STX Matematik A 24. maj 2016 - Delprøven med hjælpemidler

Side 1

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016

1

STX Matematik A 24. maj 2016

Delprøven med hjælpemidler

1stx161-MAT-A-

Løsning med WordMat ...................................................................................................................................... 2 Løsning med Maple ......................................................................................................................................... 18

Side 2

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016

2

Løsning med WordMat

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 7 a)

Der er tale om en eksponentiel model, så vi opskriver data i en tabel og udfører eksponentiel regression vha. WordMat:

Antal år efter 2011 0 1 2 3

Omsætning i mia. 0,3 0,8 1,6 4,9 kr.

Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 0,992701

𝑦=0,3003265 · 2,477567^{𝑥}

Vi aflæser konstanterne fra regressionsligningen:

𝑎=2,478

𝑏=0,3003

b)

Vi definerer konstanterne og funktionen: 𝑏≔0,3003265 𝑎≔2,477567

𝑓 ( 𝑡) ≔𝑏· 𝑎^{𝑡}

I 2015 er 𝑡=4, så vi bestemmer:

Side 3

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016

3 𝑓 ( 4) ≈11,31606

Omsætningen af certifikater på fondsbørsen i 2015 var på 11,3 mia. kr. ifølge modellen.

Den årlige vækstrate 𝑟 kan beregnes vha.:

𝑎=1 + 𝑟

⇕ Ligningen løses for r vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑟=1,477567
=148%

Omsætningen af certifikater på fondsbørsen vokser med 148% om året ifølge modellen.

c)

Fordoblingstiden for en voksende eksponentiel funktion kan bestemmes som:

𝑇_{2} =

ln ( 2) ln ( 𝑎)

≈0,7639863

               3
Der går altså cirka. år svarende til 9 måneder, før omsætningen af certifikater på fondsbørsen er
               4

fordoblet.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 4

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016

4

Opgave 8 a)

Da alle 12 trekanter er ens, må vinklen være_{12}^{1} af en hel omdrejning på 360°:

𝑣=

360°

12

=30°

Vinkel 𝑣 er 30°.

b)

                                1
Arealet af hver enkelt trekant svarer til
                                12

af det samlede areal (enheder indgår underforstået):

𝑇≔

22

12

Arealet af hver enkelt trekant kan desuden bestemmes af formlen:

𝑇= · ℎ ·𝑔= · ℎ_{𝑣} · 𝑥

1 1

2 2

Hvis vi lader 𝑥 udgøre grundlinjen, skal vi trække en højde fra vinkel 𝑣 til siden 𝑥. Da deles trekanten i to

                                          1    𝑣                         1    𝑥
ens, retvinklede trekanter, hvor vinkel 𝑣 halveres til 𝑣= , og sidelængden 𝑥 halveres til 𝑥= .
                                          2    2                         2    2

Situationen skitseres:

         𝑣   30°
Tangens til =  =15° i den retvinklede trekant kan bestemmes som
         2   2

den modstående katete divideret med den hosliggende katete:

tan ( 15) =

𝑥

2

ℎ_{𝑣}

⇕ Ligningen løses for h vha. CAS-værktøjet WordMat.

v

ℎ_{𝑣} =

𝑥

2 · tan ( 15)

ℎ_{𝑣} defineres udtrykt ved 𝑥:

ℎ_{𝑣} ≔

𝑥

2 · tan ( 15)

Vi kan nu bestemme 𝑥 af ligningen:

𝑇= · ℎ_{𝑣} · 𝑥

1

2

Side 5

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016

5

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=−1,401771 ∨ 𝑥=1,401771

Der er tale om en sidelængde, så 𝑥>0.

Vi konkluderer, at sidelængden 𝑥 i grundfladen er 1,4 𝑚.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 6

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016

6

Opgave 9 a)

Funktionen defineres:

𝑓 ( 𝑥) ≔𝑥^{3} − 5𝑥^{2} + 4𝑥

Nulpunkter bestemmes ved at løse:

𝑓 ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=0 ∨ 𝑥=1 ∨ 𝑥=4

Funktionen har altså nulpunkter for 𝑥=0, 𝑥=1 og 𝑥=4.

b)

For at undersøge monotoniforholdene for 𝑓 bestemmes først nulpunkter for 𝑓ʼ. Dette gøres ved at løse ligningen:

𝑓^{′} ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=0,4648162 ∨ 𝑥=2,868517

Vi udregner nu fortegnet for f’ på begge sider af nulpunkterne:

𝑓^{′} ( 0,4) ≈0,48

𝑓^{′} ( 0,5) =−0,25

𝑓^{′} ( 3) =1

Vi sammenfatter dette i en monotonilinje: 𝑥 0,465 2,869

𝑓^{′} ( 𝑥) + 0 - 0 +

𝑓 ( 𝑥) ↗ ↘ ↗

Vi kan dermed konkludere:

Side 7

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016

7

f er voksende i intervallerne ] − ∞;0,465] og [2,869;∞[

f er aftagende i intervallet [0,465;2,869] c)

Da linjen 𝑚 er parallel med linjen 𝑙, har de to linjer samme hældning: 𝑎=1. Begge linjer er tangenter til

grafen og deres hældninger angiver således funktionens differentialkvotient i deres respektive røringspunkter. Der hvor linjen 𝑚 tangerer grafen for 𝑓, skal der altså gælde, at:

𝑓^{′} ( 𝑥) =1

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥= ∨ 𝑥=3

1

3

Løsningen nummer to hører til linjen 𝑙 som tangerer grafen i 𝑃(3,𝑓

(

3

)

). Førstekoordinaten til punktet 𝑄 er

        1
altså 𝑥=
        3

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 8

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016

8

Opgave 10 a)

Vi åbner WordMats regneark til 𝜒^{2} -uafhængighedstest, indtaster tabellens oplysninger og får følgende

output: χ²-test

Observationer I alt Forventede I alt

120 201 321 110,0088 210,9912 321

75 173 248 84,99121 163,0088 248

I alt 195 374 569 195 374 569

P-værdi: 7,51%

Signifikans niveau: 5%

De forventede værdier under nulhypotesen aflæses, afrundes og opstilles i en tabel:

FORVENTET Bor sammen med begge Bor sammen med én forælder forældre

BMI under 25 110 211

BMI over 25 85 163

Da 𝑝=7,51%>5%, kan nulhypotesen ikke forkastes på et 5%-signifikansniveau. Vi kan således ikke

afvise, at der er uafhængighed mellem familietype og BMI.

b)

Totalerne (disse aflæses i outputtet fra WordMat) skal være de uændrede for hhv. BMI over 25 og BMI under 25. Antallet som udelukkende bor hos den ene forælder kan altså bestemmes som:

BMI under 25:

321=120 + 100 + 𝑥

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=101

BMI over 25:

248=75 + 61 + 𝑦

Side 9

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016

9

⇕ Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦=112

En ny antalstabel opstilles:

Bor sammen med Bor på skift Bor begge forældre mellem forældre udelukkende med den ene forælder

BMI under 25 120 100 101

BMI over 25 75 61 112

Vi åbner WordMats regneark til 𝜒^{2} -uafhængighedstest, indtaster tabellens oplysninger og får følgende

output: χ²-test

Observationer I alt Forventede I alt

120 100 101 321 8 7 4 321

110,008 90,8277 120,163

75 61 112 248 1 3 6 248

84,9912 70,1722 92,8365

I alt 195 161 213 569 195 161 213 569

P-værdi: 0,37%

Signifikans niveau: 5%

Da 𝑝<5%, forkastes nulhypotesen på et 5%-signifikansniveau. På et 5%-signifikansniveau kan vi konstatere, at der er en sammenhæng mellem familietype og BMI (dvs. de er ikke uafhængige).

Side 10

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016

10

Opgave 11 a)

Arealet af glasfladen 𝐶𝐷𝐸 svarer til arealet af den trekant, som udspændes af de to vektorer 𝐶𝐸 og 𝐶𝐷.

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

Arealet af denne trekant kan bestemmes som halvdelen af længden af vektorernes krydsprodukt:

𝑇= · | 𝐶𝐸 × 𝐶𝐷 |

1

2

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

Vektorerne defineres vha. de opgivne punkters koordinater:

𝐶𝐸 ≔( 0 − 68)

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

27 − 18

43 − 32

𝐶𝐷 ≔( 0 − 68)

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

18 − 18

32 − 32

Trekantens areal bestemmes:

𝑇= · | 𝐶𝐸 × 𝐶𝐷 | ≈483,2308

1

2

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

Arealet af glasfladen 𝐶𝐷𝐸 er ca. 483 𝑚^{2}.

b)

Vinklen mellem glasfladen 𝐶𝐷𝐸 og et gulvplan i bygningen kan bestemmes som vinklen mellem en normalvektor til gulvplanet og en normalvektor til glasfladen 𝐶𝐷𝐸. Vi antager, at gulvplanerne er helt vandrette. En normalvektor kan da defineres som:

𝑛 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯_{𝑔} ⃗ ≔( 0)

0

1

En normalvektor til glasfladen 𝐶𝐷𝐸 kan bestemmes som krydsproduktet mellem to ikke-parallelle vektorer i glasfladen. 𝐶𝐸 og 𝐶𝐷 er to sådanne vektorer. Det vil sige:

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

𝑛 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ≔𝐶𝐸 × 𝐶𝐷
 𝐶𝐷𝐸

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

Vinklen 𝑣 mellem de to vektorer kan bestemmes som:

cos ( 𝑣) =

𝑛 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ · 𝑛 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗
 𝐶𝐷𝐸   𝑔

| 𝑛 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯_{𝐶𝐷𝐸} ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ | | 𝑛 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯_{𝑔} ⃗ |

⇕ Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑣=129,2894

Side 11

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016

11

Dette er den stumpe vinkel, og det må formodes, at man ønsker den spidse vinkel, som kan bestemmes som:

𝑣_{𝑠𝑝𝑖𝑑𝑠} =180 − 𝑣_{𝑠𝑡𝑢𝑚𝑝}

Dvs.:

𝑣_{𝑠𝑝𝑖𝑑𝑠} =180 − 129,2894
=50,7106

Vinklen mellem glasfladen 𝐶𝐷𝐸 og et gulvplan i bygningen er altså ca. 50,7°.

c)

Vi antager, at stålwirerne kan beskrives som rette linjer. Skæringspunkterne mellem disse linjer bestemmes ved at opstille parameterfremstillinger for begge linjer og sætte koordinatfunktionerne for de to stålwirer lig med hinanden. En parameterfremstilling har følgende udseende:

( 𝑦) =() + 𝑡· ()

𝑥 𝑧

𝑥_{0} 𝑟_{1}
𝑦_{0} 𝑟_{2}
𝑧_{0} 𝑟_{3}

Hvor (

𝑟_{1} 𝑥_{0}
𝑟_{2} 𝑦_{0}
𝑟_{3} 𝑧_{0}

) er en retningsvektor og (

) er et punkt på linjen.

Retningsvektoren 𝐴𝐶 og punktet 𝐴 anvendes til at opskrive en parameterfremstilling for første stålwire,

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ som repræsenteres af linjen 𝑙, og koordinatfunktionerne udregnes:

𝑙: ( 𝑦) =( 0) + 𝑡· ( 68 − 0)

𝑥 𝑧

22 18 − 22

0 32 − 0

=( 68 · 𝑡)

−4 · 𝑡+ 22

32 · 𝑡

Retningsvektoren 𝐵𝐷 og punktet 𝐵 anvendes til at opskrive en parameterfremstilling for anden stålwire,

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ som repræsenteres af linjen 𝑚:

𝑚: ( 𝑦) =( 62) + 𝑠 · ( 0 − 62)

𝑥 𝑧

22 18 − 22

0 32 − 0

=( −62 · 𝑠 + 62)

−4 · 𝑠 + 22

32 · 𝑠

Vi sætter koordinatfunktionerne lig med hinanden og løser mht. 𝑠 og 𝑡:

( 68 · 𝑡)=( −62 · 𝑠 + 62)

−4 · 𝑡 + 22 −4 · 𝑠+ 22

32 · 𝑡 32 · 𝑠

Side 12

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016

12

⇕ Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑠= ∧ 𝑡=

31 31

65 65

Advarsel: Du har bedt om at løse et ligningssystem, men angivet færre variable end ligninger. Kun de første ligninger er løst. Kontroller selv om de(n) sidste ligning(er) passer.

               31
Vi ser, at: 𝑠=𝑡= . WordMat har kun løst de første to ligninger, da ligningssystemet er overbestemt
               65

(flere ligninger end ubekendte). Vi ser, at den sidste ligning er:

32𝑡=32𝑠

⇕

𝑡=𝑠

Dette stemmer overens med løsningen af de første to ligninger, så vi har fundet et skæringspunkt.

Koordinatsættet til skæringspunktets stedvektor (dvs. skæringspunktets koordinater) findes ved at

           31
indsætte 𝑡=  i parameterfremstillingen for 𝑙:
           65

( 𝑦) =( 0) + · ( 68 − 0)

𝑥 𝑧

22 18 − 22

0 32 − 0

31

65

≈( 32,43077)

20,09231

15,26154

Koordinatsættet til skæringspunktet mellem de to stålwirer er altså (på afrundet form) 𝑃( 32,43).

20,09

15,26

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 13

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016

13

Opgave 12 a)

Vi har, at:

𝑦^{′} ( 𝑡) =−0,03· 𝑦(𝑡)

𝑦′(𝑡) angiver væksthastigheden for 𝑦(𝑡), som angiver klorkoncentrationen.

                                                         𝑚𝑔
Klorkoncentrationens væksthastighed, når koncentrationen er på 1,2 (dvs. 𝑦 ( 𝑡 ) =1,2), bestemmes
                                                        𝑙𝑖𝑡𝑒𝑟

som:

𝑦^{′} ( 𝑡) =−0,03 · 1,2
=−0,036

Væksthastigheden er negativ, så koncentrationen aftager til på det pågældende tidspunkt.

                                 𝑚𝑔                                     𝑚𝑔
Klorkoncentrationen aftager med 0,036 pr. time, når klorkoncentrationen er på 1,2 .
                                 𝑙𝑖𝑡𝑒𝑟                                 𝑙𝑖𝑡𝑒𝑟

b)

Differentialligningen opskrives og løses vha. begyndelsesbetingelsen 𝑦 ( 0) =1,8

𝑦^{′} =−0,03· 𝑦

Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen y(0)=1,8
𝑦=𝑒^{−0,03·𝑡} · 1,8

Funktionen opskrives og defineres:

𝑦 ( 𝑡) ≔𝑒^{−0,03·𝑡} · 1,8

Vi bestemmer så: 𝑦 ( 24) ≈0,8761541

                                                   𝑚𝑔
Klorkoncentrationen i vandet til tidspunktet 𝑡=24 er ca. 0,88 .
                                                   𝑙𝑖𝑡𝑒𝑟

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 14

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016

14

Opgave 13 a)

Vi indstiller WordMat til vinkelenheden radianer og til at give alle løsninger på trigonometriske ligninger.

De største og mindste værdier kan findes enten i intervalendepunkterne for definitionsmængden eller i et lokalt ekstremum (hvor tangenten vil være vandret).

Funktionen defineres og grafen tegnes:

𝑓 ( 𝑡) ≔20 − 5 · ( sin ( 0,262 · 𝑡) + cos ( 0,262 · 𝑡)), 0≤𝑡≤24

Vandrette tangenter i definitionsmængden bestemmes ved at løse:

𝑓^{′} ( 𝑡) =0

Ligningen løses numerisk for t vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑡≈2,997703 ∨ 𝑡≈14,98851

Der blev fundet løsninger vha. numeriske metoder, men der findes muligvis flere.

På trods af WordMats forbehold vedr. numeriske metoder, kan vi heldigvis se af grafen, at der kun er to steder med vandrette tangenter (som begge er ekstrema). Vi undersøger funktionsværdien i intervalendepunkter samt lokale ekstrema:

𝑓 ( 0) =15

Side 15

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016

15 𝑓 ( 2,997703) ≈12,92893 𝑓 ( 14,98851) ≈27,07107 𝑓 ( 24) ≈14,97598

Vi kan nu konkludere, at den højeste temperatur for dette sommerdøgn er 27,07 ℃, mens den laveste temperatur er 12,93 ℃ ifølge modellen.

b)

Vi anvender WordMat:

𝑓^{′} ( 8) ≈1,790261

Tallet er differentialkvotienten til 𝑡=8. Differentialkvotienten angiver funktionens væksthastighed til det
pågældende tidspunkt. Det vil sige, at temperaturen vokser med 1,8℃ i timen til tidspunktet 𝑡=8 (8 timer

efter midnat).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 16

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016

16

Opgave 14 a)

Funktionen defineres og grafen tegnes:

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑓 ( 𝑥) = 4 − 𝑥^{2},−4≤𝑥≤4

√^{2}

Integralet bestemmes vha. WordMat:

∫ 𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥 =8 · 𝜋

4

−4

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: b)

Funktionen defineres:

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑔 ( 𝑥) = 𝑎 − 𝑥^{2},−𝑎≤𝑥≤𝑎 , 𝑎>0

√^{2}

Vi bestemmer skæringspunkter med førsteaksen:

𝑔 ( 𝑥) =0

Side 17

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016

17

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=−𝑎 ∨ 𝑥=𝑎

For alle værdier af 𝑥 i definitionsmængden gælder, at 𝑔≥0. Arealet af punktmængden 𝑀, som afgrænses

af 𝑔 og førsteaksen i definitionsmængden givet ved intervallet [−𝑎,𝑎] svarer så til værdien af det bestemte integral af 𝑔(𝑥) i intervallet [−𝑎,𝑎]. Da arealet er lig med 4, får vi, at:

4=∫ 𝑔 ( 𝑥) 𝑑𝑥

𝑎

−𝑎

⇕ Ligningen løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑎=1,595769

Vi konkluderer, at 𝑎=1,596.

Side 18

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016

18

Løsning med Maple

Alle opgaver er regnet med Maple, da vores erfaring viser, at det er et stærkt værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af Maple som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra Maples Gym-pakken egen formelsamling. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Side 19

(1.1.1)(1.1.1)

(1.1.2)(1.1.2)

Alle beregninger er udført med Maple som CAS-værktøj . Maple bruger "." som decimaladskiller.

Opgave 7 a)

Vi foretager en eksponentiel regresion af punktserien.

Konstanterne a og b har følgende værdi:

Side 20

24 | (1.2.5)(1.2.5)

2422762 (1.2.1)(1.2.1)

(1.3.2)(1.3.2)

24 | (1.2.6)(1.2.6)
27 | (1.2.4)(1.2.4)

(1.3.1)(1.3.1)

(1.2.2)(1.2.2)

(1.2.3)(1.2.3) b)

Vi definerer konstanterne og funktionen:

I 2015 er t =4, så vi bestemmer:

Omsætningen af certifikater på fondsbørsen i 2015 var på 11,3 mia. kr. ifølge modellen.

Den årlige vækstrate kan beregnes vha.:

Omsætningen af certifikater på fondsbørsen vokser med 148% om året ifølge modellen.

c)

Fordoblingstiden for en voksende eksponentiel funktion kan bestemmes som:

Der går altså cirka. år svarende til 9 måneder, før omsætningen af certifikater på fondsbørsen er fordoblet.

Side 21

(2.1.1)(2.1.1)

(2.2.1)(2.2.1)

Opgave 8 a)

Da alle 12 trekanter er ens, må vinklen være af en hel omdrejning på 360°:

Vinkel er 30°.

b)

Arealet af hver enkelt trekant svarer til 112 af det samlede areal (enheder indgår underforstået)

:

11

6

Arealet af hver enkelt trekant kan desuden bestemmes af formlen: vis vi lader udgøre grundlinjen, skal vi trække en højde fra vinkel til siden . Da deles trekanten i to ens, retvinklede trekanter, hvor vinkel , og sidelængden halveres til

. Situationen skitseres:

Side 22

(2.2.3)(2.2.3)

(2.2.4)(2.2.4)

(2.2.2)(2.2.2)

1

2 v h

1

2 x

tan =

v 2

2 h x

Tangens til i den retvinklede trekant kan bestemmes som den modstående katete divideret med den hosliggende katete: defineres udtrykt ved :

Vi kan nu bestemme af ligningen:

Der er tale om en sidelængde, så . Vi konkluderer, at sidelængden i grundfladen er 1,4

.

Side 23

(3.1.1)(3.1.1)

(3.1.2)(3.1.2)

Opgave 9 a)

Funktionen defineres:

Funktionens nulpunkter bestemmes:

Funktionen har altså nulpunkter for =0, =1 og =4.

b)

For at undersøge monotoniforholdene for foretages en funktionsanalyse:

Vi får genereret følgende monotoniforhold:

Side 24

(3.3.1)(3.3.1) c)

Da linjen er parallel med linjen , har de to linjer samme hældning: =1. Begge linjer er

tangenter til grafen og deres hældninger angiver således funktionens differentialkvotient i deres respektive røringspunkter. Der hvor linjen tangerer grafen for , skal der altså gælde, at:

Løsningen nummer to hører til linjen som tangerer grafen i . Førstekoordinaten til

punktet er altså =

Side 25

(4.1.1)(4.1.1)

(4.1.2)(4.1.2)

Opgave 10 a)

Vi definerer observationerne og foretager en

Da , kan nulhypotesen ikke forkastes på et 5%-signifikansniveau. Vi kan således ikke afvise, at der er uafhængighed mellem familietype og BMI.

De forventede værdier beregnes og opstilles i en tabel:

Side 26

101 (4.2.1)(4.2.1)

112 (4.2.2)(4.2.2)

(4.2.3)(4.2.3)

Forventet Bor sammen med Bor sammen med Ialt begge forældre én forælder

BMI under 25

321 (4.1.3)

BMI over 25

248 (4.1.4) b)

Totalerne skal være de uændrede for hhv. BMI over 25 og BMI under 25. Antallet som udelukkende bor hos den ene forælder kan altså bestemmes som:

BMI under 25:

BMI over 25:

En antalstabel opstilles:

Bor sammen med Bor sammen med Bor udelukkende begge forældre én forælder med den ene forælder

BMI under 25

BMI over 25

Vi definerer dataet og foretager en

Side 27

Da , forkastes nulhypotesen på et 5%-signifikansniveau. På et 5%-signifikansniveau kan vi konstatere, at der er en sammenhæng mellem familietype og BMI (dvs. de er ikke uafhængige).

Side 28

CDE | (5.2.1)(5.2.1)

C | (5.1.1)(5.1.1)

(5.1.5)(5.1.5)

E | (5.1.3)(5.1.3)

CDE | (5.1.4)(5.1.4)

(5.2.6)(5.2.6)

ABP | (5.2.5)(5.2.5)

P | (5.2.2)(5.2.2)

36 (5.1.6)(5.1.6) localD (5.1.2)(5.1.2)

B | (5.2.4)(5.2.4)
A | (5.2.3)(5.2.3)

13 (5.2.7)(5.2.7)

Opgave 11 a)

Vi definerer trekanten CDE ud fra punkterne C, D og E:

Vi bestemmer arealet af trekanten:

Arealet af glasfladen CDE er ca. 483 .

b)

Vi definerer planen indeholdende punkt C,D og E:

Vi definerer planen indeholdende punkt A og B og origo, som er gulvplanen:

Vi bestemmer vinklen mellem planerne:

Vinklen mellem glasfladen CDE og et gulvplan i bygningen er altså ca. 50,7°.

c)

Vi definere linjerne AC og BD:

Side 29

(5.3.4)(5.3.4)

BD (5.3.2)(5.3.2)

(5.3.5)(5.3.5)

AC (5.3.1)(5.3.1)

S (5.3.3)(5.3.3)

Skæringen bestemmes:

Koordinatsættet til skæringspunktet mellem de to stålwirer er altså

Side 30

608 (6.2.4)(6.2.4)

(6.2.3)(6.2.3)

(5.3.1)(5.3.1)

(6.2.2)(6.2.2)

(6.1.1)(6.1.1)

(6.2.1)(6.2.1)

Opgave 12 a)

Klorkoncentrationens væksthastighed, når koncentrationen er på 1,2 (dvs. y(t))=1,2),

bestemmes som:

Væksthastigheden er negativ, så koncentrationen aftager til på det pågældende tidspunkt.

Klorkoncentrationen aftager med 0,036 pr. time, når klorkoncentrationen er på 1,2 mg b)

Differentialligningen løses vha. begyndelsesbetingelsen y(0) =1,8:

Funktionen opskrives og defineres:

Vi bestemmer så:

Klorkoncentrationen i vandet til tidspunktet =24 er ca. 0,88

Side 31

(7.1.1)(7.1.1)

(5.3.1)(5.3.1)

(7.1.2)(7.1.2)

(7.1.3)(7.1.3)

Opgave 13 a)

Funktionen defineres og grafen tegnes:

Vi maksimerer funktionen:

Den højeste temperatur for dette sommerdøgn er

Vi minimerer funktionen:

Den laveste temperatur for dette sommerdøgn er b)

Side 32

11 (7.2.1)(7.2.1)

(5.3.1)(5.3.1)

Tallet er differentialkvotienten til =8. Differentialkvotienten angiver funktionens

væksthastighed til det pågældende tidspunkt. Det vil sige, at temperaturen vokser med 1,8 i

timen til tidspunktet =8 (8 timer efter midnat).

Side 33

(8.1.1)(8.1.1)

(5.3.1)(5.3.1)

(8.1.2)(8.1.2)

Opgave 14 a)

Funktionen defineres og grafen tegnes:

Integralet bestemmes: b)

Funktionen defineres:

Side 34

(8.2.1)(8.2.1)

22 (8.2.3)(8.2.3)

(8.2.2)(8.2.2)

(5.3.1)(5.3.1)

Vi bestemmer skæringspunkter med førsteaksen:

For alle værdier af i definitionsmængden gælder, at , som afgrænses af og førsteaksen i definitionsmængden givet ved intervallet [- , ] svarer så til værdien af det bestemte integral af i intervallet [- ]. Da arealet er lig med 4, får vi, at:

Vi konkluderer, at =1,596.