SOP om Fraktaler i Dansk A og Matematik A

Side 1

Fraktaler i Matematik og Dansk

Hovedfag: Matematik A

Bifag: Dansk A

Studieretningsprojekt på blabla blabla Gymnasium HTX

Uge 51 med aflevering den 19. december 2008

Vejleder gælder:

Lærer navn & lærer navn

HTX 3. år

Klasse

Side 2

Side 2 af 21

Indhold

Abstrakt ................................................................................................................................................ 2 Indledning til fraktal ............................................................................................................................. 3 Iterationer ........................................................................................................................................ 3 Det komplekse talplan ..................................................................................................................... 4 Kochs snefnug ...................................................................................................................................... 4 The Mandelbrot set.............................................................................................................................. 6 Videnskabssprog og formidlingssprog ................................................................................................. 9 Populær videnskabelig artikel ........................................................................................................... 12 Hvordan har jeg brugt formidling ...................................................................................................... 15 Konklusion .......................................................................................................................................... 15 Kildeliste ............................................................................................................................................. 16 Bilag .................................................................................................................................................... 17 Abstrakt

Fractal geometry are the world of fantastic colour and shape, and the most known fractal is the Mandelbrot set named after the great mathematician Benoit Mandelbrot.

The Mandelbrot set is one of the most extraordinary and beautiful discoveries in the entire history of mathematics. Yet it was discovered as recently as in the 1980s. The invention of the silicon chip in the 1970s created a revolution within the field of computers and communications but also the research of fractal gained from this.

Fractals as The Mandelbrot set is known as figures which have infinite precision and people has been fascinated by these figures since their discovery. What is so remarkable in fact astounding about the Mandelbrot set, although it is infinite complex it is based on incredible simple principles.

On like almost everything in modern mathematic in fact anybody who can add and multiply can understand the principles on which it is based

The Mandelbrot set is generated by a mathematics process called iteration. Iteration means to

repeat a process over and over again. The set is based on the nonlinear function Z = z^{2} + c, where c

is a complex constant and therefore we define it as: The Mandelbrot Set M consists of all of those

complex x-values for which the corresponding orbit of 0 under z^{2} + c does not escape to infinity.

This paper tries to talk about the mathematic behind the Mandelbrot set and disseminate the re-sults into an article. This article will be written so the everyday person can understand the princi-ples of fractal geometry.

Side 3

Side 3 af 21

Indledning til fraktal

Fraktaler er et forhold vis nyt emne inden for matematikken eller det vil sige at den moderne del af fraktal geometrien er nyt. Det var først med tilblivelsen af moderne computer teknik at det blev muligt at frembringe fraktaler i et omfang der gjorde det muligt at udlede større konklusioner.

Men allerede i blev grund tankerne lagt.

Fraktaler er kender mange fra smukke plane, geometriske figurer, som atter og atter genfindes i sig selv, når man zoomer ind på detaljer i figuren. Det er den polsk fødte matematiker Benoit Mandelbrot der indførte navnet fraktal geometri for dette område og er senere blevet navne fader til den mest kendte fraktal ’The Mandelbrot set’.

Figur 1: Billede af Mandelbrot settet. Den karakteristiske form ligner et insekt men samtidig kunne det også ligne et blad. Fælles for alle bud er, at det kun har været med til at gøre The Mandelbrot set endnu mere kendt. Det er bl.a. de flotte farver der har gjort at fraktaler er fascinerende.

Det er nærliggende at spørge hvad en fraktal er. En fraktal er en matematisk ligninger der gennem iteration (se under Iteration for beskrivelse af dette) danner flotte billeder. Man kan sige at frakta-ler alle har nogle ligheder.

• De er ikke differentiable

• De har en uendelig længde

• Begrænset Areal

• Ingen heltallig dimension

• Opstår alle ved iteration.

• Selv-Similar

Navnet fraktaler er nært tilknyttet til begrebet om dimensioner. Men for at kunne forklare er det nemmest at inddrage en fraktal, derudover kan vi også få vist hvordan vi kan sige at fraktaler har en uendelig længde med et begrænset areal. Vi kan her vælge at bruge Kochs snefnug, Sierpinski – trekanten, eller Cantor mængden. Vi vælger her Kochs snefnug, da denne både er nem at tegne samt giver en rigtig god mulighed for at forklare de forskellige definitioner af fraktaler, deriblandt selv similaritet, areal, længde og dimensioner.

Vi start dog med at forklare teorien vi bruger med fraktaler, Iterationer og komplekse tal.

Iterationer

Iteration betyder helt generelt gentagelse, hvilket vil sige at hvis man itererer så udfører man en operation et n antal gange. Som et eksempel på dette, kan vi sige at vi itererer operationen ’gange

med 2’. Hertil skriver vi en ligning for dette, 𝑥 =𝑥 ∗ 2
                                     𝑛+1   𝑛

Hvis vi nu siger at vi begynder med x = 5, derfor er x = 10, x = 20, x = 40, … Dette kan også skrive

0 1 2 3

som et normalt forskrift som vi kender fra en ret linie, f(x) = 2x og dette fører så til at vi kan give

n n en generel definition af iterationer.

