STX Matematik A 24. maj 2013 - Delprøven uden hjælpemidler

Side 1

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX A 1stx131-MAT/A-

Opgaver uden hjælpemidler - 24. maj 2013

Alle formelnumre i de nedenstående løsninger henviser til Matematisk formelsamling stx A, 2007 fra Matematiklærerforeningen.

Formelsamlinger ikke må medbringes til selve prøven uden hjælpemidler.

Vi medtager formelnumre i vores løsninger, så du i din forberedelse præcist kan se hvilken formel, der bruges til at løse opgaven.

Opgave 1

Udtrykket reduceres: (formel 7)

(𝑝 + 𝑞)^{2} + 2𝑝(𝑝 − 𝑞) = 𝑝^{2} + 𝑞^{2} + 2𝑝𝑞 + 2𝑝^{2} − 2𝑝𝑞

= 𝑝^{2} + 2𝑝^{2} + 𝑞^{2} + 2𝑝𝑞 −2𝑝𝑞

= 3𝑝^{2} + 𝑞^{2}

Opgave 2

Hældningskoefficienten 𝑎 for den lineære funktion gennem punkterne A(3, 4) og B(5, 10) kan bestemmes som:(formel 47)

𝑎 =

𝑦_{2} − 𝑦_{1}
𝑥_{2} − 𝑥_{1}

Punkternes koordinater indsættes:

𝑎 = = = 3

10 − 4 6
5 − 3 2
Hældningskoefficienten er således: 𝑎 = 3

Konstanten 𝑏 kan, når 𝑎 samt et punkt er kendt, bestemmes som: (formel 48)

𝑦_{1} = 𝑎𝑥_{1} + 𝑏 ⇔ 𝑏 = 𝑦 − 𝑎𝑥_{1}

1

Den fundne værdi for 𝑎 samt ét af de kendte punkter indsættes:

𝑏 = 4 − 3 · 3 = −5

Konstanten er således: 𝑏 = −5

1

Side 2

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX A 1stx131-MAT/A-

Opgave 3

At konstanten 𝑐 er oplyst værende negativ, betyder at parablen skærer y-aksen i den negative halvdel af aksen, hvilket de alle gør.

At koefficienten 𝑎 er negativ, betyder at parabelen for p skal vende "benene nedad", hvilket udelukker parabel A

At diskriminanten er negativ, betyder at parablen ikke har skæringspunkter med x-aksen, hvilket udelukker parabel B

At hældningskoefficienten for parablens tangent i skæringspunktet med y-aksen er positiv udelukker parabel 𝐶, da dennes tangent i skæringspunktet vil have en negativ hældnings-koefficient.

Ved hjælp af udelukkelsesmetoden er konklusionen, at det er grafen 𝐷, som er graf for funktionen 𝑝.

Opgave 4

Det fremgår af figuren, at grafen skærer førsteaksen i 𝑥 = 0 og i 𝑥 = 3, hvilket betyder,

at arealet af punktmængden M kan bestemmes som integralet:(formel 153)

M = 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

∫_{3}

0

= −𝑥^{3} + 9𝑥 𝑑𝑥

∫_{3}

0

()

(formel 148 og 137)

= +

[]_{3}
−𝑥^{4} 9𝑥^{2}

4 2

0

(formel 147)

= + − +

−3^{4} 9 · 3^{2} −0^{4} 9 · 0^{2}

4 2 4 2

))

= + − 0

−81 81

4 2

=

81

4

Arealet af punktmængden M er således bestemt til:

A𝑟𝑒𝑎𝑙_{𝑀} =

81

4

2

Side 3

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX A 1stx131-MAT/A-

Opgave 5

Funktion 𝑓 er voksende, hvis dens afledede funktion 𝑓^{′} (𝑥) ≥ 0 for alle 𝑥 i definitionsmæng-
den 𝐷m(𝑓). Definitionsmængden for f er alle reelle tal, 𝐷m(𝑓) = ℝ.

𝑓^{′} (𝑥) bestemmes:

𝑓^{′} (𝑥) = (𝑒^{𝑥} + 7𝑥)^{′} = (𝑒^{𝑥})^{′} + (7𝑥)^{′} = 𝑒^{𝑥} + 7 (formel 121, 126)

Der gælder at 𝑒^{𝑥} > 0 for alle 𝑥 ∈ ℝ og idet 7 > 0, er 𝑓^{′} (𝑥) > 0 for alle x-værdier i 𝐷m(𝑓).

Dermed kan det konkluderes, at 𝑓 (𝑥) = 𝑒^{𝑥} + 7𝑥 er en voksende funktion.

Opgave 6

En ligning for en cirkel med centrum 𝐶(𝑥_{0}, 𝑦_{0}) og radius 𝑟 er givet ved: (𝑥−𝑎)^{2} +(𝑦−𝑏)^{2} =
𝑟^{2} (formel 53).
Indsættes cirklens centrum 𝐶(0, 0) og radius 𝑟 = 2 i ovenstående, fås følgende ligning

√

for cirklen:

(𝑥 − 0)^{2} + (𝑦 − 0)^{2} = 2 ⇔ 𝑥 + 𝑦^{2} = 2

()_{2}
√

2

For at bestemme eventuelle skæringspunkter mellem cirklen og linjen, indsættes linjens udtryk for hhv. x og y i cirklens ligning, og ligningen løses for 𝑡.

Herefter indsættes de fundne værdier for 𝑡 i linjens parameterfremstilling, hvorved koor-dinatsættene til skæringspunkterne bestemmes.

𝑥^{2} + 𝑦^{2} = 2

linjens koordinater indsættes

(3 + 𝑡)^{2} + (−3 − 𝑡)^{2} = 2

⇕

9 + 𝑡^{2} + 6𝑡 + 9 + 𝑡^{2} + 6𝑡 = 2

⇕

2𝑡^{2} + 12𝑡 + 16 = 0

⇕

𝑡^{2} + 6𝑡 + 8 = 0

⇕ ved faktorisering

(𝑡 + 2)(𝑡 + 4) = 0

⇕ "nulreglen"anvendes

𝑡 + 2 = 0 ∨ 𝑡 + 4 = 0

⇕

𝑡 = −2 ∨ 𝑡 = −4

3

Side 4

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX A 1stx131-MAT/A-

De fundne værdier for 𝑡 indsættes i linjens parameterfremstilling for at finde koordinaterne for skæringspunkterne mellem cirklen og linjen:

For 𝑡 = −2:

𝑥 3 1 1

𝑦 −3 −1 −1

))))

= − 2 · =

For 𝑡 = −4:
𝑥 3 1 −1
𝑦 −3 −1 1

))))

= − 4 · =

Hvilket betyder, at skæringspunkterne mellem cirklen og linjen er: 𝑆_{1} (1, −1) og 𝑆_{2} (−1, 1)

Alternativ kan andengradsligningen 𝑡^{2} + 6𝑡 + 8 = 0

på forrige side i stedet løse med formlen:

𝑥 = (formel 79)

−𝑏 ± 𝑏^{2} − 4𝑎𝑐

√

2𝑎

Hvilket ved indsættelse af de forskellige værdier giver:

𝑡 = = ⇔ 𝑥 = −4 ∨ 𝑥 = −2

−6 ± 6^{2} − 4 · 1 · 8 −6 ± 4

√ √

2 · 1 2

4