STX Matematik A 22. maj 2015 - Delprøven uden hjælpemidler

Side 1

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 22. maj 2015

1

STX Matematik A 22. maj 2015

Delprøven uden hjælpemidler

1stx151-MAT/A-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Opgave 1

Da der lukkes et konstant antal pengeinstitutter hvert år, er der tale om en lineær sammenhæng. Den kan opskrives på formen:

𝑦 =𝑎𝑥+ 𝑏

I den konkrete situation er y antal pengeinstitutter, mens x er antal år efter 2001

Hældningen 𝑎 kan beregnes som funktionstilvæksten, når x vokser med 1. Da der lukkes 8 institutter

(negativ funktionstilvækst) om året, er hældningen 𝑎 = −8

𝑏 angiver funktionsværdien, når 𝑥 = 0. I år 2001 (𝑥 = 0) var der 190 pengeinstitutter, hvorfor 𝑏 = 190

Den endelige model bliver da:

𝑦 = −8𝑥+ 190

Opgave 2

Grafen for en lineær funktion er en ret linje. C er den eneste rette linje, og repræsenterer dermed grafen for 𝑓.

Grafen for en eksponentialfunktion er enten aftagende eller voksende. En voksende eksponentialfunktion

vokser først langsomt, hvorefter væksthastigheden stiger kraftigt for x→∞. En sådan graf ses ikke afbildet.

Eksponentialfunktionen må således være aftagende. En aftagende eksponentialfunktion aftager først

hurtigt, hvorefter den negative væksthastighed falder kraftigt for x→∞. Eksponentialfunktionen ℎ

repræsenteres således af B.

Den sidste graf, C, repræsenterer således potensfunktionen 𝑔.

Side 2

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 22. maj 2015

2

Opgave 3

Ligningen opskrives

𝑥^{3} − 9 · 𝑥^{2} + 23 · 𝑥−15 = 0

𝑥 = 3 indsættes i ligningen

3^{3} − 9 · 3^{2} + 23 ⋅ 3 − 15= 0

⇕

27 − 81 + 69 − 15=0

⇕

0 = 0

Da 0= 0 er et sandt udsagn, er 𝑥 = 3 en løsning til ligningen.

Opgave 4

Funktionen opskrives:

𝑓 ( 𝑥) = 5 · 𝑒^{𝑥} + 4

Ligningen for tangenten til grafen i et vilkårligt punkt 𝐴(𝑥 ,𝑦 ) kan bestemmes vha. følgende formel:
                                              0  0

𝑦 = 𝑓^{′} ( 𝑥_{0}) · ( 𝑥− 𝑥_{0}) + 𝑓(𝑥_{0})

I opgaven angives punktet 𝑃(0,𝑓 ( 0))

Funktionsværdien 𝑓(0) findes nu ved indsættelse af 𝑥 = 0:

𝑓 ( 0) = 5 · 𝑒^{0} + 4
= 5 · 1 + 4
= 9

Nu mangler vi at finde 𝑓^{′} ( 𝑥_{0}) = 𝑓′(0)

Først differentieres 𝑓 ( 𝑥):

𝑓^{′} ( 𝑥) = 5 · 𝑒^{𝑥} (I)

𝑓^{′} ( 0) = 5

Den endelige ligning for tangenten til grafen for i punktet 𝑃(0,9) kan nu findes:

𝑦 = 5 · ( 𝑥− 0) + 9

⇕

𝑦 = 5𝑥+ 9

Side 3

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 22. maj 2015

3

                                                                                      𝑥
( I ) Ledvis differentiation, differentiation af konstant, konstant udenfor parentes og differentiation af 𝑒

( 𝑓 ( 𝑥) ± 𝑔 ( 𝑥))^{′} = 𝑓^{′} ( 𝑥) ± 𝑔^{′} ( 𝑥)

𝑓 ( 𝑥) = 𝑘 ⇒ 𝑓^{′} ( 𝑥) = 0
( 𝑘 ·𝑓 ( 𝑥))^{′} = 𝑘· 𝑓^{′} ( 𝑥)
𝑓 ( 𝑥) = 𝑒^{𝑥} ⇒ 𝑓^{′} ( 𝑥) = 𝑒^{𝑥}

Opgave 5

Funktionen 𝑓 opskrives:

𝑓 ( 𝑥) = + 2𝑥 , 𝑥 > 0

5 𝑥

Nu søges et udtryk for alle stamfunktioner, 𝐹, hørende til 𝑓:

𝐹 ( 𝑥) = ∫ + 2𝑥𝑑𝑥

5 𝑥

= 5 · ∫ 𝑑𝑥+ 2 · ∫𝑥 𝑑𝑥

1 𝑥

Der integreres nu mht. x, i det 𝑥 > 0:

𝐹 ( 𝑥) = 5 · ln𝑥+ 2 · 𝑥^{2} + 𝑘

1

2

⇕

𝐹(𝑥) = 5 · ln ( 𝑥) + 𝑥^{2} + 𝑘

Det konstateres nu, at ℎ ( 𝑥) er den stamfunktion til 𝑓(𝑥), hvor 𝑘 = 0.

Funktionerne 𝑔 ( 𝑥) og ℎ(𝑥) er ikke stamfunktioner til 𝑓(𝑥), da de ikke kan opskrives på formen for 𝐹.

                         1                                        1
                                                           𝑎         𝑎+1
I denne opgave anvendes, at 𝑑𝑥 = ln ( 𝑥 ) + 𝑘, hvis 𝑥 > 0, samt at 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥
                        ∫                               ∫
                         𝑥                                       𝑎+1

Opgave 6

                                                                   1
Først bestemmes monotoniforholdene for 𝑔 ( 𝑥 ) . Vi får at vide, at punkterne 𝑃 (− ,0) og 𝑄(0,1) ligger på
                                                                   2

grafen for 𝑔′(𝑥), samt at 𝑔′(𝑥) er en lineær funktion. Hermed er grafen for 𝑔^{′} ( 𝑥) en ret linje, som på

tegningen repræsenteres af B.

Side 4

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 22. maj 2015

4

             1
                     ′
I punktet 𝑃(− ,0) er 𝑔 ( 𝑥 ) = 0, og tangenten til grafen er således vandret i punktet. Det ses på figuren,
             2

                    1                          1
   ′                          ′
at 𝑔 ( 𝑥 ) < 0, når 𝑥 < − , samt at 𝑔 ( 𝑥 ) > 0, når 𝑥 > − , og der er således tale om et minimumspunkt.
                    2                          2

Da B er en ret linje, er der kun en løsning til 𝑔^{′} (𝑥) =0, og der er derfor ikke flere ekstrema. Om

monotoniforholdene for 𝑔(𝑥), ved vi således, at:

           1
Punktet 𝑃(− ,0) er et globalt minimumspunkt
           2

                                     1
Funktionen 𝑔 er aftagende i intervallet ]∞;− [
                                     2

                                    1
Funktionen 𝑔 er voksende i intervallet ]∞;− [
                                    2

Nu søges førstekoordinaten til det punkt R, hvor tangenthældningerne til graferne for 𝑔 og 𝑓 er lig med

hinanden. Her gælder, at 𝑔^{′} ( 𝑥) = 𝑓^{′} ( 𝑥) = 5 . Med andre ord finder vi førstekoordinaten til
skæringspunktet mellem 𝑔^{′} ( 𝑥) 𝑜𝑔 𝑓^{′} ( 𝑥).

Da 𝑔′(𝑥) er en lineær funktion, kan vi skrive følgende

𝑔^{′} ( 𝑥) = 𝑎𝑥+ 𝑏

                                                                                 1
Her angiver 𝑎 hældningen, mens 𝑏 angiver 𝑔′(0). Først udregnes 𝑎 ved hjælp af de to punkter 𝑃(− ,0) og
                                                                                 2

𝑄(0,1) samt følgende formel:

𝑎 =

𝑦_{2} − 𝑦_{1}
𝑥_{2} − 𝑥_{1}

=

1 − 0
0 − (−)

1

2

=

1

1

2

=2

Da 𝑥 = 0 i punktet 𝑄(0,1), kan vi aflæse direkte, at 𝑔^{′} ( 0) = 𝑏 = 1

Vi har nu, at:

𝑔^{′} ( 𝑥) = 2𝑥+ 1

Nu sættes 𝑔^{′} ( 𝑥) = 𝑓′(𝑥) = 5:

5 = 2𝑥+ 1

⇕

2𝑥 = 4

⇕

𝑥 = 2

Side 5

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 22. maj 2015

5

Førstekoordinaten til punktet R er således 𝑥 = 2.

Det udnyttes i denne opgave, at hældningen af tangenten til en graf ved en given førstekoordinat er lig med

værdien af den afledte funktion ved samme førstekoordinat. Altså er: 𝑓^{′} ( 𝑥_{0}) lig med hældningen af
tangenten til grafen for 𝑓 i punktet 𝑃(𝑥_{0},𝑓 ( 𝑥_{0}))