STX Matematik A 24. maj 2016 - Delprøven uden hjælpemidler

Side 1

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016

1

STX Matematik A

24. maj 2016

Delprøven uden hjælpemidler

1stx161-MAT/A-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Opgave 1

Da trekanterne er ensvinklede, er forholdet mellem ensliggende sider det samme for alle sider. Dvs.:

𝐸𝐹 𝐴𝐹

𝐵𝐶 𝐴𝐶

=

⇕

𝐸𝐹 = 𝐵𝐶 ·

𝐴𝐹

𝐴𝐶

= 12 ·

3

9

= 4

Trekant 𝐴𝐵𝐶 er retvinklet, så vi kan anvende Pythagoras læresætning:

𝐴𝐵^{2} = 𝐴𝐶^{2} + 𝐴𝐵^{2}

⇕

𝐴𝐸 = 𝐴𝐶^{2} + 𝐴𝐵^{2}

√
= 9 + 12^{2}

√^{2}
= √ 81 + 144
= √225
= √25 · 9
= √25 · √ 9
= 5 · 3
= 15

Vi konkluderer, at: | 𝐸𝐹 | = 4 og | 𝐴𝐵 | = 15

Side 2

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016

2

Opgave 2

Ligningssystemet opskrives og løses vha. lige store koefficienters metode:

3𝑥 + 𝑦 − 11 = 0

2𝑥 − 3𝑦 + 11 = 0

Første ligning ganges med 3, hvorefter den adderes til anden ligning:

2𝑥 − 3𝑦 + 11 + 3 · ( 3𝑥 + 𝑦 − 11) = 0 + 0

⇕

2𝑥 − 3𝑦 + 11 + 9𝑥 + 3𝑦 − 33 = 0

⇕

11𝑥 − 22 = 0

⇕

𝑥 = 2

Vi indsætter 𝑥 = 2 i første ligning og isolerer 𝑦:

3 · 2 + 𝑦 − 11 = 0

⇕

𝑦 = 11 − 3 · 2
= 11 − 6
= 5

Vi konkluderer, at: 𝑥 = 2 og 𝑦 = 5.

Opgave 3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 er blot en anden notation for 𝑓′(𝑥). En ligning for tangenten til grafen for en funktion 𝑓 i et punkt

𝑓(𝑥_{0},𝑓 ( 𝑥_{0})) er givet ved:

𝑦 = 𝑓^{′} ( 𝑥_{0}) · ( 𝑥 − 𝑥_{0}) + 𝑓 ( 𝑥_{0})

Hvor:

𝑥_{0} = 3

𝑓 ( 𝑥_{0}) = 𝑦_{0} = 5

Side 3

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016

3

𝑓^{′} ( 𝑥_{0}) =

𝑑𝑦 𝑑𝑥

= 5 · (3 − 1)
= 10

Så:

𝑦 = 10 · ( 𝑥 − 3) + 5
= 10𝑥 − 30 + 5
= 10𝑥 − 25

En ligning for tangenten til grafen for 𝑓 i punktet 𝑃 er altså givet ved: 𝑦 = 10𝑥 − 25.

Opgave 4

Der er tale om en eksponentiel model. Det vil sige en model på formen:

𝑓(𝑥) = 𝑏 · 𝑎^{𝑥}

Hvor: 𝑓(𝑥) angiver det årlige antal indsamlede malariamyg 𝑥 angiver antal år efter 2004

𝑏 angiver værdien af 𝑓(0) (antal indsamlede myg i år 2004). Det vil sige, at 𝑏 = 5382

𝑎 er fremskrivningsfaktoren og fortæller os noget om den årlige vækstrate, idet:

𝑎 = 1 + 𝑟
= 1 + (−70%)
= 1 − 0,7
= 0,3

Den endelige model bliver altså: 𝑓 ( 𝑥) = 5382 · 0,3^{𝑥}.

Opgave 5

Hvis og kun hvis 𝑓 er en stamfunktion til 𝑔, gælder der, at:

𝑓^{′} ( 𝑥) = 𝑔(𝑥)

De to funktioner opskrives, hvorefter 𝑓 differentieres vha. produktreglen:

𝑓 ( 𝑥) = ( 2𝑥 + 1) · ln ( 𝑥)

𝑔 ( 𝑥) = + 2 · ln ( 𝑥)

1 𝑥

Side 4

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016

4

𝑓^{′} ( 𝑥) = ( 2𝑥 + 1) · + 2 · ln (𝑥)

1 𝑥

= + 2 · ln (𝑥)

2𝑥 + 1

𝑥

= 2 + + 2 · ln (𝑥)

1 𝑥

                   1
             ′
Det vil sige, at 𝑓 ( 𝑥 ) = + 2 · ln ( 𝑥 ) + 2. Forskriften for 𝑓′ er forskellig fra forskriften for g. 𝑓 er altså ikke
                   𝑥

en stamfunktion til 𝑔.

( 𝐼) Produktreglen, reglen om ledvis differentiation, konstant udenfor parentes, differentiation af konstant, 𝑥 og ln (𝑥):

( 𝑓 ( 𝑥) · 𝑔 ( 𝑥))^{′} = 𝑓^{′} ( 𝑥) · 𝑔 ( 𝑥) + 𝑓(𝑥) · 𝑔′(𝑥)

( 𝑓 ( 𝑥) ± 𝑔 ( 𝑥))^{′} = 𝑓^{′} ( 𝑥) ± 𝑔^{′} ( 𝑥)

( 𝑘 · 𝑓 ( 𝑥))^{′} = 𝑘 · 𝑓^{′} ( 𝑥)

𝑓 ( 𝑥) = 𝑘 ⇔ 𝑓^{′} ( 𝑥) = 0

𝑓 ( 𝑥) = 𝑥 ⇒ 𝑓^{′} ( 𝑥) = 1

𝑓 ( 𝑥) = ln ( 𝑥), 𝑥 > 0 ⇒ 𝑓^{′} ( 𝑥) =, 𝑥 > 0

1 𝑥

Opgave 6

Fortegnene for 𝑓′ anvendes til at udlede funktionens monotoniforhold (vi antager, at 𝑓 er defineret for alle reelle tal) og ekstremumspunkter.

𝑓 er voksende i intervallerne ] − ∞, 5] og [10,∞[

𝑓 er aftagende i intervallet [5,10]

𝑓 har et lokalt maksimum i 𝑥 = 5

𝑓 har et lokalt minimum i 𝑥 = 10

Ved hjælp af de opgivne funktionsværdier ved vi desuden, at grafen skal gå gennem følgende punkter:

(0,2)

(12,1)

Funktionen er differentiabel, så den skal være kontinuert, og grafen skal være glat og uden knæk.

Side 5

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016

5

Vi skitserer grafen for en mulig funktion: