STX Matematik A 24. maj 2013 - Delprøven med hjælpemidler

Side 1

Skriftlig matematik STX A 1stx131-MAT/A-

1

STX Matematik A 24. maj 2013

Delprøven med hjælpemidler

1stx131-MAT/A-

Løsning med WordMat ...................................................................................................................................... 2 Løsning med Maple ......................................................................................................................................... 19

Side 2

Skriftlig matematik STX A 1stx131-MAT/A-

2

Løsning med WordMat

Alle formlerne i nedenstående besvarelse henviser til Matematisk formelsamling stx A fra 2007.

Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig supplerende tekst. Begrundelsen for at medtage formelnumre i løsningerne, er at du præcist kan se hvilken formel, der bruges til at løse opgaven.

WordMat er blevet brugt som CAS-værktøj til løsningen af denne eksamen.

Opgave 7 a)

Først indtastes data i Excel og år efter 1990 bestemmes som årstal - 1990.

Derefter kopieres tabellen over i Word:

År 1990 1995 2000 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

År efter 1990 0 5 10 15 16 17 18 19 20 21

Procentdel 3.1 4,5 6,5 10,4 11,8 14,5 15,2 16,6 18,1 20,0

Den angivne model 𝑃 ( 𝑥) =𝑏⋅ 𝑎^{𝑥} er en eksponentiel sammenhæng, og værdierne for 𝑎 og 𝑏 kan

bestemmes med en eksponentiel regression over tabellens data.

Her benyttes WordMat (Statistisk./sands. - Regression - Eksponentiel)

Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 0,9915885

𝑦=2,883306 · 1,095217^{𝑥}

Af resultatet fremgår det, at: 𝑎=1,095 og 𝑏=2,883 (afrundet til tre decimaler)

b)

Tallet 𝑎 er fremskrivningsfaktoren og forbundet med vækstraten 𝑟 på følgende måde:

𝑎=1 + 𝑟 ⇔ 𝑟=𝑎− 1=1,095 − 1=0,095=9,5%

Hvilket betyder, at andelen af Tysklands el-produktion, der kommer fra vedvarende energi, vokser med 9,5 % om året (hvilket kan aflæses af værdien for 𝑎).

Fordoblingskonstanten/fordoblingstiden for en eksponentiel funktion bestemmes som (formel 99):
𝑇_{2} =

ln ( 2) ln ( 𝑎)

Indsættes den fundne værdi for 𝑎, fås:

Side 3

Skriftlig matematik STX A 1stx131-MAT/A-

3

𝑇_{2} = =ln ( 2) · 11,01875≈7,637618

ln ( 2) ln ( 1,095)

Fordoblingstiden for elektricitetsproduktionen er således ifølge modellen: 𝑇 =7,64 år (ca. 7 år 7 måneder)
                                                             2

c)

For at vurdere om målet på 35 % i 2020 (30 år efter 1990) er realistisk, undersøges om 𝑃 ( 30) >35

ved at indsætte 𝑥=30 i forskriften for 𝑃(𝑥).

Hertil benyttes WordMat, - først defineres funktionen (CAS - Definitioner - Definer funktion), dernæst bestemmes værdien 𝑃(30) også i WordMat (CAS - Beregn):

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑃 ( 𝑥) =2,882 ⋅ 1,095^{𝑥}

𝑃 ( 30) =43,86494

Da værdien 𝑃 ( 30) =43,9 (>35) må målet på 35 % siges at virke realistisk.

𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 4

Skriftlig matematik STX A 1stx131-MAT/A-

4

Opgave 8

For at bestemme en ligning for tangenten til grafen for 𝑓 i punktet 𝑃(5,𝑓 ( 5)) bestemmes den afledede

funktion 𝑓′ og derefter indsættes relevante værdier i tangentligningen: 𝑦=𝑓ʼ ( 𝑥_{0}) ⋅ ( 𝑥− 𝑥_{0}) + 𝑓(𝑥_{0})

(formel 119)

Først defineres forskriften for 𝑓 i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion).

Derefter bestemmes den afledede funktion (𝑓′) i WordMat (CAS - Infinites. - Differentier), hvorefter denne også defineres i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion).

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟:𝑓 ( 𝑥) =ln ( 𝑥) + 𝑥^{2}

Udtrykket differentieres vha. CAS-værktøjet WordMat.

