannes vinklerne ∠𝑋𝐴𝐷 og ∠𝐴𝑋𝐿, som er mindre end

180 grader tilsammen. Nu vil han bevise, at linjerne AD og XL, vil skærer hinanden i et punkt, hvis enten A1 eller A2 gælder. Den ene af de to vinkler må være spids, ellers ville de ikke tilsammen kunne være mindre end 180 grader. Hvis ∠𝐴𝑋𝐿 er spids, tegner vi fra punktet A en linje som står vinkelret på XL. Punktet, hvor den rammer XL, kalder vi for P. Dette ses på Figur 9.

Da det for både A1 og A2 gælder det at ∠𝑃𝐴𝑋 og

∠𝑃𝑋𝐴 til sammen er lig med eller støre end 90

grader gælder det også at ∠𝑋𝐴𝐷 + ∠𝐴𝑋𝐿 −
∠𝑃𝐴𝑋 − ∠𝑃𝑋𝐴 ⇒ ∠𝐷𝐴𝑃 < 90°. Dette betyder, at vi

har samme situation som i sætning XI og XII, så de to linjer vil skærer hinanden i begge tilfælde. Men da de to spidse vinkler i PAX, hvis A2 gælder, sammen er større end 90 grader, kan man vælge en spids vinkel 𝑃𝐴𝐷, som sammen med disse to vinkler giver en vinkelsum som er større end 180 grader. Da linjestykket AD ifølge XII rammer XL i et givet, i dette tilfælde punktet L, medfører det i dette tilfælde, at to vinkler fra trekant XAL tilsammen kan være større end 180 grader, hvilket ifølge

Euklids I-17^{43} ikke er muligt.

Derfor konkluderer han, at en geometri bygget på A2 er falsk, og at denne vil ødelægge sig selv. I-17, bygger på en antagelse om at linjer kan være uendelig lange, dette er dog ikke sikkert, at dette faktisk er gældende, for geometrier som bygger på A2.

Sætning XVII

Nu går han videre til at vise, at A3 også er falsk.

I sætning XVII starter han med at sige, at hvis den rette linje AH står vinkelret på AB.

Lige meget hvor lille denne AB er, så er det ikke sikkert, hvis A3 gælder, at linjen BD vil møde AH forlænget.

43

”I enhver Trekant ere to hvikesomhelst Vinkler tilsammen mindre end to rette”.

Figur 9: Illustration af beviset for sætning

XIII

Side 17

Rungsted Gymnasium SRP-MatA-HisA

Page 16 of 29

På figur 10 tegner vi BM vinkelret på AB, og lader fra punktet M gå en linje som står vinkelret på AH.

DA den samlede vinkelsum i firkant ABHM er under

360 grader, thi dette gælder under A3, må ∠𝐵𝑀𝐻 være spids. Vi tegner linjen BX, som skærer vinkelret på linjestykket MH, og lader punktet, hvor de skærer hinanden hedde D.

Nu gælder det at ∠𝐴𝐵𝑋, er den spidse vinkel, men linje stykket BD skærer ikke AH, da vinklerne ved punkterne H og D er rette, og dette vil stride imod

I-17.

Q.E.D

I XXIII viser han, at de to linjer fra XVII enten har en fælles vinkelret linje, eller at de er asymptotiske.

Sætning XXXII

I XXXII beviser han, at hvis en linje BX står vinkelret på et linjestykke AB, vil der være en givet vinkel spids ∠𝐵𝐴𝑋 som vil gøre at AX vil møde BX på en givet uendelig afstand.

Hvis vinklen BAX er mindre end denne givet vinkel, hvor ved de skærer, så vil AX skærer BX, og hvis den er større, vil de have en linje som de begge står vinkelret på. Dette får ham i XXXIII til at konkludere at A3 ikke er sand, thi den bryder den rette linjes natur.

Dette gør han, selvom han ikke kommer med noget bevis for hans påstand. En grund til at han gør dette, er at han ikke havde fantasi nok til at forestille sig at det femte postulat ikke er sandt. Dog har hans arbejde med dette emne været meget vigtigt for senere matematikere, da hans tanker langt hen af vejen var rigtige nok, og han op til flere steder har fået beskrevet en geometri, som ikke var euklidisk. Faktisk er alle de sætninger, hvor han Figur 10: Illustration af beviset for sætning XVII

Figur 11: Illustration af beviset for sætning XXXII

Side 18

Rungsted Gymnasium SRP-MatA-HisA

Page 17 of 29 gør brug af A2 og A3 ikke-euklidiske. Hans konklusion fik også nogle til at indse, at man ikke kan bevise det femte postulat, da man ikke kan argumentere for det, og at man derfor bliver nød til at finde frem til en decideret modsigelse i de to andre geometrier, før man kan sige at det femte postulat er sandt. Derfor bliver folk ved med at prøve at bevise det, selvom ingen af dem kommer tættere på en sand konklusion.

Kan man have en ikke-euklidisk geometri?

Nu hvor vi har vist, at Saccheris to konklusioner var forkerte, vil vi se på, om det er muligt at have en anden geometri end den euklidiske.

Carl Friedrich Gauss var en tysk matematiker, som udmærkede sig på en vis mængde punkter. Han skrev også en del breve [44] til forskelige matematikere, og nogle af disse breve omhandlede geometrien og rummet.

Allerede tidligt i sit liv tvivlede Gauss på at den Euklidiske geometri var bygget på et logisk godt nok grundlag. F.eks. i et brev til Farkas Bolayi 1799 skriver han følgende:”To be sure, I have found much that would qualify as a proof for most [that Euclidean geometry is correct], but which in my eyes really proves NOTHING (…)

”^{45}. Allerede her mener han, at den er bevist, dog prøver

han stadig at finde det endegyldige bevis for, at det er en ”sand” geometri. I 1808 skriver en af hans elever Heinrich Christian Schumacher [46] en note, hvori han skriver, at Gauss er kommet frem til de samme antagelser som Saccheri omkring parallel postulatet. Dog finder ham dem ikke absurde, som Saccheri gjorde, og hans formål er heller ikke at bevise parelle postulatet, men at blive klogere på parallelitet. [47] Dette betyder, han allerede da mener, at der findes en anden geometri end den euklidiske, som også er gældende. Han arbejder videre med teorien, men vælger ikke at offentligøre den.

44

Breve er en historisk første håndskilde, og de også er en privat ”samtale” mellem to personer, er de også en troværdig kilde.

45

http://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/noneucl.pdf. Kilde 1. Det rigtige citat er på tysk.

46

Dansk-tysk astrolog

47

http://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/noneucl.pdf. Kilde 3

Side 19

Rungsted Gymnasium SRP-MatA-HisA

Page 18 of 29

Der er to grunde til, at han vælger ikke at offentligøre sin teori. Den ene er, at hans samtid stadig var præget af Kant, og som sagt tidligere, mente Kant, at der kun eksisterede én geometri, den euklidiske. Den anden grund var, at han var en perfektionist, så han offentligjorde først sine resultater, når han var 100% sikker på, at de var gennemarbejdet, hvilket han aldrig mente om sine undersøgelser om ikke-euklidiske geometri. Han skriver endvidere i et brev til Christian Ludwig Gerling [48] i

1816, at en ville være bedre i visse tilfælde, f.eks. inden for afstands måling i rummet, for at man kan finde længden af en side i en hyperbolsk trekant, hvis man kender vinklen, thi disse er proportionale [49].

I 1817 er han kommet frem, til at man med en menneskelig bevidsthed, ikke kan bevise parallel postulatet, og dermed den euklidiske geometri. [50] Dette medfører for ham, at man ikke længere kan kalde geometri for en a priori videnskab, og dermed er de geometriske domme heller ikke syntetisk a priori domme. Dette er i strid med Kants syn på matematikken [51], og dette er som sagt en grund til at han ikke offentligjorde sit arbejde.

I februar 1819^{52}, fik Gauss en note sendt af Gerling, hvor i Schweikart redegør for

nogle ikke-euklidiske sætninger, dog kalder han det for en Astral geometri i stedet for en ikke-euklidisk. Denne note, giver Gauss en stor mængde glæde, og han er enig med alt han skrive i noten. Nu er han ikke den eneste som er kommet frem til denne teori. Dette får Gauss til at sige til Gerling at han bedes at ønske Schweikart held og lykke.

Brev 14-16, er en udveksling mellem Friedrich Wilhem Bessel [53] og Gaus. Her skriver Gauss om sit arbejde med den , og om hans frygt for de andre matematikers mening om hans arbejde. Bessel mener at han ikke skal frygte de andres matematikers mening, og han er enig i at den euklidiske geometri er ufuldstændig, men han pointere stadig at det er den geometri som er gældende på jorden. Gauss skrive tilbage i Brev 16, hvor i at udlægger sin holdning om at rummet

48

En af hans elever

49

http://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/noneucl.pdf. Kilde 5

50

http://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/noneucl.pdf. Kilde 7

51

Ibid side 5

52

http://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/noneucl.pdf. Kilde 10 og 11

53

Tysk matematiker

Side 20

Rungsted Gymnasium SRP-MatA-HisA

Page 19 of 29 er noget som skal forstås ”a posteriorisk: (…)space has a reality outside our minds whose laws we cannot a priori state”. [54]

Selvom han ikke mente, sit arbejde om emnet var færdigt, mente han stadig, at hans tanker omkring emnet var rigtige, og derfor prøvede han at opildne andre matematikere der ligesom ham mente, at der fandtes andre geometrier end den euklidiske som var sande. Dette ses i hans brev til Farkas Bolayi fra den 6 marts

1832, hvori han udtrykker sin glæde over Bolayis søn János Bolay opdagelser inden for denne geometri. Han kommer også med forslag til, hvad János Bolay kan arbejde videre med inden for denne nye geometri. [55]

Dog forstod János Bolayi dette som et forsøg fra Gauss’ side at tage æren for hans arbejde, hvilket resulterede i, at han mistede lysten til at arbejde videre med emnet.

Hvis det faktisk viste sig, at den , var ligeså ”sand” som den euklidiske, ville det rejse en masse spørgsmål, som ikke er ligetil at besvare. F.eks.

hvorfor man anskuer verden som værende euklidiske og ikke ikke-euklidisk. Gauss prøvede at måle vinklerne mellem 3 bjergtoppe, og hvis det viste sig, at vinkelsummen var mindre end 180 grader, ville han kunne konkludere at den euklidiske geometri ikke var sand. Da en trekant i euklidiske geometri har præcist

180 graders vinkel sum. Dette kunne han ikke, så han blev nød til at konkludere at verden anskues euklidisk.

For at man skal kunne bevise at den er gældende, bliver man nød til at gå væk fra den opfattelse af rummet som Kant har. Rummet er ikke noget, som er givet på forhånd. Det er noget man med vores tankesystem ikke kan begribe 100 %, og derfor er der mulighed for at forestille sig et rum, som ikke det samme som vi anskuer i.

Der var dog ingen som kunne bevise at den var konsistent

(altså at den var uden logiske modsætninger), dette sker først senere, og det vil jeg komme dybere ind på dette i næste afsnit.

54

http://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/noneucl.pdf. Kilde 16

55

http://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/noneucl.pdf. Kilde 18

Side 21

Rungsted Gymnasium SRP-MatA-HisA

Page 20 of 29

Hyperbolsk geometri

Inden for de geometrier som er ikke-euklidiske, altså geometrier som bygger på andre aksiomer og definitioner and den euklidiske, findes der to overordnede. Den ene er elliptisk geometri, som man får hvis man har A2 i stedet for A1, og den anden hedder hyperbolsk geometri og denne får man, hvis man bruger A3 i stedet for A1.

Som Saccheri kom frem til, så får man to geometrier, hvor der er helt andre sætninger som gælder, end hvis man ikke anvender Euklids femte postulat. I denne opgave er der kun plads til en redegørelse for den hyperbolske geometri [56].

Som sagt får man den hyperbolske geometri, hvis man kan have flere linjer gennem samme punkt, som er parallelle med samme linje. Inden for den hyperbolske geometri, gælder de euklidiske sætninger til og med I-28, da disse ikke gør brug af det femte postulat, og dette gælder generelt for alle de sætninger som ikke gør brug af det femte postulat. Det første, er at rummet som denne geometri virker i, ikke har den samme form som det, den euklidske geometri virker i. Opdagelse af den hyperbolske geometri tilskrives tre forskellige personer: ”Nikolaj Lobatjevskij, János Bolay og C.F.Gauss”, som opdagede der hver for sig. Som tidligere omtalt udgav Gauss aldrig sine resultater, de er kun beskrevet i hans breve. Den første af de tre til at offentligøre deres arbejde var Lobatjevskij. Han offentligjorde det i i

”Вестник Казанского университета”^{57}. J.Bolayi udgav det som et appendix til et

af sin fars værker i 1832.

Den hyperbolske flade

På Figur 12 kan man se den form som den hyperbolske flade har, nemlig en heste-sadel form.

Krumningen i dette rum er negativ. [58] En mere overskuelig måde at ”tegne” en hyperbolsk plan på er ved hjælp af en ”Klein Model” (se Figur 13). Når

56

Det skal nævnes her, at hvis en elliptisk geometri skal kunne eksistere, så må man have et linjebegreb, som siger at linjer ikke kan forlænges uendeligt.

57

På dansk ”Nyhedsbrevet fra Karzan universitet”

58

http://science.howstuffworks.com/dictionary/astronomy-terms/space-shape2.htm

Figur 12: Illustration af den hyperbolske flade

Side 22

Rungsted Gymnasium SRP-MatA-HisA

Page 21 of 29 man kan lave en model af et geometrisk system, har man også bevist at det geometrisker system er konsistent.

I Kleins model ligger cirklens grænse uendeligt langt væk, så modelen er faktisk uendelig stor.

Grunden til at man så kan tegne i denne model er, desto længere mod kanterne du kommer, desto mindre bliver linjer med samme længde. Dette sker fordi det hyperbolske plan har en krumning væk fra os, og det punkt som ligger tættest på os ligger i midten af den tegnede cirkel. Pga. af dette kan man kun tegne cirkler med centrum i centrummet af modelen, man kan dog stadig i godt tegne cirkler med et hvilket som helst centrum i selve det hyperbolske plan, dog kan dette ikke tegnes i denne model.

Man kan godt bruge den samme model til at tegne et n-dimensionalt rum, dog bliver det mere komplekst og abstrakt. Derfor holder vi os til det hyperbolske plan, som er mere simpelt at gå til.

Linjer på en hyperbolsk flade

Inden for det Hyperbolsk plan, kan linje ligge på tre måder til forhold til hinanden. Den første er, at de kan skærer hinanden. De næste to er lidt sværere at skille fra hinanden, da man kun er vant til at have skærende eller parelle linjer på det euklidiske plan. På det hyperbolske plan, kan man have ultraparallelle linjer, eller asymptote parelle linjer. Hvis vi kigger på Kleins model, og de ikke mødes inde i selve modelen, men mødes ved modelens grænse [59] (se Figur

14), kaldes de for asymptote parelle. Disse er der to af til

59

De mødes ikke her, da grænsen er uendeligt langt væk, hvilket betyder at linjerne mødes uendeligt langt væk.

Figur 13: Kleins model, med trekanter inde i.

Figur 14: Asymptote parellelinjer i Kleins model

Figur 15: Ultraparelle linjer, i

Kleins model

Side 23

Rungsted Gymnasium SRP-MatA-HisA

Page 22 of 29 hver linje og punkt, en til hver ende af linjen. Hvis de derimod ikke mødes inde i selve modellen eller på dens grænse, kaldes de ultraparallelle (se Figur 15). Der findes uendelig mange ultraparallelle linjer til en given linje gennem et givent punkt.

Saccheri beviste at vinkel summen i en hyperbolsk firkant er under 360°, og at vinkel summen er under 180° i en trekant. Denne viden skal bruges i næste afsnit.

Kongruente trekanter i hyperbolsk geometri^{60}

Et sted hvor den hyperbolske geometri afviger fra den euklidiske geometri, er hvis de

3 vinkler i to trekanter er ens, så vil de to trekanter være kongruente.

Vi har at 𝛥𝐴𝐵𝐶 er kongruente med 𝛥𝑃𝐺𝑅, hvis det gælder at (1)∠𝐴𝐶𝐵 = ∠𝑃𝑄𝑅,
(2)∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝑄𝑃𝑅 og (3)∠𝐵𝐴𝐶 = ∠𝑃𝑅𝑄.

For at de skal være kongruente skal alle stykkerne være lige lange. Derfor siger vi, at alle stykkerne har forskellig længde, for at bevise at trekanter med forskellige længder, men samme vinkel størrelse ikke findes.

Vi lægger nu Punkt A på Punkt P, og punktet B’ lægger vi på linje stykket PQ. Ergo

er ∠𝐵𝐴𝐶 = ∠𝐵′𝑃𝐶′, og da (3) er gældende ligger C’ på PR. Dette betyder så at
∠𝐴𝐶𝐵 = ∠𝑃𝐶′𝐵′, og pga (1) medføre dette ∠𝑃𝐶^{′} 𝐵^{′} = ∠𝑃𝑅𝑄. Det gælder også at
∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝑃𝐵′𝐶′, og pga (2) medføre dette ∠𝑃𝐵^{′} 𝐶^{′} = ∠𝑃𝑄𝑅.
Da vi har sagt at ingen af linjestykkerne er lige lange gælder det at: | 𝑃𝑅 | ≠ | 𝑃𝐶′ |, og
at | 𝑃𝑄 | ≠ | 𝑃𝐵′ |.

Vi indfører nu punkterne X og Y som er punkterne C’ og R i vilkårlig rækkefølge, og vi har at vinklerne ved X og Y er lige store. Vi indfører ligeså punkterne Z og W som er punkterne B’ og Q i Vilkårlig rækkefølge, og vi har, at vinklerne ved Z og W er lige store.

Dette giver os disse to tilfælde:

60

Hele dette bevise er taget her fra:

http://www.maths.gla.ac.uk/wws/cabripages/hyperbolic/aaaproof.html

Side 24

Rungsted Gymnasium SRP-MatA-HisA

Page 23 of 29

Figur 16: De to tilfælde man får i beviset, for kongruente trekanter med samme vinkler.

I tilfældet til venstre har vi at ∠𝑃𝑋𝑇 er en ydre vinkel til trekant XYT, men da vi har at

∠𝑃𝑋𝑇 = ∠𝑃𝑌𝑇, og da ∠𝑃𝑌𝑇 er indre vinkel modsiger dette Euklids elementer I-16,

ergo er dette ikke gældende.

I tilfældet til højre har vi firkanten XYZW. Efter vores hypotese er ∠𝑊𝑋𝑌 = 180° −
∠𝑃𝑋𝑊 = 180° − ∠𝑃𝑌𝑍 ⟹ ∠𝑊𝑋𝑌 + ∠𝑃𝑌𝑍 = 180°, fordi linjestykket PY er en lige. Af
samme grund gælder at ∠𝑋𝑊𝑌 = 180° − ∠𝑃𝑊𝑋 = 180° − ∠𝑃𝑍𝑌 ⇒ ∠𝑋𝑊𝑌 + ∠𝑃𝑍𝑌 =
180°, da linjestykket PZ er lige. Vi har også at ∠𝑃𝑌𝑍 = ∠𝑋𝑌𝑍 og at ∠𝑃𝑍𝑌 = ∠𝑊𝑍𝑌.
Vi kan nu finde vinkel summen for firkant XYZW således ∠𝑋𝑊𝑌 + ∠𝑊𝑍𝑌 + ∠𝑋𝑌𝑍 +
∠𝑊𝑋𝑌 = 180° + 180° = 360°. Da vinkel summen i en firkant i den hyperbolske

geometri skal være mindre end 360°, modsiger dette firkantes natur i den hyperbolske geometri. Da det ikke er muligt, at disse to tilfælde eksisterer, så kan trekanter med samme vinkler, men med forskellige længde stykker ikke eksistere, derfor må trekanter med samme vinkler også være kongruente.

Vurdering af den s betydning

Efter opdagelsen af den , blev man nødt til at revurdere, det syn man havde på rummet og matematikken, thi det syn Kant havde, passede ikke sammen med den ikke-euklidiskes geometri. Det var først i 1860’erne, at det store flertal af matematikere fik øjerne op for den , da hverken

Lobatjevskij eller Bolayi var store kendte matematikere. Gauss offentliggjorde som sagt heller aldrig sine resultater omkring emnet.

Man skal dog helt op i det tyvende århundrede, før den bliver koblet sammen med fysikken, og dermed ændrer sig fra rent teoretisk

Side 25

Rungsted Gymnasium SRP-MatA-HisA

Page 24 of 29 tankespil til matematik, der kan bruges til at forklare verden [61]. Dette skete da Einstein skrev sin almene relativitets teori i 1915. Her skrev han at tyngdekraften, ikke som sådan er en kraft, men at den opstår fordi rummet og tiden ikke var lige omkring store masser, da de begge har krumning i det 4-dimensionale tids-rum. [62] For at forklare den geometri som opstår pga. krumning brugte han den ikke euklidiske geometri. Dette betyder, at rummet ifølge Einstein, vise steder lokalt er ikke-euklidiske. Selvom afvigelsen er lille omkring jorden, så bliver vores GPS system stadig nødt til at tage højde for den. De er også et af de få steder, hvor man bruger den i hverdagen. Det store spørgsmål er så, om hele rummet er hyperbolsk, elliptisk eller euklidisk. Fysikken har fundet ud af at det

handler om rummets densitet.^{63}

• Hvis densitet overskrider en hvis værdi, er rummet elliptisk

• Hvis den er under den sammen værdi er det hyperbolsk.

• Hvis den er lig med den værdi er rummet euklidisk.

De tre muligheder ses på Figur 18. I dag regner vi

(med en fejl margin på 0.4%), at rummet er euklidisk. [64] Rummet kan dog godt stadig være ikke-euklidisk lokalt.

Når vi bevæger os rundt på jorden, bevæger vi os på en kugle. På en kugle er en linje defineret som værende en stor-cirkel. Da to stor cirkel altid skærer hinanden, så kan man ikke have parralle linjer på en kugle, hvilket gør dens plan elliptisk.

Derfor skal man når man f.eks. flyver eller sejler over store afstande, og tage hensyn til at man ikke bevæger sig på et euklidiske plan, men et elliptisk.

61

Jeg vil ikke gå i dybden med fysikken bag denne teori, da det er meget svær og kompleks.

62

http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Fysik/Relativitetsteori_og_gravitation/r

elativitetsteori

63

http://map.gsfc.nasa.gov/universe/uni_shape.html

64

http://map.gsfc.nasa.gov/universe/uni_shape.html

Figur 17: Rummets form, alt efter dets densitet. Her angiver Ω, den givne densitet.

Side 26

Rungsted Gymnasium SRP-MatA-HisA

Page 25 of 29

Så selvom vi ikke anskuer rummet som værende ikke-euklidisk, skal fysikere, forskere og navigatører stadig tage højde for det, i deres daglige arbejde.

Det vigtigste ved den , er at den har givet os nye måder at anskue verden på, så vi ikke længere er bundet til en bestemt form for rum.

Relativitets teorien er én måde at bruge det på, dog er der måske stadig flere steder i fysikken hvor man kan anvende det.

Konklusion

I 1700 tallet var det den euklidiske geometri, som var den eneste måde, man opfattede geometri på. I den tid havde man to dominerende filosofiske teori, den rationelle (man kan ikke stole på sine sanser til erkendelse, og man bliver derfor nød til at stole på sin fornuft) og den empiriske (man skal stole på sine sanser til erkendelse). Kant blandede disse to teorier med hinanden, så man skulle gøre brug af både fornuften og sine sanser til erkendelse. Han mener også, at matematik er en videnskab som gør brug af begge. Kant definerede en bagved eksisterende base

(rummet), hvori erkendelsen udfoldede sig.

Saccheri prøvede at bevise, at Euklids parallel postulat var sandt, ved Reductio ad absurdum. Han drager dog forkerte konklusioner. Alligevel kommer han frem til nogle sætninger, dog kommer han frem il nogle sætninger er gældende inden for de er.

Gauss kom frem til at en ikke-euklidisk geometri var logisk mulig, da han mente at man ikke kunne bevise det femte postulat, ved hjælp af de andre. Derfor kunne det heller ikke bevises at den euklidiske geometri faktisk var logisk gældende. Dog var han ikke den første til at offentliggøre resultater om dette.

Den hyperbolske geometri er forskellig fra den euklidiske på nogle grundlæggende punkter, F.eks. kan man godt have flere linjer som er parallelle gennem sammen punkt til en given linje, vinkel summen af en trekant er under 180, firkanter har en vinkelsum på mindre end 360 grader og hvor trekanter med de samme vinkler er også kongruente.

ændrede det matematiske syn på rummet, og i dag bruger man det inde for relativitets teorien, til f.eks at forklare hvorfor ting foregår anderledes ved store masser, da store masser får rummet til at krumme. Og man

Side 27

Rungsted Gymnasium SRP-MatA-HisA

Page 26 of 29 bruger det også inde for navigation på jordens kugleformet overflade, da denne også er ikke-euklidiske.

Side 28

Rungsted Gymnasium SRP-MatA-HisA

Page 27 of 29

Litteraturliste

Bøger:

1. Euclid. (1956). The thirteen books of the elements: Vol.1(books I and II).

Oversat til engelsk af Sir Thomas L. Heath. 2-udgave, Dover.

2. Euklid: Elementer I-II. Oversat af Thyra Eibe. 4. oplag, Gyldendal.

3. Kant, Immanuel (2002). Kritik af den rene fornuft Oversat af Claus Bratt Østergård. 2 oplag, DET lille FORLAG. Frederiksberg. 2. Oplag

4. Karush, W (1978). Matematisk opslagsbog. Oversat af Poul Einer Hansen og Finn Berg Rasmussen. Politikens forlag. København. 2. oplag

5. Katz, V. (2009). A History of Mathematics - an introduciton. Pearson

Education. 3. udgave.

6. Kristensen, Erik. (1975). Ikke-euklidisk geometri. Gads forlag 1975.

7. Lund, E. Pihl, M. Sløk, J. (1976). De europæiske ideers historie. Gyldendal.

København. 12. oplag

8. Saccheri, G. (1986). Euclides Vindicatus. Oversat til engelsk af George Bruce Halstes. 2-udgave, Chelsea Publishing Company.

9. Thyssen, O. (2012). Det filosofiske blik. Informations forlag. 2. oplag.

10. Zeuthen, H.G. (1893). Forelæsning over Mathematikens Historie-1. Andr.

Fred. Høst og Søns Forlag. Kjøbenhavn

11. Østergaard, C.B. (2009). Kants Kritik af den rene fornuft. Informations forlag.

Hjemmesider

Wikipedia og Den Store Danske, brugt som internet Encyklopædi www.en.wikipedia.org www.denstoredanske.dk

Cornell university. Hyperbolic Geometry-

www.math.cornell.edu/~mec/Winter2009/Mihai/section5.html. Besøgt 10/12 kl 20:00

Gresham College. from one to many geometries .

http://www.gresham.ac.uk/sites/default/files/11dec12raymondflood_manygeometries.
pdf. Besøgt 9/12. kl 19:45

Jesper Lütchen. Matematik og rummets natur.

http://viden.jp.dk/binaries/an/8131.pdf. Besøgt 14/12 kl 14:42

Side 29

Rungsted Gymnasium SRP-MatA-HisA

Page 28 of 29

Encyclopædia Britannica. Euclid

http://global.britannica.com/EBchecked/topic/194880/Euclid. Besøgt 18/12 kl 20:07

university of Glasgow. Congruente of hyperbolic triangles.

http://www.maths.gla.ac.uk/wws/cabripages/hyperbolic/aaaproof.html. Besøgt 11/12

kl 21:53 university of Waterloo. Gauss and Non-Euclidian geometry

http://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/noneucl.pdf. Besøgt 14/12 kl15:01

Nasa. Shape of the Universe

http://map.gsfc.nasa.gov/universe/uni_shape.html. Besøgt 18/12 kl 14:41

Ordnet, brugt som ordbog www.ordnet.dk

Videoer

From One to Many Geometries af Professor Raymond Flood fra Gresham College

http://www.youtube.com/watch?v=n8uAH6xCcOk

Figurer

Forside figur

http://berstein.files.wordpress.com/2011/01/order-3-heptakis-heptagonal-tiling.png

Figur 1

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ed/Parallel_postulate_en.sv
g/220px-Parallel_postulate_en.svg.png

Figur 2

http://www.gresham.ac.uk/sites/default/files/11dec12raymondflood_manygeometries.
pdf. Besøgt 13/1e2 kl 13:08.

Figur 3

http://www.math.cornell.edu/~dwh/books/eg99/Ch10/37850a28.jpg

Figur 4-5

Egen tegning, efter Saccheri

Figur 6

http://www.learner.org/courses/mathilluminated/images/units/8/1807.png

Figur 7-11

Egen tegning, efter Saccheri

Figur 12

Side 30

Rungsted Gymnasium SRP-MatA-HisA

Page 29 of 29

http://pmrb.net/blog/wp-content/uploads/2011/04/Hyperbolic_space.png

Figur 13

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f8/Uniform_tiling_73-
t2.png/200px-Uniform_tiling_73-t2.png

Figur 14

http://planetmath.org/parallellinesinhyperbolicgeometry

Figur 15

http://www.bowdoin.edu/news/archives/images/hyperbolic.jpg

Figur 16

http://www.maths.gla.ac.uk/wws/cabripages/hyperbolic/aaaproof.html

Figur 17

http://map.gsfc.nasa.gov/universe/uni_shape.html