STX Matematik A 15. august 2017 - Vejledende besvarelse

Side 1

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2017

1

STX Matematik A

15. august 2017

stx172-MAT/A-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp STX 3.g

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Delprøven uden hjælpemidler .......................................................................................................................... 2 Delprøven med hjælpemidler ........................................................................................................................... 7

Side 2

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2017

2

Delprøven uden hjælpemidler

Opgave 1

Arealet af trekanten er givet ved:

𝐴= ℎ · 𝑔

1

2

= | 𝐵𝐶 | · | 𝐴𝐶 |

1

2

Vi kender arealet af trekanten A = 15 og højden |BC| = 5. Vi indsætter kendte værdier og løser for siden

|AC|:

15= · 5 · | 𝐴𝐶 |

1

2

⇕

30=5 · | 𝐴𝐶 |

⇕

| 𝐴𝐶 | =

30

5

=6

Siden |AC| er bestemt til 6.

Opgave 2

( 𝑥+ 𝑦)^{2} + ( 𝑥−𝑦)( 𝑥+ 𝑦)

Vi reducerer udtrykket:

( 𝑥+ 𝑦)^{2} + ( 𝑥− 𝑦)( 𝑥+ 𝑦)
=𝑥^{2} + 𝑦^{2} + 2𝑥𝑦 + 𝑥^{2} − 𝑦^{2} (𝐼)
=2𝑥^{2} + 2𝑥𝑦

(I): Kvadratsætninger:

( 𝑥+ 𝑦)^{2} =𝑥^{2} + 𝑦^{2} + 2𝑥𝑦

( 𝑥− 𝑦)( 𝑥+ 𝑦) =𝑥^{2} − 𝑦^{2}

Side 3

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2017

3

Opgave 3

                                                                 -1
Vi har, at alle forskrifter betegner potensfunktioner. Forskriften for h(x) = x = 1/x, er den eneste af

forskrifterne, der ikke er defineret for x = 0, vi kan dermed konkludere, at grafen A er graf for h(x).
Forskriften for f(x) = 𝑥 = x^{0,5} har en eksponent der er mindre end eksponenten for g(x) hhv. 0,5 < 2, dvs. at
√

grafen for f(x) vil være mindre stejl end grafen for g(x), vi kan dermed konkludere, at grafen B er graf for f(x), samt at grafen C er graf for g(x).

Opgave 4

𝑓 ( 𝑥) =2ln ( 𝑥) − 𝑥, 𝑥>0

Vi bestemmer monotoniforhold for f. Vi bestemmer den afledede funktion f’(x):

𝑓^{′} ( 𝑥) = ( 2ln ( 𝑥) − 𝑥)^{′} (𝐼)
=2 · − 1

1 𝑥

Vi bestemmer nulpunkter til den afledede funktion f’:

𝑓^{′} ( 𝑥) =0

⇕

0=2 · − 1

1 𝑥

⇕

1=

2 𝑥

⇕

𝑥=

2

1

=2

Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunktet for den afledede funktion:

𝑓^{′} ( 1) =2 · − 1

1

1

=1

Side 4

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2017

4

𝑓^{′} ( 3) =2 · − 1

1

3

= − 1

2

3

= −

2 3

3 3

=−

1

3

Vi kan konkludere, at x = 2 betegner et maksimum.

Vi opskriver monotoniforhold for f.

f er voksende i intervallet ]0; 1]

f er aftagende i intervallet [1; ∞[

(I): Differentialkvotienter 𝑓 ( 𝑥) 𝑓 ( 𝑥)

′ 𝑙𝑛 ( 𝑥)

1 𝑥 𝑘𝑥 𝑘

Opgave 5

Vi benytter, at når diskriminanten er lig 0 dvs. d = 0, så har andengradsligningen netop én løsning.

Diskriminanten er givet ved:

𝑑=𝑏^{2} − 4𝑎𝑐

⇕

Dvs.

0= ( −4)^{2} − 4 · 4 · 𝑘

⇕

0=16 − 16 · 𝑘

⇕

16𝑘=16

⇕

𝑘=1

Andengradsligningen har netop én løsning, når tallet k er lig 1.

Side 5

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2017

5

Opgave 6

𝑥^{2} − 4𝑥 +𝑦^{2} − 2𝑦=20

𝑃 ( 5,5)

Vi undersøger om punktet P(5, 5) opfylder cirklens ligning:

5^{2} − 4 · 5 + 5^{2} − 2 · 5=20

⇕

25 − 20 + 25 − 10=20

⇕

5 + 15=20

⇕

20=20

Vi kan konkludere, at punktet P(5, 5) ligger på cirklen.