2 · 𝑥^{2} + 1

𝑥

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟:𝑓′ ( 𝑥) =

2 · 𝑥^{2} + 1

𝑥

Nu indsættes 𝑓(5), 𝑓^{′} (5) og 𝑥_{0} =5 i tangentligningen (formel 119):

𝑦=𝑓^{′} ( 5) ⋅ ( 𝑥− 5) + 𝑓 ( 5) ≈10,2 · 𝑥 − 24,39056

Tangent til grafen for 𝑓 i punktet (5,𝑓(5)) er således bestemt: 𝑦=10,2𝑥− 24,4

Der er i resultatet er afrundet til én decimal.

𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 5

Skriftlig matematik STX A 1stx131-MAT/A-

5

Opgave 9 a)

                                1
For en vilkårlig trekant gælder: 𝑇= ⋅ ℎ ⋅ 𝑔
                                2

derfor kan højden ℎ_{𝑐}, med siden 𝐴𝐵 som grundlinje, bestemmes som:

𝑇_{𝐴𝐵𝐶} = ⋅ | 𝐴𝐵 | ⋅ ℎ_{𝑐}

1

2

Med de kendte værdier indsat, kan ℎ_{𝑐} bestemmes med WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - numerisk):

22,9= ⋅ 10,6 ⋅ ℎ_{𝑐}

1

2

⇕ Ligningen løses for h vha. CAS-værktøjet WordMat.

c

ℎ_{𝑐} =4,320755

Højden i 𝐶 er således bestemt: ℎ_{𝑐} =4,32 (resultatet er afrundet til to decimaler)

b)

For at kunne bestemme omkredsen af en trekant, er det nødvendigt at kende alle sidelængder.

                                              1
Længden af siden 𝐵𝐶 kan bestemmes vha. formlen 𝑇= ⋅ 𝑎⋅ 𝑏 ⋅sin (𝐶) (formel 29)
                                              2

hvilket med de aktuelle betegnelser giver:

𝑇_{𝐴𝐵𝐶} = ⋅ | 𝐴𝐵 | ⋅ | 𝐵𝐶 | ⋅ sin (𝐵)

1

2

Kendte værdier indsættes og der løses i |𝐵𝐶| med WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - numerisk)

22,9= ⋅ 10,6 ⋅ 𝐵𝐶⋅ sin (32,3)

1

2

⇕ Ligningen løses for BC vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝐵𝐶= ≈8,085966

4,320755 sin ( 32,3)

Længden af siden 𝐵𝐶 er bestemt til: | 𝐵𝐶 | =8,1 (afrundet til én decimal)

Nu kender vi to sider og en vinkel og dermed kan den sidste side 𝐴𝐶 bestemmes med trekantværktøjet i WordMat (Diverse - Trekant):

WordMats trekantsløser anvendes med input: B = 32,3°, BC = 8,085966, AB = 10,6

Side 6

Skriftlig matematik STX A 1stx131-MAT/A-

6

A = 48,93008°
B = 32,3°
C = 98,76992°

BC = 8,085966
AC = 5,73114
AB = 10,6

Længden af siden 𝐴𝐶 er bestemt til: | 𝐴𝐶 | =5,7 (afrundet til én decimal)

Med alle siderne kendte kan omkredsen af 𝐴𝐵𝐶 bestemmes:

𝑂_{𝐴𝐵𝐶} = | 𝐴𝐵 | + | 𝐵𝐶 | + | 𝐴𝐶 | =10,6 + 8,1 + 5,7=24,4

Omkredsen af trekant 𝐴𝐵𝐶 er således bestemt: 𝑂_{𝐴𝐵𝐶} =24,4

A AC C

B

AB BC

Side 7

Skriftlig matematik STX A 1stx131-MAT/A-

7

Opgave 10 a)

(jf. formel 71)

For at bestemme ligningen for den plan, der indeholder sidefladen 𝐴𝐵𝐷, skal et punkt samt en normalvektor for planen være kendt. Som en normalvektor for planen kan krydsproduktet mellem vektorerne 𝐴𝐵 og 𝐴𝐷 benyttes, hvorfor denne skal bestemmes.

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

Først bestemmes og defineres vektorerne 𝐴𝐵

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ og 𝐴𝐷 hertil benyttes WordMat (CAS - Beregn) og WordMat (CAS - Definitioner - Definer variabel): (jf. formel 61)

𝐴𝐵 =𝑂𝐵 − 𝑂𝐴 =( 0 − 0)=( 0)

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

0 − 2 −2

3 − 0 3

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟:𝐴𝐵 =( 0)

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

−2

3

𝐴𝐷 =𝑂𝐷 − 𝑂𝐴 =( 2 − 0)=( 2)

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

0 − 2 −2

0 − 0 0

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝐴𝐷 =( 2)

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

−2

0

Krydsproduktet mellem vektorerne 𝐴𝐵 og 𝐴𝐷 bestemmes med WordMat (CAS - Beregn): (jf. formel 68)

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

𝐴𝐵 × 𝐴𝐷 =( −6)

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

−6

−4

krydsproduktet 𝐴𝐵 × 𝐴𝐷 forkortes (jf. formel 58) og en normalvektor 𝑛 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ sættes lig med krydsproduktet:
                                                          𝐴𝐵𝐷

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

𝑛 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ =𝑘 ⋅ ( 𝐴𝐵 × 𝐴𝐷 ) =− ⋅ ( −6 )=( 3 )
 𝐴𝐵𝐷

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

1

2

−6 3

−4 2

En normalvektor for planen, der indeholder fladen 𝐴𝐷 er således: 𝑛 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ =( −3 )
                                                          𝐴𝐵𝐷

−3

−2
Det kendte punkt (𝑥_{0},𝑦_{0},𝑧_{0}) vælges til at være punktet 𝐴(2,0,0).

Ligningen for planen, der indeholder 𝐴𝐵𝐷, kan opstilles som (formel 71):

𝑎· ( 𝑥− 𝑥_{0}) + 𝑏· ( 𝑦 − 𝑦_{0}) + 𝑐· ( 𝑧 − 𝑧_{0}) =0

Kendte værdier indsættes og udtrykket reduceres med WordMat (CAS - Omskriv - Reducér):

−3 · ( 𝑥− 2) − 3 · ( 𝑦 − 0) − 2 · ( 𝑧 − 0) =0

Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion,

Side 8

Skriftlig matematik STX A 1stx131-MAT/A-

8

−2 · 𝑧 − 3 · 𝑦− 3 · 𝑥+ 6=0

En ligning for planen, der indeholder 𝐴𝐵𝐷 er således: −2 · 𝑧 − 3 · 𝑦− 3 · 𝑥+ 6=0

b)

Planen, der indeholder fladen 𝐵𝐶𝐷 har ligningen: −3𝑥+ 3𝑦 + 2𝑧=6

Normalvektoren til denne plan kan aflæses af ligningen (jf. formel 71): 𝑛 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯_{𝐵𝐶𝐷} ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ =( 3)

−3

2

Vinklen mellem to planer kan bestemmes som vinklen mellem deres normalvektorer (jf. formel 64):

𝑐𝑜𝑠(𝑣)=(𝑎⃗ · 𝑏⃗)/( | 𝑎⃗ | ⋅ |𝑏⃗|)

𝑣=cos^{−1} ( (𝑎⃗ · 𝑏⃗)/( | 𝑎⃗ | ⋅ |𝑏⃗|))

De kendte værdier indsættes og vinklen bestemmes vha. WordMat (CAS - Beregn):

       −1
𝑣=cos    ( (𝑛 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ · 𝑛 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ )/( | 𝑛 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ | ⋅ |𝑛 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ |) )
           𝐴𝐵𝐷   𝐵𝐶𝐷    𝐴𝐵𝐷    𝐵𝐶𝐷

𝑣=cos^{−1} =180 − cos^{−1} ()≈100,4757

⎝ | ⎠
⎜ | ⎟
⎜ | ⎟
⎜ | ⎟
⎛ | ⎞

(( −3) · ( 3))

−3 −3

−2 2 2

( | ( −3) | ⋅ | ( 3) |)

−3 −3

−2 2

11

Da den fundne vinkel er større end 90°, er det den stumpe vinkel mellem planerne, der er fundet.

Det kan derfor konkluderes, at den stumpe vinkel mellem glasfladerne er: 𝑣=100,5°

Resultatet er afrundet til én decimal.

𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 9

Skriftlig matematik STX A 1stx131-MAT/A-

9

Opgave 11 a)

• Nulhypotesen 𝐻_{0} er, at posen indeholder lige mange slags slik af hver farve.

For at kunne test en nulhypotese, skal der først bestemmes en forventet farvefordeling under forudsætning af, at den antagne nulhypotese er korrekt. Da der er fem farver, ligeligt fordelt ifølge

                                 9+19+15+10+7
firmaets oplysninger, må man forvente:      =12 stk. af hver farve.
                                      5

Det skal således testes (undersøges), om slikket følger en angivet farvefordeling, hvilket betyder,

at der skal foretages en X^{2} 𝐺𝑂𝐹 test.

WodMat (Statistik/sands. - Test - Goodness of Fit) benyttes:

KONKLUSION:

P-værdien aflæses til 9 %.