Definition

Ved et iterativt system forstås en talfølge som z, z, z, z

0 1 2 3

Det gælder at hvor hvert element kun afhænger af det foregående ved en given iterationsfunk-

tion f og hvor det for n ≥ 0. Derfor kan vi skrive
𝒙_{𝒏+𝟏} =𝒇 ( 𝒙_{𝒏})

Side 4

Side 4 af 21

Rækken af z

0 1 2 3 0

, z

, z

, z kaldes for banen og z er begyndelsespunktet. Denne bruger også under punktet The Mandelbrot set hvor vi praktisk på iteration.

Det komplekse talplan

Når man støder på en kvadratrod som f.eks. √ −6 så får man et problem. Normalt vil man sige at

dette ikke kan lade sig gøre fordi at man ikke kan tage kvadratroden af negative tal. Dette er dog ikke rigtigt, for gør man det så kaldes dette tal et imaginært tal.

Disse imaginære tal indeholdes ikke af den reelle talakse eller tallinje som man også kan kalde den.

Denne linje kan beskrives som en ret linie med en positiv retning med 0 i midten og med negative, positive tal på henholdsvis venstre og højre side.

Den nævnte størrelse √ −6 vil kunne skrive som 3
√ −1. For komplekse tal er √ −1 defineret som i

derfor vil den nævnte størrelse også kunne skrive som 3i som altså er et komplekst tal. Komplekse tal kan sammenlignes med en vektor som vil blive tegnet i et x,y koordinatsystem. Vi kan ikke tegne komplekse tal i et sådan koordinatsystem. Derfor laver nu en ny akse, drejet 90˚ i forhold til aksen

Re. Vi får derfor et koordanat system for Re (de reelle tal) og Im (de imaginære).

Et komplekst tal kunne eksempelvis være 2-3i.

Dette tal vil tegnet som en vektor. 2 betyder at den skal to ud på den reele aksen mens den skal -

3 ud på den imaginære akse.

Vektoren for det komplekse tal opfattes gående fra Origo til punktet som er givet af det komplekse tal.

Kochs snefnug

Nu snakkede tidligere om hvad en fraktal er. Vi vil nu frembringe en fraktal kaldet Kochs snefnug og ikke overraskende så ligner denne et snefnug men samtidig kan vi med denne vi alle de sjove

egenskaber/kende tegn en fraktal har.

Figur 3: Det komplekse tal plan, af nogen også kaldet parameter planet

Figur 2: Den reelle talakse Re

Side 5

Side 5 af 21

Vi starter med at tegne den. Kochs snefnug fremkommer ved at man itererer en ligesidet trekant.

For at gøre det nemmere for os selv så siger vi at sidelængden er 1. Vi tager på den ene side og

fjerne midten 1/3 del inde fra hver hjerne. Sammen med det nu fjernede område dannes en ny

ligesidet trekant. Vi er nu kommet til trin 1 hvor trin 0 er vores start figur. Processen fra 0 til 1 gen-tages igen og vi får nu Kochs snefnug ved at gøre dette uendeligt. [1]

Figur 4: Frembringelse af Kochs snefnug.

Vi kan se på denne fraktal og vise at denne har en uendelig længde. Omkredsen må kunne siges at være antallet af liniestykker som der er fremkommet på n’te trin. På 0. trin er der 3 sider af frakta-

len og på 1. Trin ser vi at der nu er 3*4 stykker. Dette kan omskrives til at vi må kunne sige at for

hver gang der sker et trin så kommer 4 stykker ud fra 1. Derfor må antallet af liniestykker være

3*4^{n}. Ved 10. Trin må der derfor være 3*4^{10} = 3,146*10^{6} liniestykker, og vi kan se at antallet er

stærkt stigende.

Da det er en ligesidet trekant og oprindelig var længden 1 må de nye trekanter på 1. trin være en

1/3 af længden. Liniestykket på 2. trin igen være 1/3 af længden derfor kan vi skrive at længden af
                      𝑛

                     1
liniestykket er givet ved ( )
                     3

                                             1        4
                                         𝑛
Omkredsen af Kochs snefnug er derfor, 𝑂 =3 ∗ 4 ∗ ( ) =3 ∗ ( ) Da 4/3 > 1 vil O → ∞ for n
                                 𝑛
                                             3        3

𝑛 𝑛 n

→ ∞, hvilket må sige at der er en uendelig omkreds mens arealet er begrænset.

Selv-similaritet

Vi ser på Kochs snefnug. Man siger at, ved fraktaler kan detaljen være helbilledet. Dette betyder, tager vi f.eks. som på billedet til højre den, en lille del og forstørre op så vil vi kunne danne samme billede som før.

Dette oplever vi bl.a. i Mandelbrot mængden og Julia mængden som vi hører om senere. Vi ser her at når man zoomer på frakta-len så genkommer der mini udgaver af Mandelbrot (se billede i bilag 1)

1

Kochs snefnug er dannet med hentet program fra, http://www.efg2.com/Lab/FractalsAndChaos/vonKochCurve.htm

Figur 5: Selv similaritet af en fraktal.

Side 6

Side 6 af 21

Vi kan også se dette ud fra en anden fraktal. Under bilag 2 ligger der et billede af Sierpinski trekan-ten. Modsat Kochs snefnug er denne dannet ved at man har fjerne den midterste del af den ligesi-dede trekant givet ved sidelængden 1 på 0. trin. Ser på den øverste trekant kan man nemt forstille sig at denne trekant vil være mangen til den samlede Sierpinski trekant hvis den blot bliver forstør-ret og derfor er Sierpinski trekanten selv-similær.

Dimensioner

Vi kigger nu på dimensionen af denne fraktal. Det er givet at fraktaler ikke har en heltallige dimen-sion. Det kan være svært umiddelbart at give en dimension for fraktaler. Er det en streg, en flade eller måske en kasse. Vi kan selvfølgelig nemt afskrive en kasse for fraktaler er normalt flade. Dog kan vi ikke bestemme om det er en flade eller en streg

Vi siger at et punkt har dimensionen 0, en streg er 1, en flade er 2 mens en kasse er 3. [2] Vi får at den fraktale dimension d af en selv-similar mængde, er bestemt ved at,

𝑑=

log(𝐴𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑠𝑚å 𝑑𝑒𝑙𝑒 𝑖 𝑛æ𝑠𝑡𝑒 𝑡𝑟𝑖𝑛) log(𝐹𝑜𝑟𝑠𝑡ø𝑟𝑟𝑒𝑙𝑠𝑒𝑠𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑓𝑟𝑎 𝑙𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑡𝑖𝑙 𝑠𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙)

Dette kan vi så bruge til at finde dimensionen af vores Koch snefnug. Vi har at et liniestykke bliver

til 4 efter hvert trin mens længden bliver 1/3. Derfor

𝑑= =1,261859…

log(4) log ( 3)

Kochs snefnug er derfor hverken en streg men heller ikke en flade. Vi skal have i tanker at det er kurven og ikke selve snefnugget, der er fraktalen. Derfor kan man sige at Kochs snefnug er en streg men samtidig en flade.

The Mandelbrot set

Vi har nu fået forklaret de mest primære egenskaber ved fraktaler og vi er nu kommet til at kigge på den mest berømte og også det første fraktal som blev frembragt ved computer kraft nogensin-de. Vi taler nu om The Mandelbrot set også kaldet Mandelbrot mængden.

Mandelbrot mængden er givet ved en ganske simpel formel.

𝑍=𝑧^{2} + 𝑐

Som vi før har snakket om så dannes fraktaler ved iteration og dette gælder selvfølgelig også for Mandelbrot. Mandelbrot Mængden er givet ved bogstavet M og er defineret til at indeholde alle c-værdier der ved iteration ikke går mod det uendelige ved start i begyndelsespunktet z. Resultatet

0 ved en sådan iteration kaldes den kritiske bane, derfor kan man sige at hvis den kritiske bane for en given c - værdier der går mod uendelig får er denne c-værdi ikke med i Mandelbrot Mængden

2

Dette er defineret og forklaret uddybende på side 67 i Jesper Frandsen – Fraktaler og Komplekse tal

Side 7

Side 7 af 21

Som et tillæg til denne definition kan vi sige at, | 𝑐 | <2.^{3} Vi vil se at for større c-værdier så går den

kritiske bane mod uendelig ved iteration.

Under indledningen længere oppe så vi et billede af Mandelbrot. Alle værdier af c som ikke går mod det uendelige farves sorte mens alle andre værdier kan blive farvelagt. De flotte farver som man tit ser på billeder af Mandelbrot mængden er ikke tilfældige.

Man siger at farven bestemmes af hvor hurtigt c-værdierne for-svinder mod det uendelige. Dvs. værdier af c der går mod det uendelige efter 5-10 iterationer bliver en farve mens 10-15 bliver en anden farve.

Vi vil nu kigge på et par eksempler af iteration med Mandelbrot mængden. Under afsnittet om iteration fandt vi at en iteration

                   2
kan gives til, 𝑧 =𝑧 + 𝑐 . Dette kan vi nu bruge. Som defini-
           𝑛+1    𝑛

tion ved vi at for Mandelbrot skal vi starte med z altid og derud-

0 fra se om den kritiske bane går mod det uendelige.

I eksemplet her til højre ser vi hurtigt at denne iteration går mod

det uendelige. Derfor kan vi sige at c = 1+i ikke er en del af Mandel-

brot mængden.

I bilag 3 ligger der en anden iteration. Her ser vi hvordan den kritiske bane ikke går mod uendelig ved iteration og betragter vi den kritiske bane ser vi at denne virker periodisk. Selvom den kritiske bane efter f.eks. 5000 iteration ikke er begyndt at gå mod uendelig, så kan man principielt aldrig sige at den ikke vil gøre det. For at vide det kræver det at man itererer i al uendelighed.

Vi vil nu kigge på fikspunkter, præfikspunkter og perioder for fraktaler.

Fikspunkter, præfikspunkter og perioder

Vi så lige før i eksemplet med en c = -1 som ikke flygtede uendelig i sin kritiske bane. Dette skyldes

at punktet er med i Mandelbrot Mængden men samtidig så vi at dette punkt havde en periodisk kritisk bane. Derfor er det interessant at undersøge dette nærmere. Det er faktisk forkert at sige at

vi ikke ved om den kritiske bane c = -3 vil flygte til uendelighed på et tidspunkt. Man siger at hvis

en bane på et tidspunkt rammer en periodisk bane, er den kendt i al evighed og går ikke mod uen-

                                              2
delig. Vi starter med at bestemme fikspunkter for f(z) = z +c.

Et fikspunkt er givet ved at være f(z) = z derfor kan vi sige at z^{2}_{1}
– z + c = 0 hvilket giver os ved løsning i forhold til en anden-_{f}_{x( )}

           4
gradsligning.

𝑧=(1 ± √(1 − 4𝑐))/2

Vi kan se at grafen tegner en vandret anden grads graf og vi

kan derfor sige om fikspunkter for z^{2} + c at,

3

Dette er forklaret ved bevis af sætning 20 på side 95-96 i Jesper Frandsen – Fraktaler og Komplekse tal

4

Grund til dette er beskrevet på side 33 sætning 8 i Jesper Frandsen – Fraktaler og Komplekse tal Figur 6: eksempel på iteration af Man-delbrot mængde. Her ser vi hvordan den kritiske bane går mod uendelig.

1− 0.5− 0 0.5 1

1−

2 f x( ) x

Figur 7: tegner vi en graf for z, kan vi give et billede hvordan fikspunkter arter sig.

Side 8

Side 8 af 21

Hvis c tilhører R:

c = ¼: der er et fikspunkt, nemlig ½

c < ¼: Der er to reelle fikspunkter (kan kaldes 2 røder) c > ¼: Der er to imaginære fikspunkter, der er komplekst konjugerede. [5]

Vi kan også sige at hvis c tilhører C\R, vil der blive to imaginære fikspunkter.

Præfikspunkter er det næste vi vil kigge på. Skal et tal være præfikspunkt så er betingelsen at et tal

z efter netop 1 iteration går over i et fikspunkt. Derfor må f(z) = z og vil kan derfor gøre dette for at
bestemme præfikspunkter til z^{2} + c

𝑧^{2} + 𝑐= →𝑧=± − 𝑐

1 ± √ 1 − 4𝑐 1 ± √ 1 − 4𝑐

2 2

√

Med fikspunkter og præfikspunkter på plads kan vi nu forklare hvad vi bruger dem til. Dog skal vi dog lige hører om perioder. Når vi ser på en mængde som Mandelbrot så ser vi på hvordan den kritiske bane for Z arter sig når vi itererer på den. Vi har med c-værdien bestemt et lille punkt som n vi gerne vil vide om er i mængden. Dette punkt vil under iteration ’flytte’ sig rundt. Vi har allerede sagt at hvis den kritiske bane rammer en periodisk bane så ved vi at den ikke vil flygte mod uende-lig på noget tidspunkt. Det er nemmest at forklare perioder ved at bruge eksemplet fra Bilag 3. Når c er -1 går den hed og bliver -1, 0, -1, 0 når vi itererer på den. Vi kan se at der er en gentagelse i rækken og dette kalder vi for en periodisk bane. I dette tilfælde er det en periode-2-bane eftersom den kommer tilbage til udgangspunktet efter 2 iterationer. I bilag 4 ser vi et eksempel på en perio-

de-4-bane hvor vi kommer tilbage til udgangspunktet efter 4 iterationer. Siger man at c = 1i så får
man rækken i, -1+i, -i, -1+i, -i. Da start værdien for c ikke er en del af banen kalder man dette for

en præperiodiskbane. Gældende for alle periodiske baner, er at de alle er med i Mandelbrot Mængden M.

Periode og Mandelbrot ’kugler’

Perioder og Mandelbrot mængden hænger sammen. Vi vil nu prøve at forklare hvordan perioder kan bruges og i hvilken sammenhæng de har i forhold til Mandelbrot ’kugler’. Mandelbrot mæng-den består af en hovedkugle (en slags hjerte form). På dennes sider der uendelig mange cirkelrun-de kugler, som jeg kalder Mandelbrot kugler. Billedet herunder viser netop en sådan Mandelbrot kugle.

5

Vi vil ikke forklare dette nærmere, se på side 41 i Jesper Frandsen – Fraktaler og Komplekse tal r Figur 8: (til venstre) Billede af

Mandelbrot mængde forstørret

16 gange. Dette er en cirkulær-kugle som sidder på hovedkug-len af Mandelbrot. For denne

Mandelbrot Kugle gælder det at alle c-værdier er en periode-5

Side 9

Side 9 af 21

Mandelbrot kugler er cirkelrunde og har en ’antenne’ til sluttet. Fælles for alle disse kugler er at de har denne antenne, men også at denne antenne består af et n-antal stikker ud fra den. Der findes

en sammenhæng mellem antallet af disse antenner og så hvordan z^{2} + c virker. For at en c værdi er

en del af Mandelbrot mængden skal denne have en periode-n når den itererers. Den periode-n er nøjagtig den samme som antallet af antenner. Derfor må vi kunne sige for kuglen (på billede over) at denne må indeholde c-værdier for hvem der har en periode på 5, grundet de 5 antenner på ho-vedantenne.

Indledning til formidlings af videnskab

Vi har nu udforsket fraktaler og ved indgående hvordan vi laver Mandelbrot mængden ud fra ite-

ration af grund ligningen Z = z^{2} + c. Det vil være nærliggende at se på hvordan vi kunne formidle

dette stof til en udefrakommende der ikke har den store matematiske indsigt. Derfor kigger vi nu på videnskabssprog og formidlingssprog for at finde forskelle på disse. Derefter vil vi formidle vo-res fraktal viden til en populær videnskabelig artikel.

Videnskabssprog og formidlingssprog

Giver man en folk mennesker en skriftlig opgave, som ingen af dem har forberedt sig på, så tegner der sig et billede af, at det er vores baggrund og arbejde der bestemmer vores skrive form.

Vi siger at opgaven ’Hvordan ser dit værelse ud?’ bliver stillet og deltagerne bliver så bedt om at beskrive dette med ord. Der tegner sig så to hovedgrupper af skrive former. Vi taler her om en første hovedgruppe hvor præcist og et analyserende sprog kommer til udtryk, samt en anden ho-vedgruppe hvor skønlitterære træk kommer til udtryk såsom stemning, lys og lyde.

I flg. Leif Becker Jensen kaldes det automatsprog når mennesker helt uden at tænke over det, skri-ver på den måde de nu engang har lært og er vant til. Dette udtryk vælger vi også at bruge.

Mit værelse er et lille værelse på omkring 3 gange 2½ meter. Formen kan man kalde rektan-gulær. Mit vindue vender mod syd. Og overfor finder vinduet vi døren som ligger på den nord-lige væg. I hjørnet ved nordøst finder vi et skab som står fra gulv til loft, hvilet giver en højde på omkring 2 meter. (Eksempel på videnskabssprog i forhold til spørgsmålet ’hvordan ser dit værelse ud?’)

Midt på dagen strømmer solen ind af vinduet og rammer dovnet ned på gulvet imens den få de få støvkorn i luften oplyst. I et skyggefyldt hjørne står skrivebordet som så finde opbevare på rummets husalter, Computere. Her står den på sin tron på kongepladsen i det sol beskin-nede værelse. (Eksempel på formidlende litterært sprog i forhold til spørgsmålet ’hvordan ser dit værelse ud?’)

Figur 9: (Herunder) Her ser vi hvilke perioder de største Mandelbrot kugler har, som sidder på

Hovedkuglen af Mandelbrot mængden

Side 10

Side 10 af 21

Det vi kan se ud fra de to eksempler herover, er at vi kan se der er stor forskel mellem de måder som hovedgrupper kunne automatskrive. Begge er fremkommet ved at personen har brugt sin vante skriveform og ikke har været opmærksom på modtageren.

For videnskabssproget gælder det at, man her ser det i et objektivt fugleperspektiv. Vi vil ikke op-leve en personlig historie en snare en saglig nøjagtig kopi af det værelse vi beskriver. Beskrivelser vil kunne på måles på værelset. Den videnskabelige tekst vil være renset for alle subjektive og stemningsskabende elementer, såsom sollys, lugt og lyde.

Den formidlende tekst kan siges at være helt modsat. Perspektivet er her flyttes ned i øjenhøjde og dermed formidler teksten hvordan fortælleren opfatter værelset. Det kan siges at være et per-sonligt subjekt og gennem teksten skabes der en stemning af hvordan værelset er. Dette sker med brug af lyd, lys og lugte.

Det sidste eksempel formidler i langt højere grad en oplevelse mens den videnskabelige langt me-re er en klinisk og saglig version af værelset. Man kan ikke på nogen måde sige at den ene er bedre end den anden, for det hele handler om målgruppen og formålet med af teksten. Den første er udmærket som arkitekttegning, mens den anden er udmærket til at givet et levende indtryk af rummet, og disse er på hver sin måde en god beskrivelse.

Vi kan heller ikke sige at automatsprog Videnskabssprog Formidlingssprog er negativ, men det giver bare det ind-tryk at man ikke har fokus på modtage-ren. Dog kan man omvendt sige at vi ved automatsprog har den klare fordel at vi føler os trygge ved den og derfor kan vi sætte os ned og skrive denne form uden større spekulationer og overvejelser.

At formidle et område godt, er at vælge den rigtige skrive form. Netop den form som er velegnet til at fortælle en god historie.

Hvordan formidler man et område

Hvis man er udenforstående så er det ikke særlig sjovt at læse en tekst som er fyldt med ord og udtryk som er internt for forskere. Vi vil opleve at man ikke får meget ud af at læse teksten. Om-

vendt så er indholdet i denne tekst/rapport saglig korrekt og langt det mest præcise.

Bruges til at:

Analysere Fortælle

Definere Fortolke

Systematisere Udlægge

Derfor er det:

Statisk Dynamisk

Abstrakt Konkret

Generelt Specifikt

Billedfattigt Billedrigt

Logisk - ræsonnerende Narrativt upersonligt Personligt

Med

Overordnet synsvinkel Skiftende synsvinkel

Eksplicitte sammenhæn- Implicitte sammenhængen-ge de

Side 11

Side 11 af 21

Det hjælper bare ikke hvis man ikke kan det videnskabelige sprog. Efter at have læst en formidlen-de tekst, kan man nemt få en langt bedre følelse af at have forstået emnet. Som sagt skrive for-men skal vælges efter målgruppen. Forskere og mennesker det i forvejen kender grundreglerne for et emne vil finde en saglig korrekt tekst langt den bedste, mens andre hellere vil modtage ind-holdet i en koncentreret artikel som er forklaret formidlende.

Hvad er det så som gør, at vi føler at forståelsen i en populær videnskabelig artikel er bedre, end ved en videnskabelig afhandling fra en forsker? Det første er nok er at længden er stærkt begræn-set. Vi vil på kun 3-6 sider i en formidlende tekst få fortalt, hvad er måske står på 100 sider afhand-ling. På de få sider vil også få formidlet de vigtigste hovedtræk i emnet og dermed få en kort men ganske godt overblik over emnet.

Det som en populær videnskabelig gør, er at formidle det tunge stof fra afhandling på en form så alle kan forstå det. Det gøres ved at luge ud i sproget og fjerne de værste akademiske unoder så-som lange sætninger og fremmedord. Generelt er der en lang tradition for at opfatte popularise-ring først og fremmest som et spørgsmål om at forenkle en tekst, dvs. gøre komplicerede sagsom-råder enkle og forståelige.

Der ligger dog en risiko ved bare at forenkle en tekst. Vi risikerer bare at gøre en tekst kortere men ikke gøre den mere forståelig. Dermed er teksten bare en mere eller mindre tro udgave af origina-len. Det kan være lige så svært at forholde sig til en tekst om ’folk drikker’ som en tekst om ’popu-lationens alkoholindtagelse’.

Vi bruger derfor nogle virkemidler i fra skønlitteraturen når vi formidler vores område. Det kan være svært for en udefrakommende at forstå de fysiske gravitations love men siger man til gen-gæld at det er det der gør at ting falder når du slipper det i luften så ved folk pludselig hvad det er vi snakker om. Måske har ikke en fornemmelse af hvordan og hvorfor men de kan se det for sig og dette punkter det mest vigtige når man formidler. DON’T TELL IT, SHOW IT!

Hvis man skaber billeder af hvad det er vi snakker om og finder på sammenligninger fra modtage-rens hverdag så bliver det meget nemmere at forholde sig til en artikels indhold. Et billede siger mere en tusind for og det prøver man at bruge i den formidlende tekst.

Der findes utallige måder at skabe billeder hos læseren. Vigtigst af alle er at gør det abstrakte kon-kret. Det kan være umådelig svært at skabe et indre billede af universet størrelsesforhold uden et diagram over det. Det kan derfor være naturligt at forsætte det til noget som findes læserens dag-ligdags liv. Vi kunne meget bedre se afstanden for os hvis vi oversatte afstanden til en scaleret størrelse, altså 10 meter er nemmere at forstå en 10 mio. km.

En anden ting kan være at give artikel en handling. Skabe en historie som er nem for læseren at forstå og følge med i. Det kan være svært at fange det hele hvis teksten er fyldt med årstal. Hvis vi derimod skrev det som en udvikling i en novelle ville vi kunne fange læseren.

Personer kan inddrages i teksten. Hvis det nu føles som om det er en historie om en person som er levende kan det være nemmere at forstå det hele. Dette er et normalt punkt inden for journali-stikken. Man læser aldrig en artikel uden der er en eller anden form for personfortælling. Dette kunne være i form af, at vi hører et interview eller direkte for fortalt en historien om en person.

Dette giver ikke bare en troværdighed (f.eks. hvis det er en prof. Der udtaler sig om en sag inden

Side 12

Side 12 af 21 for hans fag område) for artiklen men giver også et personligt præg som gør det nemmere at indleve sig i teksten.

Vi vil nu gå ind og skrive en populær videnskabelig artikel om Fraktaler. Der vil være fokus i artiklen på at formidle emnet fraktaler, så det vil være muligt for en person der aldrig har læst om det vil forstå det.

Fraktaler – Hvad er det?

I begyndelsen af 80’erne begyndte der er at dukke billeder op af matematiske grafer med fascinerende farver. De var farverige og ikke lig noget verden hav-de set før. Den mest kendte er disse er Mandelbrot

Mængden som vi ser på forsiden af denne artikel.

”Jeg vil tro det var lige midt i 80’erne. Jeg deltog i et matematisk seminar, om noget helt andet. Alle tog hen til det foredrag, og her stod en her mand med nogle matematiske billeder. De havde nogle ekstraordinære farver og jeg har virkelig aldrig set noget lignede” Fortæller Ian Stewart som er Profes-sor på Matematisk institut ved Warwich University,

USA.

Det var ikke bare ham men også alle andre der blev fanget af disse billeder. Fraktaler er stadig et forholdsvis nyt forsknings område derfor også svært at definere. Men der er nogle punkter der er gæl-dende for de fleste fraktaler.

Fraktal kommer af det latinske ord ’fraktus’ og betyder dele. Dette giver os en fornemmelse af hvad et fraktal er, for navnet er ikke tilfældigt. Fraktaler består af en masse dele som i en sammenhæng giver os det samlede billede. Et fraktal er givet ved en gan-ske matematisk simpel ligning. Denne ligning skal gennem en matematisk gentagelsesproces kaldet iteration og vi kan herigennem dannes fraktalet

Side 13

Side 13 af 21

Kochs snefnug

Kochs snefnug er en af de allerførste fraktaler der nogensinde er blevet lavet. Dens natur er så enkel at alle mennesker har mulighed for at kan tegne den. Helge von Koch bragte i 1904 en artikel om denne figur han havde lavet, og den er siden blevet kaldt Kochs Snefnug. Det vist sig gennem hans beregninger at man kunne sige at denne figur havde en uendelig omkreds selvom dens areal var begrænset.

Hvordan kan noget have en uendelig omkreds, kunne man tænke sig. Det er mere simpelt end det lyder. Kochs Snefnug er dannet af en ligesidet trekant. Følger man tilblivelsen af snefnugget (til højre) ser vi at der dannes 4 nye sidestykker for hvert enkelt sidestykke når man går et trin videre.

⯈

⯈ Koch kunne regne at hver side måtte blive

4/3 større for hver gang han gik et trin videre den til der virkelig skete noget. Selvom frak-

og indsatte flere sidestykker i hans Snefnug.

De regler som Koch udregne i 1904 er i dag med til at definere hvad fraktaler er. Frakta-ler har alle en uendelig længde, hvilket bevir-ker at man kan at alle fraktaler er lige lange eller har lige stor omkreds.

Detaljen er også helheden. Dette siger man om fraktaler og vi kan nemt se det i for-hold til Kochs Snefnug. Tager man toppen af snefnugget, så vil man kunne forstørre den ene side op og igen få helheden. over 3 uger.

Den lange vej fra

Pierre Fatou og Gaston Julia sad i starten af

1900-tallet og udforskede områder af mate-matikken som på tidspunkt var helt nyt for alle. Julia og Fatou udviklede de metoder, der går det muligt i dag for os at frembringe bil-leder af fraktaler såsom Mandelbrot og Julia mængden. mængden. ⯈

Fatou og Julia lagde grunden for hvad der i dag er fraktalgeometrien men der skulle alli-gevel gå næsten 80 år fra de to lagde grun-taler og deres beregninger bygger på simpel matematik så var det først omkring 1980 at der virkelig som skred i tingene.

De to matematikere Adrien Douady og

John H. Hubbard sad i et laboratorium på

Bolton State University ved starten af 1980.

Computer kraften var disse år sensationelt røget i vejret da silicium chippen blev udvik-let. Gennem længere tid havde de lagt fun-damentet for de udviklinger der skulle ske

Benoit Mandelbrot er en polsk født mate-matikker og på det tidspunkt var han ansat hos IBM’s Research Center i New York. Han arbejdede i 1980 på en artikel om flergrads-ligninger i sammenhæng med komplekse tal, hvilket fik man til at grundlægge fraktaler. Da han mødte Douady og Hubbard begyndte det virkelig at gå stærk. I sammenarbejde starte-de de med at danne billeder af Mandelbrot

[I starten da de begyndte at lave billeder af Mandelbrot mængden fik de kun meget ringe billeder, som lignede med en klat.]

Side 14

Side 14 af 21

⯈ Mandelbrot mængden udviklede sig i de-res hænder. Mens de første resultater kun gav ringe fornemmelse af formen så kunne de ved at undersøge mindre område af mængden finde at de virkelig havde fat i no-get. Over tre uger undersøgte de tre, Man-delbrot mængden ved at lave det ene billede efter det andet, og til sidst havde de skabt en fornemmelse af Mandelbrot mængden som noget ekstraordinært. Disse billeder de frem-bragt var ikke bare total anderledes end man før havde set, de viste også at der virkelig var en masse forunderlige former og sammen-hænge inden for Mandelbrot Mængden.

Bjerge, kystlinjer og menneske liv

Det kan være svært at de hvordan vi bruger fraktalgeometrien i ude i den virkelige ver-den. Kan man skabe mad til de fattige, eller kan den løse problemet på den globale op-varmning. Nej det kan vi nok ikke. Det er svært at spå om hvad vi rent faktisk kommer til at bruge den til men forskningen har hidtil vist gode muligheder for anvendelse.

Hvordan kan man beskrive faconen af bjerge? Fraktalgeometrien har været god til at kunne beskrive faconer som vi under nor-male omstændigheder ville blive kaldt tilfæl-dige. Gennem den seneste forskning af frak-taler har det vist sig man kan lave billeder der øjensynligt ligner bjerge eller for den sags skyld skyer. geometrien. Derfor kan det være vi i fremti-

En ting er at man kan beskrive naturen med fraktalgeometrien en anden ting er at bruge den praktisk. Blandt matematikere gernes kanaler. ⯀ bliver der lavet sjov med at alle kystlinjer er lige lange, altså Danmarks kystlinje er lige så som Canadas. Det kan enhver se at den ikke er men kystlinjer er som fraktaler og derfor må vi kunne sige at den har en uendelig længde. Eftersom uendelig antaget ikke er en længde må vi kunne sige at alle kystlinjer er nul meter og derfor lige lange.

Bjerges og skyers faconer kan da næppe rede menneske liv, men alligevel kan de. Som det gælder for bjerge og skyer kan man i bio-logien bruge fraktalgeometrien. Det har også vist sig at vores blodårer i kroppen kan be-skrives som frataler, og ikke nok med det så følger luftkanalerne i lungerne også fraktal-den vil se nye teknologier bygget på vi ved hvordan vi samlet kan forklare formen af lun-

Side 15

Side 15 af 21

Hvordan har jeg brugt formidling

I min studieretningsaflevering her er der brugt begge skriveformer. Det er sket ud fra et valg af formål ved de to områder. Første del af rapporten her er en matematisk del hvor der primært bru-ges matematiske ord. Mens den anden del er omkring artiklen.

Der er tale om videnskabssprog ved område om matematikken og fraktaler. Det falder meget na-turligt at dette sprog vælges her. Vi taler om matematik og det videnskabelige sprog giver en saglig korrekt og præcis tekst. Det hjælper ikke meget hvis jeg ikke bruger de ord det nu hedder. F.eks.

kan vi nævne området om Iteration. Der ses her et område med en definition. For en udefrakom-mende der ikke ved hvad iteration er, og ikke har det store indblik ind i matematikken ville dette afsnit være svært og uforståeligt.

