SOP om Fraktaler i Dansk A og Matematik A

Indledning til fraktal

Fraktaler er et forhold vis nyt emne inden for matematikken eller det vil sige at den moderne del af fraktal geometrien er nyt. Det var først med tilblivelsen af moderne computer teknik at det blev muligt at frembringe fraktaler i et omfang der gjorde det muligt at udlede større konklusioner. Men allerede i blev grund tankerne lagt.

Fraktaler er kender mange fra smukke plane, geometriske figurer, som atter og atter genfindes i sig selv, når man zoomer ind på detaljer i figuren. Det er den polsk fødte matematiker Benoit Mandelbrot der indførte navnet fraktal geometri for dette område og er senere blevet navne fader til den mest kendte fraktal ’The Mandelbrot set’. Det er nærliggende at spørge hvad en fraktal er. En fraktal er en matematisk ligninger der gennem iteration (se under Iteration for beskrivelse af dette) danner flotte billeder. Man kan sige at fraktaler alle har nogle ligheder.

Navnet fraktaler er nært tilknyttet til begrebet om dimensioner. Men for at kunne forklare er det nemmest at inddrage en fraktal, derudover kan vi også få vist hvordan vi kan sige at fraktaler har en uendelig længde med et begrænset areal. Vi kan her vælge at bruge Kochs snefnug, Sierpinski – trekanten, eller Cantor mængden. Vi vælger her Kochs snefnug, da denne både er nem at tegne samt giver en rigtig god mulighed for at forklare de forskellige definitioner af fraktaler, deriblandt selv similaritet, areal, længde og dimensioner. Vi start dog med at forklare teorien vi bruger med fraktaler, Iterationer og komplekse tal.

Iterationer

Iteration betyder helt generelt gentagelse, hvilket vil sige at hvis man itererer så udfører man en operation et n antal gange. Som et eksempel på dette, kan vi sige at vi itererer operationen ’gange med 2’. Hertil skriver vi en ligning for dette,  Hvis vi nu siger at vi begynder med x = 5, derfor er x = 10, x = 20, x = 40, … Dette kan også skrive som et normalt forskrift som vi kender fra en ret linie, f(x ) = 2x og dette fører så til at vi kan give en generel definition af iterationer.

Definition Ved et iterativt system forstås en talfølge som z , z , z , z Det gælder at hvor hvert element kun afhænger af det foregående ved en given iterationsfunktion f og hvor det for n ≥ 0.