Da 𝑃>5 % accepteres nulhypotesen.

Der er med andre ord ikke signifikant forskel på antallet af stykker slik i de givne farver.

Obs. Der er tale om en skrivefejl i spørgsmålet. Hvis spørgsmålet læses ordret skal poserne indeholde netop lige mange af hver farve, og dermed kan Hans og Grethes slikpose ikke være fra firmaet.

I spørgsmålet skulle der have stået: ”Firmaet oplyser at slikket fordeler sig med lige mange af hver farve” eller lignende.

Side 10

Skriftlig matematik STX A 1stx131-MAT/A-

10

Opgave 12 a)

Grafen for den angivne funktion: 𝑓 ( 𝑡) =67,5 ⋅ sin ( 0,209 ⋅ 𝑡 − 1,57) + 70 ,0≤𝑡≤30

kan fx tegnes ved hjælp af WordMat (Graftegning - Vis Graf - GNU Plot).

Da det er en trigonometrisk funktion skal vinkelenhed skal indstilles til radianer.

WordMat (Indstillinger - Indst.)

For at bestemme højden over jorden efter 7 minutter, skal 𝑓(7) bestemmes.

Først defineres funktionen i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion):

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟:𝑓 ( 𝑡) =67,5 ⋅ sin ( 0,209 ⋅ 𝑡 − 1,57) + 70

Side 11

Skriftlig matematik STX A 1stx131-MAT/A-

11

Derefter bestemmes værdien 𝑓(7) med WordMat (CAS - Beregn):

𝑓 ( 7) =62,79127

Det er dermed bestemt, at gondolen efter 7 minutter er 62,8 𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟 over jorden.

(resultatet er afrundet til én decimal) b)

For at bestemme den tid, der går før gondolen er 40 meter over jorden første gang, løses ligningen: 𝑓 ( 𝑡) =

40 med hensyn til 𝑡 (i minutter efter start). Forskriften for 𝑓(𝑡) er defineret tidligere, men intervallet for 𝑡 mangler at blive defineret, hvilket gøres i WordMat (CAS - Definitioner - Definer variabel):

𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 0≤𝑡≤30

Ligningen 𝑓 ( 𝑡) =40 løses med WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk):

𝑓 ( 𝑡) =40

⇕ Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑡=5,308354

Det kan konkluderes, at gondolen befinder sig 40 meter over jorden første gang (efter start) ved:

𝑡=5,31 𝑚𝑖𝑛.

𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 12

Skriftlig matematik STX A 1stx131-MAT/A-

12

Opgave 13 a)

Væksthastigheden til tiden 𝑡 er lig med^{𝑑𝑁}_{𝑑𝑡}, hvorfor væksthastigheden, når bestanden tæller 500 traner,
kan bestemmes ved at indsætte 𝑁=500 i den opgivne differentialligning og bestemme^{𝑑𝑁}_{𝑑𝑡}:

𝑑𝑁 𝑑𝑡

=𝑁′=0,00029 ⋅ 𝑁 ⋅ (1500 − 𝑁)

𝑁=500 indsættes og 𝑁′ bestemmes med WordMat (CAS - Beregn):

𝑁′=0,00029 ⋅ 500 ⋅ ( 1500 − 500) =145

Væksthastigheden, når bestanden tæller 500 traner, er således: 145 traner om året b)

Det oplyses, at der var 194 traner i 1975, - dvs. 𝑁(0)=194. Bestemmelse af en forskrift

for 𝑁(𝑡) foretages med WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Løs Differentialligning), hvor den uafhængige og afhængige variabel samt startbetingelsen indtastes.

𝑁′=0,00029 ⋅ 𝑁 ⋅ (1500 − 𝑁)
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen N(0)=194
𝑁=0 ∨ 𝑁=

1500

6,731959 · 𝑒^{−0,435·𝑡} + 1

Da 𝑁=0 er den trivielle løsning, kan det konkluderes, at forskriften for 𝑁 er:

𝑁(𝑡)=

1500

6,731959 · 𝑒^{−0,435·𝑡} + 1

Hvor 𝑡 er antal år efter 1975.

c)

Først defineres forskriften for 𝑁 i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion):

Side 13

Skriftlig matematik STX A 1stx131-MAT/A-

13

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑁(𝑡)=

1500

6,731959 · 𝑒^{−0,435·𝑡} + 1

Da vi skal bestemme, hvornår væksthastigheden dvs. 𝑁′

( 𝑡

) antager sit maksimum, skal vi løse ligningen:

WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk)

𝑁^{′′} ( 𝑡) =0

Ligningen løses numerisk for t vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑡≈4,3836

Vi bestemmer nu 𝑁ʼʼ(𝑡) på begge sider af dette nulpunkt, - WordMat (CAS - Beregn):

𝑁^{′′} ( 4) ≈5,865734

𝑁^{′′} ( 5) ≈−9,288755

Der er således tale om et maksimum.

Det kan konkluderes, at tranebestandens væksthastighed er størst 4 år efter 1975, - altså i å𝑟 1979 𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 14

Skriftlig matematik STX A 1stx131-MAT/A-

14

Opgave 14

BEMÆRK at koordinatsystemet i opgaven er roteret 90° mod uret, hvorefter x-aksen er lodret.

a) Først defineres forskriften for 𝑓 i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion):

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑓 ( 𝑥) =−0,2 ⋅ 𝑥^{2} + 2 ⋅ 𝑥+ 2,5

Grafen for den angivne forskrift 𝑓er en parabel med ”benene nedad”, da: 𝑎=−0,2 (<0).

Derfor kan maksimum for 𝑓 bestemmes vha. toppunktsformlen (formel 55), idet en parabel med

                                                 −𝑏  −𝑑
                  2                                              2
forskriften 𝑓 ( 𝑥 ) =𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 har toppunkt i 𝑇 ( 𝑥,𝑦 ) =( , ), hvor 𝑑=𝑏 − 4𝑎𝑐.
                                        𝑃
                                                 2𝑎  4𝑎

Indsættes de kendte værdier i formlen, fås:

𝑇_{𝑃} ( 𝑥,𝑦) = (,) = (,) =(5,)= ( 5;7,5)

−𝑏 − ( 𝑏^{2} − 4𝑎𝑐) −2 − ( 2^{2} − 4 ⋅ ( −0,2) ⋅ 2,5) 15
2𝑎 4𝑎 2 ⋅ ( −0,2) 4 ⋅ ( −0,2) 2

Hvilket betyder, at maksimum for 𝑓er: 𝑓_{𝑚𝑎𝑥} =7,5

Hvilket medfører, at karaflens største bredde 𝑏
                                      𝑚𝑎𝑥

kan bestemmes som den dobbelte værdi:

𝑏_{𝑚𝑎𝑥} =2 ⋅ 𝑓_{𝑚𝑎𝑥} =2 ⋅ 7,5=15 𝑐𝑚

b)

Rumfanget af væsken svarer til volumen af omdrejningslegemet i intervallet [0;ℎ], hvor 0≤ℎ≤10

Volumen af et omdrejningslegeme (omkring 𝑥-aksen) kan bestemmes som (formel 155):

𝑉=𝜋 · ∫ ( 𝑓 ( 𝑥))^{2} 𝑑𝑥

𝑏 𝑎

Indsættes 0 for nedre grænse og ℎ som den øvre grænse, fremkommer følgende udtryk for væskens volumen ved væskehøjden ℎ. Forskriften for 𝑓(𝑥) er defineret tidligere i dokumentet.

Integralet bestemmes med WordMat (CAS - Beregn):

𝑉=𝜋· ∫ ( 𝑓 ( 𝑥))^{2} 𝑑𝑥 =𝜋 · ( 0,008 · ℎ^{5} − 0,2 · ℎ^{4} + ℎ^{3} + 5 · ℎ^{2} + 6,25 · ℎ)

ℎ

0

Volumen af væsken, udtrykt ved ℎ: 𝑉 ( ℎ) =𝜋· ( 0,008 · ℎ^{5} − 0,2 · ℎ^{4} + ℎ^{3} + 5 · ℎ^{2} + 6,25 · ℎ)

For at kunne besvare det næste spørgsmål, defineres først ovenstående udtryk for væskevolumen i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion):

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑉 ( ℎ) =𝜋· ( 0,008 · ℎ^{5} − 0,2 · ℎ^{4} + ℎ^{3} + 5 · ℎ^{2} + 6,25 · ℎ)

Side 15

Skriftlig matematik STX A 1stx131-MAT/A-

15

Væskehøjden ℎ_{500 𝑐𝑚} 3, når der er 500 𝑐𝑚^{3} væske i karaflen, kan bestemmes ved at løse nedenstående

ligning med hensyn til ℎ. Hertil benyttes WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk):

𝑉 ( ℎ) =500

⇕ Ligningen løses for h vha. CAS-værktøjet WordMat.

ℎ=4,606114

Resultatet betyder, at når væskevolumen er 500 𝑐𝑚^{3}, så er væskehøjden: ℎ_{500 𝑐𝑚} 3 =4,6 𝑐𝑚

Resultatet er afrundet til én decimal.

𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 16

Skriftlig matematik STX A 1stx131-MAT/A-

16

Opgave 15 a)

Stigen, jorden og muren danner en retvinklet trekant 𝐴𝐵𝐶, hvorfor |𝐵𝐶| kan udtrykkes vha.

Pythagoras’ læresætning (formel 21). Hvilket medfører:

| 𝐴𝐵 |^{2} = | 𝐴𝐶 |^{2} + | 𝐵𝐶 |^{2}

Kendte værdier (if. skitsen) indsættes og udtrykket omskrives:

7^{2} =𝑥^{2} + | 𝐵𝐶 |^{2} ⇔ | 𝐵𝐶 |^{2} =49 − 𝑥^{2} ⇔ | 𝐵𝐶 | = 49 − 𝑥^{2}

√

∎ Hvilket skulle vises.

(Der ses bort fra den negative løsning til ligningen, da der er tale om en længde)

Fodpunktet for ℎ_{𝑐} (højden i 𝐶 med længden 𝑑) på siden 𝐴𝐵 i trekant 𝐴𝐵𝐶 benævnes 𝐷.

Da trekant 𝐵𝐶𝐷 og trekant 𝐴𝐵𝐶er ensvinklede trekanter (ligedannede), hvorfor der kan opstilles forhold mellem ensliggende sider i de to trekanter (jf. formel 19).

|𝐶𝐷| |𝐴𝐶| | 𝐴𝐶 | ⋅ |𝐵𝐶| 𝑥⋅ | 𝐵𝐶 |

|𝐵𝐶| |𝐴𝐵| |𝐴𝐵| 7

= ⇔ | 𝐶𝐷 | = ⇔ 𝑑=

Indsættes det fundne udtryk for |𝐵𝐶| fremkommer følgende udtryk for 𝑑 som en funktion af 𝑥:

𝑑(𝑥)= =

𝑥⋅ | 𝐵𝐶 | 𝑥⋅ √49 − 𝑥^{2}

7 7 b)

Som defineres i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion):

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟:𝑑 ( 𝑥) =

𝑥⋅ √49 − 𝑥^{2}

7 hvor 0<𝑥<7 (if. opgaveteksten)

For at kunne bestemme den værdi for 𝑥, der giver den største værdi for 𝑑, bestemmes først den afledede funktion 𝑑𝑑(𝑥). Hertil benyttes WordMat (CAS - Infinites. - Differentier): 𝑑(𝑥)

Udtrykket differentieres vha. CAS-værktøjet WordMat.

−

2 · 𝑥^{2} − 49
7 · √49 − 𝑥^{2}

Som defineres i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion):

Side 17

Skriftlig matematik STX A 1stx131-MAT/A-

17

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟:𝑑′ ( 𝑥) =−

2 · 𝑥^{2} − 49
7 · √49 − 𝑥^{2}

For at bestemme eventuelle ekstrema for 𝑑(𝑥) løses ligningen:

WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk)

𝑑′ ( 𝑥) =0

Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥≈−7,1 ∨ 𝑥≈−4,949747 ∨ 𝑥≈4,949747 ∨ 𝑥≈7,1 ∨ 𝑥≈1000

Da 0<𝑥<7 (jf. opgaveteksten) kan fire af de ovenstående løsninger udelukkes, hvorfor det konkluderes,

at 𝑑(𝑥) har et ekstrema ved 𝑥=4,95 (afrundet til to decimaler). Hvorvidt det er et maksimum, kan

undersøges med en fortegnsundersøgelse for den afledede funktion 𝑑𝑑(𝑥) ved at vælge to 𝑥-værdier, der

ligger på hver side af den fundne 𝑥-værdi (𝑥=3 og 𝑥=5 vælges).

𝑑^{′} ( 3) = = ≈0,7002186

31 31

14 · √ 10 14 · √ 10

𝑑′ ( 5) =− ≈−0,02916059

1

14 · √ 6

Ovenstående er beregnet med WordMat (CAS - Beregn).

Da 𝑑′

( 𝑥

)

>0 i intervallet ]0;4,95] og 𝑑′

( 𝑥

)

<0 i intervallet [4,95;7[ konkluderes, at 𝑑(𝑥)

har maksimum ved 𝑥=4,95

Dette betyder, at når 𝑥=4,95 𝑚 er 𝑑 størst muligt.

