SRP | Litterær og matematisk analyse af Flatland: A Romance of Many Dimensions

Side 1

[navn fjernet], 3. x

SRP i matematik og engelsk

19/12-2014

Side 1

Abstract

The aim of this assignment is to examine the mathematic in Edwin A. Abbott’s novel Flatland – A Romance of Many Dimensions. Therefore, this investigation focuses on both mathematical model-ling and English literature. The focus of the English approach to the topic is the criticism of society in the Victorian era, and the symbolic use of mathematical functions as a literary instrument. It discusses gender roles, inequality of social classes and the Victorian view on abnormalities. The focus of the mathematical approach is multidimensionality and non-Euclidean geometry, which can help us to understand the geometry of Flatland. It presents an in-depth explanation and de-scription of the shape of the n-cube, how a hypersphere passing through our space will look like to us and how to calculate distances in Flatland if it was to be stretched over a sphere. In addition the assignment as a whole discusses how the new discoveries of science and mathematics are used as a symbol of the changes in structure of society and the new Victorian way of thinking.

In conclusion, Abbott criticizes the Victorian England through his two-dimensional world of Flat-land, and he uses the new mathematical ideas as a symbol of the new cultural development.

Side 2

[navn fjernet], 3. x

SRP i matematik og engelsk

19/12-2014

Side 2

Indholdsfortegnelse

Abstract ................................................................................................................................................. 1 Indledning ............................................................................................................................................. 3 Redegørelse for forfatteren og hans samtid ............................................................................................ 3 Edwin Abbott Abbott ...................................................................................................................................... 3 Det victorianske England ................................................................................................................................ 4 Resumé af Flatland – A romance of Many Dimensions .................................................................................. 5 Analyse og fortolkning af Flatland – A Romance of Many Dimensions ...................................................... 5 Genre .......................................................................................................................................................... 5 A. Square..................................................................................................................................................... 5 Sphere......................................................................................................................................................... 6 Klassesamfundet i Flatland ......................................................................................................................... 7 Kvindernes plads i Flatland ......................................................................................................................... 8 Romanens slutning ................................................................................................................................... 10 Overordnet fortolkning ............................................................................................................................ 10 A. Squares og vores problemer med at forstå et flerdimensionelt univers ................................................ 11 Hvordan ser en nD-kube ud? .................................................................................................................... 11 Definition af en dimension og en nD-kube ......................................................................................... 11 Antal hjørner i en nD-kube .................................................................................................................. 12 Antal kanter i en nD-kube .................................................................................................................. 13 Antal (n-1)D-kuber i en nD-kube ........................................................................................................ 14 Beviser for formlerne .......................................................................................................................... 15 Mødet med et flerdimensionelt væsen .................................................................................................... 18 Fra Spaceland til Flatland .................................................................................................................... 18 En fremmed på besøg i vores verden ................................................................................................ 20 Et ikke fladt Flatland ................................................................................................................................. 22 Matematikken som et litterært virkemiddel ............................................................................................... 26 Konklusion ........................................................................................................................................... 27 Perspektivering .................................................................................................................................... 28 Litteraturliste ....................................................................................................................................... 30

Side 3

[navn fjernet], 3. x

SRP i matematik og engelsk

19/12-2014

Side 3

Indledning

I løbet af 1800-tallet begyndte nye strømninger at bevæge sig ind over Europa. Politikken åbnede op for debat om ligestilling af køn og samfundsklasser, naturvidenskaben gjorde store fremskridt og matematikken begyndte at beskrive verden på måder, der satte fundamentalt spørgsmålstegn ved vores måde at opfatte virkeligheden på.

Alle disse nye bevægelser dannede grobund for udvikling i Vesteuropa, og med sit udgangspunkt i Det Victorianske England, skrev forfatteren, teologen og matematikeren Edwin Abbott Abbott sin roman Flatland – A Romance of Many Dimensions. Vi vil i følgende kigge på dette værk som en katalysator for udviklingen, og undersøge hvordan matematikken figurer som et litterært virke-middel.

Vi vil først analysere en række andre elementer i romanen end matematikken, for at finde frem til en fortolkning, og derved undersøge hvordan matematikken fungerer i den sammenhæng. Der-næst vil vi redegøre for og analysere den matematiske forståelse af dimensioner, samt undersøge andre matematiske forhold, der var essentielle for samtidens matematik, og muligvis for beboerne i Flatland. Slutteligt vil vi kigge på, hvorfor matematikken er så vigtig i denne roman, og ikke ville kunne erstattes af et andet litterært virkemiddel.

Redegørelse for forfatteren og hans samtid

Edwin A. Abboott

Edwin Abbott Abbott var uddannet matematiker og teolog og var efterfølgende rektor på The City og London School. Han skrev sit store litterære værk Flatland – A Romance of Many Dimensions på samme tid, som han var fungerende rektor, men trak sig dog tilbage efter rektorgerningen i 1889 for udelukkende at fokusere på litteratur og teologi. [1]

Abbott problematiserede flere forskellige områder i det victorianske samfund. Dog var hans ud-gangspunkt altid uddannelsessystemet. Han kæmpede for lige rettigheder til begge køn og alle samfundsklasser. Under Abbotts voksne liv, begyndte kvinder at kunne blive optaget på universite-ter som Oxford og Cambridge, dog var det stadig svært for dem at blive optaget, da størstedelen af

1

https://www.princeton.edu/~achaney/tmve/wiki100k/docs/Edwin_Abbott_Abbott.html ()

Side 4

[navn fjernet], 3. x

SRP i matematik og engelsk

19/12-2014

Side 4 de træningsprogrammer, der klargjorde til at søge ind på universitetet, var forbeholdt mænd. Ab-bott udgav derfor bøger som Hints for home teaching for også at klargøre kvinder til universitetet. [2] Det victorianske England

Den voksende industri resulterede i at proletarklassen begyndte at få bedre vilkår. Desuden be-gyndte en urbanisering at tage form, da der blev efterspørgselse på industriel arbejdskraft, be-gyndte folk fra landet at flytte ind mod byen for at finde arbejde. Magthaverne i samfundet be-gyndte at anse industriarbejderne som en vigtig del af systemet. Dette førte til en stolthed blandt arbejderklassen og ideen om, at arbejdede man længe og hårdt nok, skulle man nok blive belønnet for det. [3] Den økonomiske velstand resulterede også i at man i 1870 havde råd til at gøre grundsko-len obligatorisk for alle Englands børn. [4]

Samtidig begyndte man at oversætte de nye biologiske teorier til samfundsvidenskab. Socialdarwinismen blev en alment udbredt ide om, hvordan sam-fundsklasserne på tværs var nødt til at konkurrere om arbejdet, da ’the survival of the fittest’ ikke kun omhandlede dyr i naturen, men også mennesker i kulturen. Dette politiske standpunkt havde på dette tidspunkt intet med racerenhed at gøre. Fokusset og fortolkningen lå udelukkende på

                                            5
kapitalistisk konkurrence og imperialistisk udbredelse.

Dog havde denne udvikling også en bagside. Den økonomiske udvikling og velstand, resulterede i en målrettende ensartethed. Der var ikke plads til udskejelser eller abnormaliteter, så som handi-kaps og homoseksualitet. [6] Dette konservative styre med kirken som en vigtig magtfaktor, formåe-de at undertrykke nye ideer på politisk såvel som videnskabeligt plan, dog var begge af disse om-råder i voldsom udvikling, og end ikke det største imperium i verdenshistorien kunne stoppe dette.

Kirken begyndte at tabe sin magt på baggrund af de nye biologiske opdagelser, og mistede lang-somt sin tilslutning, som i 1851 var helt nede på kun halvdelen af storbybeboerne. [7]

2

http://www.mathaware.org/mam/00/master/people/abbott/satire.html ()

3

Christensen et. al, 1991: s. 98, l. 26-39

4

Gurr, 2000: s. 98, l. 3-5

5

Christensen et. al, 1991: s. 43, l. 6-27

6

http://www.oldbaileyonline.org/static/Gay.jsp ()

7

Gurr, 2000: s. 101, l. 6-38

Side 5

[navn fjernet], 3. x

SRP i matematik og engelsk

19/12-2014

Side 5

Resumé af Flatland- A Romance of Many Dimensions

Flatland – A Romance of Many Dimensions er skrevet i to dele. I den første del This World, bliver den 2-dimensionele verden Flatland beskrevet af førstepersonsfortælleren A. Square, som selv lever i denne verden. Forhold som samfundsstrukturen, kvinders vilkår og måderne disse 2- dimensionele væsener genkender hinanden på beskrives.

I den anden halvdel Other Worlds beskrives et handlingsforløb, som vores fortæller tidligere har oplevet. Han fortæller om en diskussion med sit barnebarn, om sin drøm om en 1-dimensionel verden, om sit møde og diskussion med et 3-dimensionelt væsen Sphere og deres rejse til en 0- dimensionelverden. Til sidst fortæller A. Square om, hvordan hans fortælling om en 3-dimensionel verden til de andre flatlændere, resulterede i at han blev smidt i fængsel.

Analyse og fortolkning af Flatland – A Romance of Many Dimensions

Genre

Romanen er skrevet som en science fiction, hvor vi har at gøre med en verden, der ligner vores, men med enkelte fundamentale ændringer. Denne fremmede verden, der alligevel ligner vores virkelighed, bruges til at fremstille de ting, Abbott er utilfreds med, endnu mere obskure og absur-de. Denne voldsomme brug af overdrivelser gør romanen humoristisk, og bruger sit lattermilde billedsprog som et våben mod systemet. Abbotts værk er skrevet som satire, der skal få samtidens læsere til at forstå, hvor undertrykkende og totalitært det victorianske England i virkeligheden er.

Dette gør Abbott ved at vise os en anderledes verden, som vi alligevel kan identificere os med, da den på mange punkter ikke er så fjerntliggende alligevel.

A. Square

Vores hovedperson A. Square er en firkant, der lever sammen med sin kone, sin datter, sine fire sønner, sine to sønnesønner og diverse tjenestefolk. [8]

Han hører til blandt det pænere borgerskab:

”Our Professional Men and Gentlemen are Squares (to which class I myself belong) and Five-Sided

8

Abbott, 1884: s. 65, (illustration)

Side 6

[navn fjernet], 3. x

SRP i matematik og engelsk

19/12-2014

Side 6

Figures or Pentagons”^{9} A. Square er en matematiskoplyst herre, og underviser sit barnebarn i

aritmetik. Dog er A. Square ikke helt åben over for nye ideer og tanker. Da hans barnebarn spørger ind til hvilken geometrisk betydning, det har at opløfte noget i 3., bliver han frustreret: ””Go to bed,” said I, a little ruffled by this interruption: ”if you would talk less nonsense, you would remember more sense.” [10] På same måde vil han til at begynde, med under mødet med Sphere, ingen gang prøve at forstå, hvad Sphere fortæller ham om den 3. dimension.

Dog udvikler han sig, og i slutningen af romanen er han ikke blot åben overfor ideen om den 3.

dimension, men han er også nytænkende og kritisk. Han stiller spørgsmålstegn ved, hvad Sphere fortæller ham, men denne gang ikke i ignorance, men i forundring og nysgerrighed: ”If I am wrong, I yield, and will no longer demand a fourth Dimension; but, if I am right, my Lord will listen to rea-

son.”^{11}

Sphere

Sphere er det 3-dimensionelle væsen, der fortæller A. Square om den 3. dimension. Sphere er hæ-vet over beboerne i Flatland, både fysisk og mentalt, men han bruger dog ikke dette til noget godt.

Sphere håner vores hovedperson, da det ikke falder ham indlysende, at der er en 3. dimension:

”There, I have not hurt you much, have I? If you are not convinced now, I don’t know what will

convince you. What say you?”^{12}

Sphere fremstår som om, hans verden er langt mere åben for abstrakt tænkning og matematik.

Dog giver svaret A. Squares spørgsmål, om hvorvidt der er nogen i Spaceland, der fortæller om en

4. dimension, et andet billede da Sphere svarer: ”It is reported so. But men are divided in opinion

as to the facts. And even grating the facts, they explain them in different ways.”^{13}

Dette viser, at Sphere og beboerne af Spaceland ikke er et hak bedre end A. Square og beboerne af Flatland. Her forties sandheden også, blot fordi den ikke stemmer overens med tidligere fore-stillinger og ideer.

9

Abbott, 1884: s. 7, l. 15-16

10

Abbott, 1884: s. 53, l. 23-24

11

Abbott, 1884: s. 73, l. 10-11

12

Abbott, 1884: s. 63, l. 25-27

13

Abbott, 1884: s. 73, l. 18-20

Side 7

[navn fjernet], 3. x

SRP i matematik og engelsk

19/12-2014

Side 7

Klassesamfundet i Flatland

Alle borgerne i Flatland er forskellige geometriske figurer, hvor af de lavest rangerede er spidsvink-lede trekanter og de højest rangerede er polygoner med så mange kanter, at de ligner cirkler.

Denne verden ligner vores, flatlænderne snakker, tænker og fører krige indbyrdes, dog er deres sociale status afspejlet i deres figur. Jo flere kanter en geometrisk figur har, des klogere og højere placeret i samfundshierarkiet er den. Desuden har en trekants forskellige vinkler ligeledes betyd-ning for dens intellekt og samfundsklasse. De spidsvinklede trekanter er de mindst begavede, dog er de også de farligste, da de kan bruge deres spidse vinkel til at stange og derved dræbe andre med. Derfor bruges de spidsvinklede trekanter som soldater, og på baggrund af deres ringe bega-velse, er det ikke et problem at undertrykke dem, for de runde præster. De klogeste trekanter har tre vinkler på 60°, disse udgør middelklassen i samfundet.

Dette skaber billedet af en social fastlåshed, hvor det ikke er muligt at gå fra at være en trekantet soldat til en rund præst. Her ligger der uden tvivl en samfundskritik fra Abbotts side af. Abbott ønskede lige vilkår for undervisning, og derved social mobilitet. Selvom figurerne kan udvikle sig over en generation, er det ikke i stor nok grad, til at de kan flytte sig fra én social status til en an-den. Den sociale arv er stadig ubrydelig i Flatland.

Samfundet udvikler sig dog for hver generation: ”It is a Law of Nature with us that a male child shall have one more side than his father, so that each generation shall rise (as a rule) one step in the scale of development and nobility.” [14]

Dog er sønnerne af trekanterne blot en halv grad tættere

på de 60^{o} end sin far.

Denne udvikling er ikke sikker, den kan også gå den anden vej: ” and thereby, partly in conse-quence of his long imprisonment and degradation, and partly because of the moral shock which pervaded the whole of my Ancestor's relation, threw back our family a degree and a half in their

                         15
ascent towards better things.” Brydes lovene eller de sociale regler, begynder udviklingen altså

at gå baglæns.

14

Abbott, 1884: s 7, l. 25-27

15

Abbott, 1884: s 16, l. 22-25

Side 8

[navn fjernet], 3. x

SRP i matematik og engelsk

19/12-2014

Side 8

Dette kan enten vælges at forstås som et billede på den industrielle udvikling, hvor den indbyrdes konkurrence resulterede i at den, der var den bedste arbejder, bevægede sig op i det sociale hie-rarki. Den hårdtarbejdende blev belønnet og forbryderen blev straffet. Ligeledes kan det ses som et billede på socialdarwinismen, hvor udviklingen sker løbende for de individer, der er de stærke-ste. Denne teori ville være nærlæggende, da et samfund, der konstant udvikler sig for at slægten skal vokse og blive stærkere, minder meget om den måde de liberale samtidige politikere brugte Darwins teori på. I bund og grund er disse to læsninger den samme, da de begge omhandler udvik-lingen for den stærkeste og klogeste i samfundet.