Linjens ligning består af en normalvektor () til linjen og et punkt (x_{1}, y_{1}) på linjen:

𝑎 𝑏

𝑎 ( 𝑥− 𝑥_{0}) + 𝑏 ( 𝑦 − 𝑦_{0}) =0

Vi omskriver cirklens ligning vha. kvadratkomplottering, så vi kan aflæse centrum C af cirklen:

𝑥^{2} − 4𝑥 +𝑦^{2} − 2𝑦=20

⇕

( 𝑥− 2)^{2} + ( 𝑦− 1)^{2} =20 + 4 + 1(𝐼)

⇕

( 𝑥− 2)^{2} + ( 𝑦 − 1)^{2} =25

Vi aflæser centrum af cirklen til C(2, 1).

Vi bestemmer en normalvektor til linjen som vektor 𝐶𝑃:

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

𝐶𝑃 =𝑃 − 𝐶

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

=() − ()

5 2

5 1

=()

3

4

Vi opskriver en ligning for tangenten til cirklen i punktet P:

3 ( 𝑥− 5) + 4 ( 𝑦 − 5) =0

Side 6

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2017

6

En ligning for tangenten til cirklen i punktet P er bestemt til udtrykket herover.

(I): Kvadratsætninger

( 𝑥− 𝑦)^{2} =𝑥^{2} + 𝑦^{2} + 2𝑥𝑦

Side 7

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2017

7

Delprøven med hjælpemidler

Opgave 7 a)

Det er oplyst, at forskriften er en eksponentiel model, vi bestemmer derfor en forskrift for N vha.

eksponentiel regression.

Vi opstiller tabel med data og foretager eksponentiel regression:

Tid (målt 1 2 5 6 7 9 10 11 i år)

Antal 24500 13600 3020 1800 1150 440 270 166 træer

(stk. pr.

ha)

Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 0,

𝑦=37322,722 · 0,60961452^{𝑥}

Vi opskriver forskriften for N:

𝑁 ( 𝑡) =37322,722 · 0,60961452^{𝑡}

Forskriften for N er bestemt til udtrykket herover.

b)

Vi definerer forskriften for N(t):

𝑁 ( 𝑡) ≔37322,722· 0,60961452^{𝑡}

Vi bestemmer antallet af træer i området 14 år efter tørlægning ved at bestemme N(14):

𝑁 ( 14) ≈36,53823

Ifølge modellen er antallet af træer 14 år efter tørlægning bestemt til 37 træer (afrundet op til helt træ).

c)

Vi definerer fremskrivningsfaktoren a: 𝑎≔0,60961452

Vi bestemmer halveringstiden ved:

Side 8

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2017

8

𝑇 =

1

2 log()

1

2 log ( 𝑎)

≈1,4005

Halveringstiden er bestemt til 1,40 år (afrundet til 2 decimaler).

Konstanten a betegner fremskrivningsfaktoren. Med fremskrivningsfaktoren a kan vi bestemme vækstraten r:

𝑟= ( 𝑎− 1) · 100%
≈−0,3903855· 100%
≈−39,03855%

Ifølge modellen aftager antallet af træer pr. hektar med 39,0 % for hvert år efter tørlægning (afrundet til 1 decimal).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 9

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2017

9

Opgave 8 a)

Funktionen er oplyst til at være en potensfunktion, vi bestemmer derfor tallene a og b med potensregression.

Vi opstiller tabel med data og foretager potensregression:

x | f(x)
3 | 17
5 | 102

Potens regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 1

𝑦=0,36050399 · 𝑥^{3,5075756}

Vi aflæser tallene a og b fra regressionsligningen herover:

Tallet a er bestemt til 3,5, og tallet b er bestemt til 0,36 (afrundet til 2 decimaler cifre).

b)

Vi definerer tallet a og vækstraten for den uafhængige variabel som r :
                                                        x

𝑎≔3,5075756

𝑟_{𝑥} ≔0,10

Vi bestemmer væksten for den afhængige variabel f(x), ved at løse for r_{y} i udtrykket herunder:

𝑟_{𝑦} + 1= ( 1 + 𝑟_{𝑥})^{𝑎}

⇕ Ligningen løses for r_y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑟_{𝑦} =0,3969729

Ifølge modellen vokser f(x) med 39,7 %, når x vokser med 10 % (afrundet til 1 decimal).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 10

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2017

10

Opgave 9 a)

Vi aflæser og definerer hhv. en retningsvektor for parameterfremstillingen for linjen l og en normalvektor for linjen m: 𝑙 ≔()

⃗

2

1

𝑛 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ≔( )
 𝑚

5

−1

Vi bestemmer vinklen mellem retningsvektoren for linjen l og normalvektoren for linjen m, som vinklen mellem to vektorer:

cos ( 𝑣) =

𝑙 · 𝑛 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯_{𝑚} ⎯ ⃗

⃗

| 𝑙 | | 𝑛 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ |
    𝑚

⃗

⇕ Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑣=37,874984

Vi bestemmer den spidse vinkel mellem linjen l og linjen m ved:

𝑤=90°− 37,874984°
=52,125016°

Den spidse vinkel mellem linjen l og linjen m er bestemt til 52,13° (afrundet til 2 decimaler).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 11

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2017

11

Opgave 10 a)

Vi bestemmer de kumulerede frekvenser og tegner en sumkurve for fordelingen af levendefødte børn med WordMats skabelon for grupperede observationer, resultatet kopieres herefter ind i besvarelsen.

Grupperede frekvenser:

Interval 55409

Fra Til

Hyp. Frekvens Kumuleret

30 35 138 0% 0%

35 40 166 0% 1%

40 45 699 1% 2%

45 50 8333 15% 17%

50 55 40611 73% 90%

55 60 5433 10% 100%

60 65 29 0% 100%

De kumulerede frekvenser kan aflæses i tabellen herover.

Sumkurve:

En sumkurve over fordelingen er givet herover.

0%

25%

50%

75%

100%

70

Kumm. frek.

Fødselslængde cm

Sumkurve

Side 12

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2017

12 b)

Vi bestemmer kvartilsættet for fordelingen af levendefødte børn med WordMats skabelon for grupperede observationer, resultatet kopieres herefter ind i besvarelsen.

Deskriptorer

Kvartilsæt

Mindste | 30
Nedre | 50,56
Median | 52,26
Øvre | 53,97
Største | 65

Kvartilsættet kan aflæses i tabellen herover.

Vi bestemmer procentdelen af levendefødte børn i populationen, der har en fødselslængde på højst 48 cm, som fraktil 48 cm med WordMats skabelon for grupperede observationer, resultatet kopieres herefter ind i besvarelsen:

Observation Fraktil

48 11%

Procentdelen af levendefødte børn, der højst er 48 cm lange, når de bliver født, er bestemt til 11 %.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 13

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2017

13

Opgave 11 a)

OBS: Husk at skifte til radianer, når der arbejdes med trigonometriske funktioner.

Vi definerer forskriften for f samt definitionsmængden for x:

𝑓 ( 𝑥) ≔9,24 · sin ( 0,0172 · 𝑥− 2,05) + 12,2

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 0≤𝑥≤365

Vi tegner grafen for f:

Vi bestemmer forskellen mellem dagtemperaturen på den koldeste- og den varmeste dag, som differensen mellem 2. koordinaten for hhv. maksimum og minimum.

Vi bestemmer nulpunkter for den afledede funktion f’:

𝑓^{′} ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=27,860679 ∨ 𝑥=210,51141

Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunkterne for den afledede funktion f’:

𝑓^{′} ( 20) ≈−0,021422243

𝑓^{′} ( 100) ≈0,15035262

𝑓^{′} ( 300) ≈−0,15884869

Side 14

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2017

14

Vi har at, at x = 27,860679 betegner et minimum, dvs. den dag på året med den laveste dagtemperatur, og
at x = 210,51141 betegner et maksimum, dvs. den dag på året med den højeste dagtemperatur.

Vi bestemmer temperaturforskellen mellem dagen med den laveste- og højeste dagtemperatur ved:

Δ𝑇=𝑓 ( 210,51141) − 𝑓 ( 27,860679)

≈18,48

Forskellen for dagtemperaturen mellem den koldeste- og varmeste dag er bestemt til 18,5 °C (afrundet til 1 decimal).

c)

Vi bestemmer f’(90):

𝑓^{′} ( 90) ≈0,13931977

Tallet f’(90) er bestemt til 0,14 °C / dag (afrundet til 2 decimaler).