Side 18

Skriftlig matematik STX A 1stx131-MAT/A-

18

Opgave 16

Forskellen på ovnens temperatur og stegens indre temperatur er: ( 150 − 𝑇)

                                                              𝑑𝑇
Hastigheden, hvormed stegens indre temperatur stiger, kan angives ved:
                                                              𝑑𝑥

Hastigheden er opgivet værende proportional med forskellen mellem ovnens temperatur og stegens indre temperatur, hvorfor følgende gælder: 𝑑𝑇 𝑑𝑥

=𝑘⋅ (150 − 𝑇)

Da proportionalitetskonstanten er oplyst til 0,011 har man endelig den søgte differentialligning: 𝑑𝑇 𝑑𝑥

=0,011 ⋅ (150 − 𝑇)

Side 19

Skriftlig matematik STX A 1stx131-MAT/A-

19

Løsning med Maple

Alle opgaver er regnet med Maple, da vores erfaring viser, at det er et stærkt værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af Maple som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra Maples Gym-pakken egen formelsamling. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Side 20

(1.1.1)(1.1.1)

Alle beregninger er udført med Maple som CAS-værktøj . Maple bruger "." som decimaladskiller.

Opgave 7 a)

Vi definerer dataserien:

Vi foretager en eksponentiel regression:

Værdierner for a og b er følgende:

Side 21

(1.3.1)(1.3.1)

9048200 (1.2.1)(1.2.1)

00 (1.2.3)(1.2.3)

(1.2.2)(1.2.2)

(1.2.5)(1.2.5)

88 (1.3.2)(1.3.2)

(1.1.2)(1.1.2)

(1.2.4)(1.2.4) b)

Tallet a er fremskrivningsfaktoren og forbundet med vækstraten r på følgende måde:

Hvilket betyder, at andelen af Tysklands el-produktion, der kommer fra vedvarende energi, vokser med 9,5 % om året.

Fordoblingskonstanten/fordoblingstiden for en eksponentiel funktion bestemmes:

Fordoblingstiden for elektricitetsproduktionen er således ifølge modellen: år (ca. 7 år 7 måneder) c)

For at vurdere om målet på 35 % i 2020 (30 år efter 1990) er realistisk, undersøges om P(30)

>35 ved at indsætte x=30 i forskriften for P(x).

Da værdien må målet på 35 % siges at virke realistisk.

Side 22

(2.1.3)(2.1.3)

(2.1.1)(2.1.1)

5 (2.1.2)(2.1.2)

(2.1.4)(2.1.4)

(1.1.2)(1.1.2)

Opgave 8 a)

Forskriften defineres:

En ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(5,f(5)) kan bestemmes vha.

tangentligningen.Vi sætter =5 i ligningen:

En ligning for tangenten i punktet P(5,f(5)) er således bestemt til

Side 23

(3.2.2)(3.2.2)

(3.1.1)(3.1.1)

(3.2.3)(3.2.3)

05 (3.2.1)(3.2.1)

(1.1.2)(1.1.2)

17 (3.1.2)(3.1.2)

Opgave 9 a)

For en vilkårlig trekant gælder:

Da vi kender grundlinjens længde, som er lig længden af AB, og arealet af trekanten, kan højden bestemmes:

Højden fra C er derved 4,32.

b)

For at kunne bestemme omkredsen af en trekant, er det nødvendigt at kende alle sidelængder.

Vi bestemmer længden af BC vha formlen:

Hvor a er længden af siden BC og c er længden af siden AB.

Vi kan nu bestemme længden af AC vha. Maples trekantløser:

Længden af AC er lig 5,7. Omkredsen bestemmes som en sum af længderne AC, AB og BC:

Omkredsen af trekant ABC 24,4.

Side 24

31 (4.2.3)(4.2.3) localD (4.1.3)(4.1.3)

B (4.1.2)(4.1.2)

BCD (4.2.1)(4.2.1)

(1.1.2)(1.1.2)

(4.1.5)(4.1.5)

(4.2.2)(4.2.2)

ABD (4.1.4)(4.1.4)

A (4.1.1)(4.1.1)

Opgave 10 a)

Vi definerer punkterne:

Vi bestemmer planen og generer en ligning for planet:

Ligningen for planen er givet ved: b)

Planen indeholdende BCD defineres:

Vinklen mellem glasflader bestemmes:

Vinklen bestemmes i grader:

Den spidse vinkel mellem planerne er 79,52

Side 25

(5.1.1)(5.1.1)

(5.1.2)(5.1.2)

(1.1.2)(1.1.2)

Opgave 11 a)

Nulhypotesen er, at posen indeholder lige mange slags slik af hver farve.