Modsat er det ved artiklen. Her har brugt et afsnit/faktaboks om iteration som giver et nemmere

billede af hvad vi snakker om. ’At lægge 10 til’ er en proces de fleste ville kunne finde ud af. Som underbygning for dette, kan vi også kigge på målgruppe for populærvidenskabelige blade såsom Illustreret videnskab. Det er primært menneske der godt kan regne og har en videnskabelig inte-resse der læser sådanne blade og derfor kan en populærvidenskabelig artikel også indeholde ma-tematik af en form, der er forklaret. Vi kan dog samtidig godt antage at målgruppen godt kan finde ud af simpel matematik.

Konkret har jeg brugt i artiklen at give den et personligt indhold. Det sker i form af et interview i starten, hvor Ian Stewart giver sin mening og oplevelse til udtryk om hvordan han første gang så fraktaler [6]. Dertil prøver jeg at bygge en historie op omkring hvordan fraktaler blev ’udvik-

let’/fundet.

Konklusion

Jeg har nu set på matematikken bag Mandelbrot mængden og undersøgt de forskellige matemati-ske begreber der ligger bag. Det giver en rigtig god fornemmelse af fraktaler og hvad de her.

Dette har vi brugt i vores arbejde med videnskabssprog og formidlingssprog. Der er stor forskel på disse og vi har set at der bruges to forskellige metoder til dem. Det videnskabelige sprog er brugt i den matematiske del om fraktaler og vi er gået videre med at formidle vores resultater her fra i en dansk populærvidenskabelig artikel.

Vi har fundet at Fraktaler som Kochs snefnug ikke kan sige at være en bestemt dimension og til-med har de en uendelig længde med et begrænset areal. Sammen med disse undersøgelser har vi set på Mandelbrot Mængden. Denne mængde er opdaget af Benoit Mandelbrot og har vist os sammenhænge mellem enkelte komplekse c-værdiers kritiske bane, perioder og hvordan de er placeret på Mandelbrot mængden.

Benoit Mandelbrot har skabt fraktalgeometrien som har ført til at vi kan se sammenhænge i for-mer som vi førhen kun så som kaos.

6

Citat stammer fra filmen, Fractals - The Colors Of Infinity. 1995. Instruktion: Nigel Lesmoir-Gordon.

Side 16

Side 16 af 21

Kildeliste

1. Frandsen, Jesper: Komplekse tal og fraktaler. 1. udg. Systime A/S, 1992. (Bog)

2. Frame, M. L. og B. B. Mandelbrot: Fractals, Graphics, & Mathematics Education. Side 61-68.

1. udg. The Mathematical Association of America, 2002. (Bog)

3. Gordon, Nigel Lesmoir m.fl.: Fractal Geometry. 1. udg. Icon Books Ltd., 2006. (Bog)

4. Jørgensen, Morten Colding: Kaos og Ikke-elefanter. 1. udg. Fremad, 1998. (Bog)

5. EUC Nord: Komplekse tal. 1. udg. EUC Nord, 0000. (Bog)

6. Jensen, Leif Becker: Ud af Elfenbenstårnet. I: Roskilde Universitetsforlag, 2. Oplag, 1995, s.

27-58 (Artikel/Bog)

7. Kaspersen, Søren: Omkring et billede. Gyldendal. 1993 Årg. 26, nr. 105 s. 60-64 (Artikel)

8. FLLO: Visuel Matematik. Udgivet af Flemming Lorenzen. Internetadresse:

http://www.fllo.dk/ - Besøgt d. (Internet)

9. Fractals - The Colors Of Infinity. 1995. Instruktion: Nigel Lesmoir-Gordon. Se mere op, In-

ternetadresse: http://www.imdb.com/title/tt0241317/ - Besøgt d. (Film)

Side 17

Side 17 af 21

Bilag

Herunder bilag er der lagt flere billeder som er beskrevet i opgaven. Herunder zoomede billeder af Mandelbrot samt eksempel på selv-similaritet i form af Sierpinski trekanten.

1.

Figur 10: Billede af udsnit af Mandelbrot ved ind zooming. Vi kan her se at det er den 8 kugle på selv mandelbrotsettet eftersom vi ser at der er 8 antenner ud fra hoved antennen på denne ’mini’ Mandelbrot.

2.

Figur 11: Billede af Sierpinski trekanten.

3.

c 1−:=

0 c+ 1−=

2

1−( ) c+ 0=

2

0( ) c+ 1−=

2

1−( ) c+ 0=

2

Side 18

Side 18 af 21

Figur 12: Eksempel af iteration ved en Mandelbrot mængde, hvor resultatet bliver at for c-værdien -1 går den kritiske bane ikke mod uendelig, men rammer et periode-2-bane

4.

Figur 13: Eksempel af iteration ved en Mandelbrot mængde, hvor resultatet bliver at for c-værdien -1,3 går den kritiske bane ikke mod uendelig, men rammer et periode-4-bane

c 1.3−:=

0 c+ 1.3−=

2

1.3−( ) c+ 0.39=

2

0.39( ) c+ 1.148−=

2

1.148−( ) c+ 0.018=

2

0.018( ) c+ 1.3−=

2

1.3−( ) c+ 0.39=

2

0.39( ) c+ 1.148−=

2