Noget af det værste for flatlænderne er abnormalitet: ”… that every human being in flatland is a Regular Figure, that is to say of regular construction. By this I mean that a Woman must not only be a line, but a straight line; that an Artisan or Soldier must have two of his sides equal; that Tradesmen must have three sides equal…” [16]

Den største skam, der kan ramme en familie er af få en irregulær søn eller datter, der enten ikke har lige sider, eller ikke er født med en kant mere eller en større vinkel. Derfor er det mest udbredte valg, for et forældrepar, der ender i denne situation, at prøve at operer barnet, selvom det ikke er specielt sikkert: ”Many a promising child is sacrificed in this way. Scarely one out of ten survives.” [17]

Her ser vi igen den absurde tilgang til ensformighed blandt polygonerne. Dette var den samme måde man så på abnormaliteter i samtidens England. Var det ikke muligt at kurere en person for

’sygdommen’ homoseksualitet, var det bedre enten at fængsle eller dræbe den ’smittede’.

Kvinders plads i Flatland

I første halvdel af romanen This World beskrives kvindernes forhold i Flatland. Alle kvinderne er en streg, og er derfor endnu længere nede i det sociale hierarki end de lavest rangerede mænd. Da mændenes intelligens måles efter, hvor stor vinkelsummen i deres figur er: ”a respectable Wor-king Man with an angle or brain of 59°30’.” [18] og da en lige linje ikke danner nogen vinkel, betyder det, at kvinderne i Flatland praktisktalt ikke har nogen hjerne.

16

Abbott, 1884: s 22-23, l. 33-3

17

Abbott, 1884: s 36, l. 27-28

18

Abbott, 1884: s. 16, l. 18-19

Side 9

[navn fjernet], 3. x

SRP i matematik og engelsk

19/12-2014

Side 9

Da kvindernes spidse udformning resulterer i, at de lige som soldaterne er farlige for deres omgi-velser, da de kan dræbe ved at ramme en anden figur, har flatlænderne lavet en række regler, for at man kan vide, om der er en kvinde i nærheden. Kvinderne skal bevæge deres bagerste ende fra side til side, og hvor end de går udstøde et ’peace-cry’.

Disse regler er latterliggørelser af kvindens sociale undertrykkelse i form af den feminine gang, hvor kvinden skal vrikke med hofterne fra side til side. Fredsskriget kan ligeledes ses som et sym-bol på kvinders fløjten eller skønsang, igen en kønsrolle, samtiden tvang ned over hovedet på da-tiden kvinder.

Det fortælles, at disse to træk også er en måde at skelne mellem kvinder af høj og lav social byrd.

Da kvindernes geometriske udformning ikke varierer på samme måde som mændenes, kan man afgøre deres status, ud fra hvor smuk deres fredsskrig er, og hvor harmoniske deres bevægelser er. Ligeledes ligger der her en provokation af samtidens kvindesyn, og kvinders manglende ander-kendelse som tænkerne væsener. Kvinden anerkendes på områder som gang og sang, og ikke på intellektuelle anliggender.

Kvinders lave intelligens betyder også, at mændene i Flatland er nødt til at tale et simpelt baby-sprog for ikke at opildne kvinden, da de ligeledes er temperamentsfulde væsener, og et raserian-fald kan have fatale konsekvenser: ”… and in the less temperate climates the whole male popula-tion of a village has been sometimes destroyed in one or two hours of simultaneous female out-break.” [19] Dette resulterer også i at der bliver tyndet ud i mændene af lavere social byrd, da de, på bagrund af deres lavere intelligens, formår at ophidse kvinderne mere end de højtstående runde præster gør. Hvilket resulterer i, at kvinderne slår hele familien ihjel.

Drabet på en hel familie, kan læses som et billede på, at kvinderne forlod rollen som husmor for at arbejde eller studere, hvilket langsomt begyndte under den industrialle revolution. De konservati-ve samfundskræfter kunne påstå, at dette skyldtes mandens lave intellekt og manglende evne til at forsøge familien. Dette skal dog læses som en latterliggørelse fra Abbotts side af, da han på grund af sin feministiske standpunkt ønskede lige rettigheder for kvinderne i samfundet, og her

19

Abbott, 1884: s 11, l. 24-26

Side 10

[navn fjernet], 3. x

SRP i matematik og engelsk

19/12-2014

Side 10 bruger en overdrivelse til at latterligøre forestillingen om at kvinders deltagelse i arbejdsmarkedet og uddannelsessektoren skulle ødelække en familie.

Desuden gælder der en yderst vigtig regel for de socialt højtstående kvinder i Flatland: ”… the mo-ther and daughter should constantly keep their eyes and mouths towards their husband and his

male friends;”^{20} Ikke nok med at denne regel åbenlyst fortæller os, at kvinder skal hører efter,

hvad mændene tortæller dem, de skal gøre. Den indeholder også det interessante faktum at en lige streg, der peger mod et andet objekt, ikke vil fremstå som andet end et punkt. Da kvinderne ikke har nogen bredte, men kun en længde, betyder det, at punktet mændene kan se, vil være uendeligt småt, og derfor er kvinderne ikke bare usynlige i den forstand, at de ikke deltager i sam-talen, de er også fysisk usynlige for mændene.

Romanens slutning

Romanen slutter med en tilfangetagelse af vores hovedperson A. Square, da han ikke kan svare på spørgsmålene om, i hvilken retning den tredje dimension befinder sig, eller tegne en 3D-kube for præsidenten. Han sidder i fængslet og beretter om hvad der er sket, for læseren: ”Seven years

have elapsed and I am still a prisoner…”^{21}. Denne beslutning fra præsidentens side af, vidner om

en voldsom intolerance. Flatlænderne ønsker ikke nogen form for abnormalitet, hvad end det an-går udseende eller som i dette tilfælde andre synsvinkler og tanker. A. Square kunne på denne måde være en litterær repræsentant for forfatteren selv. Abbott er på ingen måde blevet anklaget for noget som helst, men han har måske alligevel oplevet, hvordan systemet ikke har været åbent for den nye strømning af matematik og lige rettigheder, på samme måde som retssystemet fængs-lede homoseksuelle udelukkende på baggrund af deres seksuelle orientering.

Overordnet fortolkning

Abbott skildrer altså det victorianske samfund gennem sin opdigtede verden Flatland. Han frem-stiller, hvordan kvinder og underklassen undertrykkes, og hvordan det på ingen måde er muligt at forholde sig kritisk og nytænkende i dette konservative samfund. Han latterliggør kønsrollerne, den sociale arv og den fastlåste tankegang. Abbott prøver at åbne op for en debat om liberale vil-

20

Abbott, 1884: s 13, l. 20-22

21

Abbott, 1884: s. 82, l. 5

Side 11

[navn fjernet], 3. x

SRP i matematik og engelsk

19/12-2014

Side 11 kår, hvor alle har lige rettigheder og muligheder, samt at nye og anderledes tanker ikke som ud-gangspunkt anses som sluder og vrøvl.

A. Squares og vores problemer med at forstå et flerdimensionelt univers

Et af Abbotts stærkeste litterære greb i romanen er matematikken. Han bruger A. Squares pro-blemer med at forstå det 3-dimensionelle univers, som et billede på vores problemer med at for-stå universer med 4 og endnu flere dimensioner. Vi vil nu kigge på den matematik, vi kan bruge til at redegøre for, analysere og diskutere flerdimensionelle legemer. Dette vil drage os tættere på en forståelse af Abbotts valg om at bruge matematik i sin litteratur.

Hvordan ser en nD-kube ud?

Definition af en dimension og en nD-kube

Ser vi et polyeder i vores eget 3-dimensionelle univers, kan vi blot tælle dets hjørner, kanter og flader. Ligeledes er det heller ikke noget problem at undersøge antallet af disse for polygoner eller linjestykker i universer med færre dimensioner, da disse også blot kan konstrueres på papiret eller i hovedet. Bevæger vi os derimod ud i nD-kuber i flerdimensionelle universer, begynder det at bli-ve besværligt at forestille sig og tælle hjørner, kanter og flader.

