STX Matematik A 28. maj 2015 - Delprøven uden hjælpemidler

Side 1

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 28. maj 2015

1

STX Matematik A 28. maj 2015

Delprøven uden hjælpemidler

2stx151-MAT/A-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Opgave 1

Da antallet af slædehunde, som forsvinder årligt, er konstant, kan vi beskrive udviklingen ved en lineær model på formen:

𝑁(𝑡) = 𝑎 · 𝑡 + 𝑏, 0 ≤ 𝑡 ≤ 10

𝑁(𝑡) angiver antallet af slædehunde 𝑡 angiver antal år efter 2001

𝑎 angiver den årlige tilvækst af slædehunde. Det vil sige, at 𝑎 = −1135
𝑏 angiver 𝑁 ( 0) = 21365

Den endelige model bliver nu:

𝑁 ( 𝑡) = −1135 · 𝑡 + 21365 0 ≤ 𝑡 ≤ 10

Opgave 2

Hvis de to vektorer er ortogonale, må der gælde, at:

𝑎⃗ · 𝑏 = 0

⎯ ⃗

Det vil sige, at:

5 · 𝑡 + ( −1) · 3 = 0

⇕

5𝑡 −3 = 0

⇕

𝑡 =

3

5

Side 2

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 28. maj 2015

2

Opgave 3

Funktionsforskrifterne kan omskrives:

𝑓 ( 𝑥) = (𝐼)

1 𝑥

𝑔 ( 𝑥) = (𝐼𝐼)

1^{𝑥}
2^{𝑥}
=

1

2^{𝑥}

ℎ ( 𝑥) = 𝑥 (𝐼𝐼𝐼)
√

Vi kan nu se, at ℎ er den eneste voksende funktion. Vi kan således udlede, at 𝐵 er grafen for ℎ.

Vi ved, at 𝑓 ikke er defineret i 𝑥 = 0. 𝐴 er grafen for 𝑓, da det er den eneste, som ikke skærer med 𝑦-aksen.

𝐶 er grafen for 𝑔, fordi g er en funktion med definitionsmængden ℝ og de to andre muligheder er ”taget”.

          1
     −𝑛
(𝐼): 𝑎 =
          𝑛
         𝑎

     𝑎     𝑎
(𝐼𝐼): ( ) =
            𝑛
     𝑏     𝑏

𝑛 𝑛

          𝑚
             𝑛
( 𝐼𝐼𝐼 ) :𝑎 = 𝑎

𝑛 𝑚

√

Opgave 4

Funktionen differentieres vha. produktreglen:

𝑓^{′} ( 𝑥) = 2 · ln ( 𝑥) + ( 2𝑥 + 1) · (𝐼)

1 𝑥

𝑓^{′} ( 1) = 2 · ln ( 1) + ( 2 · 1 + 1) ·

1

1

= 0 + 3 · 1
= 3

Vi har således, at 𝑓^{′} ( 1) = 3

(𝐼):

( 𝑓 ( 𝑥) · 𝑔 ( 𝑥))^{′} = 𝑓^{′} ( 𝑥) · 𝑔 ( 𝑥) + 𝑓(𝑥) · 𝑔′(𝑥)
( 𝑓 ( 𝑥) ± 𝑔 ( 𝑥))^{′} = 𝑓^{′} ( 𝑥) ± 𝑔^{′} ( 𝑥)
( 𝑘 · 𝑓 ( 𝑥))^{′} = 𝑘 · 𝑓^{′} ( 𝑥)

Side 3

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 28. maj 2015

3

Funktion Afledt funktion ln(𝑥)

1 𝑥 𝑥 1 𝑘 0

Opgave 5

En ligning for tangenten til grafen for en funktion 𝑓 i et punkt 𝑃(𝑥 ,𝑓 ( 𝑥 ) ) kan bestemmes som:
                                                     0    0

𝑦 = 𝑓^{′} ( 𝑥_{0}) · ( 𝑥 − 𝑥_{0}) + 𝑓 ( 𝑥_{0})

Vi har, at:

𝑥_{0} = 0

𝑓 ( 0) = 3

                           𝑑𝑦
                     ′
Der gælder desuden, at 𝑓 ( 𝑥 ) = , så vi kan nu indsætte punktets koordinater i differentialligningen:
                           𝑑𝑥

𝑓^{′} ( 0) = 𝑒^{0} + 2 · 3
= 1 + 6
= 7

Vi kan nu opskrive en ligning for tangenten:

𝑦 = 7 · ( 𝑥 − 0) + 3
= 7𝑥 + 3

En ligning for tangenten til grafen for 𝑓 i punktet 𝑃 kan således skrives som: 𝑦 = 7𝑥 + 3

Opgave 6

Da en parabel er symmetrisk omkring den lodrette linje, som går gennem toppunktet, kan vi finde punkt 𝐵

som spejlingen af punkt 𝐴 i linjen 𝑥 = 5. Det vil sige, at 𝐵 har koordinatsættet:

𝐵(7,0)

Andengradspolynomiet kan (da vi nu kender begge rødder) faktoriseres, så:

𝑓 ( 𝑥) = 𝑎 · ( 𝑥 − 𝑟_{1}) · (𝑥 − 𝑟_{2})

Vi indsætter nu, at 𝑟_{1} = 3 og 𝑟_{2} = 7:

Side 4

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 28. maj 2015

4

𝑓 ( 𝑥) = 𝑎 · ( 𝑥 − 3) · ( 𝑥 − 7)
= 𝑎 · (𝑥^{2} − 7𝑥 − 3𝑥 + 21)
= 𝑎 · (𝑥^{2} − 10𝑥 + 21)
= 𝑎𝑥^{2} − 10𝑎𝑥 + 21𝑎

Denne forskrift skal være lig med forskriften:

𝑓 ( 𝑥) = 𝑎𝑥^{2} + 𝑏𝑥 + 21

Vi kan nu se, at:

21 = 21𝑎

⇕

𝑎 = 1

Det vil sige:

𝑏 = −10 · 1
= −10

Vi kan nu konkludere, at 𝑎 = 1 og 𝑏 = −10