SRP om statik og bjælkelære

Side 1

2013

STX 3.g

STX 3.g

Statik (Bjælkelære)

Side 2

1

Abstract

This paper examines the fundamental elements and components in the world of mechanics and statics. It has particular focus on the behavior of beams exposed with a certain stress. Furthermore it investigates the deflection of the beams and their bending curvature. Main characters of the mechanical world will be mentioned such as Leonardo da Vinci, Leonard Euler and Robert Hooke. They have contributed a lot of knowledge to the beam theory which we are using today. This paper describes bending conditions for beams and columns and how differential equations are used to describe the curvature of an elastic beam. The area moment of inertia will be derived for a rectangular cross section beam and for circle shaped beam through mathematical processes.

Associating with the project there has been experiments with wooden beams to show the coherence between the theories and the experimental results. Finally the paper concludes the importance of the shape and material to secure a strong and steady beam.

Side 3

2

Indholdsfortegnelse:

1. Indledning .............................................................................................................. 4

2. Grundlæggende elementer inden for statik ............................................................ 5

2.1 Hookes lov .......................................................................................................... 5

2.2 Young modulus .................................................................................................. 7

3. Fladeinertimoment ................................................................................................. 8

3.1 Fladeinertimoment for et rektangulært emne ..................................................... 9

3.2 Fladeinertimoment for et rør: ........................................................................... 12

4. Differentialligninger af 2. orden .......................................................................... 15

4.1 Den homogene ligning: .................................................................................... 15

4.2 Den inhomogene ligning: ................................................................................. 17

5. Bøjningsforhold for bjælker og søjler .................................................................. 17

5.1 Bjælkers bøjningsforhold: ................................................................................ 17

5.2 Søjlers bøjningsforhold: ................................................................................... 23

6. Forsøg ................................................................................................................... 26

6.1 Formål: ............................................................................................................. 26

6.2 Opstilling: ......................................................................................................... 26

6.2.1 Billede af forsøget:........................................................................................ 26

6.2.2 Materiale: ...................................................................................................... 26

6.3 Udførelse: ......................................................................................................... 26

6.3.1 Forsøget: ....................................................................................................... 26

6.3.2 Målemetoder ................................................................................................. 27

6.4 Data: ................................................................................................................. 27

6.5 Databehandling og sammenligning med teori: ................................................. 27

6.6 Fejlkilder og usikkerheder ................................................................................ 31

7. Konklusion: .......................................................................................................... 31

8. Litteratur liste: ...................................................................................................... 32

8.1 Bøger: ............................................................................................................... 32

8.2 Hjemmesider: ................................................................................................... 32

Side 4

3

9 Bilag ..................................................................................................................... 33

9.1 Bjælke dimensioner: ......................................................................................... 35

9.1.1 Spændvidden 1000mm: ................................................................................ 35

9.1.2 Spændvidden 750mm: .................................................................................. 36

9.1.3 Spændvidden 500mm: .................................................................................. 36

9.2 Grafer: .............................................................................................................. 37

Side 5

4

1. Indledning

Siden tidernes morgen har mennesket sat krav på husly som en nødvendighed for overlevelse. Fra at bygge små konstruktioner og kaldt dem hjem i datidens samfund til nu at bygge skyskrabere af vildeste kreationer og former, har sat sine spor for hvad mennesket kan opnå. Men mennesket må huske, hvordan det egentligt nåede så langt.

Grundlaget for bygning af disse enorme konstruktioner er bjælkelærens videnskab.

Uden den vil alt lige fra gamle kirker, som Santa Maria katedralen, i Firenze til skyskraberne, som Empire State Building og Burj Khalifa aldrig være fundet sted.

Mange har været grundlæggere for bjælkelæren, bl.a. Leonardo Da Vinci, der i slutningen af 1400-tallet laver flere systematiske forsøg og eksperimenter med bjælker.

Han udtrykte begreber, som bæreevnen og spændvidden, og dette har haft betydning for vores nuværende opfattelse af bjælkelæren. Andre kendte historiske videnskabsmænd, er Galileo Galilei og han betragtes tit som grundlæggeren af styrkelæren pga. sine rationelt tilrettelagte forsøg og de konklusioner han kunne drage af dem. Han berigede bjælkelæren med sine iagttagelser og opdagelser, hvilket har gjort det muligt for mennesket i dag at drage nytte af dem. [1]

Statik er læreren om ligevægt, og det omfatter legemer, hvis samlede resultantkraft er lige med nul. En resultantkraft på nul betyder at legemet er stillestående og ikke i bevægelse. [2] Altså når alle kraftsystemer i legemet er nul resultere det, at legemet forholder sig i ro. Med andre ord Newtons første lov. [3]

I følgende opgave vil de grundlæggende elementer indenfor statikken redegøres og behandles. Dette inkluderer redegørelse for bøjningsforhold for bjælker og slanke søjler.

Herunder vil en teoretisk analyse af sammenhængen mellem nedbøjningskurven og det statiske bøjningsmoment gives, samt udbøjningstilstande for slanke frie søjler, også kendt som Euler Søjler.

I forbindelse med udbøjningskurver forekommer en kort redegørelse for 2. ordens differentialligninger og deres løsninger. Begrebet fladeinertimoment vil blive diskuteret, samt vise hvorledes man matematisk kan bestemme faldeinertimoment for et rektangulært emne samt for et rør.

1

Modelforsøg af bjælke.pdf notesæt DTU BYG af Henning Agerskov s. 3 ud af 45

2

http://da.wikipedia.org/wiki/Statik

3

http://da.wikipedia.org/wiki/Newtons_love (Philosophiae Naturalis Principia Mathematica)

Side 6

5

I forbindelse med forsøg, vil der blive arbejdet med konkrete belastningsforhold og der vil blive diskuteret de forhold, som har indflydelse på emnets styrke og den maksimale belastning. Målemetoder til bestemmelse af konkrete belastninger vil blive omtalt.

Forsøget er udført, hvorved der er blevet målt på nedbøjningen af trælister med forskellige dimensioner, mens den har været simpelt understøttet. Bjælkens stivhed vil blive bestemt som funktion af længen, l, samt tværsnitsformen dvs. højde, h, og bredde,

b. Det praktiske forsøg vil blive sammenlignet med teoriens forudsigelser.

2. Grundlæggende elementer inden for statik

Bjælkelæren dækker et stort område indenfor statikkens rammer. Den rummer mange parametre og variabler, som skal tages højde for når man arbejder med bjælker. Først og fremmest handler det om forståelsen af det der sker i bjælken, når den udsættes for forskellige kræfter.

2.1 Hookes lov

Robert Hooke () var en engelsk fysiker og arkitekt, og kendt for sit bidrag til bjælkelæren, Hookes lov. Hookes lov er en model, som beskriver den kraft, F, som en fjeder trækker eller trykker med, når den er deformeret i en vis strækning, fra sin oprindelige form i hvilestand. [4] Bjælken vil deformere, eller sagt med andre ord ændre sig, når den udsættes for ydre kræfter.

𝐹_{𝑓𝑗𝑒𝑑𝑒𝑟} =−𝑘⋅ Δ𝑥

Foroven ses formlen for Hooke lov, som udtrykker sammenhængen med mellem kraften F, kendt som fjederkraften, og proportionaliteten mellem fjederkonstanten, k, og strækningen x. Udtrykket kommer af observationer, som nedenstående illustrationen her, hvor vi ser at fjederen udsættes for en bestem kraft, 𝐹, så vil fjederen give efter, og strække sig ud fra punkt nul, som er fjederens position i hviletilstand, til delta x, som er den distance fjederen strækker sig ud til. Fjederen vil ved hjælp af indre kræfter, forsøge at trække sig tilbage til den

4

http://da.wikipedia.org/wiki/Hookes_lov

Figur 1. Fjeder der trækkes med kraften F 1

Side 7

6 oprindelig tilstand, og summen af de indre kræfter kaldes for fjederkraften.

Fjederkraften er altså den kraft, der ønsker at genetablere den oprindelige tilstand.

Derfor vil fjederkraften være negativ i dette tilfælde, som ses i figur 1, da den ydre kraft peger mod højre, vil de indre kræfter modvirke denne fremmede kraft, og derfor vil de indre kræfter peger mod venstre. K, som er fjederkonstanten, afhænger af materialet, tykkelsen af fjederen og generelt formen på den. Den afhængig altså af selve fjederen.

At den har et negativt fortegn, fortæller noget om retningen for kraften, F. Er strækningen nul, må det betyde at fjederen ikke har ændret sig, og derfor må dens resulterende kraft være lige nul, når den ikke er påvirket af ydrekraft. Dette giver god mening med formlen, for hvis strækning, Δ𝑥, er nul, og den så ganges med konstanten, vil den give en fjederkraft også på nul.

Tager man fat i figur 1 igen og forestiller sig, at den ydre kraft peger mod venstre i stedet for højre, så vil fjederkraften fra fjederen udregnes til at være positiv, idet den vil prøve at skubbe sig ud til punktet 0, som er den oprindelige position. Den ydre kraft der skubber fjederen ind, vil deformere den og give den en ”negativ” Strækning, i forhold til nulpunktet. Derfor fås en positiv Fjederkraft, idet vi indsætter en strækning, Δ𝑥, med negativt fortegn og ganger med fjederkonstanten, der i forvejen er negativt. Fortegnene vil udligne hinanden og derfor fås en positiv rettet kraft. Den kraft, som genereres fra fjederen vil udligne den kraft, som kommer udefra, og når disse udligner hinanden vil legemet forholde sig stille, da den resulterende kraft være lige nul.

Bjælker er elastiske, og dette gør dem bøjelige og fleksible til at deformere sig under påvirkning af en ydre kraft. Figur 2 forneden, viser en indspændt bjælke, som trækkes ud med kraften, F. Bjælken vil, som resultat af den trækkende kraft, udvide sig. Her indgår begrebet Tøjning, også kendt som

     5
strain, , som betyder materialets

relative forlængelse under påvirkning af den hivende kraft.

Altså kan den udtrykkes således.

5

http://da.wikipedia.org/wiki/T%C3%B8jning

Figur 2. indspændt bjælke, der trækkes med kraften F, og får tøjningslængden Δ𝒙.

Side 8

7

ε=

𝐿

𝐿_{0}

Tøjningen skrives med det græske bogstav Epsilon og defineres således; den nye

længde efter deformationen, 𝐿, over den oprindelige længde 𝐿 . Begge længder har
                                                  0

samme enhed, og de vil udligne hinanden, så tøjningen forbliver uden enhed. [6] Deformationen skaber en udvidet bjælke, der er længere end dens oprindelige hviletilstand. Udvidelsen udtrykkes med Δ𝑥, som er en procentvis stigning i forhold til bjælken. Grundet til denne stigning eller udvidelse, er på grund den spænding bjælkens udsættes for. Spændingen, også kendt som stress, defineres som en størrelse i mekanikken og er den gennemsnitlige kraft per areal. Dvs. at spændingen:

σ=

𝐹

𝐴

Spændingen, skrives med tegnet: lille sigma. A, er arealet, som er 2-dimensionelt og har længdeenheden i anden, som regel med SI-enheden meter. F er kraften målt i Newton.

                           𝑁
Dvs. at spændingen har enheden: eller også Pa.
                            2
                           𝑚

Hookes lov fortæller også noget om sammenhængen mellem tøjning og spændingen. [7]

σ=𝐸⋅ ε

2.2 Young modulus

E er elasticitetskonstanten, som afhænger af materialet. Elasticitetskonstanten også kendt som Youngs Modulus, opkaldt efter den britiske videnskabsmand og polyhistor Thomas Young. Der er et matematiske forhold mellem tøjningen, ε, og Spændingen, σ.

Tøjningen er proportional med spændingen. E er konstanten der ganges med spændingen. Dog gælder loven kun indenfor bestemte intervaller, da hvis en bjælke udsættes for alt for store belastninger og spændinger, kan det føre til permanente deformationer, da elasticitetsgrænsen er overskredet. Efter den overskredet grænse bliver bjælken plastisk og det betyder at den har mistet sine elastiske evner.

Youngs modul er et udtryk for et materiales elastiske evne under påvirkning af en eller flere ydre kræfter. Laver man en graf, vil man få en lineær sammenhæng, med tøjningen

6

Feynman, Richard & Robert Leighton og Matthew Sand, ”The Feynman-lectures on physics” s. 38-1

7

Modelforsøg af bjælke.pdf notesæt DTU BYG af Henning Agerskov s. 19 ud af 45.

Side 9

8 på x-aksen og spændingen på y-aksen. Elasticitetskonstanten er hældning til den lineære graf og stejlheden fortæller noget om hvor stift et stof er. Er grafen stejl må det betyde at der kun sker en lille tøjning under en stor spænding, som fx stål med en

                             𝑁
                           9
                                8
elastisitetskonstant på 200GPa(10 ) . Omvendt, hvis grafen har en flad hældning,
                              2
                             𝑚

må det betyde at der sker en stor tøjning under en lille spænding, og derfor vil dette materiale være blødt og nemt bøjeligt, fx gummi der har en elasticitet på 0,01-0,1 GPa. [9]

3. Fladeinertimoment

Når man snakker om bjælker, så skal man tage fat i det essentielle der ligger til grunde for deres interne funktioner.

Inertimomentet i en bjælke er en af de faktorer, der afgør bjælkens stivhed. Inertimomentet er et udtryk for hvor stærkt emnet er til at resistere nedbøjningen. Det afhænger af bjælkens dimensioner, sammenhængen mellem højde og bredde. Inertimoment afhænger altså af tværsnittet i bjælken.

Som ses i figur 3 vist til højre, ser man tværsnittet af en bjælke set fra enden. Det skraverede område demonstrere et lille areal af tværsnittet, hvori man kan udlede formlen for fladeinertimomentet. Det skraverede område vil repræsenterer inertimomentet for hele bjælkens, hvis man forestille sig der er flere lag oven over hinanden. Stregen i centrum, er legemets midtpunkt, og er det eneste sted, som ikke vil deformere under påvirkning af en lodretkraft nedad. Bjælken vil opleve at den krummer sammen foroven, mens den strækkes sig ud forneden under førnævnte kraftpåvirkning. [10] (se bilag 11) Inertimoment er faktor sammen med elasticitetkonstanten, Youngs Modul, og de udgør stivheden for bjælken, som produkt af de to faktor. Stivheden afhænger altså af

                                    11
elasticitetkonstanten og fladeinertimomentet.

stivhed=𝐸⋅ 𝐼

8

http://www.engineeringtoolbox.com/young-modulus-d_417.html

9

http://www.engineeringtoolbox.com/young-modulus-d_417.html

10

Høgsberg, Jan og Steen krenk, ”Statics and mechanics of structures” s. 149

11

Høgsberg, Jan og Steen krenk, ”Statics and mechanics of structures” s. 153

Figur 3. Tværsnittet af en rektangulær bjælke.

Side 10

9

Stivheden vendes der tilbage til senere i opgaven.

3.1 Fladeinertimoment for et rektangulært emne

For at kunne udlede fladeinertimomentet, tages der udgangspunkt i samme figur, som brugt tidligere. Man får oplyst at:

𝐼_{𝑥} =∫ 𝑍^{2} 𝑑𝐴

I er inertimomentet, for bjælkens x-akse, når den belastes med en lodret nedadkraft.

x

Z er distancen i legemets centrum. [12], [13] dA er det delAreal. Delarealet er blot et lille stykke af bjælken, men det betyder ikke noget, da inertimomentet for hele bjælken vil blive fundet, når der integreres. Integralet betyder i bund og grund at finde af et samlede areal.

Udtrykket for oven skal integreres igen, da det inertimoment, der kommer ud der, er kun et udtrykt for inertimomentet i et lille område i bjælken, og det interessante er inertimomentet for hele bjælken og derfor kræves en dobbelt integration for at

                                14
få den samlede værdi af inertimomentet.

Derfor fås udtrykket:

𝐼_{𝑥} =∫ ∫𝑍^{2} 𝑑𝑥𝑑𝑧

Der indsættes grænser for begge integraler, det første for højden, h, og den anden for breden, b:

𝐼_{𝑥} =∫ ∫ 𝑍^{2}_{ℎ}^{2}_{𝑏} 𝑑𝑥𝑑𝑧

2 ℎ 𝑏

− −

2 2

Grænserne strækker sig fra midten, z, til begge ender af højden, h , og det samme gælder for bredden, b.

For god ordens skyld, så indsættes parenteser så man kan se hvor der integreres.

12

Høgsberg, Jan og Steen krenk, ”Statics and mechanics of structures” s. 153

13

Modelforsøg af bjælke.pdf notesæt DTU BYG af Henning Agerskov s. 26 ud af 45.

14

Feynman, Richard & Robert Leighton og Matthew Sand, ”The Feynman-lectures on physics” s. 38-9 Figur 4. Tværsnittet af en rektangulær bjælke.

