SRP om Den perfekte 100 meter sprint

Side 1

R i n g k j ø b i n g g y m n a s i u m

Studieretningsprojekt i Matematik A og Idræt B

[navn fjernet], 3.aVejledere, TS22. december 2014

Den perfekte 100m sprint

Side 2

[navn fjernet] Studieretningsprojekt 22. december 2014

3. a Den perfekte 100m sprint Ringkjøbing gymnasium

Side 2 af 29

Abstract

This paper examines how several factors come in to play so a sprinter can run as fast as he or she can. When the body moves in a run, there will be a muscle contraction. The contraction is con-trolled by the central nervous system and the amount of energy in the muscle. The energy comes from decomposition of ATP, phosphocreatine and glycogen. Furthermore some biomechanics fac-tors also come to play in a 100-meter sprint, consisting of technical aspects and mechanical forces, comprising several angels in the body, which help the sprinter to make an explosive takeoff out of the starting blocks. In the mechanical forces Newton’s laws are mentioned, especially the second and third, which is the Normal Force. In addition the frictional Force and the air resistance are also mentioned under the biomechanics forces. All this factors can be trained, so the sprinter can be even faster. You can take Creatine as a dietary supplement, so the energy decomposition happens even faster, but performance enhancing as testosterone is illegal for any athlete. The performance ability can also be improved by doing explosive weight training and track training. In cooperation with the above I have used a mathematical discipline, which is called partial derivative function of two vari-ables, to find out the optimum start for a sprinter, selected from two independent parameters

(𝑥 𝑎𝑛𝑑 𝑦). The x-value is the distance between the blocks and the y-value is the angel between the base and the leg. On the base of a lot of values, there will be giving af function. On the basis of the above, you employ the mathematical discipline to choose whether the functions have a minimum or a maximum. In my case, I want to find out if the function has a minimum. When the minimum has been found, it will be able to find the optimum for the two parameters. In that connection I have found out that the optimum for a start in af 100-meter sprint, the x-value has to be 24,9748 cm and the y-value has to be 43,9748 degrees. Furthermore it is possible for a sprinter to be faster by explo-sive strength training and track training, and maybe cooperation with a Creatine supplement.

Side 3

[navn fjernet] Studieretningsprojekt 22. december 2014

3. a Den perfekte 100m sprint Ringkjøbing gymnasium

Side 3 af 29

Indholdsfortegnelse

ABSTRACT ................................................................................................................................................................... 1 INDLEDNING ............................................................................................................................................................... 4 DE FYSIOLOGISKE OG BIOMEKANISKE FAKTORER FOR EN 100M SPRINT .............................. 5 FYSIOLOGISKE FAKTORER ........................................................................................................................................................ 5 Musklefibre og ATP ....................................................................................................................................................................... 5 Typer af muskelfibre..................................................................................................................................................................... 7 Reaktionsevne.................................................................................................................................................................................. 7 ANAEROBT ARBEJDE .................................................................................................................................................................. 8 BIOMEKANISKE FAKTORER ...................................................................................................................................................... 9 De mekaniske kræfter ............................................................................................................................................................... 10 Vinkler .............................................................................................................................................................................................. 11 PARTIELLE AFLEDEDE AF FUNKTIONER AF TO VARIABLE ........................................................... 12 TEORIEN BAG PARTIELLE AFLEDEDE ................................................................................................................................. 12 BENYTTELSE TIL AT BESTEMME EKSTREMA ........................................................................................................................... 13 EKSPERIMENT: BESTEMMELSE AF DEN OPTIMALE START I 100M SPRINT ........................... 16 FORSØGSBESKRIVELSE ........................................................................................................................................................... 16 RESULTATER .............................................................................................................................................................................. 17 HVORDAN VIL EN SPRINTER KUNNE FORBEDRE SIN SPRINT-PRÆSTATION? ...................... 19 KONKLUSION ........................................................................................................................................................... 24 LITTERATURLISTE ............................................................................................................................................... 25 BØGER ......................................................................................................................................................................................... 25 INTERNETSIDER ........................................................................................................................................................................ 25 BILAG ........................................................................................................................................................................... 27

Side 4

[navn fjernet] Studieretningsprojekt 22. december 2014

3. a Den perfekte 100m sprint Ringkjøbing gymnasium

Side 4 af 29

Indledning

Som atlet, og især som sprinter er det særdeles vigtigt at kunne præstere maksimalt, hver eneste gang, det gælder. Derfor er det vigtigt at vide som udøver, hvilke faktorer der spiller ind, når man skal præstere, så man kan udnytte de forskellige ressourcer bedst muligt både ved træning og ved konkurrencer. Interessen har eksisteret lige siden mennesker har konkurreret mod hinanden. Hvem vil ikke gerne være den bedste? Alle marginaler skal i brug, for at kunne være den første, som løber over målstregen. Det er en vinderfølelse, som de fleste vil æde deres egen hat for at kunne føle.

Der er netop i disse år blevet lagt stor vægt på studier inden for idrættens verden, for at undersøge hvordan idrætsudøverne kan forbedre deres maksimale præstationsevne, og selvfølgelig ligger der en hel masse teori bag dette. Hvilke fysiologiske og biomekaniske faktorer spiller ind, når en sprin-ter løber sit 100m løb? Hvordan kan disse faktorer gøres bedre, så sprinteren kan blive hurtigere?

Hvilke optimale værdier for en start skal der være, for at sprinter starter bedst muligt? Der vil være en nøje beskrivelse af de forskellige idrætslige og matematiske faktorer, som indgår i de ovenståen-de spørgsmål. Faktorer, som er med til at skabe en bedre forståelse for, hvordan eliten inden for de forskellige idrætsgrene er nået så langt.

Opgaven indeholder et eksperiment, som er med til at bestemme den optimale start for en 100m sprint. Dette eksperiment er udført efter anvisninger fra atletikken. Derudover bliver emner belyst som den anaerobe præstationsevne. Derudover vil der blive gjort rede for partielle afledede funktio-ner af to variable med en opgave som følge i bilag. Denne teori vil blive brugt til udregningerne i eksperimentet, netop for at finde den optimale start i en 100m sprint. Slutteligt vil der være et dis-kussionsemne angående hvordan en sprinter kan forbedre sin sprint-præstationsevne, herunder vil en forbedring af adskillige faktorer under den anaerobe præstation blive belyst, samt hvordan ulov-lige midler er med til at øge en sprinters præstationsevne.

Side 5

[navn fjernet] Studieretningsprojekt 22. december 2014

3. a Den perfekte 100m sprint Ringkjøbing gymnasium

Side 5 af 29

De fysiologiske og biomekaniske faktorer for en 100m sprint

Der er mange faktorer, som spiller ind, når det handler om en makspræstationsevne for at kunne løbe en 100 meter sprint så hurtigt som muligt.

Enhver idrætsudøver behersker en række egenskaber og færdigheder, som har indflydelse og som påvirker udøverens idrætslige præstationsevne.

De almindelige faktorer for enhver udøver er f.eks. medfødte anlæg, læring, køn, alder, livsstil og ernæring. Disse faktorer har betydning for den enkeltes egenskab og færdigheds udvikling. Dette er også kendt som individets indre faktorer. Udøverens idrætslige præstationsevne bliver også påvirket af de ydre faktorer. Her tænker man mere i miljø, og det kunne f.eks. være hvor man befinder sig i verden i forhold til højder, klima og temperaturforhold. Derudover er der også andre faktorer i form af facilliter, udstyr, træningsforhold, samt udøverens spændingsniveau eller præstationsangst under konkurrencer.

Fysiologiske faktorer

Hvis man så kigger på de fysiologiske faktorer hos en sprinter i et 100m løb, ser man at en sprinter har korte og eksplosive muskler, hvorimod en langdistanceløber har lange og mere udholdende muskler. Forskellen på en sprinter og en langdistanceløber er, at de træner forskellige distancer. En sprinter træner eksplosiv styrke, hvor en langdistanceløber træner udholdenhed.