For at kunne test en nulhypotese, skal der først bestemmes en forventet farvefordeling under forudsætning af, at den antagne nulhypotese er korrekt.

Det skal således testes (undersøges), om slikket følger en angivet farvefordeling, hvilket betyder, at der skal foretages en GOF test.

Side 26

(1.1.2)(1.1.2)

P-værdien aflæses til 0,0915. Da P 0,05 accepteres nulhypotesen. Der er med andre ord ikke signifikant forskel på antallet af stykker slik i de givne farver.

Side 27

85 (6.1.2)(6.1.2)

(6.1.1)(6.1.1)

07 (6.2.1)(6.2.1)

(1.1.2)(1.1.2)

Opgave 12 a)

Vi definerer funktionen:

Vi tegner grafen for funktionen:

For at bestemme højden over jorden efter 7 minutter, skal f(7) bestemmes:

Det er dermed bestemt, at gondolen efter 7 minutter er 62,8 meter over jorden.

b)

For at bestemme den tid, der går før gondolen er 40 meter over jorden første gang, løses

ligningen: f(t)=40 med hensyn til t (i minutter efter start).

Side 28

(1.1.2)(1.1.2)

Gondolen befinder sig 40 meter over jorden første gang (efter start) ved

Side 29

(7.2.2)(7.2.2)

(1.1.2)(1.1.2)

(7.1.1)(7.1.1)

(7.2.3)(7.2.3)

(7.3.1)(7.3.1)

(7.2.1)(7.2.1)

Opgave 13 a)

Væksthastigheden til tiden er lig med , hvorfor væksthastigheden, når bestanden tæller

500 traner, kan bestemmes ved at indsætte N=500 i den opgivne differentialligning og

bestemme: dN

Væksthastigheden, når bestanden tæller 500 traner, er således: 145 traner om året.

b)

Differentialligningen løses med startbetingelsen N(0)=194:

at 5 digits

Forskriften for N er: c)

Vi bestemmer, for hvilken værdi af t N'(t) antager sit maksimum:

Tranebestandens væksthastighed er størst 4 år efter 1975, altså i år 1979.

Side 30

37 (8.2.3)(8.2.3)

(8.1.3)(8.1.3)

(8.1.2)(8.1.2)

(8.1.1)(8.1.1)

(1.1.2)(1.1.2)

(8.2.2)(8.2.2)

(8.2.1)(8.2.1)

Opgave 14 a)

Vi definerer funktionen:

Vi bestemmer maksimum for f ved at maksimere funktionen i intervallet [0,10]:

Maksimum for er 7,5. Bredden af karaflen, hvor den er bredest bestemmes:

Den bredeste bredde er 15 cm.

b)

Rumfanget af væsken svarer til volumen af omdrejningslegemet i intervallet [0;h], hvor

. Volumen af omdrejningslegemet (omkring x-aksen) udtrykt ved bestemmes som:

Vi definerer funktionen

Vi løser nu ligningen for

Når væskevolumen er 500 er højden

Side 31

(9.2.1)(9.2.1)

(9.2.2)(9.2.2)

(1.1.2)(1.1.2)

(9.1.1)(9.1.1)

(9.1.2)(9.1.2)

Opgave 15 a)

Stigen, jorden og muren danner en retvinklet trekant ABC, hvorfor |BC| kan udtrykkes vha.

Kendte værdier (jf. skitsen) indsættes og udtrykket omskrives: solve for BC

Hvor det positive resultat er det samme som .

Fodpunktet for (højden i C med længden d) på siden AB i trekant ABC benævnes D. Da trekant BCD og trekant ABCer ensvinklede trekanter (ligedannede), hvorfor der kan opstilles forhold mellem ensliggende sider i de to trekanter:

Indsættes det fundne udtryk for |BC| fremkommer følgende udtryk for d:: b)

Vi definerer som en funktion af

Funktionen maksimeres:

Når opnår den størst mulige værdi, som er 3,5.

Side 32

(10.1.4)(10.1.4)

(10.1.1)(10.1.1)

(1.1.2)(1.1.2)

(10.1.2)(10.1.2)

(10.1.3)(10.1.3)

Opgave 16 a)

Forskellen på ovnens temperatur og stegens indre temperatur er:

Hastigheden, hvormed stegens indre temperatur stiger, kan angives ved:

Hastigheden er opgivet værende proportional med forskellen mellem ovnens temperatur og stegens indre temperatur, hvorfor følgende gælder:

Da proportionalitetskonstanten er oplyst til 0,011 har man endelig den søgte differentialligning: