STX Matematik A NET 2012 31. maj - Delprøve 2: Med netadgang

Side 1

Skriftlig matematik STX A 2stx122-MATn/A-

Alle formlerne i nedenstående besvarelse henviser til Matematisk formelsamling stx A fra 2007.

Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formelnumre i løsningerne, er så du præcist kan se hvilken formel, der bruges til at løse opgaven.

Opgave 9 a)

Når der kendes to sider og vinklen imellem dem kan den sidste side bestemmes ved hjælp af cosinusrelationen, jf. formel 25.

Sidelængden | 𝐵𝐶 | bestemmes idet sidelængder altid er positive.

Der gælder altså at længden af 𝐵𝐶 er

| 𝐵𝐶 | ≈3,9

Når nu samtlige sider kendes kan vinkelen ∠𝐶 bestemmes ved hjælp af cosinusrelationen, jf. formel 26.

Side 2

studienet.dk
Skriftlig matematik STX A2stx122-MATn/A-
bc:=3.9106342508372
3.91063
cos⁻¹((ac²+bc²-ab²)/(2·ac·bc))
44.1354
2/99
Der gælder altså at
∠C≈44,1°

Side 3

Skriftlig matematik STX A 2stx122-MATn/A-

Opgave 10 a)

For at bestemmes tallene 𝑎 og 𝑏 udføres der regression. Da det angives at 𝑀 er på formen 𝑀 ( 𝑙) =𝑏⋅ 𝑙^{𝑎}

udføres potensregression.

Tabellens data defineres og regressionen udføres. Endelig udskrives resultatet.

Bemærk: TI-𝑛spire CAS er et amerikansk produkt og bruger derfor amerikansk notation. Komma og punktum bruges således forskelligt fra, hvad der er gængs dansk notation.

Bemærk: TI-𝑛spire CAS bruger symbolerne 𝑎 og 𝑏 modsat af hvad opgave teksten gør. Lignende ses ofte når TI-𝑛spire CAS bruges til at løse opgaver på gymnasiet. Man bør derfor være særlig opmærksom på hvordan symbolerne indgår i udtrykkene.

De to værdier fås således til 𝑎≈2,83255 og 𝑏≈0,000044 b)

Længden af en tunfist der vejer 14 kg fås ved at løse ligningen 𝑀 ( 𝑙) =14.

Funktionen defineres og ligningen løses.

Side 4

Skriftlig matematik STX A 2stx122-MATn/A-

En tunfisk der vejer 14 kg har altså ifølge modellen en længde på ca. 87,9 centimer.

c)

Den relative ændring, jf. modellen, for en tunfisk vægt når dens længde øges med 30 % er givet ved 𝑚 ( 1,3 ⋅ 𝑙) 𝑚 ( 𝑙)

− 1

Den relative ændring bestemmes.

Den relative ændring er ca. 1,10. Ifølge modellen gælder altså, at hvis en tunfisks længde øges med 30 %, øges dens vægt med hele 110 %.

Side 5

Skriftlig matematik STX A 2stx122-MATn/A-

Opgave 11 a)

Herunder er grafen skitseret ved hjælp af TI-𝑛spire CAS.

Det ses umiddelbart af forskriften for 𝑓 at 𝑓 ( 2) =0. Arealet af 𝑀 er altså givet ved, jf. formel 153

𝑀=∫𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥

2

0

Arealet bestemmes.

Arealet af 𝑀 er altså

𝑀=6 ⋅ 𝑒^{−2} + 2≈2,81201

Side 6

Skriftlig matematik STX A 2stx122-MATn/A-

Opgave 12 a)

For at lave det ønskede skema åbnes filen bilag 1 i Microsoft Excel. Feltet dreng under meget ringe interesse beregnes ved hjælp af formlen

=SUMPRODUKT((A2:A450=”dreng”)*(B2:B450=”meget ringe interesse”))

De syv andre manglende felter beregnes tilsvarende. Det givet følgende skema.

meget ringe interesse ringe interesse gennemsnitlig interesse kraftig interesse Total dreng 101 62 27 15 205 pige 69 68 59 48 244

Total 170 130 86 63 449 b)

Da der testes for uafhængig mellem køn og interessen for talkshows, bestemmes de forventede værdier ved hjælp af funktionen chi22way. På TI-𝑛spire CAS defineres dataet i en matrix og beregningerne foretages. Endelig udskrives de forventede værdier.