En 100m sprint er eksplosivt primært muskelarbejde, men også koordination, balance og teknik. Muskelarbejdet er dynamisk, i det at den arbejder koncentrisk og excentrisk, som gør, at musklen trækker sig sammen og at musklen forlænges. Her kan man se på Quadriceps femoris, bi-ceps femoris og gluteus maximus som eksempel. Quadriceps femoris arbejder koncentrisk, i det at hoftebøjeren løfter benet i en fremadrettet bevægelse op og underbenet skubbes frem, mens de to andre muskler arbejder excentrisk, men først når benet bliver skubbet bagud og strækkes. Idet hof-tebøjeren løfter benet, er biceps femoris og gluteus maximus antagonister til Quadriceps femoris, som er modarbejdende muskler til agonisten Quadriceps femoris, som er den primære muskel i be-

vægelse.^{1}

Musklefibre og ATP

For at forstå hvordan en sprinters muskler virker, må man først forstå, hvad en muskel er. En

1

Wolf, Troels, m.fl. B - for bedre idræt. 1. udgave. Gyldendalske Boghandel, Nordisk Forlag A/S

2009 - side 45

Side 6

[navn fjernet] Studieretningsprojekt 22. december 2014

3. a Den perfekte 100m sprint Ringkjøbing gymnasium

Side 6 af 29 muskel indeholder forskellige muskelfibre. Muskelfibre er specialiserede celler, som har evnen til at trække sig sammen. Hver muskelfiber indeholder myofibriller, som er sammentrækkelige tråde, som udfylder muskelfiberens indre. Hver myofibril er opdelt på tværs i små enheder, som kaldes sarkomerer. Det er disse, som trækker sig sammen. Den enkelte sarkomer har ikke den helt store indflydelse på sammentrækning af en muskel, men når tusindvis af sarkomerer trækker sig sammen samtidigt, bliver bevægelsen tydelig i form af en muskelsammentrækning. Enhver sarkomer af-grænses af tværgående membraner, også kaldet Z-skriver, som er trådformede proteiner, som kaldes for aktin og myosin. Myosin er formet som et todelt hoved og en lang trådformet hale, og aktin er formet som en lang, snoet dobbeltkæde af molekyler. Myosin-hovederne bandagerer sig med aktin-molekylerne, og der dannes herved tværbrobevægelser i form af at myosin-hovederne foretager

               2
”nikkebevægelser” . Aktintrådene glider hermed ind i mellem myosintrådende, som gør, at Z-

skiverne trækker sig tættere sammen. Z-skiverne gør, at muskelfibrene forkortes, og herved sker der en muskelkontraktion. (Se Figur 1)

Muskelfibrene i kroppen indeholder forskellige former for myosin-ATP-ase, som er et enzym, der virker under nedbrydning af energien. Enhver muskelfiber har et bestemt indhold af dette enzym, som fortæller om, hvor godt fiberen kan spalte ATP.

Vores muskler har brug for energi, når de skal arbejde, og den energi får vi fra det, som kaldes ATP. ATP står for adenosintriphosphat og er sammensat af et protein, som er adenosin og tre phosphatgrupper. For at der kan bliver leveret energi til muskelkontraktionen, skal der ske en spalt-ning af phosphatbindingerne. Når disse phosphatbindinger er blevet spaltet, bliver der frigivet ener-gi, og det er netop denne energi, som musklerne bruger til at arbejde.

𝐴𝑇𝑃⟷𝐴𝐷𝑃+ 𝑃+ 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖

Det skal dog siges, at ATP kun findes i meget små mængder i musklerne, og derved må ATP gen-dannes med samme hastighed, som den nedbrydes. Dette skal til, hvis en atlet skal kunne udføre et vedvarende arbejde. Musklerne kan selv få energi til at genopbygge ATP ved at nedbryde de næ-ringsstoffer, som vi indtager igennem vores føde. Dette kan ske ved aerobe processer, hvor der er ilt til rådighed, men også ved anaerobe processer, hvor ilten ikke er tilstede. Disse næringsstoffer er f.eks. kulhydrater, proteiner og fedt, hvor kulhydrater er den primære energikilde til kroppen. Der-udover findes der vitaminer og mineraler, som kan være med til at sætte gang i de forskellige ener-giprocesser.

Det er den anaerobe proces, som jeg vil fokusere mest på.

2

Schibye, Bente, m.fl. Menneskets fysiologi. 2. udgave 2005. FADL’s forlag A/S - side 168-169

Side 7

[navn fjernet] Studieretningsprojekt 22. december 2014

3. a Den perfekte 100m sprint Ringkjøbing gymnasium

Side 7 af 29

Typer af muskelfibre

Af muskelfibre findes der type 1-muskelfibre og type 2-muskelfibre, som igen er delt op i type

2a og type 2x. Type 1 er relativ langsomme røde muskelfibre og slet ikke så eksplosive til at udvik-le spænding, som kendetegner type 2, hvide muskelfibre, der har evnen til at udvikle en spænding hurtigt, som ofte er afgørende for en sprinters præstationsevne i en 100m sprint. Derimod er type 1- muskelfibrene mere udholdende end type-2, fordi kapillærtætheden omkring type 1-fibrene er stor, som gør, at der er mulighed for at kunne have mere ilt til stede. Her er det vigtigt, at proteinet myo-globin er til stede i store mængder, da det netop har evnen til at binde ilt, og derved fungerer som et ekstra iltdepot. Derudover er antallet af mitokondrier højt i type 1-fibrene, og det er netop i mito-kondrierne at energiomsætningen finder sted. Denne type fibre er bedst til at arbejde aerobt. Type

2a ses som en slags mellemform af de to forskellige muskelfibre, da de er langsommere end type

2x, men hurtigere end type 1. Type 2-musklefibre er specialiseret i at arbejde anaerobt, fordi de har

                                                        3
et højt indhold af kreatinphosphat, glykogen og glykolytiske enzymer

, men også fordi kapillærtæt-heden, antallet af mitokondrier og myoglobinindholdet er lav, som gør at muskelfibrene ikke er udholdende. En muskel, som er blevet undersøgt grundigt for at finde fordelingen af fibre i musk-len hos elitesportsudøvere, er Musculus vastus lateralis, som indgår i den firehovede knæstrækker

      4
på låret. Undersøgelsen viser, at denne muskel hos sprintere har et meget højere indhold af type 2-

muskelfibre, hvor andelen af type 1-muskelfibre var meget lille. Dog er antallet af muskelfibre i en muskel og fibertypefordelingen hos mennesket genetisk bestemt. Hos et ”normalt” menneske er fibertypefordelingen stort set 50 % af type 1-muskelfibre og 50 % af type 2-muskelfibre. Og her kan type 2-muskelfibre igen deles op i procenter, hvor der ca. er 33 % af type 2a og 17 % af type

2x.^{5} Der er dog flere og flere undersøgelser og beviser på at fibertypefordelingen kan påvirkes af

træning i længere perioder. Så hvis en atlet gerne vil være udholdende og have flere type 1- muskelfibre, skal atleten træne udholdenhedstræning og omvendt, hvis en atlet vil være eksplosiv.

Dette vil blive belyst senere i opgaven.

Reaktionsevne

Udover musklens arbejde under 100m sprint, er sprinterens reaktionsevne efter at have

3

Glykolytiske enzymer er enzymer (laktacide enzymer, kommer fra mælkesyren) der er med til at

nedbryde glykogen til pyrodruesukker.
4

Gjerset, Asger, m.fl. Idrættens træningslære. 2. udgave, 2009. Forfatterne og Academica, Århus -

side 31
5

Schibye, Bente, m.fl. Menneskets fysiologi. 2. udgave 2005. FADL’s forlag A/S - side 187

Side 8

[navn fjernet] Studieretningsprojekt 22. december 2014

3. a Den perfekte 100m sprint Ringkjøbing gymnasium

Side 8 af 29 hørt startskuddet også en vigtig faktor. Generelt er en reaktion sammensat af flere faser, hvor det starter med en stimulus eller en påvirkning, som præsenteres for individet. Herved vil de aktuelle receptorer, som er vores sanseceller, blive påvirket. Denne påvirkning overføres så til centralnerve-systemet, hvor påvirkningen opfattes og behandles. I centralnervesystemet dannes der et reflekto-risk signal, som sendes fra centralnervesystemet og ud til de arbejdende muskler, hvorved reaktio-

                                                       6
nen afsluttes med en påvirkning af de aktuelle muskler, som er i spil. Mere specifikt handler det

om, at bevægelsen af en muskel starter i storhjernen. Det er her bevægelsen behandles, på den måde hvordan og hvad den skal gøre. Når det er gjort, foretager hjernen en hurtig beregning om f.eks.

hvor kraftig bevægelsen skal være. Herefter sender hjernen elektriske nerveimpulser ned gennem lillehjernen, og ud af nervebanerne i rygmaven. Her løber impulserne fra rygmarven til motorneu-ronerne. Motorneuronerne har nervetråde som går ud til de enkelte muskelfibre, og det er her, der

                                  7
sker en kontraktion, når impulsen rammer.

Alt dette sker på millisekunder.

                                                                  8
En reaktionshastighed på en 100m sprint ligger mellem 120 og 160 millisekunder.

Anaerobt arbejde

Anaerobt arbejde kan også betegnes som anaerobe processer. Det er processer, som foregår uden ilttilførelse. Det er netop de anaerobe processer, som leverer størstedelen af energitilførelsen til den maksimale præstation, som varer under to minutter. Netop fordi det er de anaerobe processer, som leverer hoveddelen af energitilførelsen, er fordi, de frigiver energi meget hurtigere end aerobe pro-cesser. Når kroppens muskler arbejder, sker det ved spaltning af ATP til ADP og P, som er beskre-vet tidligere i opgaven. Fordi ATP findes i små mængder i kroppens muskler, kan der ikke skaffes nok energi til arbejdet af anaerobe processer, og derfor må kroppen finde andre energikilder. Dette sker ved genopbygning af ATP via nogle processer, som ikke kræver ilt. Der findes to vigtige ener-

gikilder til dette. De kaldes for kreatinphosphat (KrP) og glykogen (𝐶 𝐻 𝑂 ). Ligesom ATP inde-
                                                        6 10 5

holder KrP også binding mellem proteinet Kreatin og den ene phosphatgruppe. Denne binding er også energirig ligesom bindingen i adenosin og de tre phosphatgrupper. Og lige som spaltning af ATP til ADP, frigives der også næsten lige store mængder energi ved spaltning af KrP. Denne energi bruges til hurtigt at genopbygge ADP til ATP.

