STX Matematik A NET 2012 25. maj - Delprøve 2 med netadgang

Side 1

Skriftlig matematik STX A 1stx121-MATn/A-

Alle formlerne i nedenstående besvarelse henviser til Matematisk formelsamling stx A fra 2007.

Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formelnumre i løsningerne, er så du præcist kan se hvilken formel, der bruges til at løse opgaven.

Opgave 11 a)

For at lave regression på dataet defineres det på TI-𝑛spire CAS. Da 𝑡 angiver tidspunktet i år efter 2003, trækkes 2003 fra samtlige årstal.

Dataet defineres og der udføres eksponentiel regression.

Værdierne 𝑎 og 𝑏 aflæses til 𝑎≈1,941 og ≈420,998

Bemærk: TI-𝑛spire CAS bruger symbolerne 𝑎 og 𝑏 modsat af hvad opgave teksten gør. Lignende ses ofte når TI-𝑛spire CAS bruges til at løse opgaver på gymnasiet. Man bør derfor være særlig opmærksom på hvordan symbolerne indgår i udtrykkene.

Side 2

Skriftlig matematik STX A 1stx121-MATn/A-

b)

Fordoblingstiden bestemmes ved, jf. formel 99

𝑇_{2} =

ln2 ln𝑎

Fordoblingstiden er altså ca. 1,04 år.

c)

Det år hvor Kinas samlede vindmøllekapacitet oversteg USAs bestemmes ved at løse uligheden 𝑘 ( 𝑡) >𝑢(𝑡)

Uligheden løses.

Kinas samlede vindmøllekapacitet oversteg altså USAs samlede vindmøllekapacitet i løbet af år 2009.

Side 3

Skriftlig matematik STX A 1stx121-MATn/A-

Opgave 12 a)

Differentialligningen 𝑑𝑀 𝑑𝑡

=5,1742 − 0,1584𝑀

med startbetingelsen

𝑀 ( 0) =20

løses.

En forskrift for 𝑀 er givet ved

𝑀 ( 𝑡) =32.6648 − 12.6648⋅ 0,853508^{𝑡}

b)

Ved at betragte funktionen ses det umiddelbart at den er streng voksende med grænseværdien 32,6648

for 𝑥→∞. Den øvre grænse for kulstof-13-indholdet i Pintadoens muskelvæv er altså ca. 32,66 ‰.

Grafen for 𝑀 er skitseret herunder.

Side 4

Skriftlig matematik STX A 1stx121-MATn/A-

Side 5

Skriftlig matematik STX A 1stx121-MATn/A-

Opgave 13 a)

For at lave det ønskede skema åbnes filen bilag 1 i Microsoft Excel. Feltet dreng under sjældent beregnes ved hjælp af formlen

=SUMPRODUKT((A2:A450=”dreng”)*(B2:B450=”sjældent”))

De fem andre manglende felter beregnes tilsvarende.

Formlerne kan ses herunder.

Skemaet bliver sjældent en_to_pr_måned ugentligt Total dreng 72 124 9 205 pige 57 158 29 244

Total 129 282 38 449 b)

Da der testes for uafhængig mellem køn og hyppigheden af biografbesøg, bestemmes de forventede værdier ved hjælp af funktionen chi22way. På TI-𝑛spire CAS defineres dataet i en matrix og beregningerne foretages. Endelig udskrives de forventede værdier.

En matrix laves i TI-𝑛spire CAS ved under menuen at vælge 7: Matricer og vektorer 1: Opret 1:

🡪

🡪

Matrix…

                                                          2
Da samtlige forventede værdier er større end 5 udskrives resultatet af 𝜒 -testen.

Side 6

Skriftlig matematik STX A 1stx121-MATn/A-

Således fås at 𝜒^{2} ≈13,081. Med en frihedsgrad på 2, giver dette en p-værdi på ca. 0,0014=0,14 %.

Da p-værdien er mindre end 5 % må 𝐻_{0} forkastes. Der er altså fundet en sammenhæng mellem køn og

hyppigheden af biografbesøg, der er statistisk signifikant på 5 % niveau.