En matrix laves i TI-𝑛spire CAS ved under menuen at vælge 7: Matricer og vektorer 1: Opret 1:

🡪

🡪

Matrix…

                                                          2
Da samtlige forventede værdier er større end 5 udskrives resultatet af 𝜒 -testen.

Side 7

Skriftlig matematik STX A 2stx122-MATn/A-

Således fås at 𝜒^{2} ≈32,3. Med en frihedsgrad på 3, giver dette en p-værdi på ca. 4,4 ⋅ 10^{−7} =0,000044 %.

Da p-værdien er mindre end 5 % må 𝐻_{0} forkastes. Der er altså fundet en sammenhæng mellem køn og

interessen for talkshows, der er statistisk signifikant på 5 % niveau.

Side 8

Skriftlig matematik STX A 2stx122-MATn/A-

Opgave 13 a)

Differentialligningen med startbetingelsen 𝑉 ( 0) =0,59 løses.

𝑉 er altså bestemt ved forskriften

𝑉 ( 𝑡) =

53,63 ⋅ 1,0097^{𝑡}
0,0097^{𝑡} + 89,8983

b)

Væksttilvæksten er^{𝑑𝑉}_{𝑑𝑡}. For at bestemme det tidspunkt hvor vægttilvæksten er størst, bestemmes først

vægten til den tid hvor vægttilvæksten er størst.

Det tidspunkt hvor vægttilvæksten er størst bestemmes nu ved at løse ligningen

𝑉 ( 𝑡) =26,815

Ligningen løses.

Side 9

Skriftlig matematik STX A 2stx122-MATn/A-

Det tidspunkt hvor vægttilvæksten er størst er altså efter ca. 466 døgn.

Side 10

Skriftlig matematik STX A 2stx122-MATn/A-

Opgave 14 a)

Snitfladen er en trekant. De tre hjørner kaldes 𝐴, 𝐵 og 𝐶. Disse aflæses til

𝐴=( 3), 𝐵=( 3) og 𝐶=( 3)

5 5 3

4 0 5

Snitfladen er nu halvdelen af det parallelogram der udspændes af 𝐴𝐵 og 𝐴𝐶. Arealet af dette

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ parallelogram er givet ved, jf. formel 70

𝐴= | 𝐴𝐵 × 𝐴𝐶 |

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

Arealet af snitfladen er altså √ 61m^{2} ≈7,81m^{2}.

b)

Det modstående hjørne er 𝑂= ( 0,0,0). Det ses let at afstanden mellem snitfladen og 𝑂 er den samme som

afstanden mellem 𝑂 og den plan snitfladen er en del af. Denne plan er givet ved, jf. formel 71

𝑎 ( 𝑥− 𝑥_{0}) + 𝑏 ( 𝑦 − 𝑦_{0}) + 𝑐 ( 𝑧− 𝑧_{0}) =0

hvor 𝑎, 𝑏, 𝑐 er koordinaterne til en normalvektor og hvor 𝑥_{0}, 𝑦_{0}, 𝑧_{0} er koordinaterne til et punkt i planen.

En normalvektor bestemmes og en ligning for planen opskrives.

Side 11

Skriftlig matematik STX A 2stx122-MATn/A-

Nu kan afstanden endelig bestemmes ved hjælp af, jf. formel 72

dist ( 𝑃,𝛼) =

| 𝑎𝑥_{1} + 𝑏𝑦_{1} + 𝑐𝑧_{1} + 𝑑 |
√ 𝑎^{2} + 𝑏^{2} + 𝑐^{2}

Afstanden bestemmes.

Afstanden mellem snitfladen og det modstående hjørne er altså

42

√ 61

m≈5,38m

Side 12

Skriftlig matematik STX A 2stx122-MATn/A-

Opgave 15 a)

I Excel kan laves to nye søjler. En hvor der kun forekommer BMI for drenge og en kun for piger. Ved hjælp af formlen

=HVIS(A2="dreng";B2;"")

kommer en værdi kun med hvis den er for en dreng. Denne formel trækkes hele vejen ned til enden på data sættet. En tilsvarende søjle lavet for pige. Forekommer drengenes værdier i søjlen C og pigernes i D, kan de ønskede tal nu bestemmes ved drenge piger

min =MIN(C2:C450) =MIN(D2:D450)
1.kvartil =FRAKTIL(C2:C450;0,25) =FRAKTIL(D2:D450;0,25)
median =MEDIAN(C2:C450) =MEDIAN(D2:D450)
3.kvartil =FRAKTIL(C2:C450;0,75) =FRAKTIL(D2:D450;0,75)
max =MAKS(C2:C450) =MAKS(D2:D450)

Det giver værdierne drenge piger

min | 15,61 | 14,87
1.kvartil | 19,94 | 18,73
median | 20,99 | 19,84
3.kvartil | 22,40 | 21,17
max | 29,41 | 29,74

Kvartilsættene er altså

Drenge: ( 19,94;20,99;22,40)

Piger: ( 18,73;19,84;21,17)

Ved hjælp af disse tal kan de to boksplot nu tegnes.

Det ses at drengenes BMI er højere end pigernes. Pigerne er mere ekstreme end drengene i begge ender.

Side 13

Skriftlig matematik STX A 2stx122-MATn/A-

b)

Lad 𝜇_{1} og 𝜇_{2} hhv. betegne middelværdien for drengenes (1) og pigernes (2) BMI.

Vi ønsker at teste:

𝐻_{0}: 𝜇_{1} =𝜇_{2}

For at bestemme om nulhypotesen kan forkastes på et 5 % signifikansniveau estimerer først middelværdierne og varianserne under denne model (ens varians).

Der er 205 drenge og 244 piger. Middelværdien for drengene hhv. pigerne fås til

𝑚_{𝑦}_{1} ≈21,21198 hhv. 𝑚_{𝑦_{2}} ≈20,167172

Varianserne estimeres til

𝑠_{1}^{2} ≈4,15207 hhv. 𝑠_{2}^{2} ≈4,76276

Middelværdierne og varianserne bestemmes lettest ved hjælp af Excel. Lav en kolonne kun med drengenes værdier og en kun med pigernes. Dette gøres lettest ved at bruge HVIS kommandoen.

Middelværdierne hhv. varianserne bestemmes med kommandoerne MIDDEL hhv. VARIANSS.

Da der er 205 drenge og 244 piger bliver den samlede varians da

𝑠^{2} = ≈ ≈4,48406

𝑠_{1}^{2} ⋅ ( 𝑛_{1} − 1) + 𝑠_{2}^{2} ⋅ ( 𝑛_{2} − 1) 4,15207 ⋅ ( 205 − 1) + 4,76276 ⋅ ( 244 − 1)
( 𝑛_{1} − 1) + ( 𝑛_{2} − 1) ( 205 − 1) + ( 243 − 1)

Teststørrelsen 𝑡 kan da bestemmes

𝑡= ≈ ≈5,20774

𝑚_{𝑦_{1}} − 𝑚_{𝑦_{2}} 21,21198 − 20,167172

√ 𝑠^{2} ⋅ ( +) √

1 1

𝑛_{1} 𝑛_{2}

4,48406 ⋅ ( +)

1 1

205 244

Frihedsgraden bliver 𝑓 = ( 205 − 1 ) + ( 244 − 1 ) =447. Nu kan T-fordelingen bestemmes ved hjælp af
                  1

=T.FORDELING(5,2077;447;SAND)

i Excel. Der fås

𝐹_{𝑡} ≈0,999999854

Endelig bestemmes sandsynligheden

𝑝=2 ⋅ ( 1 − 𝐹_{𝑡}) ≈2 ⋅ ( 1 − 0,999999854) ≈2,92293 ⋅ 10^{−7} ≈0,000029 %

Nulhypotesen må altså forkastes på et 5 % signifikansniveau.