𝐾𝑟𝑃+ 𝐴𝐷𝑃⇌𝐴𝑇𝑃+ 𝐾𝑟

9

6

Gjerset, Asger, m.fl. Treningslære. 2. udgave 1979. Universitetsforlaget, Oslo 1975 - side 71

7

Gjerset, Asger, m.fl. Idrættens træningslære. 2. udgave, 2009. Forfatterne og Academica, Århus -

side 32
8

Kristensen, Lars Bo. matidræt. 1. udgave. Lars Bo Kristensen og Systime A/S, 2013 - side 172.

Side 9

[navn fjernet] Studieretningsprojekt 22. december 2014

3. a Den perfekte 100m sprint Ringkjøbing gymnasium

Side 9 af 29

Her er det relevant at lægge mærke til at processen forløber i begge retninger. Når koncentrationen af ATP er lav eller begynder at falder, når at musklen arbejder, forskydes processen mod højre, og omvendt: når musklen stopper med at arbejder, stiger koncentration af ATP og der sker en forskyd-ning af processen mod venstre.

                                                10
Energikilden KrP er i hvile 3-4 gange større i koncentration

, hvilket gør, at energitilførelsen af

KrP er højere end ATP. Men ATP og KrP er ikke nok til at kunne forsyne den anaerobe proces ale-ne, da ATP har et energilager, der vil være opbrugt på et sekund, og KrP har et energilager, der vil være opbrugt på omkring seks sekunder. Så de to muskler til sammen vil kun kunne skaffe energi til

7 sekunder^{11}. Hermed kommer glykogen ind i billedet. Ved flere sekunders arbejde sker der en ned-

brydning af glykogen, som er sukkeret i musklen. Denne nedbrydning sker ad flere omgange, og processen ender ud med at have nedbrudt glykogen til pyrodruesukker. Denne proces kaldes også for glykolyse. Pyrodruesukkeret omdannes så videre til mælkesyre, hvoraf der også dannes 2 ATP.

                                            12
C 𝐻  𝑂  +2𝐴𝐷𝑃+ 2𝑃 ⟶CH     𝐶𝐻𝑂𝐻𝐶𝑂𝑂𝐻   +2𝐴𝑇𝑃
 6 12 6
 𝑔𝑙𝑢𝑘𝑜𝑠𝑒                  𝑚æ𝑙𝑘𝑒𝑠𝑦𝑟𝑒

3

Ved den anaerobe nedbrydning af glykogen sker der som sagt en dannelse af mælkesyre. Mælkesy-re er med til at øge surhedsgraden i musklerne, og når den øges, sker der en udmattelse i musklen og derved bliver det svært for en sprinter at opretholde sit arbejde. Men der er en fordel ved glyko-lysen, og det er, at processen er meget hurtig til at genopbygge store mænger ATP, hvilket der kræ-ves under en 100m sprint.

En sprinters muskelarbejde arbejder altså anaerobt pga. det høje indhold af hvide type 2- muskelfibre, men også fordi sprinteren laver en kortvarig eksplosiv aktivitet. Her levers energien til arbejdet anaerobt, netop fordi de anaerobe processer leverer størstedelen af energien til musklerne ved maksimale præstationer.

Biomekaniske faktorer

En 100m sprint kan deles op i to faser. Den første fase er acceleration. Anden fase går ud på at op-retholde hastigheden, som man har opnået ved accelerationen. I disse faser indgår der nogle biome-

9

Michalsik, Lars, m.fl. Aerob og anaerob træning. 1. udgave 2006. Danmarks Idræts-Forbund 2002

- side 76
10

Michalsik, Lars, m.fl. Aerob og anaerob træning. 1. udgave 2006. Danmarks Idræts-Forbund

2002 - side 76
11

Wolf, Troels, m.fl. B - for bedre idræt. 1. udgave. Gyldendalske Boghandel, Nordisk Forlag A/S

2009 - side 93

12

Wolf, Troels, m.fl. B - for bedre idræt. 1. udgave. Gyldendalske Boghandel, Nordisk Forlag A/S

2009 - side 93

Side 10

[navn fjernet] Studieretningsprojekt 22. december 2014

3. a Den perfekte 100m sprint Ringkjøbing gymnasium

Side 10 af 29 kaniske faktorer, som er med til at effektivisere sprinterens præstationsevne. Der findes de tekniske aspekter, hvor vinklerne i kroppen er med til at optimere de tekniske aspekter. Når en sprinter kan udføre den helt korrekte teknik, medfører det, at sprinteren kan udføre et relativt stort arbejde med et forholdsvis lavt energiforbrug. Som følge af muskelkontraktioner fra de fysiologiske faktorer, sker der en udvikling af en mekanisk kraft, som kan udnyttes til at skabe bevægelse mellem de en-kelte kropsdele. Denne kraft er med til, at kroppens samlede tyngdepunkt bevæger sig i forhold til

           13
omgivelserne. For en sprinter vil bevægelserne foregå langs horisontal linje, men også langs en

vertikal linje. Den vertikale linje er dog kun med, for en sprinter kan opretholde og ikke søge læn-gere og længere ned på løbebanens overflade.

De mekaniske kræfter

Den mekaniske kraft beskriver man oftest reglerne for kroppens bevægelse vha. Newtons mekani-ske love. Newtons 2. lov og 3. lov er de mest relevante forhold til at beskrive en sprinters bevægel-ser. Newtons 2. lov betegnes også som en kraft lov. Den lyder således: Når et legeme med massen

m påvirkes af kræfter 𝐹_{𝑟𝑒𝑠}, vil det få en acceleration a, som er lig den resulterende kraft divideret

med massen. Men da vi er interesseret i at finde den resulterende kraft, omskrives formlen til:

𝑎= ⇔𝐹_{𝑟𝑒𝑠} =𝑚 ·𝑎

𝐹_{𝑟𝑒𝑠}

𝑚

Newtons 3. lov tillægges også som loven om aktion og reaktion. Denne lov lyder således: Når et legeme påvirker et andet legeme med en vis kraft (aktion), vil det andet legeme påvirke det første

                                                 14
legeme med en lige så stor, men modsatrettet kraft (reaktion).

For en sprinter vil det betyde, at når personen afsætter med en vis eksplosiv kraft, vil startblokkene sende den samme, men modsatrette-de kraft tilbage til sprinteren, og dermed eksploderer sprinteren ud af startblokken. Normalkraften kan også udtrykkes ved dette, hvor normalkraftens størrelse afhænger af kraften eller trykket, som sprinteren lægger i startblokkene. Denne kraft påvirkes også af sprinterens vægt, og af hvor meget

                                                              15
personen har aktiveret de muskler, der strækker i hoften, knæet og fodleddet. En anden kraft, som

spiller ind, er friktionskraften 𝐹
                         𝜇

. Denne kraft opstår mellem to flader, der forskydes i forhold til

13

Gjerset, Asger, m.fl. Idrættens træningslære. 2. udgave, 2009. Forfatterne og Academica, Århus -

side 352
14

Gjerset, Asger, m.fl. Idrættens træningslære. 2. udgave, 2009. Forfatterne og Academica, Århus -

side 352
15

Wirhed, Rolf. Anatomi og bevægelseslære i idræt. Danmarks Idræts-Forbund (Oversat fra svensk) - side 84

Side 11

[navn fjernet] Studieretningsprojekt 22. december 2014

3. a Den perfekte 100m sprint Ringkjøbing gymnasium

Side 11 af 29

hinanden.^{16} Det der er afgørende for, hvor stor en kraft der skal til, før de to flader forskydes i for-

holdt til hinanden, er fladernes friktionskoefficient 𝜇, og hvor hårdt de to flader presses i mod hin-

anden, som tidligere beskrevet som normalkraften 𝐹 .
                                          𝑁

𝐹_{𝜇} =𝐹_{𝑁} · 𝜇

Hvis man skulle forestille sig en sprinters løbeskridt, ser man, at foden forskydes i forhold til løbe-banens overflade med en kraft F rettet skråt bagud og nedad (Se Figur 6). Foden laver et afsæt i banen, samtidig med at foden skubber underlaget bagud, ved selv at blive skubbet fremad ved kraf-ten af afsættet. Normalkraften gør det alt muligt for friktionenskraften at accelerere sprinteren frem-ad.

Slutteligt er der også en luftmodstand, som spiller en rolle for en sprinters præstationsevne. Man ser oftest, at sprinterne er let foroverbøjede de første par meter af en sprint. Det er netop fordi farten afhænger af luftmodstanden. Jo længere tid en sprinter bliver nede, desto mere fart vil han eller hun opnå ved accelerationen, da sprinteren påvirkes mindre af luftmodstanden i denne holdning. Derud-over påvirkes resten af løbet også af luftmodstanden, da en stærk medvind vil være med til at øge hastigheden for sprinteren. En modvind vil være med til at sænke farten for sprinteren, samtidig med at han eller hun skal bruge flere kræfter på at komme frem.

Vinkler

De tekniske faktorer, herunder vinklerne, kan deles op i ”set-” eller ”færdige” fasen og ”accele-rationsfasen”. Der er lavet nogle anvisninger, som gerne skulle medvirke til den optimale start for en sprinter. I ”set fasen” står sprinteren en smule oprejst med hoften. Her skal vinklen mellem un-derlagets horisontallinje og skinnebenet, for begge ben, være 45°. Derudover skal vinklen i knæha-

                                                                         17
sen ved det forreste stående ben være omkring de 90°, og 120° for det bagerste stående ben. Ved

disse vinkler, vil sprinteren være i stand til at anvende store mængder kraft, som er nødvendigt for at sprinter kan komme ud af startblokken. Når starten lyder, vil armene drives i hver deres retning af samme kraft, som der sættes af med. Hofterne udvider sig kraftig og bringer kroppen i en lige linje

                                                      18
fra hæl til nakke. Denne linje ligger 45° over løbebanens overflade.

Denne vinkel er med til at udføre en eksplosiv form af at trykke ned i banen med hvert trin. Målet for en sprinter er ikke at være hurtig og let på fødderne, som det f.eks. er for en fodboldspiller. Målet er derimod at være eksplosiv, og trykke med en enorm kraft ned i banen, så normalkraften kommer til at spille en vigtig

16

Wirhed, Rolf. Anatomi og bevægelseslære i idræt. Danmarks Idræts-Forbund (Oversat fra

svensk) - side 87
17

http://trackstarusa.com/starting-blocks-setup/

18

http://trackstarusa.com/how-to-run-the-100m/

Side 12

[navn fjernet] Studieretningsprojekt 22. december 2014

3. a Den perfekte 100m sprint Ringkjøbing gymnasium

Side 12 af 29 rolle. Som nævnt tidligere, går der først nogle meter før en sprinter står oprejst, men når de gør det, holdes overkroppen i ro for at skabe balance i løbet. Derudover kommer muskelslyngerne til at spil-le en vigtig rolle for et 100m løb, da der er flere dele af kroppen, som bevæges i samme omgang.

For at gøre dette mest effektivt, bruger sprinteren flere muskler af samme omgang i forskellige mu-skelkæder. Muskelslyngerne er også muskelkæder, som spænder over hele kroppen, og er med til at skabe stabilitet på kryds af kroppens muskler, når man bevæger sig. F.eks. arbejder den store vin-gemuskel, Latissimus dorsi, på højre side sammen med den store baldemuskel, Gluteus maximus, på venstre side og omvendt.

Partielle afledede af funktioner af to variable

Vi har allerede stiftet bekendtskab med funktioner af én variabel, hvilket gør det nemmere at forstå

funktioner af to variable 𝑧=𝑓(𝑥,𝑦). Funktioner af 1 variabel beskrives som sagt 𝑓(𝑥), og kan læ-

ses som f af x, derudover kan 𝑓(𝑥) også betegnes som y, hvor y bliver den afhængige variabel, mens x bliver den uafhængige variabel. Bestemmelse af lokale ekstrema i en funktion med en variabel sker på den måde, at man differentier funktioner, herefter sætter man den differentierede funktion

𝑓^{′} ( 𝑥) =0, som fortæller os, at grafen har lokale ekstrema, som man også kan kalde for vendetan-

gent. Grafen for en funktion med en variabel er i et retvinklet koordinatsystem, hvor grafen for funktioner er todimensionel.

Når man betragter en funktion med en variabel 𝑦 =𝑓(𝑥), vil man normalt angive den første aflede-

      𝑑𝑦   𝑑
de ved  =   𝑓 ( 𝑥 ) =𝑓′(𝑥). I stedet for et ”almindeligt” d vil man skrive 𝜕 i stedet. Dette ”d” be-
      𝑑𝑥  𝑑𝑥

tegnes som et ”blødt” d. Funktioner med en variabel betegnes derimod med et ”hårdt” d.

Teorien bag partielle afledede

I mit forsøg er det relevant at bruge partielle afledede funktioner af to variabler, i det jeg har to pa-rametre, som begge skal varieres.

Ved partielle afledede benytter man sig af partielle differentiering, da idéen bag dette er, at man betragter de to eller flere variable uafhængige og hver for sig. Oversat vil det betyde, at man diffe-rentierer variablerne en ad gangen, mens den anden eller de andre variable holdes konstant, hvis

man har 𝑧=𝑓(𝑥,𝑦). I mit tilfælde vil jeg differentiere med hensyn til x, og skrives som^{𝜕𝑓}_{𝜕𝑥} eller

𝑓_{𝑥} (𝑥,𝑦), og med hensyn til y, som defineres som^{𝜕𝑓}_{𝜕𝑦} eller 𝑓_{𝑦} (𝑥,𝑦), og dermed er det kun én funktion

Side 13

[navn fjernet] Studieretningsprojekt 22. december 2014

3. a Den perfekte 100m sprint Ringkjøbing gymnasium

Side 13 af 29 med to variable. En funktion med en variabel som differentieres, kaldes for første afledede 𝑓′(𝑥), hvor en funktion med 2 variable kaldes for førsteordensafledede.

Når man laver en differentiation med funktioner af to variable, skal man betragte den anden vari-abel, end den man vil finde, som en konstant. Så hvis man vil finde den partielle afledede med hen-

syn til x i funktionen 𝑧=𝑓(𝑥,𝑦) eller^{𝜕𝑓}_{𝜕𝑥}, så holdes y altså konstant. Hvis man derimod skal finde

den partielle afledede med hensyn til y, så holdes x konstant. Når en konstant differentieres, vil det altid give nul, hvilket vil kunne ses i det efterfølgende eksempel.

Jeg vil tage udgangspunkt i den udleverede opgave, som kan give et eksempel på, hvordan man finder de partielle afledede funktioner med hensyn til x og y. Eksemplet ser således ud:

𝑓 ( 𝑥,𝑦) =𝑥^{2} − 4𝑥+ 𝑥· 𝑦+ 𝑦^{2} − 5𝑦+ 3

Først differentierer jeg efter de regler, som gælder for differentiation, dog hvor y betragtes som en konstant, derefter betragtes x konstant, og herved finder jeg de afledede funktioner

𝜕𝑓 𝜕𝑓

𝜕𝑥 𝜕𝑦

=2𝑥− 4 + 𝑦 og =𝑥+ 2𝑦− 5

Benyttelse til at bestemme ekstrema

Inden for funktioner af to variable, kan man også snakke om partielle afledede af anden orden. Par-tielle afledede af anden orden er det samme, som når man snakker om 𝑓′′, eller oversat f dobbeltdif-ferentieret, ved differentiation af funktion med en variabel. Når man differentierer en funktion med en variabel to gange, differentierer man først af funktioner, og dernæst differentier man af den før-

ste afledede funktion 𝑓′(𝑥). Man får så 𝑓^{′′} ( 𝑥). At dobbeltdifferentiere bruges til at finde vendetan-

genter. Derudover finder man de stationære punkter for en funktion f, som også er vendetangenter i

en funktion med en variabel, ved at finde de værdier for hvilke 𝑓^{′} ( 𝑥) =0. Så hvis man lader 𝑥_{0}

være et stationært punkt til en funktion f, så gælder det, at:

𝑓^{′′} ( 𝑥_{0}) >0, så er 𝑥_{0} et lokalt minimumspunkt.
𝑓^{′′} ( 𝑥_{0}) <0, så er 𝑥_{0} et lokalt maksimumspunkt.
𝑓^{′′} ( 𝑥_{0}) =0, så kan der ikke sluttes noget om f i punktet 𝑥_{0}, men funktionen kan dog antage
et maksimumspunkt eller minimumspunkt i punktet 𝑥_{0}, eller i hvert fald have en vendetan-
gent i punktet.^{19}

19

http://www.larsen-net.dk/files/funktioner-af-to-og-tre-variable.pdf - side 9

Side 14

[navn fjernet] Studieretningsprojekt 22. december 2014

3. a Den perfekte 100m sprint Ringkjøbing gymnasium

Side 14 af 29

Ved partielle differentiationer gælder det sammen princip. Her vil man se på, hvor funktion f har en vandret tangentplan, som oversat betyder, hvor de partielle afledede er 0.

                        20
Definition af stationært punkt.

Lad f være en differentiabel funktion af 2 variable med definitionsmængde D.

Et indre punkt ( 𝑥_{0},𝑦_{0}) i S kaldes et stationært punkt for f, hvis

𝜕𝑓 𝜕𝑓

𝜕𝑥 𝜕𝑦

( 𝑥_{0},𝑦_{0}) =0 ∧ ( 𝑥_{0},𝑦_{0}) =0

Her vil jeg igen tage udgangspunkt i opgaven fra før. Da jeg allerede har fundet de afledede funkti-oner, benytter jeg dem.

Jeg starter med at sætte de afledede lig 0

𝜕𝑓

𝜕𝑥

=0⇔2𝑥− 4+ 𝑦=0 ( 1)

𝜕𝑓

𝜕𝑦

=0 ⇔𝑥+ 2𝑦 − 5=0 (2)

I ligning (1), skal jeg have y til at stå alene, så dermed får jeg:

𝑦=−2𝑥+ 4 (3)

Denne ligning indsættes i ligning (2),

𝑥+ 2 ( −2𝑥+ 4) − 5=0
⇔𝑥− 4𝑥+ 8 − 5=0
⇔3=3𝑥 ⇔1=𝑥

Min x-værdi indsætter jeg i ligning (3), hvorved jeg finde et stationært punkt.

𝑦=−2· 1+4=2

Mit stationære punkt bliver så ( 1,2)

Men med dette stationære punkt, kan jeg ikke vide om det er et minimum, maksimum, eller et sad-delpunkt, derfor er jeg nødt til at betragte de partielt afledede af anden orden.