Side 7

Skriftlig matematik STX A 1stx121-MATn/A-

Opgave 14 a)

Da det gives at scenegulvet ligger i en plan, kontrolleres dette ikke. For at bestemmes en ligning for planen 𝛼 bestemmes først en normalvektor til planen.

Normalvektoren er

𝑛 ⎯ ⃗ =( 0)

20

200

En ligning for planen bestemmes ved at hjælp af, jf. formel 71

𝑎 ( 𝑥− 𝑥_{0}) + 𝑏 ( 𝑦 − 𝑦_{0}) + 𝑐 ( 𝑧− 𝑧_{0}) =0

En ligning bestemmes.

En ligning for planen 𝛼 er således givet ved

Side 8

Skriftlig matematik STX A 1stx121-MATn/A-

20𝑥 + 200𝑧− 200=0

b)

For at bestemmes koordinater til punktet 𝐹 bestemmes først den værdi af 𝑡 for hvilken 𝑙 skærer 𝐹. Dette gøres ved i ligningen for planen herover at indsætte parameterfremstillingen for 𝑙 og derefter løse ligningen for 𝑡.

                                              1
Nu kan koordinaterne bestemmes ved at indsætte 𝑡=− i parameterfremstillingen for 𝑙.
                                              2

Punktet 𝐹 er således givet ved

𝐹=(5,11,)

1

2

Side 9

Skriftlig matematik STX A 1stx121-MATn/A-

Opgave 15 a)

Æskens volumen er givet ved produktet af bundens areal og sidernes højde. Bundens areal fås ved, jf.

formel 29

𝑇= ⋅ 𝑎⋅ 𝑏 ⋅sin𝐶

1

2

Således bliver volumen

𝑉= 𝑥^{2} ⋅ sin60° ⋅ ℎ= 𝑥^{2} ⋅ ℎ ⋅ = 𝑥^{2} ℎ

1 1 √ 3 √ 3

2 2 2 4

Volumen af æsken er altså

𝑉= 𝑥 ℎ

√ 3_{2}

4

Den halve overflade er summen af arealet af bunden og arealerne af de tre sider.

𝑂=2( 𝑥^{2} ⋅ sin60° + 3 ⋅ 𝑥ℎ)=𝑥^{2} ⋅ + 6𝑥ℎ=𝑥 ( 𝑥+ 6ℎ)

1 √ 3 √ 3

2 2 2

Overfladen af æsken er altså

𝑂=𝑥 ( 𝑥+ 6ℎ)

√ 3

2 b)

For at bestemmes overfladearealet udtrykt ved 𝑥 bestemmes først ℎ udtrykt ved 𝑥. Dette kan gøres da det givet af rumganget skal være 75.

Side 10

Skriftlig matematik STX A 1stx121-MATn/A-

Æskens overfladeareal kan altså udtrykkes ved 𝑥 som

𝑂 ( 𝑥) =

√ 3 ⋅

( 𝑥^{2} + 1200)

2𝑥

Den værdi af 𝑥∈] 0;20 [ der gør æskens overfladeareal mindst bestemmes ved funktionsanalyse.

Nulpunkterne for den første afledede bestemmes, og fortegnet for den afledede bestemmes i hvert af de intervallet nulpunkterne inddeler] 0;20 [ i.

Det ses således at 𝑂 aftager indtil ca. 8,43 og vokser derefter. Den værdi af 𝑥 for hvilken 𝑂(𝑥) er altså ca.

8,43.

Bemærk: Da der er tale om en beholder hvis dimensioner angives i måleenheder (her centimeter), angives resultaterne med tilnærmerede decimal i stedet for blot eksakte værdier. Til nærmede værdier fås ved at trykke på ctrl inden der trykkes på enter.

Side 11

Skriftlig matematik STX A 1stx121-MATn/A-

Opgave 16 a)

I Excel kan laves to nye søjler. En hvor der kun forekommer sengetider for drenge og en kun for piger. Ved hjælp af formlen

=HVIS(A2="dreng";B2;"")

kommer en værdi kun med hvis den er for en dreng. Denne formel trækkes hele vejen ned til enden på data sættet. En tilsvarende søjle lavet for pige. Forekommer drengenes værdier i søjlen C og pigernes i D, kan de ønskede tal nu bestemmes ved drenge piger

min =MIN(C2:C450) =MIN(D2:D450)
1.kvartil =FRAKTIL(C2:C450;0,25) =FRAKTIL(D2:D450;0,25)
median =MEDIAN(C2:C450) =MEDIAN(D2:D450)
3.kvartil =FRAKTIL(C2:C450;0,75) =FRAKTIL(D2:D450;0,75)
max =MAKS(C2:C450) =MAKS(D2:D450)

Det giver værdierne drenge piger min 20 20

1.kvartil 22,5 22 median 23 22,5

3.kvartil 23,5 23 max 25 25

Kvartilsættene er altså

Drenge: ( 22,5;23;23,5)

Piger: ( 22;22,5;23)

Ved hjælp af disse tal kan de to boksplot nu tegnes.

Side 12

Skriftlig matematik STX A 1stx121-MATn/A-

b)

Lad 𝜇_{1} og 𝜇_{2} hhv. betegne middelværdien for drengenes (1) og pigernes (2) sengetider.

Vi ønsker at teste:

𝐻_{0}: 𝜇_{1} =𝜇_{2}

For at bestemme om nulhypotesen kan forkastes på et 5 % signifikansniveau estimerer først middelværdierne og varianserne under denne model (ens varians).

Der er 205 drenge og 244 piger. Middelværdien for drengene hhv. pigerne fås til

𝑚_{𝑦}_{1} ≈22,90122 hhv. 𝑚_{𝑦_{2}} ≈22,51742

Varianserne estimeres til

𝑠_{1}^{2} ≈0,55116 hhv. 𝑠_{2}^{2} ≈0,56683

Middelværdierne og varianserne bestemmes lettest ved hjælp af Excel. Lav en kolonne kun med drengenes værdier og en kun med pigernes. Dette gøres lettest ved at bruge HVIS kommandoen.

Middelværdierne hhv. varianserne bestemmes med kommandoerne MIDDEL hhv. VARIANSS.

Da der er 205 drenge og 244 piger bliver den samlede varians da

𝑠^{2} = ≈ ≈0,55968

𝑠_{1}^{2} ⋅ ( 𝑛_{1} − 1) + 𝑠_{2}^{2} ⋅ ( 𝑛_{2} − 1) 0,55116 ⋅ ( 205 − 1) + 0,56683 ⋅ ( 244 − 1)
( 𝑛_{1} − 1) + ( 𝑛_{2} − 1) ( 205 − 1) + ( 243 − 1)

Teststørrelsen 𝑡 kan da bestemmes

Side 13

Skriftlig matematik STX A 1stx121-MATn/A-

𝑡= ≈ ≈4,64456

𝑚_{𝑦_{1}} − 𝑚_{𝑦_{2}} 22,90122 − 22,51742

√ 𝑠^{2} ⋅ ( +) √

1 1

𝑛_{1} 𝑛_{2}

0,55968 ⋅ ( +)

1 1

205 244

Frihedsgraden bliver 𝑓 = ( 205 − 1 ) + ( 244 − 1 ) =447. Nu kan T-fordelingen bestemmes ved hjælp af
                  1

=T.FORDELING(4,64456;447;SAND)

i Excel. Der fås

𝐹_{𝑡} ≈0,999997756

Endelig bestemmes sandsynligheden

𝑝=2 ⋅ ( 1 − 𝐹_{𝑡}) ≈2 ⋅ ( 1 − 0,999997756) ≈4,48837 ⋅ 10^{−6} ≈0,00045 %

Nulhypotesen må altså forkastes på et 5 % signifikansniveau.