Vi vil i følgende betegne alle polyedre, polygoner, linjestykker og punkter som kuber. Dette skyl-des, at der i følgende beskrives, hvordan antallet af hjørner, kanter og (n-1)D-kuber i en nD-kube kan udregnes. N angiver antallet af dimensioner, så de ovenstående geometriske figurer vil derfor betegnes som 3D-, 2D-, 1D- og 0D-kuber.

Vi kigger først, på hvad der sker, når vi går fra et univers med n dimensioner til et univers med n+1

dimensioner.

I det univers med den lavest mulige værdi for n, 0, har vi altså 0 dimensioner. Derved ingen ud-strækning, blot en enkel singularitet i form af et punkt. For at forøge dette uni-vers med en dimension, skal punktet forskydes lineært. Dette vil skabe en ud-strækning, og derfor en kube, der er en dimension rigere end det foregående, i dette tilfælde en 1D-kube.

Side 12

[navn fjernet], 3. x

SRP i matematik og engelsk

19/12-2014

Side 12

Denne fremgangsmåde er ikke unik for overgangen mellem 0 og 1 dimension. Da en dimension er en retning, der kan forekomme udstrækning i, betyder det, at for at

overgå fra n til n+1 dimensioner skal den oprindelige kube blot forskydes

lineært. Den nye kube, der vil være en dimension rigere end den oprinde-lige, fremkommer af den oprindelige kube på sin oprindelige plads, den vej hjørnerne har bevæget sig under forskydningen og den oprindelige kube på sin nye plads.

Alt dette er simpelt, så længe vi kigger på n-værdier, der forekommer i universer, vi kan forstå, altså det 0-, 1-, 2- og 3-dimensionelle univers. Dog skal den nye retning, der kan forekomme udstrækning i, være ret-vinklet på alle foregående retninger. Dette betyder, at vi ikke kan forstille os et 4-dimensionelt legeme, da vi ikke kan forstille os en retning, der ikke er sidelæns, forlæns eller op og ned. Dog kan vi for at simulere det 4-dimensionelle legeme, hyperkuben, gå på kom-promis, og blot forstille os, at den nye retning ligger retvinklet på de foregående. At skabe denne tilnærmelsesvise gengivelse af en hyperkube, vil hjælpe os i beskrivelsen af nD-kubens udform-ning.

Antal hjørner i en nD-kube

Ved hver af forskydningerne dannes der ligeså mange hjørner, som den oprindelige geometri in-

deholder. Altså sker der en fordobling af hjørner, når vi går fra en n til en (n+1)D-kube. Dette skyl-

des naturligvis, at forskydningen af kuben danner en ekstra af den oprindelige kube. Vi kan altså beskrive antallet af hjørner(ℎ) i en kube ud fra den kube, der er en dimension fattigere.

ℎ_{𝑛} = 2ℎ_{𝑛−1}

Med betingelserne at n 𝜖 ℕ og 𝑛 ≥ 1

Antallet af hjørner kan ud fra denne sammenhæng ligeledes beskrives ud fra en kube, der er to dimensioner fattigere end nD-kuben.

ℎ_{𝑛} = 2 ∗ 2ℎ_{𝑛−1−1}

Side 13

[navn fjernet], 3. x

SRP i matematik og engelsk

19/12-2014

Side 13

For hver gang vi går en dimension længere ned i udtrykket, skal vi altså gange med 2, hvilket bety-der at, denne sammenhæng må forekomme

ℎ_{𝑛} = 2^{𝑛} ∗ ℎ_{𝑛−𝑛}

ℎ_{𝑛} = 2^{𝑛} ∗ ℎ_{0}

Vi kender antallet af kanter for kuben med 0 dimensioner, da denne blot er et punkt og derfor kun har 1 kant. Derfor kan dette indsættes i udtrykket, og vi har derved fundet den enkleste formel for antal af hjørner i n dimensioner.

ℎ_{𝑛} = 2^{𝑛} ∗ 1

ℎ_{𝑛} = 2^{𝑛}

Altså er vores hypotese, at antallet af hjørner i en nD-kube kan udtrykkes som funktion af antal af dimensioner nD-kuben udstrækker sig i.

Antal kanter i en nD-kube

Ved hver af forskydningerne dannes der ligeså mange kanter, som den oprindelige kube indehol-

der. Altså sker der ligesom med hjørnerne en fordobling af kanter, når vi går fra en n til en (n+1)D-

kube. Desuden skabes der en ny kant, for hvert punkt, da forskydningen resulterer i et linjestykke mellem det oprindelige og det nye punkt. Vi kan altså ligeledes beskrive antallet af kanter(𝑘) i en kube ud fra en kube, der er en dimension fattigere.

𝑘_{𝑛} = 2𝑘_{𝑛−1} + ℎ_{𝑛−1}

Med betingelserne n 𝜖 ℕ og 𝑛 ≥ 1

På samme måde som med antallet af hjørner, kan vi beskrive antallet af kanter ud fra kuber i uni-verser, der er mere end 1 dimension mindre.

𝑘_{𝑛} = 2(2𝑘_{𝑛−1−1} + ℎ_{𝑛−1−1}) + ℎ_{𝑛−1}

𝑘_{𝑛} = 4𝑘_{𝑛−2} + 2ℎ_{𝑛−2} + ℎ_{𝑛−1}

𝑘_{𝑛} = 4(2𝑘_{𝑛−2−1} + ℎ_{𝑛−2−1}) + 2ℎ_{𝑛−2} + ℎ_{𝑛−1}

Side 14

[navn fjernet], 3. x

SRP i matematik og engelsk

19/12-2014

Side 14

𝑘_{𝑛} = 8𝑘_{𝑛−3} + 4ℎ_{𝑛−3} + 2ℎ_{𝑛−2} + ℎ_{𝑛−1}

På denne måde kan vi blive ved med at bevæge os en dimension længere ned, end til vi har bevæ-get os n dimensioner ned.

𝑘_{𝑛} = 2^{𝑛} 𝑘_{𝑛−𝑛} + 𝑛 ∗ ℎ_{𝑛−1}

𝑘_{𝑛} = 2^{𝑛} 𝑘_{0} + 𝑛 ∗ ℎ_{𝑛−1}

Vi kender værdien af k

0

; da der ikke er nogle kanter i et punkt, er denne lig 0. Ligeledes kender vi

et udtryk for ℎ_{𝑛−1} fra formelen for antal af hjørner. Vi indsætter disse i formlen

𝑘_{𝑛} = 2^{𝑛} ∗ 0 + 𝑛 ∗ 2^{𝑛−1}

𝑘_{𝑛} = 𝑛2^{𝑛−1}

Altså er vores hypotese, hvad angår kanter, at antallet af disse i en nD-kube ligeledes kan udtryk-kes som funktion af antal af dimensioner nD-kuben udstrækker sig i.

Antal (n-1)D-kuber i en nD-kube

På samme måde som antallet af kanter kan beskrives på, kan antallet af enhver kube, der er en dimension mindre, end den kube den indgår i, beskrives. Hvor mange (n-1)D-kuber, der er i en nD-kube, kan beskrives ud fra, hvor mange (n-1)D- og (n-2)D-kuber, der er i en (n-1)D-kube.

Ved forskydningen af en (n-1)D-kube dannes der en nD-kube. Denne har ligeså mange (n-1)D-kuber, som den oprindelige (n-1)D-kuben indeholder(det vil sige 1). Desuden skabes en ny (n-1)D-kube, for hver (n-2)D-kuber, der er i den oprindelige (n-1)D-kube. Dette skyldes at forskydningen skaber nye (n-1)D-kuber mellem (n-2)D-kuberne indimellem den oprindelige og den nye (n-1)D-kube.

Vi kan altså ligeledes beskrive antallet af (n-1)D-kuber i en nD-kube ud fra hvor mange (n-1)D-kuber(x) og (n-2)D-kuber(y), der er i en (n-1)D-kube.

𝑥_{𝑛} = 2𝑥_{𝑛−1} + 𝑦_{𝑛−1}

Med betingelserne n 𝜖 ℕ og 𝑛 ≥ 1.