Tallet f’(90) betegner hastigheden, hvormed dagtemperaturen udvikler sig på den 90. dag på året. Vi kan konkludere, at dagtemperaturen vokser med 0,14 °C på den 90. dag på året.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 15

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2017

15

Opgave 12 a)

Vi definerer forskriften for f(x), og ligningen for y: 𝑓 ( 𝑥) ≔

1

𝑥^{2} + 1

𝑦≔0,2

Vi bestemmer intervallet for arealet af M, som skæringspunkterne mellem f(x) og linjen y:

𝑓 ( 𝑥) =𝑦

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=−2 ∨ 𝑥=2

Vi bestemmer arealet af punktmængden M som differensen mellem arealet under grafen for f og arealet under grafen for y i intervallet [-2; 2] dvs.:

𝐴_{𝑀} =∫ 𝑓 ( 𝑥) − 𝑦𝑑𝑥

2

−2
=1,4142974

Arealet af punktmængden M er bestemt til 1,41 (afrundet til 2 betydende cifre).

b)

Vi bestemmer volumen af omdrejningslegemet, der fremkommer, når M drejes 360° omkring x-aksen, som differensen mellem volumen af omdrejningslegemerne, der fremkommer, når hhv. grafen for f og grafen for y drejes 360° omkring y-aksen i intervallet [-2; 2]:

𝑉_{𝑀} =𝜋· ∫ ( 𝑓 ( 𝑥))^{2} 𝑑𝑥 − 𝜋 · ∫ ( 𝑦)^{2} 𝑑𝑥

2 2

−2 −2

≈4,2321925

Volumen af omdrejningslegemet er bestemt til 4,23 (afrundet til 2 betydende cifre).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 16

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2017

16

Opgave 13 a)

Vi bestemmer stegens vægttab pr. døgn, når stegens vægt er 2500 g, ved at bestemme dM/dt, når M =

2500: 𝑑𝑀 𝑑𝑡

=123 − 0,06 · 2500
=−27

Stegens vægttab pr. døgn, når stegen vejer 2500g, er bestemt til 27 g.

b)

Vi bestemmer en model for M(t), ved at løse differentialligningen dM/dt med WordMat, vi benytter
startbetingelsen M(0) = 2650:

𝑀^{′} =123 − 0,06 · 𝑀
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen M(0)=2650
𝑀=600 · 𝑒^{−(3·} + 2050

𝑥

50

)

Vi definerer forskriften for M, som funktion af t:

𝑀 ( 𝑡) ≔600 · 𝑒^{−(3·} + 2050

𝑡

50

)

Vi bestemmer stegens vægt efter 30 døgn i køleskabet, ved at bestemme M(30):

𝑀 ( 30) ≈2149,1793

Stegens vægt efter 30 døgn i køleskabet er bestemt til 2149,2 g (afrundet til 1 decimal).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 17

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2017

17

Opgave 14 a)

Vi benytter, at højden h udgør modstående katete i den retvinklede trekant, der udspændes af punkterne A

og B med grundlinjen g = y. Vi benytter Pythagoras’ læresætning, og løser for h, hvor h > 0:

𝑥^{2} =𝑦^{2} + ℎ^{2}

⇕ Ligningen løses for h vha. CAS-værktøjet WordMat. med følgende antagelser/definitioner: ℎ>0
ℎ= √ 𝑥^{2} − 𝑦^{2}

Et udtryk for h, udtrykt ved x og y, er bestemt til udtrykket herover.

Arealet af en trekant er generelt givet ved A = ½ h · g, dvs. arealet af trekant ABC er givet ved:

𝐴_{𝐴𝐵𝐶} = · ℎ · 2𝑦

1

2

= √ 𝑥^{2} − 𝑦^{2} · 2𝑦

1

2

=𝑦· √ 𝑥^{2} − 𝑦^{2}

Udtrykket for arealet af trekant ABC er identisk med udtrykket i opgaveformuleringen, vi har dermed gjort rede.

b)

Omkredsen af trekanten kan beskrives ved O = 2x + 2y. Det er oplyst, at omkredsen af trekanten er lig 10, vi

benytter dette og bestemmer et udtryk for y udtrykt ved x, ved at løse for y i udtrykket herunder.

10=2𝑦 + 2𝑥

⇕ Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦=−𝑥+ 5

Et udtryk for y udtrykt ved x er bestemt til udtrykket herover.

Vi bestemmer et udtrykt for trekantens areal udtrykt ved x, ved at indsætte udtrykket for y udtrykt ved x ind i udtrykket for trekantens areal bestemt i opg a) dvs.:

𝐴_{𝐴𝐵𝐶} = ( −𝑥+ 5) · √ 𝑥^{2} − ( −𝑥+ 5)^{2}

Vi definerer udtrykket for trekantens arealet som funktion af x samt definitionsmængden for x:

𝐴_{𝐴𝐵𝐶} ( 𝑥) ≔ ( −𝑥+ 5) · √ 𝑥^{2} − ( −𝑥+ 5)^{2}

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 2,5<𝑥<5

Side 18

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2017

18

Vi bestemmer den værdi for x, der giver trekanten det største areal ved at optimere A_{ABC} (x). Vi bestemmer

nulpunkter til den afledede funktion A’ (x).
                                ABC

𝐴_{𝐴𝐵𝐶}^{′} ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=

10

3

Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunktet for den afledede funktion:

𝐴_{𝐴𝐵𝐶}^{′} ()≈2,236068

9

3

𝐴_{𝐴𝐵𝐶}^{′} ()≈−1,4638501

11

3

Vi har, at x = 10/3 er et maksimum.