Side 11

10

𝐼_{𝑥} =∫ (∫ 𝑍^{2}_{ℎ}^{2}_{𝑏} 𝑑𝑥)𝑑𝑧

2 ℎ 𝑏

− −

2 2

Stamfunktionen til den indre integral findes og grænser forbliver:

𝐼_{𝑥} =∫ 𝑥𝑧^{2}_{ℎ}^{2} ∫ 𝑑𝑧^{2}_{𝑏}

𝑥=

ℎ 𝑏

− 𝑥=−

2 2

Grænser for bredden, fortæller os at intervallet strækker fra en halv bredde mod højre og en halv bredde mod venstre, til sammen giver de hele bredden b, og derfor kan grænserne for stamfunktionen omskrives således at b erstatter x’s plads:

𝐼_{𝑥} =∫ 𝑏𝑧^{2}_{ℎ}^{2} 𝑑𝑧

ℎ

−

2

Der integreres igen og stamfunktionen ser således ud [15]:

𝐼_{𝑥} = ∫

𝑏𝑧^{3} 2^{ℎ}

3

𝑧=

𝑧=−

ℎ

2

Nu skal grænserne fjernes:

𝐼_{𝑥} = ⋅ (() − (−))

𝑏 ℎ^{3} ℎ^{3}

3 2 2

De negative fortegn går ud med hinanden og parenteserne ophæves:

𝐼_{𝑥} = ⋅ ( +)= ⋅

𝑏 ℎ^{3} ℎ^{3} 𝑏 ℎ^{3}

3 8 8 3 4

Og til sidst ganges brøkerne med hinanden:

𝐼_{𝑥} = = ⋅ 𝑏ℎ^{3}

𝑏ℎ^{3} 1

12 12

Udledningen er hermed færdig.^{16}

15

Modelforsøg af bjælke.pdf notesæt DTU BYG af Henning Agerskov s. 40 ud af 45.

Side 12

11

Som ses på den udledte formel, så fortæller den noget dimensionernes rolle i forhold til fladeinertimomentet. Ude fra udledning ses, at den afgørende faktor er højden, h. Det vil sige at inertimomentet stigere kubisk med højden, h, og lineært med bredden, b.

Placeres bjælken fladt vil dens inertimoment være lavt og derfor vil den have en større tendens til nedbøjning under belastning. Og omvendt, hvis den er placeret højden lodret, så vil den have et højt inertimoment. Dette udnyttes indenfor bygningskonstruktioner, når der arbejdes med bjælker. Det handler om at have optimale bjælker, til at bære konstruktionen, og derfor har man I-bjælken. I-bjælken er et af de mest anvendte bjælketyper, da dens bæreevne lever op til standarderne. I-bjælken består af en bjælke, der står på højkant med flad bund og top. (Se bilag 10).

Ud fra udledning konkluderes at bjælkers dimensioner har en afgørende roller for bøjningsstivheden.

Eksempel:

En træliste med bredde, b=15cm og højden, h=10cm, er simpelt understøttet i begge

ender. Trælisten placeres på sine understøtninger og lader sig blive belastet med en nedadgående kraft. Find inertimomentet.

brug af ligningen fra udledningen:

𝐼_{𝑥} = ⋅ 𝑏ℎ^{3}

1

12

Indsættelse af værdier

𝐼_{𝑥} = ⋅ 15 ⋅ 10^{3} =1250

1

12

Inertimomentet for trælisten er fundet, men hvad nu hvis vi vender den på højkant?

trælisten sættes op, så den tynde del understøttes. Altså nu er bredde, b=10cm og
højden, h=15cm. Samme som før:

𝐼_{𝑥} = ⋅ 𝑏ℎ^{3}

1

12

Indsættelse af værdier

16

Singer, Ferdinand L. ”Strength of Materials” s. 545

Side 13

12

𝐼_{𝑥} = ⋅ 10 ⋅ 15^{3} =2812,5

1

12

Her ses et markant større inertimoment, der er mere end fordoblet ved blot at belaste bjælken på en anden side. Dette bekræfter førnævnte påstand om dimensionernes rolle afgørende for inertimomentet og bøjningsstivheden. Der skal bemærkes at

inertimomentet her har enheden 𝑐𝑚^{4}, generelt 𝑙^{4}.

3.2 Fladeinertimoment for et rør:

Cirkel formede bjælker kan forekomme, og de har også et fladeinertimoment i sig, som virker under belastning. Dog er dens beregning ikke så lige til, som for det rektangulære emne nævnt tidligere.

Der tages udgangspunkt i figur 5.^{17}

Igen bruges formlen for inertimoment:

𝐼_{𝑥} =∫ 𝑍^{2} 𝑑𝐴

I er inertimomentet, for bjælkens x-akse, når den belastes med en lodret nedadkraft.

x

                           18
Z er distancen i legemets centrum.

dA er det delAreal. Delarealet er blot et lille stykke af bjælken, men det betyder ikke noget, da inertimomentet for hele bjælken vil blive fundet, når der integreres.

Ved det rektangulære emne skulle der opfattes af man lagde en helt masse firkanter sammen og summerede dem. Det kan man ikke helt rigtigt her, da cirklen er af anden facon. Så det må betyde at dA skal udtrykkes, før en ligning kan opstilles og udledes.

dA er et lille areal i rørets tværsnit, som ses på figur 6. til højre. Det skraverede område undersøges.

17

Singer, Ferdinand L. ”Strength of Materials” s. 543

18

Høgsberg, Jan og Steen krenk, ”Statics and mechanics of structures” s. 153

Figur 5.

Enhedscirklen/tværsnittet af en

rørformet bjælke

Figur 6. Tværsnittet af røret, med et lille udpluk i det skraverede område dA

Side 14

13

Tegningen til venstre, figur 7, er en illustration af dA fra rørets tværsnit. Her skal bemærkes, at dr er en længde, mens dθ er en vinkel, og derfor er der ikke tale om et direkte areal, da areal defineres som en længde gange længde og ikke længde gange vinkel. Vinklen er i radianer, der det er en bue, som betragtes.

For at skrive dθ om til en længde ganges den med r. Derfor

                     19
kan dA udtrykkes således:

𝑑𝐴=𝑑𝑟⋅ 𝑟⋅ 𝑑θ

Nu hvor dA er fundet, skal z findes. Dette gøres ved at betragte enhedscirklen og ved

hjælp af den kan man ekstrahere at 𝑍=𝑟⋅ sin𝜃.

Nu kan formlen for rørets inertimoment udledes:

𝐼_{𝑥} =∫ 𝑍^{2} 𝑑𝐴

Indsætning af dA og z:

𝐼_{𝑥} =∫ ∫𝑟^{2} ⋅ sin𝜃^{2} ⋅ 𝑑𝑟⋅ 𝑟⋅ 𝑑𝜃^{20}

Et nyt integral dukker op idet dA i sig selv var et areal og derfor et udtryk for integral, så da dA blev ophævet måtte et integraltegn overtage. Det inderste integral har en nedre grænse på 0 og en øvre grænse på R, som er radius for rørets tværsnit.

også det ydre integral har grænser, og den nedre er på 0, mens den øvre er på^{2𝜋}_{4}, da

cirklen går hele vejen rundt. Derfor skal der også ganges med 4 for at få hele cirklens inertimoment med.

𝐼_{𝑥} =4∫ ∫ 𝑟^{4} ⋅ sin𝜃^{2} ⋅ 𝑑𝑟⋅ 𝑟 ⋅𝑑𝜃

2

𝑅

0 0

2𝜋

19

http://www.youtube.com/watch?v=GiqlC6bwD0g

20

Singer, Ferdinand L. ”Strength of Materials” s. 543

Figur 7. Forstørrede udgave af det skraverede område i figur 6.

Side 15

14

Der reduceres. En matematisk lov siger at så længe ”r” ikke er afhængig af theta, så kan de skilles ad, og den dobbelte integration bliver til to integraler ganget med hinanden [21]:

                4
         3          2
𝐼 =4∫ 𝑟   𝑑𝑟 ⋅ ∫ sin 𝜃𝑑𝜃
 𝑥

𝑅

0 0

2𝜋

Nu integreres de:

𝐼_{𝑥} =4[ 𝑟^{4}] ⋅ [ −]

1 𝜃 sin ( 2𝜃)^{4}

4 2 4

0

𝑅

0

2𝜋

Reduktion^{22}:

𝐼_{𝑥} =𝑅^{4} ⋅

𝜋

4

Hermed er udledning for inertimomentet i et rør færdigt.

Der skal bemærkes at denne formel giver inertimomentet for hele røret, og det vil sige kun hvis røret er massivt! Ikke alle rørformede bjælker er massive, da det ikke er så praktisk at de bliver for tunge. Derfor findes der også nogle, som er hule og det vil sige

                                                               23
at tværsnittet kun dækker tykkelsen af omkredsen, som på figur A-10.(se bilag)

Ønsker man at finde inertimomentet, for de hule bjælker, er det simpelt. Man finder først inertimomentet for hele bjælken, altså antager at den er massiv. Måden man har gjort er at sørge for at grænsen går fra centrum til cirklens omkreds, fra nul til R. Så finder man radiussen af den tomme del af bjælken og finder dens inertimoment.

Radiussen der fundet sættes som grænse, den kan kaldes fx: 𝑅_{1}. så fra nul til 𝑅_{1}.

så trækker man de to inertimomenter fra hinanden, og det der er tilbage er så inertimomentet for den hule bjælke.

21

http://www.youtube.com/watch?v=GiqlC6bwD0g

22

Singer, Ferdinand L. ”Strength of Materials” s. 543

23

Singer, Ferdinand L. ”Strength of Materials” s. 543

Side 16

15

4. Differentialligninger af 2. orden

Differentialligninger af 2. orden forekommer i mange typer og strukturer. I denne opgave vil fokus være på lineær differentialligninger af 2. orden. Den har følgende struktur:

𝑑^{2} 𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑡^{2} 𝑑𝑡

+ 𝑎_{1} + 𝑎_{0} 𝑥=𝑞_{(}_{𝑡}

)

Hvor i denne kan opdeles i to typer: den homogene og den inhomogene. [24]

4.1 Den homogene ligning:

Når 𝑞_{(}_{𝑡}_{)} i den homogene ligning er 0, betyder det at man kan finde dens løsning ved at
gætte eksponentielfunktionen 𝑥=𝑒^{𝑅𝑡}, hvor er en konstant.

Den homogene ligning:

𝑑^{2} 𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑡^{2} 𝑑𝑡

+ 𝑎_{1} + 𝑎_{0} 𝑥=0

antages at 𝑥=𝑒^{𝑅𝑡} kan bruges til finde løsninger, så indsættes den ind i x’s plads og

dermed fås:

𝑑^{2} 𝑑
𝑑𝑡^{2} 𝑑𝑡

( 𝑒^{𝑅𝑡}) + 𝑎_{1} ( 𝑒^{𝑅𝑡}) + 𝑎_{0} ( 𝑒^{𝑅𝑡}) =𝑅^{2} 𝑒^{𝑅𝑡} + 𝑎_{1} 𝑅𝑒^{𝑅𝑡} + 𝑎_{0} 𝑒^{𝑅𝑡}

Ved at tage 𝑒^{𝑅𝑡} uden for en parentes, reduceres udtrykket til: [25]

𝑑^{2} 𝑑
𝑑𝑡^{2} 𝑑𝑡

( 𝑒^{𝑅𝑡}) + 𝑎_{1} ( 𝑒^{𝑅𝑡}) + 𝑎_{0} ( 𝑒^{𝑅𝑡}) = ( 𝑅^{2} + 𝑎_{1} 𝑅+ 𝑎_{0}) 𝑒^{𝑅𝑡}

Det følger heraf, at hvis tallet R er en løsning til en anden grads ligning:

𝑅^{2} + 𝑎_{1} 𝑅+ 𝑎_{0} =0

                                 26
                                           𝑅𝑡
Denne ligning kaldes for karakterligning. Da 𝑥=𝑒 antages at være en løsning til

den homogene, så er det kun R der skal findes, da den er konstant mens t er variabel.

For at demonstrere et eksempel gives følgende 2. ordens differentialligning:

24

Markvorsen, Steen & Poul Hjorth mm. “Matematisk Analyse 1. Udgave 4.” s. -5.2-

25

Markvorsen, Steen & Poul Hjorth mm. “Matematisk Analyse 1. Udgave 4.” s. -5.4-

26

Beelen, Peter og Søren Thomsen ”kursusnoter til DiploMat1” s. 77

Side 17

16

𝑑^{2} 𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑡^{2} 𝑑𝑡

+ 3 + 2𝑥=0

𝑎_{1} er 2 og 𝑎_{0} er 3, så følgende anden gradsligning fås:

𝑅^{2} + 3𝑅+ 2=0

For at finde R, benyttes fremgangsmåden for løsning af anden gradsligning:

𝑑=𝑏^{2} − 4𝑎𝑐

hvori d er diskriminanten, og findes ved at indsætte værdierne for a,b og c:

𝑑=3^{2} − 4 ⋅ 1 ⋅ 2=1

da diskriminanten er 1, kan den proppes ind i følgende formel, så rødderne for R findes:

𝑅=

−𝑏∓ √𝑑

2𝑎

𝑅=

−3 ∓ √1

2 ⋅ 1 og Rødderne er :

𝑅=−1 , 𝑅=−2

Samtlige løsninger er derfor:

𝑥=𝑐_{1} ⋅ 𝑒^{−1𝑡} + 𝑐_{2} 𝑒^{−2𝑡}

𝑐_{1} 𝑜𝑔 𝑐_{2} er konstanter og kan findes ud fra randbetingelserne. [27] Hermed er den

fuldstændige løsning fundet for eksemplet her.

Differentialligninger af 2. orden optræder i mange steder i hverdagen. Inden for bjælkelæren bruges den til at opstille nedbøjningskurver. Fordelen ved disse opstillinger er, når en nedbøjningskurve er dannet, så kan man beregne den præcis nedbøjning for bjælken ved at aflæse kurvens koordinater. Inden for bjælkelæren benyttes følgende 2.

ordens differentialligning:

𝑑^{2} 𝑢 𝑀_{𝑥}
𝑑𝑥^{2} 𝐸⋅ 𝐼

+ =0

()

Og kan omskrives til den mest sete struktur, når man har med statik at gøre:

27

Markvorsen, Steen & Poul Hjorth mm. “Matematisk Analyse 1. Udgave 4.” s. -5.6-

Side 18

17

𝑑^{2} 𝑢 𝑀_{(𝑥)}
𝑑𝑥^{2} 𝐸⋅ 𝐼

=−

Anvendelsen af denne 2. ordens differentialligning, vil blive omtalt i afsnit 5 senere i opgaven.

4.2 Den inhomogene ligning:

Den har samme struktur, som i den homogene, mens forskellen er

(𝑠æ𝑡𝑛𝑖𝑛𝑔 1.)

𝑑^{2} 𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑡^{2} 𝑑𝑡

+ 𝑎_{1} + 𝑎_{0} 𝑥=𝑞_{(}, 𝑞_{(𝑡)} ≠0.

𝑡)

Løsningen af denne type af differentialligninger er komplekst, men i korte træk kan den forklares således:

”Samtlige løsninger til Sætning 1. fås ved til én løsning Sætning 1. at

                                           28
addere samtlige løsninger til den homogene ligning.”

5. Bøjningsforhold for bjælker og søjler

5.1 Bjælkers bøjningsforhold:

Når bjælker udsættes for en belastning, reagerer den ved at nedbøje. Denne nedbøjning har meget at fortælle. Selvom noget så simpelt, som en planke understøttet i begge ender med en belastning i midten, så ligger der en kæmpe videnskab og matematiske udfordringer bag. Når en bjælke belastes, mister den sin originale form og deformation i form a nedbøjning. Det der bl.a. sker i bjælken er at stykket over nullinjen komprimeres, mens understykket strækkes ud i samme omfang som komprimeringen. [29] Bjælkens nedbøjning afhænger af flere faktorer. De er:

• Belastningen størrelse og type(centeret, jævnt fordelt, forskudt fra midten mm.)

• Bjælken spændvidde, jo længere der er mellem understøtninger, des større nedbøjning.

• Materialet egenskaber (Youngs modulus)

28

Markvorsen, Steen & Poul Hjorth mm. “Matematisk Analyse 1. Udgave 4.” s. -5.12-

29

http://toolboxes.flexiblelearning.net.au/demosites/series10/10_01/content/bcgbc4010a/04_struct_memb
ers/01_beams/page_004.htm

Side 19

18

• Bjælke type(simpelt understøttet, indspændt bjælke mm.)

Nedbøjningen måles typisk forskellen mellem bjælkens nullinje før belastning og efter

         30
belastning.

Figur 8

Betragter man figur 8 vises en simpelt understøttet bjælke med en belastning, F, virkende i midten. Bjælkens længde er L og origo er placeret ved venstre understøtning.

Figur 9

Da understøtningerne er placeret symmetrisk samt at kraften virker i midten, kan det ses

                                                            𝐹
at hver understøtning optager det halve af belastningen F, hvilket svarer til .
                                                            2

I dette afsnit bestemmes nedbøjningsudtrykket for dette bjælketilfælde.

Fra grundlæggende mekanik haves nedenstående sammenhæng:

𝑑^{2} 𝑦 𝑀(𝑥)_{31}
𝑑𝑥^{2} 𝐸𝐼

          32
=         ,

Denne siger, at hvis man kender snitmomentet M(x) og bjælkens stivhed i hele dens længde, så kan man finde nedbøjningsfunktion for bjælken ved blot at integrere to gange. Med andre ord skal man bestemme løsningen til en differentialligning af 2.

30

http://www.youtube.com/watch?v=7uuDNG8dne4&list=PL70E8AC1785474B44&index=3

31

Høgsberg, Jan og Steen krenk, ”Statics and mechanics of structures” s. 165

32

http://en.wikipedia.org/wiki/Euler-Bernoulli_beam_equation

Side 20

19 orden. Til beregningen af snitmomentet bruger man her nedbøjningen af bjælken som afhænger af dens elasticitetsmodul samt inertimoment.

Snitmomentet M, betegner det indre moment i bjælken som respons på de ydre belastninger; i dette tilfælde belastningen F og kræfterne fra understøtningerne. Måden

hvorpå M bestemmes er ved at snitte/skære igennem midten af bjælken samt betragte de

ydre belastninger på fx venstre sektion (venstre del af bjælken). Da nedbøjningen er i midten på bjælken, er dens effekt symmetrisk og derfor er det lige meget hvilken ende man kikker på. Den eneste ydre belastning som bidrager til moment er kraften

               𝐹
understøtningerne som ligger en afstand x fra snittet (senere i randbetingelserne
               2

defineres x til noget specifikt). Derfor gælder:

𝑀(𝑥)= 𝑥

𝐹

2

Først tages den førstnævnte ligning og flytter 𝐸𝐼 på den anden side af lighedstegnet, så 𝑀 ( 𝑥) isoleres. Så kan 𝑀 ( 𝑥) substitueres med det der lige er udtrykt foroven:

𝐸𝐼 = 𝑥

𝑑^{2} 𝑦 𝐹
𝑑𝑥^{2} 2

Der integreres nu to gange, så differentialligningen af 2. orden forsvinder og vi står tilbage med u, som er nedbøjningen. Under hver integration, forekommer en konstant:

∫∫𝐸𝐼 =∫∫ 𝑥

𝑑^{2} 𝑦 𝐹
𝑑𝑥^{2} 2

𝐸𝐼𝑦= + 𝐴𝑥+ 𝐵

𝐹𝑥^{3}

12

Ovenstående er den generelle løsningsformel.

Side 21

20

Konstanterne 𝐴 og 𝐵 fremkommer. Disse defineres udefra nedenstående randbetingelser:

Figur 10. man ser på randbetingelserne, altså de betingelser der er gældende for bjælken.^{33}

𝑣𝑒𝑑 𝑥=0 𝑒𝑟 𝑦=0 (𝑖𝑛𝑔𝑒𝑛 𝑛𝑒𝑑𝑏ø𝑗𝑛𝑖𝑛𝑔 𝑣𝑒𝑑 𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟𝑠𝑡ø𝑛𝑖𝑛𝑔𝑒𝑟)

𝑣𝑒𝑑 𝑥= 𝑒𝑟 =0 (𝑛𝑒𝑑𝑏ø𝑗𝑛𝑖𝑛𝑔𝑒𝑛 ℎ𝑎𝑟 𝑖𝑛𝑔𝑒𝑛 ℎæ𝑙𝑑𝑛𝑖𝑛𝑔 𝑣𝑒𝑑 𝑚𝑖𝑑𝑡𝑒𝑛)

𝐿 𝑑𝑦

2 𝑑𝑥

Den første randbetingelse indsættes i den generelle løsningsformel, B konstanten isoleres og x sættes lige med 0:

𝐸𝐼⋅ 0= + 𝐴 ⋅ 0 + 𝐵⇔𝐵=0

𝐹⋅ 0^{3}

12

Den anden randbetingelse indsættes og A konstanten isoleres. Først differentieres den

                       𝑑
generelle løsningsformel, så forsvinder og der fås:
                       𝑑𝑥

𝐸𝐼𝑦=3 + 𝐴

𝐹𝑥^{2}

12

Dernæst sættes y=0

0=3 + 𝐴= + 𝐴

𝐹𝑥^{2} 𝐹𝑥^{2}

12 4

                   𝐿
Endeligt indsættes 𝑥= , da længden til midten er lang så lang fra begge ender
                   2

understøtninger, og A defineres ved isolering:

0= + 𝐴

𝐹()

𝐿^{2}

2

4

33

http://www.youtube.com/watch?v=7uuDNG8dne4&list=PL70E8AC1785474B44&index=3

Side 22

21

0= + 𝐴

𝐹

𝐿^{2}

4

4

0=𝐹 + 𝐴 ⇔𝐴=−𝐹

𝐿^{2} 𝐿^{2}

16 16

Sammenhængen for nedbøjningsforløbet langs bjælken er nu bestemt til

𝐸𝐼𝑦= + 𝐴𝑥+ 𝐵

𝐹𝑥^{3}

12

𝐸𝐼𝑦= − 𝐹 𝑥

𝐹𝑥^{3} 𝐿^{2}

12 16

                                              𝐿
Den maksimale nedbøjning ligger i midten hvorved 𝑥=
                                              2

𝑦_{Δ𝑚𝑎𝑥} =

𝐹𝑥^{3} 𝐿^{2}

12 16

− 𝐹 𝑥

𝐸𝐼

𝑦_{Δ𝑚𝑎𝑥} =

𝐹()

𝐿^{3}
2 𝐿^{2} 𝐿

12 16 2

− 𝐹 ⋅

𝐸𝐼

𝑦_{Δ𝑚𝑎𝑥} =

𝐹()

𝐿^{3}
2 𝐿^{2} 𝐿

12 16 2

− 𝐹 ⋅

𝐸𝐼

𝑦_{Δ𝑚𝑎𝑥} = =−

𝐹𝐿^{3} 𝐹𝐿^{3}

96 32

−

𝐸𝐼 48𝐸𝐼

𝐹𝐿^{3}

Hermed fås udtrykket for den maksimale nedbøjning for bjælken med simpelt

            34
understøtning.

Tages et andet eksempel, hvor bjælken er indspændt, ser fremgangsmåden sådan ud.

Der tages udgangs punkt i figur. 1

34

http://www.freestudy.co.uk/mech%20prin%20h2/outcome2t3.pdf

Figur 11. indspændt bjælke

Side 23

22

P er den nedad trykkende kraft, der belaster den frie ende.

For at analysere bjælken, skal den skæres, så det statiske bøjningsmoment kan blive fundet. Bøjningsmomentet, M, udligner den nedadgående kraft, p. Og når de udlignes må den resulterende kraft være lige med nul, derfor:

𝑀+ 𝑃𝑥=0 →𝑀=−𝑃𝑥

−𝑃𝑥 er momentet, og defineres som kraft gange arm.^{35}

Nu hvor M er fundet, kan det indsættes i ligningen for nedbøjningskurve:

𝑑^{2} 𝑦 𝑀_{𝑥} 𝑑^{2} 𝑦
𝑑𝑥^{2} 𝐸⋅ 𝐼 𝑑𝑥^{2}

= →𝐸𝐼 =𝑀_{(}

() 𝑥)

𝐸𝐼 =−𝑃𝑥

𝑑^{2} 𝑦
𝑑𝑥^{2}

Der integreres:

𝐸𝐼 =− 𝑃𝑥^{2} + 𝑐_{1}

𝑑𝑦 1 𝑑𝑥 2

Ud fra randbetingelserne, som ses på figur 3, kan

man se at når x=L, så er hældningen=0. Derfor kan Figur 13 randbetingelser med rødt.

𝑑𝑦 𝑑𝑥 erstattes med 0 og x udskiftes med L i udtrykket så der fås:

𝐸𝐼⋅ 0=− 𝑃𝐿^{2} + 𝑐_{1} →𝑐 = 𝑃𝐿^{2}

1 1

2 2

1

Så nu fås:

𝐸𝐼⋅ =− 𝑃𝑥^{2} + 𝑃𝐿^{2}

𝑑𝑦 1 1 𝑑𝑥 2 2

Der integreres igen:

𝐸𝐼𝑦=− 𝑃𝑥^{3} + 𝑃𝐿^{2} 𝑥+ 𝑐_{2}

1 1

6 2

35

Høgsberg, Jan og Steen Krenk, ”Statics and mechanics of structures” s. 10

Figur 12 En segment fra den indspændte bjælke i figur 1.

Side 24

23

Igen ses på randbetingelserne, og der oplyses, når x=L er y=0 og derfor:

0=− 𝑃𝑥^{3} + 𝑃𝐿^{2} 𝑥+ 𝑐_{2} → 𝑐 =− 𝑃𝐿^{3}

1 1 1

6 2 3

2

Nu er ligningen for nedbøjning fundet til:

𝐸𝐼𝑦=− 𝑃𝑥^{3} + 𝑃𝐿^{2} 𝑥− 𝑃𝐿^{3}

1 1 1

6 2 3

reduktion^{36}:

𝐸𝐼𝑦= (−𝑥^{3} + 3𝐿^{2} 𝑥− 2𝐿^{3})

𝑃

6𝐸𝐼

For at finde nedbøjningen for punktet A i figur 3. substitueres x med nul i den formel,

der blev integreret en gang. x=0:

𝐸𝐼⋅ =− 𝑃𝑥^{2} + 𝑃𝐿^{2}

𝑑𝑦 1 1 𝑑𝑥 2 2

𝑑𝑦 𝑃𝐿^{2}

𝑑𝑥 2𝐸𝐼

=

Dette udtryk er et generelt udtryk for alle indspændte bjælker og kan bruges til at finde deres maksimale nedbøjning i den frie ende af bjælken.

5.2 Søjlers bøjningsforhold:

Søjler er lodret stående bjælker. De er bærende objekter, som holder lofter og lignende op. En euler søjle er simpelt understøttet i begge ender og er udsat for en nedadgående kraft, som ses på figur 14. Søjler krummer og bøjer ud i siden, når de udsættes for belastning. [37] Den mængde den udbøjes kaldes for bjælkekrumning, u, og som tidligere nævnt kan en bjælkedel i ligevægt beskrives:

𝑀_{(}_{𝑥}_{)} − 𝑃⋅ 𝑢 ( 𝑥) =0 => 𝑀 =𝑃⋅ 𝑢 ( 𝑥)

( 𝑥)

36

http://www.youtube.com/watch?v=7uuDNG8dne4&list=PL70E8AC1785474B44&index=3

37

Singer, Ferdinand L. ”Strength of Materials” s. 386

Figur 14 Euler søjlen

Side 25

24

Og relationen mellem bjælkekrumningen, u, og bøjningsmomentet, m, giver:

𝑑^{2} 𝑢(𝑥) 𝑀_{𝑥} 𝑑^{2} 𝑢 𝑃
𝑑𝑥^{2} 𝐸𝐼 𝑑𝑥^{2} 𝐸𝐼

=− → + ⋅ 𝑢=0

()

𝑘^{2}, er givet som forholdet mellem normalkraft, P, og

bøjningsstivhed, EI. Derfor kan ovenstående

                           𝑃
                                  38
                                2
differentialligning omskrives fra til 𝑘 :
                          𝐸𝐼

𝑢^{′′} + 𝑘^{2} 𝑢=0

Og denne differentialligning har følgende løsning:

𝑢=𝑐_{1} sin𝑘𝑥+ 𝑐_{2} cos𝑘𝑥

Igen kan konstanterne 𝑐_{1} 𝑜𝑔 𝑐_{2} bestemmes ud fra de opgivede^{Figur 15}

randbetingelser, som kan læses på figur 15. [39]

𝑢 ( 0) =0 𝑜𝑔 𝑢 ( 𝑙) =0

Ved længden nul er der ingen udkrumning, og heller ikke ved enden af længden. Altså

er der ingen udkrumninger i enderne og derfor konkluderes 𝑐_{2} til 0. hvilket efterlader:
𝑢=𝑐_{1} sin𝑘𝑥+ 0
og da 𝑢 ( 𝑙) =0, kan l substitueres med x og følgende er tilbage:
0=𝑐_{1} sin𝑘𝑙

Hvilket efterlader:

1_{𝑐_{1}}

1

]_{𝑘𝑙=𝑛⋅𝜋}^{=0}

Dvs. for:

𝑘𝑙=𝑛⋅ 𝜋

er der løsninger til differentialligningen af formen:

𝑢 ( 𝑥) =𝑡⋅ sin 𝑥

𝑛⋅ 𝜋 𝑙 hvor t er en uindskrænket parameter.

38

Modelforsøg af bjælke.pdf notesæt DTU BYG af Henning Agerskov s. 38 ud af 45

39

Modelforsøg af bjælke.pdf notesæt DTU BYG af Henning Agerskov s. 38 ud af 45

Side 26

25

                                                        40
”Til hver udbøjningslinie svarer en bestemt værdi af belastningen P” :

𝑘𝑙= ⋅ 𝑙=𝑛⋅ 𝜋

√

𝑃

𝐸𝐼

P isoleres:

𝑃=

𝑛^{2} ⋅ 𝜋^{2} ⋅ 𝐸𝐼
𝑙^{2}

Det må betyde at den mindste positive P-værdi er søjlens bæreevne. Sættes n til 1, fås Eulers formel:

𝑃_{𝑒} =

𝜋^{2} ⋅ 𝐸𝐼^{41}
𝑙^{2}
𝑝_{𝑒} kaldes for Eulerkraften.

Når n sættes til 1 betyder det at bjælkesøjlen danner 1 udkrumning eller bule når den

belastes med 𝑝_{𝑒}. n er altså antal buler for en søjle en belastningen.

Jo tungere belastning des flere buler. Ud fra figur 16. [42] kan sammenhængen omskrives til følgende:

𝑃_{𝑒} ( 𝑛) =𝑛^{2} ⋅ 𝑃_{𝑒}

Søjlers udbøjningstilstande varierer og afhænger af deres type, randbetingelser, materiale, belastninger osv.

Det vigtig at søjler i praksis ikke laver store udkrumninger, da dette ikke virker helt stabilt når der fx skal bygges en bro. Derfor er teorien og viden om søjler afgørende inden for mekanikkens og statikkens verden.

40

Modelforsøg af bjælke.pdf notesæt DTU BYG af Henning Agerskov s. 39 ud af 45

41

http://www.danskbyggeskik.dk/pdf/get.action;jsessionid=B4695618DA39C6B73AD73F079905A679?p

df.id=561
42

Matematiske Metoder i Konstruktionsmekanik. DTU

Figur 16

Side 27

26

6. Forsøg

6.1 Formål:

Formålet med forsøget var at finde trælisters stivhed, og hvilken rolle det spillede for inertimoment i forhold til trælisternes position og de dimensioner trælisterne havde, samt se om længden mellem understøtningerne havde indflydelse på nedbøjning. Og sammenligne resultaterne med teoriens forudsigelser.

6.2 Opstilling:

Forsøget blev opstillet, således der kunne foretages eksperimentale undersøgelser med bjælkers nedbøjning under belastning. Bjælkerne, i dette tilfælde trælister, var understøttet med en simpel understøtning på hver ende, dog kunne begge enders højde justeres op og ned. En skydelære blev monteret tæt på bjælken, så aflæsning af data var optimal, dog ikke perfekt og usikkerhed under aflæsning kunne forekomme.

6.2.1 Billede af forsøget:

Se figur 17 og 18 i bilag.

6.2.2 Materiale:

• Skydelære monteret til stående objekt

• Otte trælister af forskellige dimensioner (dog kun syv brugt)

• Simple understøtninger, med højde justering

• Vægt

• Lodder af forskelligt vægt

• Pc til notering af data.

• Sav til trælisterne

6.3 Udførelse:

Forsøget blev udført i fysiklokalet 2A9, , under observation af vejledere.

6.3.1 Forsøget:

Trælisterne blev undersøgt systematisk. Først og fremmest blev bjælkerne(trælisterne) undersøgt med spændvidden(længden) en meter med forskellige belastninger.

Bjælkerne var nummererede fra 1 til 8, og hver bjælke havde sin egen unikke tværsnit.

Side 28

27

Hver bjælke blev forsigtig placeret på de simple understøtninger. Højden blev justeret så bjælken lå præcis samme højde som skydelæren. Efterfølgende blev hver bjælke udsat for en belastning, der gav dem en nedbøjning som blev noteret. Belastningen var små lodder. I forsøg med tungt belastning blev der anvendt flere lodder fordelt symmetrisk i midten. Grundet til det var pga. manglende tunge lodder og derfor måtte lodderne lægges sammen til fordel for en større nedbøjning. Al nedbøjning blev noteret og behandlet. Spændvidden blev forkortet undervejs til 750mm og 500mm, så man kunne se om det påvirkede nedbøjningen.

6.3.2 Målemetoder

Målemetoder under forsøget var forskellige. Først blev en almindelig lineal brugt, men da dens skala var for stor måtte en skydelære blive brugt. Den kunne måle deflektionen(nedbøjningen) så præcist, som muligt og skalaen var passende, dog kan der være usikkerhed og fejlkilder.(Dette vil blive omtalt i Fejlkilde afsnittet) Loddenes vægt var allerede angivet, hvis ikke måtte man selv veje den på en vægt.

6.4 Data:

Grafer og tabeller, ses i bilag.

I databehandlingsafsnittet vil der tages udgangspunkt i Bjælkerne 2, 5 og 6, da de alle sammen deler samme højde 8mm.

6.5 Databehandling og sammenligning med teori:

For en god ordens skyld sorteres dataene. Få af tabellens tal er udvalgt til grafdannelse, og dette skyldes at de alle deler samme højde, hvilket gør dem til oplagte kandidater til sammenligning. Alle tre bjælker har højden 8mm, mens bredderne varierer. Bjælke 2 har en bredde på 19mm, bjælke 5 på 20mm og bjælke 6 på 32.

Graferne viser, at der er en relativ god sammenhæng for breddens betydning for bjælkens stivhed. Samtidig kan en betydelig reducering af nedbøjningen ses, når spændvidden forkortes. Selvom grafens tendenslinje er tvunget gennem (0,0), passer de relativt godt. Tages der fat grafen-”Bjælke 6. 500mm”, kan man se at de to sidste punkter ligger højere i forhold til de forrige, og dette indikere at bjælken har været ud for en så tung belastning, at den har fået en permanent deformation. Grundet til den

Side 29

28 permanente deformation er, at bjælken fik overskredet sin elasticitets grænse og derfor ikke længere har en elastisk evne, men derimod er den blevet plastisk.

Sammenligner man bjælkernes dimensioner med hinanden og ser på hver deres stivhed, kan man se at bredden spiller den afgørende rolle for bjælkens stivhed. Bredden gør at bjælken kan klarer mere. Bjælkens stivhed, s, som funktion af tværsnittet, t:

Δ𝑃 𝑢

=𝑆_{(𝑡)} =1,588𝑡+ 178

Δ𝑃 𝑢 er belastningen over nedbøjningen, t er den variable tværsnit, b burde i teorien ikke være der, fordi der ikke kan være nogen stivhed, hvis der ikke er noget tværsnit.

Grundet til at en b være dukker op er pga. værdierne er plottet uden at tvinge grafen igennem (0,0). Tvinges linjen gennem (0,0) fås en større afvigelse, hvilket man ikke ønsker. Værdierne er fra bjælkerne 2,5 og 6 (500mm).

Nu hvor bjælkens stivhed, som funktion af tværsnittet fundet, skal der også opstilles en funktion af længden. Måden der gøres på er ved at tage den samme bjælke fx bjælke 5, og se på den stivhed under forkortede spændvidder.

377

478

581

y = 1,588x + 178,01
R² = 0,8118

0

100

200

300

400

500

600

700

00

P/u stivhed

tværsnit/h*b/mm^2

Bjælkens stivhed, som funktion af tværsnit

Side 30

29

Som ses på grafen, så falder stivheden i takt med at spændvidden udvides. Grafen er Stivheden som funktion af spændvidden, altså spændvidden er variablen. Det passer meget godt overens med teorien, når forsøget viser at nedbøjningen er større under længere spændvidde end under korte spændvidde. Derfor kan der konkluderes at længden også er en afgørende faktor for bjælkens stivhed.

Δ𝑃 𝑢

=𝑆_{(}_{𝑙}_{)} =0,7982𝑙+ 844,28

l er spændvidden/længden mellem de to understøtninger og er målt i mm.

Begge eksperimenter bekræfter teoriens forudsigelser, med at tværsnittet og længden har afgørende indflydelse for bjælkens bøjningsstivhed.

Formlen for nedbøjning, u, med en centeret belastning: [43]

Δ𝑢=

𝑃⋅ 𝑙^{3}

48𝐸⋅𝐼

Her ses at længden eller spindvidden er opløftet i tredje, og dette betyder at jo større længde er des større bliver den numeriske værdi i tælleren, og da nævneren er en konstant vil Δ𝑢 vokser i takt med tælleren. Forsøget viser god overensstemmelse med denne formel og derfor passer teoriens forudsigelser.

Det samme gælder for bredden og højden, da de spiller en afgørende rolle for Inertimomentets værdi, I. Der vendes tilbage til formlen for I:

𝐼_{𝑥} =

𝑏ℎ^{3}

12

43

http://www.learneasy.info/MDME/MEMmods/MEM23061A/Bending/Bending.html

y = -0,7982x + 844,28
R² = 0,925

0

100

200

300

400

500

600

0 1200

P/u --- stivhed

spændvidde/mm

stivhed som funktion af spændvidden

Side 31

30

Og her ses der at dimensionerne for en bjælke afgør størrelsen af inertimomentet. Og da inertimomentet er en af faktorerne i nævneren i den førnævnte nedbøjningsformel, så vil nedbøjningen, Δ𝑢, bliver mindre når nævneren bliver større. Og dette giver god mening med at et større inertimoment udtrykker en mindre fleksibilitet for nedbøjning.

Som førnævnt så er E Youngs Modulus og er en konstant for materialet. Ved hjælp af disse formler, kan E beregnes for et af de trælister brugt i forsøget. Da alle oplysninger er tilgængelig kan E beregnes for bjælke eksempelvis 5. således:

𝐼_{𝑏𝑗æ𝑙𝑘𝑒 5} = = =853𝑚𝑚

𝑏ℎ^{3} 20𝑚𝑚⋅ 8𝑚𝑚^{3}

12 12

4

Og dette indsættes i formlen for nedbøjning:

Δ𝑢=

𝑃⋅ 𝑙^{3}

48𝐸⋅𝐼

Δ𝑢_{𝑏𝑗æ𝑙𝑘𝑒} =19𝑚𝑚

19𝑚𝑚=

1500𝑔⋅ 1000^{3} 𝑚𝑚
48𝐸⋅ 853𝑚𝑚^{4}

Elasticitets konstanten, E, for trælisten bjælke 5 findes ved hjælp af solve i Ti-Inspire cas værktøj:

𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒(19𝑚𝑚=,𝐸) 𝐸_{𝑏𝑗æ𝑙𝑘𝑒 5} =1,93

1500𝑔⋅ 1000^{3} 𝑚𝑚
48𝐸⋅ 853𝑚𝑚^{4}

Hermed er Elasticitets konstanten, E, for trælisten bjælke 5 fundet. Denne værdi burde være gældende for alle trælister, da de alle er af samme art.

Man kan diskutere de forhold der kan have indflydelse på emnets styrke og den maksimale belastning. Det kan være randbetingelserne, som kan have indflydelse bjælkens nedbøjning. Fx er der forskel på indspændte bjælker og simpelt understøttet bjælker. En anden faktor kunne være fordelingen af belastningen. Nedbøjningen afhænger af hvor vægten befinder sig på bjælken, om den er centeret, jævnt fordelt eller placeret forskudt fra midten. Mange af disse overvejelser skal tages i betragtning, når der arbejdes med bjælker. Andre forhold kan være bjælkens materiale og form.

Temperaturen spiller også en rolle, men betragtes som en mindre faktor, da der skal meget varme til at påvirke en bjælke bøjningsevne. Omvendt hvis der havde været frost, så ville emnets være klart stivere end under alm. Stuetemperatur.

Side 32

31

6.6 Fejlkilder og usikkerheder

Mange ting kan gå galt i et forsøg, som dette. Eksempelvis kan trælisterne have ændret form undervejs pga. af de tunge belastninger som kan omdanne trælisternes elastiske evne til plastisk. Hvis dette har fundet sted kan de permanente deformationer påvirker eksperimentets resultater, som også ses på graferne med spændvidden 500mm, så har 2 ud af 3 bjælke mistet deres elastiske evne undervejs.

En anden ting kan være usikkerhed ved aflæsning af skydelæren. Aflæsning med det blotte øje kan give usikre resultater, og derfor kan afvigelser i resultater forekomme.

7. Konklusion:

Hermed konkluderes, at bjælkelæren er et stort område indenfor statikken og har en afgørende rolle for konstruktioners kunnen og holdbarhed. Bøjningsforhold for bjælker og søjler afhænger af mange faktorer, bl.a. Inertimomentet, som er et udtryk for betydningen af bjælkens tværsnit, og Young Modulus, som er elasticitets konstanten og afhænger af materialet. Spændvidden for bjælker viste sig også at have stor betydning for nedbøjningen. Bjælkers nedbøjning kan findes vha. kurver, som kan beregnes ved hjælp af dobbelt integrationsmetoden af en 2. ordens differentialligning.

Nedbøjningskurver er et godt værktøj, da den fortæller den præcis nedbøjning i en bestemt længde fra understøtningen. Ydermere er randbetingelserne omtalt, og deres rolle for hvordan ligningerne for nedbøjning ser ud. Uden randbetingelser vil man ikke være i stand til at finde de konstanter der forekommer under integrationer. Et forsøg blev udført i forbindelse med projektet.

Via forsøget kunne de eksperimentale data sammenlignes teoriens forudsigelser og derfra konkludere at der er god overensstemmelse mellem dem. Bjælkerne, der blev brugt i forsøget, var en god måde at fortælle om vigtigheden af inertimomentet. Der konkluderes, at bjælker yder mere modstand, når de står på højkant end når de er fladt liggende. Dette gælder for både simpelt understøttet bjælker og indspændte. Forsøget gav mulighed til at bestemme en elasticitetskonstant for de trælister, der blev brugt.

Opgaven konkluderer altså kortfattet de basale elementer indenfor statikken og bjælkelærens store rolle i hverdagens konstruktioner.

Underskrift:___ _______________________________ _____

Side 33

32

8. Litteratur liste:

8.1 Bøger:

8.1.1 Singer, Ferdinand L.”Strength of Materials-second edition” Harper and Row publishers. Inc. 1951.(pdf)

8.1.2 Høgsberg, Jan og Steen Krenk, ”Statics and mechanics of structures”

Technical University of Denmark. 2011

8.1.3 Modelforsøg af bjælke.pdf notesæt DTU BYG af Henning Agerskov s. (pdf)

8.1.4 Feynman, Richard & Robert Leighton Matthew Sand,”The Feynman-lectures on physics” California institute of technology. 1964.

8.1.5 Beelen, Peter og Søren Thomsen, “Kursusnoter til DiploMat1.” institut for matematik, Danmarks universitet. 2011.

8.1.6 Kraige, L.G og J.L Meriam. ”engineering mechanics, Volume 1. Statics-seventh edition” Virginia Polytechnic Institute and State University, John

Wiley and sons, inc. 2012.

8.1.7 Mohr, Gumar m.fl.“Teknisk Ståbi” udgave 19.Nyt Teknisk Forlag 2007(pdf)

8.1.8 Markvorsen, Steen & Poul Hjorth mm. “Matematisk Analyse 1. Udgave 4.”

Institut For Matematik. 2000.

8.1.9 Carstensen, Jens ”Mat 3A” (anden ordens differentialligninger)

8.1.10 Matematiske Metoder i Konstruktionsmekanik. DTU (pdf)

8.2 Hjemmesider:

8.2.1 http://www.youtube.com/watch?v=GiqlC6bwD0g ”Areamoment of inertia

for a Circle Brain Wave”-forklaring for inertimoment i et rørformet emne.

8.2.2 http://www.youtube.com/watch?v=JA5nTvEU3MA ”Physics of life- Stress

and strain” forklaring af Tøjning og spænding, samt Youngs Modulus.

8.2.3 http://www.learneasy.info/MDME/MEMmods/MEM23061A/Bending/Bend

ing.html ”bending beams” formelsamling for nedbøjning.

8.2.4 http://www.youtube.com/watch?v=QR5mivx0xc0 ” Deriving Area Moment

of Inertia.MP4” forklaring af flade inertimoment for et rektangulært emne, samt udledning.

8.2.5 http://www.youtube.com/watch?v=7uuDNG8dne4&list=PL70E8AC178547
4B44&index=3 “English - Beam Deflection Using Double Integration

Method” forklaring af bjælke nedbøjningen og hvordan man udtrykker deres nedbøjningskurve vha. randbetingelser.

8.2.6 http://www.freestudy.co.uk/mech%20prin%20h2/outcome2t3.pdf

Side 34

33

8.2.7 http://www.iit.edu/arc/workshops/pdfs/Moment_Inertia.pdf inertimoment

mm.

8.2.8 http://toolboxes.flexiblelearning.net.au/demosites/series10/10_01/content/bc
gbc4010a/04_struct_members/01_beams/page_004.htm bjælkens

deformation

8.2.9 http://aarupconsult.dk/HTX/DogP_Ma/statikst.htm formelsamling
8.2.10 http://www.google.dk/imgres?sa=X&hl=da&qscrl=1&rlz=1T4GGNI_daDK545DK545&biw=1600&
bih=693&tbm=isch&tbnid=MFaNnnq2b8iptM:&imgrefurl=http://www.bygmax.dk/byggematerialer/
armeringsnet-staal/heb-
bjaelke.html&docid=PGL8YF9KtdMrmM&imgurl=http://www.bygmax.dk/media/catalog/category/h
eb_1.jpg&w=800&h=800&ei=d0SpUryuHKmAywOR2ICIAw&zoom=1&ved=1t:3588,r:5,s:0,i:95&
iact=rc&page=1&tbnh=194&tbnw=198&start=0&ndsp=22&tx=70&ty=62 I-bjælke bilag 10
8.2.11 http://en.wikipedia.org/wiki/Buckling Søjler
8.2.12 http://en.wikipedia.org/wiki/Euler-Bernoulli_beam_equation

9 Bilag bilag 10.

http://www.youtube.com/watch?v=JA5nTvEU3MA

figur a-10. inger, Ferdinand L.”Strength of Materials-second edition” Harper and Row publishers. Inc. 1951.(pdf)

Bilag 11.

Høgsberg, Jan og Steen krenk, ”Statics and mechanics of structures” s. 153

Side 35

34

Figur 17. Billede af forsøget i fysiklokalet, .

Figur 18. Billede af forsøget i fysiklokalet, .

Side 36

35

9.1 Bjælke dimensioner:

højde/mm bredde/mm

bjælke 1. | 5 | 20
bjælke 2. | 8 | 19
bjælke 3 | 3 | 15
bjælke 4. | 3 | 26
bjælke 5. | 8 | 20
bjælke 6. | 8 | 32
bjælke 7. | 8 | 66

bjælke 8. 12 12

9.1.1 Spændvidden 1000mm:

bjælke | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7

1.

nedbøjning(mm) 28 14,5 6,5 2,2 8,5 17 23

lodder vægt/g 500 250 100 40 140 300 400

bjælke | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7

2.

nedbøjning(mm) 3 2,7 8 9,5 17,5 23 28

lodder vægt/g 300 250 500 600 1100 1400 1600

bjælke | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7

3.

nedbøjning(mm) 9 22 10,5 3,2 52 42 19

lodder vægt/g 40 100 50 150 250 200 90

bjælke | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7

4.

nedbøjning(mm) 30 24 4 12 17,3 23 6,1

lodder vægt/g 250 200 40 100 150 190 50

bjælke | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7

5.

nedbøjning(mm) 7,7 14,7 21 19 24,5 28,6 37,3

lodder vægt/g 600 1100 1600 1500 2000 2200 3000

bjælke | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7

6.

nedbøjning 8 16,7 28 48,7 66 80 90 lodder vægt 1000 2000 3000 5000 6000 7000 7700

bjælke 7. | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7

nedbøjning 48,7 11 21 36,5 29 50,5 53 lodder vægt 10000 2300 4300 7300 6000 11000 12000 bjælke 1 2 3 4 5

8 nedbøjning 7 13 23 26 45 lodder vægt 500 1000 2000 3000 5000

Side 37

36

9.1.2 Spændvidden 750mm:

bjælke 2. | 1 | 2 | 3 | 4 | 5

nedbøjning 18 41,5 10,6 30 33 lodder vægt 2000 5000 1000 3500 4000

bjælke 5. | 1 | 2 | 3 | 4 | 5

nedbøjning 29 40 12 18 53 lodder vægt 5000 7000 2000 3000 10000

bjælke 6. | 1 | 2 | 3 | 4 | 5

nedbøjning 24 11,5 33,6 46 54 lodder vægt 5000 2000 7000 10000 12000

9.1.3 Spændvidden 500mm:

bjælke | 1 | 2 | 3 | 4 | 5

2.

nedbøjning 13 26,6 6 31 17 loddervægt 5000 10000 2000 12000 6000

Bjælke | 1 | 2 | 3 | 4 | 5

5.

nedbøjning 20 12 5 24 17

Lodder 10000 5000 2000 12000 6000 vægt

bjælke | 1 | 2 | 3 | 4 | 5

6.

nedbøjning 16 19,3 23 11 14 lodder 10000 12000 14000 5000 7000 vægt

Side 38

37

9.2 Grafer:

y = 60,077x y = 78,909x
R² = 0,9815 R² = 0,9951

0 0

500 1000

1000 | 2000
1500 | 3000
2000 | 4000

0 10 20 30 0

loddervægt/g

nedbøjning/mm nedbøjning/mm

Bjælke 2. 1000mm

loddervægt/g

Bjælke 5. 1000mm

y = 90,268x
R² = 0,9713

0

2000

4000

6000

8000

10000

0 50 100

loddervægt/g

nedbøjning/mm

Bjælke 6. 1000mm

y = 118,41x
R² = 0,9901

0 0

1000 | 2000
2000 | 4000
3000 | 6000
4000 | 8000

5000 10000

6000 12000

0 20 40 60 0 20 40 60

loddervægt/g

nedbøjning/mm nedbøjning/mm

Bjælke 2. 750mm

y = 180,66x
R² = 0,9908

loddervægt/g

Bjælke 5. 750mm

y = 216,36x
R² = 0,9928

0

5000

10000

15000

0 20 40 60

loddervægt/g

nedbøjning/mm

Bjælke 6. 750mm

Side 39

38

y = 377,79x
R² = 0,9946

0

2000

4000

6000

8000 8000

10000

12000

14000

0

loddervægt/g

nedbøjning/mm

Bjælke 2. 500mm

y = 478,75x
R² = 0,9743

0

2000

4000

6000

10000

12000

14000

0 10 20 30

loddervægt/g

nedbøjning/mm

Bjælke 5. 500mm

y = 581,5x
R² = 0,9199

0

5000

10000

15000

0 10 20 30

lodddervægt/g

nedbøjning/mm

Bjælke 6. 500mm