Et eksempel fra STX 3.g
STX Matematik A 14. maj 2008 - Delprøven uden hjælpemidler
Brug materialet til at undersøge opbygning, metode og faglige valg.
Lær af eksemplet på 15 minutter
Læs med de tre spørgsmål herunder, og skriv et kort svar på hvert, gerne med et sidetal. Så har du noget konkret at tage med over i din egen opgave.
- 4 min
Vælg én opgave i sættet. Står der med ord, hvad der regnes ud, og hvorfor metoden passer?
- 4 min
Find et sted, hvor besvarelsen bruger en formel eller et hjælpemiddel. Kan du se, hvad hvert tal står for?
- 4 min
Tjek svaret på samme opgave. Har det enhed, hvor der skal være en, og står konklusionen som en hel sætning?
- 3 min
Din egen opgave: Tag den opgave i dit eget sæt, du er usikker på. Kan du skrive i én sætning, hvad du skal finde, før du regner?
Skal du selv til eksamen i faget? Prøveformen og hjælpemidlerne står her: Eksamen i matematik A, B og C
Om opgaven
Ophavet er ikke dokumenteret for denne post. Katalogoplysninger: STX 3.g, Matematik A, 5 sider. Brug materialet til at se, hvordan teksten er bygget op, og hvilke faglige valg der er truffet.
Læs, hvilke metoder matematik giver dig, og hvad du kan skrive en stor opgave om: Matematik i gymnasiet.
Hele opgavens tekst
Se originaldokumentetLæs teksten direkte her på siden. Figurer og den præcise opsætning af tabeller og formler finder du i originaldokumentet.
Vandrette streger fra nogle formler vises som ⎯ i teksten. Se originaldokumentet for deres placering og betydning i formlen.
Gå til en side
Side 1
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008
1
STX Matematik A
14. maj 2008
Delprøven uden hjælpemidler
STX081-MAA
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Opgave 1
Vektorerne 𝑎⃗ og 𝑏 er ortogonale når skalarproduktet er lig 0:
⎯ ⃗
𝑎⃗ · 𝑏 = 0
⎯ ⃗
⇕
( 𝑡 − 2) · 3 + 5 · ( −3) = 0 (𝐼)
⇕
3𝑡 − 6 − 15 = 0
⇕
3𝑡 = 21
⇕
𝑡 = 7
Tallet 𝑡, der gør vektor 𝑎⃗ og 𝑏
⎯ ⃗ ortogonale, er bestemt til 7.
(I)
𝑎⃗· 𝑏 = 0, 𝑎⃗ ⊥ 𝑏
⎯ ⃗ ⎯ ⃗
⇕
𝑎_{1} 𝑏_{1} + 𝑎_{2} 𝑏_{2} = 0Side 2
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008
2
Opgave 2
Når 𝑚 = 1 og 𝑛 = 2:
5 · 1 5
2 · 1^{2} + 3 · 1 · 2 8=
Udtrykket reduceres:
5𝑚
2𝑚^{2} + 3𝑚𝑛⇕
5𝑚
𝑚 · ( 2𝑚 + 3𝑛)
⇕
5
2𝑚 + 3𝑛
Opgave 3
𝑓 ( 𝑥) = 𝑥^{3} − 3𝑥^{2} + 4Funktionen differentieres:
𝑓^{′} ( 𝑥) = 3𝑥^{2} − 6𝑥 (𝐼)Ekstrema bestemmes:
𝑓^{′} ( 𝑥) = 0⇕
3𝑥^{2} − 6𝑥 = 0⇕
3𝑥· ( 𝑥− 2) = 0
Jf. nulreglen skal den ene faktor være lig 0. Dvs. at, at der er 2 løsninger til ligningen:
3𝑥 = 0
⇕
𝑥 = 0
Og
Side 3
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008
3
𝑥− 2=0
⇕
𝑥 = 2
Differentialkvotienten tjekkes på begge sider af ekstrema:
𝑓^{′} ( −1) = 3 · ( −1)^{2} − 6 · ( −1)
= −3 + 6
= 9𝑓^{′} ( 1) = 3 · 1^{2} − 6 · 1
= 3 − 6
= −3𝑓^{′} ( 3) = 3 · 3^{2} − 6 · 3
= 27 − 18
= 9𝑓 er voksende i intervallet ] − ∞;0] og [2;∞[
𝑓 er aftagende i intervallet [0;−2]
𝑓 har lokalt maksima i 𝑥 = 0
𝑓 har lokalt minima i 𝑥 = 2
(I) 𝑓 ( 𝑥) ………𝐹 ( 𝑥)
′
𝑥^{𝑎} …………𝑎· 𝑥𝑎−1
𝑘 ……………0
Opgave 4
∫ 𝑑𝑥
2𝑥
𝑥^{2} + 11
0
Integralet er en sammensat funktion, og løses derfor ved substitution i ubestemt integral:
Substitutionen bliver:
𝑢 = 𝑥^{2} + 1 (1)𝑑𝑢 𝑑𝑥
= 2𝑥 (𝐼)
Side 4
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008
4
⇕
𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥
⇕
𝑑𝑥 = (2)
𝑑𝑢
2𝑥
Udtrykket for u (1) og 𝑑𝑥 (2) substitueres ind i integralet:
∫ ·
2𝑥 𝑑𝑢 𝑢 2𝑥
= ∫ · 𝑑𝑢
1 𝑢
= ln ( 𝑢) + 𝑘
Udtrykket for 𝑢 (1) substitueres tilbage i integralet:
= ln ( 𝑥^{2} + 1) + 𝑘Det bestemte integral kan nu løses:
∫ 𝑑𝑥
2𝑥
𝑥^{2} + 11
0
= [ ln ( 𝑥^{2} + 1)]_{0}^{1}
= ln ( 1^{2} + 1) − ln ( 0^{2} + 1)
= ln ( 2) − ln ( 0)
= ln ( 2)(I) 𝑓 ( 𝑥) ………𝐹 ( 𝑥)
′
𝑥^{𝑎} …………𝑎· 𝑥𝑎−1
𝑘 ……………0
Opgave 5
Det er oplyst at de 2 trekanter er ensvinklede. 𝑥 kan da bestemmes ud fra forholdet mellem siderne:
| 𝐴𝐵 | | 𝐴𝑃 |
| 𝐵𝐶 | | 𝐶𝐿 |
=
⇕ 𝑥 30
200 − 𝑥 90
=
Side 5
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008
5
⇕ 𝑥 1
200 − 𝑥 3
=
⇕
𝑥 = · ( 200 − 𝑥)
1
3
⇕
3𝑥 = 200 − 𝑥
⇕
4𝑥 = 200
⇕
𝑥 = 50
𝑥 er bestemt til 50 cm.
Se opgaven i originaldokumentet eller gå til tekstens begyndelse.
Materialet
Fuld skærmOpgaven åbner, når du ruller ned til den.