Vi kan konkludere, at værdien for x, der giver trekant ABC det største areal, er bestemt til x = 10/3.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 19

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2017

19

Opgave 15 a)

Med forklaringen i opgaveformuleringen in mente bestemmer og definere vi koordinatsættene til hvert af punkterne A, B, C og D:

𝐴≔( 0)

1

0

𝐵≔( 2)

1

0

𝐶≔( 1)

2

2

𝐷≔( 1)

0

2

Koordinatsættene til punkterne hhv. A, B, C og D er bestemt herover.

b)

Vi bestemmer hhv. vektor 𝐴𝐶 og vektor 𝐴𝐵:

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

𝐴𝐶 =𝐶− 𝐴

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

=( 1)

1

2

𝐴𝐵 =𝐵− 𝐴

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

=( 2)

0

0

Vi definerer hhv. vektor 𝐴𝐶 og vektor 𝐴𝐵:

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

𝐴𝐶 ≔( 1)

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

1

2

𝐴𝐵 ≔( 2)

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

0

0

Vi bestemmer arealet af trekant ABC som halvdelen af den numeriske værdi for krydsproduktet mellem hhv. vektor 𝐴𝐶 og vektor 𝐴𝐵.

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

Side 20

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2017

20

𝐴_{𝐴𝐵𝐶} = · | 𝐴𝐶 × 𝐴𝐵 |

1

2

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

≈2,236068

Arealet af trekant ABC er bestemt til 2,24 (afrundet til 2 decimaler).

c)

Vi bestemmer en ligning for planen, der indeholder trekant ABC. Planens ligning består af et punkt (x_{0}, y_{0},

z_{0}) og en normalvektor til planen 𝑛 ⎯ ⃗ = ( 𝑏):

𝑎 𝑐

𝑎 ( 𝑥− 𝑥_{0}) + 𝑏 ( 𝑦 − 𝑦_{0}) + 𝑐 ( 𝑧 − 𝑧_{0}) =0

Vi bestemmer en normalvektor til planen, som krydsproduktet mellem vektor 𝐴𝐵 og vektor 𝐴𝐶:

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

𝑛 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯_{𝐴𝐵𝐶} ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ =𝐴𝐶 × 𝐴𝐵

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

=( 0)

−4

2

Vi vælger A som det kendte punkt, og opskriver en ligning for planen, der indeholder trekant ABC:

−4 · ( 𝑥− 1) + 0 · ( 𝑦 − 0) + 2 · ( 𝑧− 0) =0

Vi bestemmer projektionen af punktet D på trekant ABC, som projektionen af punktet D på planen, der indeholder trekant ABC. Projektionen bestemmes som skæringspunktet mellem linjen, der står vinkelret på planen, der indeholder trekant ABC og går igennem punktet D. Vi bestemmer en parameterfremstilling for denne linje. Retningsvektoren for linjen, vil være lig normalvektoren til planen. Vi bestemmer en normalvektor til planen, der indeholder trekant ABC:

𝑟⃗=𝑛 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗
     𝐴𝐵𝐶

Vi opstiller en parameterfremstillingen for linjen, hvor det kendte punkt betegner punktet D:

( 𝑦) =( 1) + 𝑡· ( 0)

𝑥 𝑧

0 −4

2 2

Vi bestemmer parameterværdien t, der betegner skæringspunktet mellem linjen og planen, ved at indsætte hhv. de tre koordinatligninger for parameterfremstillingen i planens ligning, og løse for t:

−4 · ( ( 0 + 𝑡· ( −4)) − 1) + 0 · ( ( 1 + 𝑡· 0) − 0) + 2 · ( ( 2 + 𝑡 ·2) − 0) =0

⇕ Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑡=−

2

5

Side 21

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2017

21

Vi bestemmer skæringspunktet mellem linjen og planen:

( 𝑦) =( 1) + (−) · ( 0)

𝑥 𝑧

0 −4

2 2

2

5

= 1

⎝ 5 ⎠

⎜ ⎟

⎛ ⎞

8

5

6

Koordinatsættet til projektionen af punktet D på trekant ABC er bestemt til (8/5, 1, 6/5).