                                           21
Sætning - undersøgelse af arten af et stationært punkt

Lad ( 𝑥_{0},𝑦_{0}) være et stationært punkt for en differentiabel funktion f, og sæt

     2
    𝜕
𝐴=     ( 𝑥 ,𝑦 ) , 𝐵=   ( 𝑥 ,𝑦 ) og 𝐶 =    ( 𝑥 ,𝑦 )
         0 0             0  0               0  0
      2
    𝜕𝑥

𝑓 𝜕^{2} 𝑓 𝜕^{2} 𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑦^{2}
Lad determinantligningen | |=0, hvor z er rødderne 𝑧_{1} og 𝑧_{2}

𝐴 − 𝑧 𝐵
𝐵 𝐶− 𝑧

20

http://www.larsen-net.dk/files/funktioner-af-to-og-tre-variable.pdf - side 9

21

http://www.larsen-net.dk/files/funktioner-af-to-og-tre-variable.pdf - side 10

Side 15

[navn fjernet] Studieretningsprojekt 22. december 2014

3. a Den perfekte 100m sprint Ringkjøbing gymnasium

Side 15 af 29

Der gælder da

𝑧_{1} og 𝑧_{2} er positive: f har et lokalt minimumspunkt i (𝑥_{0},𝑦_{0})
𝑧_{1} og 𝑧_{2} er negative: f har et lokalt maksimum i (𝑥_{0},𝑦_{0})

𝑧  og 𝑧 har forskellige fortegn: f har intet lokalt ekstremum i (𝑥 ,𝑦 )
  1    2                                            0  0

                                       2       2    2
                                      𝜕 𝑓      𝜕 𝑓 𝜕 𝑓
                                                           22
Disse regler gælder også, hvis reglen om Δ =( ) − ( )( )<0.
                                                2    2
                                      𝜕𝑥𝜕𝑦     𝜕𝑥  𝜕𝑦

2

Man kan også finde ud af, om det er et minimum eller maksimum ved reglen:

𝜕^{2} 𝑓 𝜕^{2} 𝑓
𝜕𝑥^{2} 𝜕𝑦^{2}

+ >0 𝑔𝑖𝑣𝑒𝑟 𝑒𝑡 𝑙𝑜𝑘𝑡𝑎𝑙𝑡 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚

𝜕^{2} 𝑓 𝜕^{2} 𝑓
𝜕𝑥^{2} 𝜕𝑦^{2}

+ <0 𝑔𝑖𝑣𝑒𝑟 𝑒𝑡 𝑙𝑜𝑘𝑎𝑙𝑡 𝑚𝑎𝑘𝑠𝑖𝑚𝑢𝑚^{23}

Jeg skal nu finde det eller de stationære punkter, og afgøre om dette punkt er et minimumspunkt,

maksimumspunkt, eller et saddelpunkt for funktionen 𝑓 ( 𝑥,𝑦) =𝑥^{2} − 4𝑦+ 𝑥· 𝑦+ 𝑦^{2} − 5𝑦+ 3.

For at finde de partielt afledede af anden orden, benytter jeg ligning (1) og (2), som allerede er dif-ferentieret i forvejen. Det er netop her, at funktioner med én variabel og funktioner med 2 variable ligner hinanden ved udregninger.

𝐴= =2

𝜕^{2} 𝑓
𝜕𝑥^{2}

𝐵= =1

𝜕^{2} 𝑓

𝜕𝑥𝜕𝑦

𝐶 = =2

𝜕^{2} 𝑓
𝜕𝑦^{2}

Jeg benytter de ovenstående værdier til udregning af determinantligningen.

| |=0

2 − 𝑧 1
1 2 − 𝑧
⇔4 − 4𝑧+ 𝑧^{2} − 1=0⇔𝑧 − 4𝑧 + 3=0

2

Den sidste ligning udgiver sig for at være en andengradsligning, og her benytter jeg mig af regler inden for andengradsligninger, hvor diskriminanten findes først, som fortæller os, om funktionen har 2 løsninger, én løsning eller ingen løsninger.

𝑑=𝑏^{2} − 4 · 𝑎· 𝑐 ⇔𝑑 = ( −4)^{2} − 4 · 1 · 3=16− 12=4

Denne andengradsligning har netop to løsninger, da d er større end nul. Derved gælder da

22

Ayres Jr., Frank. Calculus. McGraw-Hill Book Company, 1972 - side 279

23

Ayres Jr., Frank. Calculus. McGraw-Hill Book Company, 1972 - side 279

Side 16

[navn fjernet] Studieretningsprojekt 22. december 2014

3. a Den perfekte 100m sprint Ringkjøbing gymnasium

Side 16 af 29

𝑧= ⇔𝑧= = ={

−𝑏± √ 𝑑 − ( −4) ± √ 4 4 ± 2
2 · 𝑎 2 · 1 2 3

1

Da begge rødder 𝑧_{1} og 𝑧_{2} er positive og dermed større end nul, kan jeg hermed afgøre, at funktio-

nen 𝑓(𝑥,𝑦) har et minimumspunkt i punktet (1,3). (Se Figur 2)

Eksperiment: Bestemmelse af den optimale start i 100m sprint

Forsøgsbeskrivelse

Eksperimentets formål: at finde den optimale start i en 100m sprint vha. to parametre (𝑥 𝑜𝑔 𝑦), som varieres.

Der opstilles et kamera til optagning af eksperimentet. Her filmer jeg starten af en 100m sprint fra startlinjen til et bestemt punkt efter et antal meter. (Se Figur 3). Ved en optimal start fra en startblok vil man oftest gå ud fra nogle mål, som lyder på at frontblokken skal være 2 til 2¼ af ens

                                                                     24
fods længde fra startlinjen, og den bagerste blok skal være 3 til 3¼ af ens fods længde , så afstan-

den i mellem dem vil være omkring en fods længde. Typisk vil man bruge det ben, som er stærkest og mest eksplosivt, som værende den fod som står på frontblokken, idet at man har brug for et kraf-tigt afsæt, når starten lyder. Hændernes placering er også nødvendigt. Man placerer sine hænder lige bag startlinjen med en skulderbredde i mellem dem, det må gerne være bredere. Tommelfingeren skal være adspredt fra resten af fingrene, så det danner en let bue i hånden. I ”set” eller ”færdige” positionen hæves hofterne gerne over skuldrenes højde. Hælene trykkes tilbage i startblokken, som er med til at give et fast tryk mod startblokken ved afsættet, som også er beskrevet under de biome-kaniske faktorer. Når starten lyder, og man er kommet godt ud af startblokken vha. både kraften fra både fødder og arme, vil man kunne set en lige linje fra frontblokken gennem kroppen og op til ho-vedet. Denne linje skal gerne ligge i en 45 graders vinkel fra jorden. Dette er også beskrevet under biomekaniske faktorer.

I dette eksperiment er det vigtigt, at der udføres den samme eksplosive kraft under hvert eneste for-søg, i det tiden spiller en rolle for, hvilke værdier, bestemt ved x og y, der bedst udtrykker den gi-vende funktion f.

Hvis man skulle følge anvisninger for, hvordan en start skal være, vil afstanden mellem startblok-ken i mit tilfælde være 25,3 cm (med sko på).

24

http://trackstarusa.com/starting-blocks-setup/

Side 17

[navn fjernet] Studieretningsprojekt 22. december 2014

3. a Den perfekte 100m sprint Ringkjøbing gymnasium

Side 17 af 29

Jeg bestemmer min uafhængige x-værdi til at være afstanden mellem blokkene. Jeg ændrer x-værdien 6 gange, så afstanden både bliver mindre end 25,3 cm og større end 25,3 cm. Herud fra skal jeg bestemme en y-værdi. Jeg bestemmer y-værdien til at være vinklen fra linjen fra jorden til linjen, som nævnt tidligere. (Se Figur 4 som eksempel).

Hver gang x-værdien ændres, udfører jeg tre forskellige forsøg; en starter lavere, end jeg ellers ville gøre, og en start hvor jeg starter

En værdi for funktionen f bestemmes. Her vælger jeg at bruge tiden det man når det bestemte punkt længere fremme. I starten havde jeg valgt

7 m, som kan ses på Figur 3, men dette ville skabe en upræcis værdi, i det hastigheden måske falder en smule lige før slutpunktet. Derfor har jeg valgt en afstand på 2,32 meter, hvor accelerationen fra startblokken finder sted, og der er ingen tegn på nedbremsning i denne fase af løbet.

En tabel kan opstilles ud fra dette. (Se tabellerne i

Side 18

[navn fjernet] Studieretningsprojekt 22. december 2014

3. a Den perfekte 100m sprint Ringkjøbing gymnasium

Side 18 af 29

Bilag)

Resultater

For at finde funktionen f udtrykt ved x og y, benytter jeg mig af multipel regression. Her benyttes et

CAS-værktøj, 𝑇𝐼 − 89. En funktion af flere variable vil se således ud:
𝑓 ( 𝑥,𝑦) =𝑎_{1} 𝑥^{2} + 𝑎_{2} 𝑥+ 𝑎_{3} 𝑦^{2} + 𝑎_{4} 𝑦 + 𝑎_{5} · 𝑥· 𝑦+ 𝑎_{6}
Tallene fra tabellerne indsættes i app’en STAT/LIST. Det vil se således ud:

Heraf får jeg værdierne til at kunne skrive en forskrift for en funktion af to variable. Værdierne ser således ud:

𝐵_{0} =7,18448
𝐵_{1} =0,000121
𝐵_{2} =−0,021567
𝐵_{3} =0,003095
𝐵_{4} =−0,28102
𝐵_{5} =0,000353

Disse tal benyttes til at finde funktionen f, og en forskrift vil lyde på:

𝑓 ( 𝑥,𝑦) =0,000121𝑥^{2} − 0,021567𝑥+ 0,003095𝑦^{2} − 0,28102𝑦+0,000353 ·𝑥· 𝑦 + 7,18448

Denne forskrift for funktionen f kan bestemme om de optimale værdier for x og y, samt bestemme om funktionen f har et ekstremum. For at bestemme alt dette, benytter jeg teorien af partielle aflede

List1 - x^{2} List2 - x List3 - y^{2} List4 - y List5 - x · y List6 - f

640,09 | 25,3 | 1969,5844 | 44,38 | 1122,814 | 0,67
640,09 | 25,3 | 1727,2336 | 41,56 | 1051,468 | 0,75

640,09 25,3 2183,6929 46,73 1182,269 0,8

228,01 18,1 2342,56 48,4 876,04 0,77

228,01 | 18,1 | 2183,6929 | 46,73 | 845,813 | 0,75
228,01 | 18,1 | 2254,3504 | 47,48 | 859,388 | 0,73
123,21 | 11,1 | 1788,4441 | 42,29 | 469,419 | 0,78
123,21 | 11,1 | 2147,3956 | 46,34 | 514,374 | 0,81
123,21 | 11,1 | 2096,7241 | 45,79 | 508,269 | 0,74

948,64 | 30,8 | 2082,0969 | 45,63 | 1405,404 | 0,75

948,64 | 30,8 | 1644,3025 | 40,55 | 1248,94 | 0,77

948,64 30,8 2242,9696 47,36 1458,688 0,8

1444 38 2139,9876 46,26 1757,88 0,8

1444 38 1988,2681 44,59 1694,42 0,78

1444 38 1663,8241 40,79 1550,02 0,82

2061,16 | 45,4 | 2036,7169 | 45,13 | 2048,902 | 0,74
2061,16 | 45,4 | 1555,5136 | 39,44 | 1790,576 | 0,79
2061,16 | 45,4 | 1891,3801 | 43,49 | 1974,446 | 0,82

Side 19

[navn fjernet] Studieretningsprojekt 22. december 2014

3. a Den perfekte 100m sprint Ringkjøbing gymnasium

Side 19 af 29 af funktioner af to variable, som er beskrevet tidligere i opgaven.

Først differentierer jeg funktioner efter regler, der gælder ved differentiation. Først med hensyn til x og efterfølgende med hensyn til y.

𝜕𝑓

𝜕𝑥

=0,000242𝑥+ 0,000353𝑦−0,021567

𝜕𝑓

𝜕𝑦

=0,00619𝑦+ 0,000353𝑥−28102

Herefter benyttes teorien om partielle funktioner af to variabler af anden orden, hvor de første afle-de skal differentieres endnu engang.

𝜕^{2} 𝑓
𝜕𝑥^{2}

=0,000242

𝜕^{2} 𝑓

𝜕𝑥𝜕𝑦

=0,000353

𝜕^{2} 𝑓
𝜕𝑦^{2}

=0,00619

For at kunne bestemme om funktionen har et ekstremum benytter jeg reglen (fra fodnote^{22})
Δ =0,000353^{2} − ( 0,000242−0,00619) =−0,000001

Da tallet er mindre end nul, har funktionen et ekstremum.

Er det et lokalt minimum eller lokalt maksimum?

0,000242+ 0,00619=0,006432

                             2    2
                            𝜕 𝑓  𝜕 𝑓
Det er altså et lokalt minimum, da + >0, (Se Figur 5)
                              2    2
                            𝜕𝑥   𝜕𝑦

                                                                              21
Herefter foretager jeg en undersøgelse af arten af et stationært punkt, som er beskrevet tidligere ( ).

Her benytter jeg resultaterne af de andenordensafledede, hvorefter jeg benytter mig af determinant-ligninger, som sætter jeg lig 0.

| |=0

0,000242 − 𝑧 0,000353
0,000353 0,000242− 𝑧
⇔𝑧^{2} − 0,006432𝑧+ 0,000001=0
𝑑= ( −0,006432)^{2} − ( 4 · 1 · 0,000001) =0,000035

𝑥= ={

0,006432± √ 0,000035

2

0,00619

0,000242

Jeg kan hermed afgøre, at funktioner har et minimumspunkt i punktet ( 0,00619;0,000242) For at bestemme de optimale værdier for x og y, sætter jeg den første afledede af funktioner lig nul.

Heraf får jeg to ligninger med to ubekendte. Jeg benytter CAS-værktøj TI-89 til at bestemme x og y.

Side 20

[navn fjernet] Studieretningsprojekt 22. december 2014

3. a Den perfekte 100m sprint Ringkjøbing gymnasium

Side 20 af 29

𝜕𝑓

𝜕𝑥

=0,000242𝑥− 0,021567 + 0,000353𝑦 =0

𝜕𝑓

𝜕𝑦

=0,00619𝑦− 0,28102 + 0,000353𝑥=0

𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒 ( 0,000242𝑥− 0,021567 + 0,000353𝑦=0𝑎𝑛𝑑0,00619𝑦− 0,28102+ 0,000353𝑥 =0,𝑥)
𝑥=24,9748∧ 𝑦=43,9748

Det vil altså sig, at for at jeg kan få den bedst mulige start i en 100m sprint, skal afstanden mellem blokkene i startblokken være 24,9748 cm, og min vinkel fra jorden til linjen skal være 43,9748°.

Det stemmer overens med anvisninger, som er tidligere nævnt under denne opgave, da min fod

(målt uden sko) er 24 cm lang, og afstanden mellem blokken er ca. 1 fods længde. Derudover er vinklen også tilnærmelsesvis tæt på den angivet vinkel som anvisning.

Hvordan vil en sprinter kunne forbedre sin sprint-præstation?

Der findes både lovlige og ulovlige midler til, at en atlet kan forbedre sin præstation. Under det lov-lige er de fleste ting trænérbar. Som sprinter vil man være fokuseret på ens reaktionshastighed, når startskuddet lyder, accelerationen, teknikken, den mentale træning og en eksplosiv muskeltræning.

Som sprinter er man interesseret i at have flere af de hurtige type 2-muskelfibre i fibertypefordelin-gen, og man vil helst gerne have type 2x-muskelfibrene, da de netop er de hurtigste og mest eksplo-sive. Men i artiklen ”sådan får du hurtige muskler - IIX boosting” fra motion online har det vist sig, at ved træning af f.eks. sprint og hurtighed samt den eksplosive muskelstyrke, bliver de hurtige type

2x-muskelfibre lavet om til de langsommere type 2a-muskelfibre. Dette er langt fra det bedste, når en sprinter ønsker at være den hurtigste. Man har, udover at 2x-muskelfibre på en måde bliver øde-lagt og omdannet til 2a-muskelfibre, fundet ud af, ved en nedtrapning eller ved træningsophør, at type 2x-muskelfibre kommer tilbage bare med en større mængde. Som konkurrenceudøver i en

100m sprint, hvor det handler om at være den hurtigste, er det derfor vigtig at træne maksimal styr-ke i form af eksplosiv styrketræning og tung styrketræning over en vis periode, hvorefter der skal ske en nedtrapning, eller måske endda stoppe helt lige op til et stævne, hvorved sprinteren vil få et såkaldt IIX eller 2x-muskelfiberboosting.

Ved tung og eksplosiv styrketræning øger man sin rate of force development (RFD), som er et ud-

                                            25
tryk for, hvor hurtigt en atlet kan udvikle kraft over tid.

En sådan styrketræning vil medføre en øget accelerationsevne, som en 100-meter-sprinter er interesseret i. Jo højere en RFD en sprinter

25

http://mathiesen1.wordpress.com/2012/10/10/rate-of-force-development-rfd/

Side 21

[navn fjernet] Studieretningsprojekt 22. december 2014

3. a Den perfekte 100m sprint Ringkjøbing gymnasium

Side 21 af 29 har, jo hurtigere kan han eller hun f.eks. komme ud af startblokkene. Kernen i eksplosiv styrketræ-ning er netop at opbygge musklerne til at levere stor kraft eksplosivt. Men dette tager lang tid, i det træningen skal udføres eksplosivt med tunge belastninger, samtidig med at der skal ske en maksi-mal acceleration og hastighed, hvilket gør det til en fysisk meget belastet træning. Den eksplosive muskeltræning hører under den anaerobe træning, hvor der, udover styrketræning, også vil være brug for hurtighedstræning og hurtighed-udholdenhedstræning. Det basale formål for anaerob træ-ning er, at kroppen skal kunne reagere hurtigt, samt producere kraft ved maksimalt arbejde, hvor musklens evne til hurtigt at kunne skaffe sig energi til det maksimale arbejde, spiller en stor rolle.

Ved anaerobt træning og især hurtighedstræning skal der arbejdes maksimalt i korte tidsperioder, hvilket gør at intensiteten er meget høj. Dette kræver en stor motivation. Herunder har koncentrati-onen og viljen en stor betydning for den enkelte atlets mulighed for at opnå en optimal træningsef-fekt.

Ved hurtighedstræning vil man ofte træne atletens reaktionshastighed, accelerationshurtigheden samt den maksimale løbehastighed. Ved en effektiv acceleration skal man kunne sætte kraftigt af fra startblokken, og man skal kunne sætte af i den rigtigt retning. Det helt rigtige afsæt med den helt rigtig kraft vil give en større skridt længde og vil føre til en kortere kontakttid med løbebanen. Den-ne teori er dog blevet taget op og blevet diskuteret. Et indlæg fra Multirunner.dk fortæller om ”den

                                            26
optimale for en sprinter er at falde ud af startblokken”

. Skribenten skriver, at nye studier tyder på, efter grundig undersøgelse, at den optimale start i en 100m sprint er at falde ud af startblokken. Det har vist sig, at hypotesen har holdt stik, og som lød på, at et fald ud at startblokken ville give en større kraft end ved et afsæt. Det resulterede i, at sprinteren, som udførte denne start, opnåede et forspring på ca. en meter efter få sekunder. Dette gør det interessant at se de efterfølgende år, om det gør det muligt at optimere accelerationen ved at falde ud startblokken.

Træning af reaktionshastigheden vil man ofte træne i startblokkene, hvor ved et signal vil lyde.

En såkaldt systematisk træning. Ved en sådan træning træner man reaktionstiden af stimulus. Dette skal helst foregå gentagende gange i en længere periode, da det vil medføre en forkortelse af den tid, det tager for de elektriske nerveimpulser fra centralnervesystemet at opnå deres maksimale fy-

           27
ringsfrekvens. Et effektivt nervesystem er vigtigt for ens hurtighed, da størstedelen af den fysiolo-

giske effekt af hurtighedstræning ligger i nervesystemet. Nervesystemer arbejde sammen med kroppens muskulatur, og det er derfor vigtig, at dette samarbejde trænes efter en lignende situation

26

http://multitesta.dk/den-optimale-start-for-en-sprinter-er-at-falde-ud-af-startblokken/

27

Fyringsfrekvens er hyppigheden af elektriske impulser, som sendes ud fra centralnervesystemet til muskelfibrene, så der sker en kontraktion i musklerne.

Side 22

[navn fjernet] Studieretningsprojekt 22. december 2014

3. a Den perfekte 100m sprint Ringkjøbing gymnasium

Side 22 af 29 fra en konkurrence. En træning efter en lignende situation træner man koordineringsmønstret og de muskelfibre som benyttes i den givende situation. Så udover styrketræning, træner en atlet også koordineringsøvelser, så en atlet kan bevæge sig med den rette teknik så hurtigt som muligt, i det teknikken udføres automatisk under en konkurrence, da atleten ikke har tid til at tænke over, hvor-dan teknikken skal udføres.

Ved træning af hurtighed gælder det altså, at bevægelsesformen skal være den samme som under en lignende konkurrence. Intensiteten af træningen skal være maksimal hver eneste gang, og teknikken af en bestem udførelse skal trænes grundigt, så koordineringsmønsteret under maksimal intensitet er

      28
korrekt.

                                                                          29
En sprinter vil ofte kun kunne opretholde den maksimale hastighed indtil en ca. 60-70 meter.

Udmattelsen føles oftest som tunge tilsyrede ben, som gør det svært at opretholde det maksimale arbejde under en hel 100 meter sprint. En hovedårsag til dette kan være at nervesystemet bliver på-virket og gradvist udmattet på grund af den store indsats og bevægelsesfrekvens, som den store be-vægelseshastighed kræver under et 100m løb. Som nævnt tidligere i opgaven forsynes musklerne med energi gennem hurtig nedbrydning af de energirige phosphater fra ATP og KrP i løbet af de første sekunder. Herefter må energibehovet komme fra nedbrydningen af glykogen. Når der sker en

ophobning af mælkesyre/laktat og kalium, som også kan betegnes som musklernes affaldsstoffer,

hæmmer affaldsstofferne musklernes impulser til nervesystemet og dermed også reaktions- og kon-traktionsevne. Når pH-værdien i musklen falder, bliver der dannet mælkesyre samtidig med at der frigøres store mængder af kaliumioner fra musklens celler under hårdt arbejde. Udover den lave pH i musklen så medvirker forøgelsen koncentration af kaliumioner omkring musklen, som medfører en træthed i musklerne. Når nervesystemet bliver påvirket, bliver det sværere for atleten at opret-holde den maksimale hastighed, som er opnået ved accelerationen, når udmattelsen begynder at melde sig. Som sprinter træner man derfor på, at tiden til udmattelse bliver længere, og at det derfor bliver muligt at holde den maksimale hastighed i længere tid. Man vil i sådanne situationer træne hurtighed-udholdenhedstræning i længere perioder. Ved et kortvarigt supramaksimalt arbejde, vil

                                           30                            31
atleten kunne være mere udholdende over længere tid . Dette skyldes bl.a. at der er buffer tilste-

28

Michalsik, Lars, m.fl. Aerob og anaerob træning. 1. udgave 2006. Danmarks Idræts-Forbund

2002 - side 247
29

Gjerset, Asger, m.fl. Idrættens træningslære. 2. udgave, 2009. Forfatterne og Academica, Århus -

side 258
30

Michalsik, Lars, m.fl. Aerob og anaerob træning. 1. udgave 2006. Danmarks Idræts-Forbund

2002 - side 242

Side 23

[navn fjernet] Studieretningsprojekt 22. december 2014

3. a Den perfekte 100m sprint Ringkjøbing gymnasium

Side 23 af 29 de. Denne buffer bliver forøget ved hurtighed-udholdenhedstræning. Når buffer bliver forøget, medvirker den til at surhedsgraden kan forblive nogenlunde konstant i længere tid. Dette er en vig-tig faktor til at ophobning af kaliumioner ikke bliver forøget. Der vil hermed ske en øget præstati-onsevne efter en længere periode med hurtighed-udholdenhedstræning.

Kreatin er én af energikilderne til anaerobt arbejde, og indholdet af dette i muskelfibrene har stor betydning for en atlets præstationsevne ved intenst arbejde. Det daglige forbrug er på ca. 2 gram kreatin, hvor koncentrationen opretholdes af ca. 1 gram kreatin i leveren og tilførsel af yderligere 1 gram kreatin igennem vores kost. Det har vist sig, at der er flere og flere udøvere, som benytter sig af kreatintilskud. Dette kan skyldes, at adskillige undersøgelser har vist, at et kreatintilskud ved typisk 5 gram kreatin 4 gange om dagen i 4-7 dage kan øge musklens indhold af kreatin med 20-30

%^{32}. Den øgede koncentration af kreatin i muskelfibrene betyder at atleten kan øge sin evne til at

opretholde den muskulære kraft- og effektudvikling, som er en vigtig faktor, når en atlet træner in-tervaller af kortvarigt, højintenst arbejde. Muskelfibrene har dog en øvre grænse ved indtagelse af kreatintilskud. Ved indtagelse af større mængder kreatintilskud over en længere periode, bliver kroppens egen produktion af kreatin nedsat, som vil betyde, ved et ophør at kreatintilskud, at krop-pens egenproduktion af kreatin vil foregå langsommer, og man vil få lavere kreatin- og KrP-niveauer. Udover denne ulempe, er der endnu ikke blevet påvist nogle bivirkninger i forbindelse med kreatintilskud.

Ud fra de biomekaniske faktorer kan sprinteren altid forbedre og træne de specifikke vinkler i de forskellige positioner.

Når muskelkæderne skal forstærkes, træner man oftest funktionelt for at opnå en fuld bevægelighed af kroppens led samt mobilitet i musklernes og musklerne led. En funktionel træning går ind og stimulerer nervesystemet og de muskler, som er ansvarlige for kroppens balance, da træningen ud-fordrer kroppens balanceevne. Det kræves netop af sprinteren, at balanceevnen er intakt, da han eller hun ellers ville bruge flere kræfter på at holde sig oprejst og i en lige linje mod målstregen.

En sprinters præstationsevner kan også forbedres på ulovlig vis. I atletikkens verden er det de ana-bolske steroider, som står højest på listen over præstationsfremmende midler. Næst efter steroider finder man stimulanser, som det mest almindelig, når eliteidrætsudøvere bliver testet for doping.

De anabolske steroider er stoffer, der kaldes for hormoner, som kan findes i kroppen. Disse stof-

31

En buffer i den kemiske verden er en opløsning, som indeholder molekyler, der minimerer pH-

ændringer forårsaget ved tilsætning af en syre eller base.
32

Fysisk aktivitet og kosttilskud. Udgivet af motion- og ernæringsrådet - side 49

Side 24

[navn fjernet] Studieretningsprojekt 22. december 2014

3. a Den perfekte 100m sprint Ringkjøbing gymnasium

Side 24 af 29 fer er dog syntetisk fremstillede, og kan ligne kroppens eget hormon testosteron, som også er det mest almindelige inden for steroider. Stoffernes virkning forårsager en markant og hurtig udvikling af muskelmassen, i det testosteron øger antallet af stamceller i muskelfibrene, som gør det muligt at opbygge en større muskelmasse. Testosteronet gør også, i kombination med fysisk aktivitet, at pro-teinsyntesen hastighed sættes op, som gør at musklernes evne til at gendanne sig stiger. Fordi en sprinter er interesseret i at få fingrene i sådanne stoffer, er netop på grund af den øgede muskelmas-se, som gør det muligt af udføre en større eksplosiv kraft end sine modstandere, og som kan have afgørende betydning. Der følger selvfølgelig også nogle bivirkninger med ved indtagelse af f.eks.

testosteron. Ved indtagelse af stoffet testosteron, erstatter det syntetiske alle de funktioner som kroppens naturlige testosteron har, og som betyder at kroppen stopper med selv at producere testo-steron. En anden risiko for mænd er, at kroppen begynder at udvikle kvindelige organer i form af bryster. Derudover vil stoffet ofte medføre forhøjet blodtryk, risiko for leverskader, sterilitet og et nedsat immunforsvar.

Stimulanser er stoffer som f.eks. amfetamin, kokain og koffein. Disse stoffer tvinger f.eks. lun-gerne og hjertet til at arbejde hurtigere, som medfører at blodet cirkuleres hurtigere rundt i kroppen, samtidig med at hjernen begynder at arbejde på højtryk. En atlet vil med stimulanser føle sig mindre træt og være mere tændt. Somme tider kan sportsfolk få en fornemmelse af, at de er uovervindelige, hvilket kan være med til at de præsterer bedre. En ulempe ved stimulerende stoffer er, at de ikke skaber energi, men derimod tager energi fra kroppen. Så ved ophør af stimulerende stoffer, vil atle-ten begynde at føle sig udmattet, depressiv og nervøs. Derudover kan stimulanserne også være med til at give forhøjet blodtryk og hjerteproblemer.

Kreatin i sig selv er ikke et dopingmiddel. Som tidligere nævnt fremmer et kreatintilskud en sprinters præstationsevne. Dette er dog ikke set som et ulovligt middel, men som idrætsudøver skal man være opmærksomme på, at visse mærker af kreatin kan indeholde steroidet nandrolon. Det er et steroid, som ligner testosteron meget.

Konklusion

De mange fysiologiske og biomekaniske faktorer som spiller ind, når en sprinter ønsker at løbe så hurtigt som muligt, er meget vigtige. Hvis man gerne vil være en af de hurtige sprintere, er det væ-sentligt at han eller hun har flere type 2x-musklefibretyper, da de er det mest eksplosive fibre, hvor-imod langdistanceløber skal have væsentlige flere type 1-muskelfibre.

Side 25

[navn fjernet] Studieretningsprojekt 22. december 2014

3. a Den perfekte 100m sprint Ringkjøbing gymnasium

Side 25 af 29

Muskelkontraktioner sker når der er energi tilstede, både som sprinter og langdistanceløber. Energi-en kommer ved nedbrydning af ATP, Kreatinphosphat og glykogen. Alle disse faktorer indgår i de anaerobe processer, hvor det handler om at kunne præstere maksimalt uden ilttilførsel. De biome-kaniske faktorer, vil kunne blive ændret ved hård fysisk træning, som senere vil resultere ind e n bedre præstation. Præstationsevnen kan forbedres ved et kreatintilskud. Samtidig er doping også et stort samtale emne. Flere og flere sprintere tager anabolske steroider i form af testosteron som præ-stationsfremmende midler. Præstationsevnen kan også forbedres ved, at en sprinter kender den op-timale udgangsposition. Her kan der opstilles en matematisk model, kaldet partielle afledede, for at analysere en optimale start. Hvis en sprinter skal have den optimale start, skal den matematiske mo-del have et minimum. For at det kan være et maksimum eller minimums skal

Δ =() − ()()<0

𝜕^{2} 𝑓^{2} 𝜕^{2} 𝑓 𝜕^{2} 𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑥^{2} 𝜕𝑦^{2}

Vha. partielle aflede af funktioner af to variable har jeg kunnet beregne mine egne resultater fra eksperimentet om at bestemme optimale fart. Ud fra resultaterne har jeg kunnet afgøre at afstanden mellem blokkene skal være 24,9748 cm og vinklen skal være 43,9748°, for at en sprinter kan få den optimale start af en 100m sprint.

Side 26

[navn fjernet] Studieretningsprojekt 22. december 2014

3. a Den perfekte 100m sprint Ringkjøbing gymnasium

Side 26 af 29

Litteraturliste

Bøger

Ayres Jr., Frank. Calculus. McGraw-Hill Book Company, 1972

Gjerset, Asger, m.fl. Idrættens træningslære. 2. udgave, 2009. Forfatterne og Academica, Århus.

(Oversat til dansk)

Gjerset, Asger, m.fl. Treningslære. 2. udgave 1979. Universitetsforlaget, Oslo 1975

Halling, Sven-Erik, m.fl. Optimering. 1. udgave. Forfatterne og Systime A/S, 2011.

Jacobsen, Christian Thune. Højt oppe langt nede - Funktioner af 2 variable. Matematiklærerfor-eningen, Christian Thune Jacobsen, 2003.

Kristensen, Lars Bo. matidræt. 1. udgave. Lars Bo Kristensen og Systime A/S, 2013.

Michalsik, Lars, m.fl. Aerob og anaerob træning. 1. udgave 2006. Danmarks Idræts-Forbund 2002, Lars Michalsik og Jens Bangsbo

Schibye, Bente, m.fl. Menneskets fysiologi. 2. udgave 2005. FADL’s forlag A/S.

Wirhed, Rolf. Anatomi og bevægelseslære i idræt. Danmarks Idræts-Forbund (Oversat fra svensk)

Wolf, Troels, m.fl. B - for bedre idræt. 1. udgave. Gyldendalske Boghandel, Nordisk Forlag A/S

2009.

Internetsider

Biomechanics of sprint running. Udgivet af Wikipedia

http://en.wikipedia.org/wiki/Biomechanics_of_sprint_running

Besøgt d. (Printet ud)

Den optimale start for en sprinter er at falde ud af startblokken. Udgivet af Multirunner.dk

http://multitesta.dk/den-optimale-start-for-en-sprinter-er-at-falde-ud-af-startblokken/

Besøgt d.

Funktioner af to variable. Udgiver af DTU

http://01005.mat.dtu.dk/materialer/enoter/afsnit/NUID28-tn15/

Besøgt d. (Printet ud)

Funktioner af to og tre variable. Udgivet af Mogens Oddershede Larsen

http://www.larsen-net.dk/files/funktioner-af-to-og-tre-variable.pdf

Besøgt d. (Printet ud)

Fysisk aktivitet og kosttilskud. Udgivet af motion- og ernæringsrådet. - Pdf fil.

Side 27

[navn fjernet] Studieretningsprojekt 22. december 2014

3. a Den perfekte 100m sprint Ringkjøbing gymnasium

Side 27 af 29

How to run the 100m. Udgivet af Track Star USA

http://trackstarusa.com/how-to-run-the-100m/

Besøgt d.

How to set up the starting blocks. Udgivet af Track Star USA

http://trackstarusa.com/starting-blocks-setup/

Besøgt d.

Rate of force development - Et vigtigt begreb for atleten men også for ældre. Udgivet af Davis Ma-thiesen på WordPress.com

http://mathiesen1.wordpress.com/2012/10/10/rate-of-force-development-rfd/

Besøgt d.

Sådan får du hurtige muskler - IIX boosting. Udgivet af Motion Online

http://www.motion-online.dk/styrketraening/styrke-artikler/saadan_faar_du_hurtigere_muskler_-

_iix_boosting/

(Udgivet som bilag til opgaveformulering)

Side 28

[navn fjernet] Studieretningsprojekt 22. december 2014

3. a Den perfekte 100m sprint Ringkjøbing gymnasium

Side 28 af 29

Bilag

Figur 1

Figur 2

Figur 3

Figur 4

𝑥=25,3 𝑐𝑚

𝑦 | 44,38° | 41,56° | 46,73°

𝑓 0,67 𝑠𝑒𝑘𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟 0,75 𝑠𝑒𝑘𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟 0,80 𝑠𝑒𝑘𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟

𝑥=18,1 𝑐𝑚

𝑦 | 48,40° | 46,73° | 47,48°

𝑓 0,77 𝑠𝑒𝑘𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟 0,75 𝑠𝑒𝑘𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟 0,73 𝑠𝑒𝑘𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟

𝑥=11,1 𝑐𝑚

𝑦 | 42,29° | 46,34° | 45,79°

𝑓 0,78 𝑠𝑒𝑘𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟 0,81 𝑠𝑒𝑘𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟 0,74𝑠𝑒𝑘𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟

𝑥=30,8 𝑐𝑚

𝑦 | 45,63° | 40,55° | 47,36°

𝑓 0,75 𝑠𝑒𝑘𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟 0,77 𝑠𝑒𝑘𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟 0,80 𝑠𝑒𝑘𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟

𝑥=38,0 𝑐𝑚

𝑦 | 46,26° | 44,59° | 40,79°

𝑓 0,80 𝑠𝑒𝑘𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟 0,78 𝑠𝑒𝑘𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟 0,82 𝑠𝑒𝑘𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟

Side 29

[navn fjernet] Studieretningsprojekt 22. december 2014

3. a Den perfekte 100m sprint Ringkjøbing gymnasium

Side 29 af 29

𝑥=45,4 𝑐𝑚

𝑦 45,13° 39,44° 43,49° 𝑓 0,74 𝑠𝑒𝑘𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟 0,79 𝑠𝑒𝑘𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟 0,82 𝑠𝑒𝑘𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟

Figur 5

Figur 6