Side 15

[navn fjernet], 3. x

SRP i matematik og engelsk

19/12-2014

Side 15

Da x her angiver antal (n-1)D-kuber i en (n-1)D-kube, ved vi at x =1, da en kube kun kan inde-

n-1 n-1 holde sig selv en gang. Derfor får vi

𝑥_{𝑛} = 2 ∗ 1 + 𝑦_{𝑛−1}

𝑥_{𝑛} = 2 + 𝑦_{𝑛−1}

Her af ser vi at det kun er nødvendigt at kende til antallet af (n-2)D-kuber i en (n-1)D-kube for at vide hvor mange (n-1)D-kuber, der er i en nD-kube.

Antallet af (n-1)D-kuber(x) kan ligeleds beskrives ud fra antallet af (n-3)D-kuber(z) i en (n-2)D-kube(y).

𝑥_{𝑛} = 2 + 2 + 𝑧_{𝑛−2}

Følger vi dette system til ende, ser vi at antallet af (n-1)D-kuber kan beskrives ud fra antal af hjør-ner(0D-kuber) på et linjestykke(1D-kube).

𝑥_{𝑛} = 2 ∗ (𝑛 − 1)+ℎ_{𝑛−(𝑛−1)}

𝑥_{𝑛} = 2𝑛 − 2+ℎ_{1}

Vi ved, at der er 2 hjørner på et linjestykke.

𝑥_{𝑛} = 2𝑛 − 2 + 2

𝑥_{𝑛} = 2𝑛

Altså er vores hypotese, at der i en nD-kube er dobbelt så mange (n-1)D-kuber som antal dimensi-oner nD-kuben har en udstrækning i.

Beviser for formlerne

Vi er altså i ovenstående nået frem til tre formler for udformningen af en nD-kube. Vi kan beskrive, hvor mange hjørner, kanter og (n-1)D-kuber en nD-kube indeholder ud fra formlerne

ℎ_{𝑛} = 2^{𝑛}

𝑘_{𝑛} = 𝑛2^{𝑛−1}

Side 16

[navn fjernet], 3. x

SRP i matematik og engelsk

19/12-2014

Side 16

𝑥_{𝑛} = 2𝑛

For at være sikker på at vores hypoteser er sande for alle naturlige tal n, er vi nødt til at lave en bevisførelse på baggrund af induktionsmetoden.

Vi starter vores induktion ved at opfylde basisskridtet for alle tre sætninger, ved at kigge på n=1.

ℎ_{1} = 2^{1} = 2

𝑘_{1} = 1 ∗ 2^{1−1} = 1

𝑥_{1} = 2 ∗ 1 = 2

Da vi ved at der er 2 hjørner og 1 kant på et linjestykke er basisskridtet opfyldt for h og k. X be-n n 1 skriver ligeledes, hvor mange hjørner, der er på et linjestykke, og derfor er basisskidtet for x også n opfyldt.

Vi tager nu udgangspunkt i vores tre hypoteser og kigger på dem en ad gangen, for et vilkårligt n.

Altså kan vi bevise sætningerne, ved blot at finde frem til en formel, der får induktionen til at op-fylde den næste i rækken, da vi har set en enkel overensstemmelse i induktionsstarten. Derfor

bestemmer vi et udtryk med n+1 dimensioner:

Vi kigger først på antal hjørner:

I henhold til induktionsantagelsen er

ℎ_{𝑛+1} = ℎ_{𝑛} ∗ 2

Vi indsætter det hypotetiske udtryk for h n

ℎ_{𝑛+1} = 2^{𝑛} ∗ 2

ℎ_{𝑛+1} = 2^{𝑛+1}

Da dette er den samme formel som i hypotesen, er denne bevist for alle n ∈ N.

Vi kigger nu på antal kanter:

I henhold til induktionsantagelsen er

Side 17

[navn fjernet], 3. x

SRP i matematik og engelsk

19/12-2014

Side 17

𝑘_{𝑛+1} = 2 ∗ 𝑘_{𝑛} + ℎ_{𝑛}

Vi indsætter de hypotetiske udtryk for k og h n n

𝑘_{𝑛+1} = 2 ∗ 𝑛2^{𝑛−1} + 2^{𝑛}

𝑘_{𝑛+1} = 𝑛2^{𝑛} + 2^{𝑛}

𝑘_{𝑛+1} = ( 𝑛 + 1) 2^{𝑛}

𝑘_{𝑛+1} = ( 𝑛 + 1) 2^{(𝑛+1)−1}

Da dette ligeledes er den samme formel som i hypotesen, er denne også bevist for alle n ∈ N.

Til sidst kigger vi på antal (n-1)D-kuber:

I henhold til induktionsantagelsen er

𝑥_{𝑛+1} = 𝑥_{𝑛} + 2

Vi indsætter det hypotetiske udtryk for x n

𝑥_{𝑛+1} = 2𝑛 + 2

𝑥_{𝑛+1} = 2 ( 𝑛 + 1)

Endnu en gang er dette den samme formel som i hypotesen, og derfor er formlen bevist for alle n ∈ N.

Altså kan udformningen af en nD-kube beskrives som funktion af antal dimensioner. Vi kan beskri-ve antal hjørner, kanter og (n-1)D-kuber ud fra de beviste formler.

ℎ_{𝑛} = 2^{𝑛}

𝑘_{𝑛} = 𝑛2^{𝑛−1}

𝑥_{𝑛} = 2𝑛

Side 18

[navn fjernet], 3. x

SRP i matematik og engelsk

19/12-2014

Side 18

Mødet med et flerdimensionelt væsen

Et af de helt essentielle punkter i romanen er A. Squares møde med Sphere. En figur, der på my-stisk vis skifter størrelse uden nogen synlig grund, er det, der starter hele fortællingen om et fler-dimensionelt univers. Vi kan grine af A. Squares problemer med at forstå dette objekts flerdimen-sionelle fysik, dog ville et legeme med 4 dimensioner, der bevægede sig igennem vores 3- dimensionelle universer skabe den samme forundring.

Fra Spaceland til Flatland

Vi ser først på situationen i romanen, for senere at kunne overføre dette til situationen i vores rum. Vi ser altså på en sfære, der bevæger sig gennem et plan.

Vi ser her på en sfære med en radius, r, på 1 cm, da dette er det enkleste at beskrive, selvom Sphere har en diameter på 33,02 cm. ”but in reality I am not a Circle, but an infinite number of Circels, of size varying from a Point to a Circle of thirteen inches in diameter,” (s. 58 l. 22-24).

Centrum, C(0,0,z) .

Origo, O(0,0,0) .

Side 19

[navn fjernet], 3. x

SRP i matematik og engelsk

19/12-2014

Side 19

Sfæren bevæger sig ned mod og igennem planet som tiden går, men da den ikke bevæger sig i x-og y-retningen er disse koordinater konstante. Derfor kan koordinatsættet for centrum udtrykkes

ved hjælp af begyndelseskoordinatet, 𝐶
                                0

(0,0,𝑧
    0

), hastigheden på bevægelsen, v, og tiden t.

𝐶(0,0, 𝑧_{0} − 𝑣𝑡)

Den første skæring mellem sfæren og planet vil ske til det tidspunkt, hvor 𝑧 − 𝑣𝑡 = 𝑟. Her skærer
                                                             0

de i punktet koordinatsættets nulpunkt. På dette tidspunkt vil A. Square se et enkelt punkt.

Skæringen, hvor radius på sfærens repræsentation i det 2-dimensionelle univers er størst, er når sfærens centrum ligger i origo. På dette tidspunk er radius på den cirkel A. Square ville se lig radi-ussen på selve sfæren.

Den sidste skæring mellem sfæren og planet vil finde sted, når 𝑧_{0} − 𝑣𝑡 = −𝑟. Her skærer de lige-

ledes i punktet i origo, da sfæren nu næsten har bevæget sig ud af planet. A. Square vil altså lige-ledes her blot se et enkelt punkt.

Sfæren skærer altså planet, når centrum(0,0, 𝑧 − 𝑣𝑡) er mellem punkterne P(0,0,1) og Q(0,0,-1).
                                      0

Vi ser nu på kuglens ligning:

(𝑥 − 𝑎)^{2} + (𝑦 − 𝑏)^{2} + (𝑧 − 𝑐)^{2} = 𝑟^{2}

Vi indsætter de ovenstående værdier

(𝑥 − 0)^{2} + (𝑦 − 0)^{2} + (𝑧 − ( 𝑧_{0} − 𝑣𝑡))^{2} = 1^{2}

𝑥^{2} + 𝑦^{2} + (𝑧 − ( 𝑧_{0} − 𝑣𝑡))^{2} = 1

Da vi gerne vil kende til x- og y-koordinaterne til det tidspunkt, hvor sfæren skærer planet, sætter vi ligeledes z til 0. Da x, y og z i denne ligning angiver et bestemt punkt på kuglens overflade, kan vi finde de to tilhørende værdier, hvis vi definerer en enkel af disse tre.

𝑥^{2} + 𝑦^{2} + (0 − ( 𝑧_{0} − 𝑣𝑡))^{2} = 1

𝑥^{2} + 𝑦^{2} + (− ( 𝑧_{0} − 𝑣𝑡))^{2} = 1

Side 20

[navn fjernet], 3. x

SRP i matematik og engelsk

19/12-2014

Side 20

𝑥^{2} + 𝑦^{2} + (𝑧_{0} − 𝑣𝑡)^{2} = 1

𝑥^{2} + 𝑦^{2} = 1 − (𝑧_{0} − 𝑣𝑡)^{2}

Ud fra den ovenstående beskrivelse af mulige værdier for 𝑧_{0} − 𝑣𝑡 kan vi, se at

0 ≤ 𝑥^{2} + 𝑦^{2} ≤ 1

                                                2    2
Dette interval er netop det, vi redegjorde for tidligere, da 𝑥 + 𝑦 = 0 betyder at sfæren kun skæ-

rer i et punkt, og 𝑥^{2} + 𝑦^{2} = 1 betyder at radiussen på sfærens repræsentation i det 2-

dimmensionelle univers er lige så stor som radiussen på sfæren selv, hvilken nødvendigvis må væ-re den størst mulige radius. Dette interval bekræfter altså den ovenstående teori.

Da (𝑧_{0} − 𝑣𝑡)^{2} kan udtrykkes som et tal, n i intervallet 0;1 kan vi derfor udtrykke sammenhængen.

𝑥^{2} + 𝑦^{2} = 1 + 𝑛

Da a og b blot angiver x- og y-koordinaterne til centrum i det 2-dimensionelle koordinatsæt, der her er (0,0), og summen af 1 og n blot er kvadratet af radiussen på sfærens repræsentation i det 2- dimmensionelle univers, kan vi omskrive dette udtryk til cirklens ligning

(𝑥 − 𝑎)^{2} + (𝑦 − 𝑏)^{2} = 𝑟^{2}

Hvilket betyder at en sfære, der passerer ned igennem det 2-dimensionelle univers, bliver repræ-senteret som en cirkel.

Dette er hvad A. Square ser ved mødet med Sphere, lad os nu kigge på, hvad vi ville opleve ved mødet med en hypersfære.

En fremmed på besøg i vores verden

En hypersfære er ligesom en cirkel og en sfære en kube med en konstant radius, dog er hypersfæ-ren modsat de to andre 4-dimensionel. Derfor kan denne matematisk beskrives ud fra 4 led.

(𝑥 − 𝑎)^{2} + (𝑦 − 𝑏)^{2} + (𝑧 − 𝑐)^{2} + (𝑤 − 𝑑)^{2} = 𝑟^{2}

Vi lader ligeledes her kuben bevæge sig langs med en akse, dog denne gang ned gennem et rum, i

stedet for et plan. Derfor har hypersfæren centrummet C(0,0,0, 𝑤_{0} − 𝑣𝑡), da x-, y- og z-

koordinaterne er konstante.

Side 21

[navn fjernet], 3. x

SRP i matematik og engelsk

19/12-2014

Side 21

Vi kigger ligeledes her på en kube med en radius på 1. Derfor får vi følgende udtryk for x-, y- og z-koordinaterne.

(𝑥 − 0)^{2} + (𝑦 − 0)^{2} + (𝑧 − 0)^{2} + (𝑤 − (𝑤_{0} − 𝑣𝑡))^{2} = 1^{2}

𝑥^{2} + 𝑦^{2} + 𝑧^{2} + (𝑤 − (𝑤_{0} − 𝑣𝑡))^{2} = 1

Da vi gerne vil vide, hvordan den geometri, vi kommer til at se i 3 dimensioner ser ud, finder vi x-, y- og z-koordinaterne når kuben skærer rummet, altså sætter vi w til 0.

𝑥^{2} + 𝑦^{2} + 𝑧^{2} + (0 − (𝑤_{0} − 𝑣𝑡))^{2} = 1

𝑥^{2} + 𝑦^{2} + 𝑧^{2} + (𝑤_{0} − 𝑣𝑡)^{2} = 1

𝑥^{2} + 𝑦^{2} + 𝑧^{2} = 1 − (𝑤_{0} − 𝑣𝑡)^{2}

Ud fra samme argumentation som i 3 dimensioner, ved vi at (𝑤_{0} − 𝑣𝑡)^{2} ligger i intervallet -1;1 og
derfor ligger 𝑥^{2} + 𝑦^{2} + 𝑧^{2} i intervallet 0;1.

                        2                                        2
Ligesom vi udtrykte (𝑧 − 𝑣𝑡) som et positivt tal i intervallet 0;1, kan (𝑤 − 𝑣𝑡) på samme måde
                  0                                        0

udtrykkes som et positivt tal i intervallet 0;1, og vi kan derfor opskrive sammenhængen til

𝑥^{2} + 𝑦^{2} + 𝑧^{2} = 1 − 𝑛

Endnu engang kan vi drage fordel af ligheden mellem denne formel og beskrivelsen af en kube med færre dimensioner. Da a, b og c blot angiver x-, y- og z-koordinaterne til centrum, der her er

(0,0,0,w), og summen af 1 og n blot er radiussen på hypersfærens repræsentation i det 3- dimmensionelle univers, kan vi omskrive dette udtryk til kuglens ligning

(𝑥 − 𝑎)^{2} + (𝑦 − 𝑏)^{2} + (𝑧 − 𝑐)^{2} = 𝑟^{2}

Hvilket betyder at ligesom en sfære, der passerer ned igennem det 2-dimensionelle univers, vil blive repræsenteret som en cirkel, vil en hypersfære, der passerer ned igennem vores 3- dimensionelle univers, blive gengivet som en sfære.

Side 22

[navn fjernet], 3. x

SRP i matematik og engelsk

19/12-2014

Side 22

Et ikke fladt Flatland

Selvom Flatland kun har udstrækning i to dimensioner, kunne det godt tænkes, at denne verden ikke bare var som et fladt euklidisk 2D-plan, men som et krumt rum, hvis Flatland altså var en kug-leflade med en stor radius. Dette ville ændre matematikken for flatlænderne, og ville derfor være en særdeles vigtig information for matematikerne i Flatland at kende til.

Som beboer af jordkloden, kender vi til hvordan denne afvigelse fra euklidisk matematik er væ-sentlig. Skal vi f.eks. på ferie til Amerika, er det ikke den hurtigste vej at flyve stik vest, selvom man ønsker at blive i den samme længdegrad.

Vi vil nu kigge på, hvordan vi kan vide at geometrien på en kugleflade er ikke euklidisk geometri.

Hvis vi ser på en trekant ABC, hvis punkter ligger fordelt ud over en kugleflade. Radiussen i denne sfære er sat til 1 for enkelthedens skyld. Vi ønsker nu at finde frem til et generelt udtryk for en

Side 23

[navn fjernet], 3. x

SRP i matematik og engelsk

19/12-2014

Side 23 vinkel i en trekant ud fra sfærisk geometri.

Vi ved fra vektor regning at vinklen mellem to vektorer kan beskrives som^{22}

cos ( 𝑣) =

𝑎⃗ ∙ 𝑏

⎯ ⃗

| 𝑎⃗ | ∗ |𝑏 |

⎯ ⃗

Altså i dette tilfælde

cos ( 𝑏) =

𝑂𝐴 ∙ 𝑂𝐶

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

|𝑂𝐴 | ∗ |𝑂𝐶 |

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

Vi kender origo O(0,0,0), dog skal vi for at bestemme vinklen kende koordinatsættet til A og C.

Punktet A

X-koordinaten for A kan bestemmes ved at projektere A ned på x-aksen, vi kalder dette punkt for D. Vi kan derved udtrykke x-koordinaten som

|𝑂𝐷 | = cos (∠𝐴𝑂𝐷) ∗ |𝑂𝐴 |

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

Da vi arbejder på overfladen af en sfære betyder det, at afstanden mellem A og B er lig vinklen mellem A og B altså c.

I trekant ADO er

∠𝐴𝑂𝐷 = ∠𝐵𝑂𝐷 − 𝑐 = 90° − 𝑐

Det betyder at

|𝑂𝐷 | = cos ( 90° − 𝑐) ∗ 1 = sin (𝑐)

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

Altså er x-koordinaten til A sin (𝑐).

Y-koordinaten for A er lig 0, da A ligger i planet udspændt mellem x- og z-aksen.

Z-koordinaten kan ligesom x-koordinaten bestemmes ud fra trekanten ADO

22

Clausen et. al, 2007: s. 101, l. 9-12

Side 24

[navn fjernet], 3. x

SRP i matematik og engelsk

19/12-2014

Side 24

|𝐷𝐴 | = sin ( ∠𝐴𝑂𝐷) ∗ |𝑂𝐴 | = sin ( 90 − 𝑐) ∗ 1 = 𝑐𝑜𝑠 (𝑐)

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

Altså er z-koordinaten til A cos (𝑐).

Punktet A har altså koordinatsættet (sin(c),0,cos(c))

Punktet C

Koordinaterne for C bestemmes ved at projekterer punktet selv, C, ned på det plan der udspændes mellem x- og y-aksen. Vi kalder denne gang punktet for E.

Ligeledes projekterer vi E ind på x- og y-aksen, og kalder disse punkter for f og g.

X-koordinaten for C kan udtrykkes som

|𝑂𝐹 | = cos ( ∠𝐹𝑂𝐸) ∗ |𝑂𝐸 |

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

Vi kan udtrykke afstanden fra O til E som

|𝑂𝐸 | = cos (∠𝐶𝑂𝐸) ∗ |𝑂𝐶 |

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

Altså er x-koordinaten

|𝑂𝐹 | = cos ( ∠𝐹𝑂𝐸) ∗ cos (∠𝐶𝑂𝐸) ∗ |𝑂𝐶 |

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

Vi må hele tiden huske på, at vi arbejder på overfladen af en sfære. Dette betyder, at afstanden mellem B og C er lig vinklen mellem B og C, altså a.

I trekant CEO er

∠𝐶𝑂𝐸 = ∠𝐵𝑂𝐸 − 𝑎 = 90° − 𝑎

Desuden er vinklen mellem 𝑂𝐸

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ og x-aksen lig vinklen mellem 𝑂𝐸 og 𝑂𝐷

, da 𝑂𝐷 ligger på x-aksen.

Denne vinkel er den, vi udtrykte som B på den første illustration. Altså

∠𝐹𝑂𝐸 = 𝐵

Side 25

[navn fjernet], 3. x

SRP i matematik og engelsk

19/12-2014

Side 25

Indsætter vi disse vinkler ser vi at

|𝑂𝐹 | = cos ( 𝐵) ∗ cos ( 90° − 𝑎) ∗ 1 = cos ( 𝐵) sin (𝑎)

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

X-koordinaten er derfor cos ( 𝐵) ∗ sin ( 𝑎)

Y-koordinaten for C kan udtrykkes som

|𝑂𝐺 | = cos ( ∠𝐺𝑂𝐸) ∗ |𝑂𝐸 |

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

Vi kan indsætte det samme udtryk for |𝑂𝐸

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

| som vi benyttede os af til at finde x-koordinaten.

|𝑂𝐺 | = cos ( ∠𝐺𝑂𝐸) ∗ cos (∠𝐶𝑂𝐸) ∗ |𝑂𝐶 |

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

Da der er 90^{o} mellem x- og y-aksen, betyder det at ∠𝐺𝑂𝐸 kunne udtrykkes ud fra B som

∠𝐺𝑂𝐸 = 90 − 𝐵

Vi indsætter de kendte udtryk for vinklerne i formlen

|𝑂𝐺 | = cos ( 90 − 𝐵) ∗ cos ( 90 − 𝑎) ∗ 1 = sin (𝐵)sin (𝑎)

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

Y-koordinaten er derfor sin ( 𝐵) ∗ sin ( 𝑎)

Z-koordinaten for C kan udtrykkes som

|𝐸𝐶 | = sin ( ∠𝐶𝑂𝐸) ∗ |𝑂𝐶 |

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

Vi indsætter udtrykket for ∠𝐶𝑂𝐸 og radius

|𝐸𝐶 | = sin ( 90 − 𝑎) ∗ 1 = cos (𝑎)

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

Z-koordinaten er derfor sin (𝑎).

Punktet C har altså koordinatsættet C(𝑐𝑜𝑠(𝐵) ∗ 𝑠𝑖𝑛(𝑎),𝑠𝑖𝑛(𝐵) ∗ 𝑠𝑖𝑛(𝑎),sin(a))

Vi kender nu de to punkter A(sin(c),0,cos(c)) og C(𝑐𝑜𝑠(𝐵) ∗ 𝑠𝑖𝑛(𝑎),𝑠𝑖𝑛(𝐵) ∗ 𝑠𝑖𝑛(𝑎),cos(a)) Vi indsætter disse i vores udtryk for en vinkel

Side 26

[navn fjernet], 3. x

SRP i matematik og engelsk

19/12-2014

Side 26

cos ( 𝑏) =

𝑂𝐴 ∙ 𝑂𝐶

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

|𝑂𝐴 | ∗ |𝑂𝐶 |

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

Da både |𝑂𝐴 | og |𝑂𝐶 | er angivelser af sfærens radius, er

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

cos ( 𝑏) = = 𝑂𝐴 ∙ 𝑂𝐶

𝑂𝐴 ∙ 𝑂𝐶

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

1 ∗ 1

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

cos ( 𝑏) = sin ( 𝑐) ∗ cos ( 𝐵) ∗ sin ( 𝑎) + 0 ∗ sin ( 𝐵) ∗ sin ( 𝑎) + cos ( 𝑐) ∗ 𝑐𝑜𝑠 (𝑎)

cos ( 𝑏) = sin ( 𝑐) ∗ cos ( 𝐵) ∗ sin ( 𝑎) + cos ( 𝑐) ∗ cos(𝑎)

Dette udtryk er i uoverensstemmelse med den euklidiske geometris cosinusrelation [23]

cos ( 𝑏) =

𝑎^{2} + 𝑏^{2} − 𝑐^{2}

2𝑎𝑐

Ud fra forskellen på de to forskellige cosinus relationer kan vi altså konkludere, at det ville være nødvendigt for matematikerne i Flatland at anvende en anden form for geometri end den euklidi-ske, hvis de ville regne ud, hvordan de hurtigst muligt kom fra et til et andet sted. I tilfælde af at Flatlænderne lever på overfladen af en sfære skal de derfor anvende sfæriske geometri.

Matematikken som et litterært virkemiddel

I ovenstående har vi gennemgået lidt af den matematik, Abbott antageligvis har været inspireret af. De nye matematiske strømninger i 1800-tallet sætter nye filosofiske og fysiske diskussioner på dagsordenen. Vektorregningen skaber debat, om hvorvidt vores univers blot er tredimensionelt, og den ikke euklidisk geometri præsenterer os for ideen om et krumt univers. [24] Disse billeder af verdenen er så obskurere, at de ikke er til at forholde sig til for den knapt så matematiskoplyste samtid. Selv for matematikerne er det ikke muligt at forstille sig mere end 3 rummelige dimensio-ner, da disse udelukkende kan beskrives på papiret.

23

Clausen et. al, 2005: s. 25, l. 1-4

24

Enterprises, 2002: s. 205-208, l. 39-61

Side 27

[navn fjernet], 3. x

SRP i matematik og engelsk

19/12-2014

Side 27

At se opgøret med den klassiske Euklidiske forståelse af rumlighed, som et symbol på opgøret med hele den victorianske tankegang, er nærliggende, da de nye politiske strømninger i denne tidsæra fører til, at hele systemet bliver vendt på hovedet.

Udgangspunktet for Abbotts roman er, at det victorianske samfund er for fastlåst i sin tankegang.

Magthaverne har på forhånd besluttet sig for, hvordan samfundet skal bygges op og anser derfor ikke nye tanker om ligestilling og socialmobilitet som noget, der er værd at forholde sig til.

Da A. Square i begyndelsen af anden halvdel af romanen nægter at tro på den 3. dimension, og dermed eksistensen af den virkelighed vi lever i, ved vi, at han tager fejl. Abbott bruger efterføl-gende en gentagelse af denne diskussion, blot hvor rollerne i diskussionen er byttet over. Nu er det Sphere, der ikke vil forholde sig til, hvad A. Square argumenterer for og deducerer sig frem til.

På den måde viser han os, at det er naturligt at gå i forsvar for det, man har fået ind med moder-mælken. Dog gør gentagelser af en løgn den ikke til sandhed. Matematikken bliver derved et sym-bol på samtidens samfundsstruktur. Ideen om flerdimensionalitet og krumme rum giver anledning til en diskussion om den fysiske verden. Abbott får i romanen denne diskussion til at tage ud-gangspunkt i det victorianske England. Han forsøger på denne måde at stikke til de konservative magthavere og vise dem, at samfundsstrukturen på samme måde som fysikken også kan nytæn-kes.

Konklusion

Abbott beskriver i sin roman Flatland – A Romance of Many Dimensions fra 1884 et 2-dimensionelt univers, der er et satirisk billede på hans samtidige England. Han fremstiller et undertrykkende system, der ikke tolererer nye ideer, der er alt for kontroversielle, da disse kunne skubbe til den gængse holdning om ensformighed i systemet. Med denne roman forsøger Abbott at fungere som katalysator for de nye strømninger, der bevægede sig i England på dette tidspunk. Han forsøger at skildre undertrykkelsen af de lavere samfundsklasser og kvinderne. Hans brug af matematikken åbner ikke kun øjnene på samtidige og nutidige læsere, hvad angår flerdimensionelforståelse, men den fungerer også som et vigtigt symbol på nye strømninger, forandringer og ideer. Abbotts værks vigtigste opgave var og er at fastslå, at vi er nødt til at forholde os kritiske over for det, det er an-

Side 28

[navn fjernet], 3. x

SRP i matematik og engelsk

19/12-2014

Side 28 taget tidligere. Bare fordi vi ikke kan forstå abnormaliteter eller matematiske beskriveler, betyder det ikke, at disse er forkerte. Det er bare os og systemet, der er for fastlåst i vores tankegang og perception på tilværelsen, til at give det nye en chance.

Perspektivering til Gud

Sphere er hævet over det 2-dimensionelle Flatland, i det 3-dimensionelle Spaceland og kan derved betragte alt, hvad der finder sted inden for Flatlands rammer. Da Abbott er teolog, vil en læsning af Sphere som et billede på Gud være nærliggende. Hvis vi ser Flatland som et symbol på samti-dens England, vil A. Squares rolle som apostel om den 3. dimension kunne forstås som de kristne præsters rolle som forkyndere af Guds rige. Hvis Gud befinder sig i et rum, der er en dimension rigere end vores, vil han på samme måde som Sphere kan se alt, der finder sted i Flatland, kunne se alt, der finder sted i vores verden.

Flatlænderne ser kun en streg, og vi 3-dimensionelle mennesker ser kun et 2-dimensionelt billede.

Selvom vi kan se dybde i form af skygger, ser vi kun en overflade, på samme måde som et maleri også kun er 2-dimensionelt, selvom vi kan se et helt rum. Et 4-dimensionelt væsen vil derfor kunne se 3-dimensionelt, og et 5-dimensionelt væsen vil kunne se 4-dimensionelt.

Gud bliver ofte beskrevet som herre over tid og rum, så det er ikke nok at se ham som et 4- dimensionelt væsen, for han er i så fald kun herre over tiden. Hvis vi opfatter tiden som den 4.

dimension, som den så ofte anvendes som i fysikken, skal Gud altså kunne se 4-dimensionelt for at være herre over tid og rum.

Hvis Gud kan se 4-dimensionelt, kan han vide alt, der kommer til at finde sted, uden at han behø-ver at have givet os en skæbne. Hvilket er en vigtig pointe for præster og teologer, da den frie vilje er en central ide i protestantismen.

Denne måde at håndtere Guds alvidenhed, løser oplysningstidens religiøse problematik om, at Gud ikke kan vide alt om fremtiden, uden at vi har en skæbne. Men hvis en 5-dimensionel Gud blot kan se alt frem og tilbage i tiden, kan han se hvilke frie valg vi kommer til at træffe, uden at have besluttet dem for os.

Denne forståelse af Gud som et 5-dimensionelt væsen ville også forklare, hvordan Gud kan skabe os i sit billede, uden at vi besidder alle hans perfekte egenskaber. Det er blot hans egen 3-

Side 29

[navn fjernet], 3. x

SRP i matematik og engelsk

19/12-2014

Side 29 dimensionelle projektion, han har skabt. Ligeledes er det også kun en 3-dimensionel projektion, vi ser af Gud ved Jesus fødsel. Gud bevæger sig igennem vores rum, på samme måde som Sphere bevæger sig gennem flatlændernes plan. Gud bliver dog i dette rum, helt ind til Jesu korsfæstelse.

Derfor kan hele Jesu liv fra krybberum til kors, ses som en 4-dimensionel projektion af Gud, hvor han både har udstrækning i de tre rummelige dimensioner og tiden.

Side 30

[navn fjernet], 3. x

SRP i matematik og engelsk

19/12-2014

Side 30

Litteraturliste

Bøger

Abbott, Edwin Abbott, flatland – A Romance of Many Dimensions, Dover Thrift Edition 1992, Dover Publications Inc. Oprindelses år: 1884.

Clausen, Flemming, Gert Schomacher og Jesper Tolnø: Prikproduktet. I: Gyldendals Gymnasiema-tematik: Grundbog A. 1. udgave. Gyldendal, 2007. s. 101

Clausen, Flemming, Gert Schomacher og Jesper Tolnø: Trigonometri, vilkårlige trekanter. I: Gyl-dendals Gymnasiematematik: Grundbog B1. 1. udgave. Gyldendal, 2005. s. 25

Christensen, Jørgen Riber, Mette Løndahl og Ole Vadmand: Britain The Victorian Age. I:

Life and Literature: The English Handbook. 1. Udgave. Gyldendal, 1991. s. 37-53

Enterprises, Joat: Non-Euclidean Geometry : The annotated Flatland – A Romance of Many Dimen-sions. 1. Udgave. Perseus Publishing, 2002. S. 205-210

Gurr, Elizabeth: Victorian Contexts. I: English Literature in context. 1. udgave. Oxford university press, 2000. s. 95-114

Internetsider

Edwin Abbott Abbott: Princeton University.

https://www.princeton.edu/~achaney/tmve/wiki100k/docs/Edwin_Abbott_Abbott.html. Besøgt

d.

Social satire in Flatland: Mathaware.

http://www.mathaware.org/mam/00/master/people/abbott/satire.html. Besøgt d.

Homoseksuality: Old Bailey. http://www.oldbaileyonline.org/static/Gay.jsp. Besøgt d.