STX Matematik A 14. maj 2008 - Delprøven med hjælpemidler

Side 1

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008

1

STX Matematik A

14. maj 2008

Delprøven med hjælpemidler

STX081-MAA

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp STX 3.g

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 6 a)

Vinkel D bestemmes med WordMats trekantsløser:

WordMats trekantsløser anvendes med input: H = 90°, CD = 6, HC = 5

C H = 90°
C = 33,55731°
D = 56,44269°

CD = 6
HD = 3,316625
HC = 5

H HD D

HC CD

Side 2

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008

2

Vinkel D findes vha. sinus

𝐷=sin^{−1} ()=sin^{−1} ()=56,44269°

𝐻𝐶 5

𝐶𝐷 6

Vinkel D aflæses til 56,44° (afrundet til 2 decimaler).

b)

Siden |BD| bestemmes med WordMats trekantsløser:

WordMats trekantsløser anvendes med input: A = 90°, AD = 7, AB = 5

B A = 90°
B = 54,46232°
D = 35,53768°

AB BD BD = 8,602325
AD = 7
AB = 5

Længden af siden BD findes vha. Pythagoras

𝐵𝐷= 𝐴𝐵^{2} + 𝐴𝐷^{2} = 5 + 7^{2} =8,602325

√ √^{2}

Siden |BD| aflæses til 8,6 (afrundet til 1 decimal).

Siden |AC| bestemmes med WordMats trekantsløser:

WordMats trekantsløser anvendes med input: D = 56,44°, CD = 6, AD = 7

C A = 53,62274°
C = 69,93726°
D = 56,44°

CD = 6
AD = 7
AC = 6,209989

A AD D

A AD D

AC CD

Side 3

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008

3

Længden af siden AC findes vha. en cosinusrelation

𝐴𝐶= √ 𝐴𝐷^{2} + 𝐶𝐷^{2} − 2 · 𝐴𝐷· 𝐶𝐷 ·cos ( 𝐷) = √ 7^{2} + 6^{2} − 2 · 7 · 6 · cos ( 56,44°) =6,209989

Længden af siden |AC| aflæses til 6,2 (afrundet til 1 decimal).

Side 4

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008

4

Opgave 7 a)

Vektorerne defineres: 𝑎⃗≔( 4)

−2

5

𝑏 ≔( −3)

⎯ ⃗

1

−2
En ligning for planen 𝛼 er bestemt ved en normalvektor til planen og punktet 𝑃(1,3,−6). En normalvektor

til planen 𝛼 bestemmes ved krydsproduktet mellem vektor 𝑎⃗ og 𝑏 (I):

⎯ ⃗

𝑛 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯_{𝛼} ⃗ =𝑎⃗× 𝑏 =( 1)

⎯ ⃗

7

2

Planens ligning bestemmes ved:

7 ( 𝑥− 1) + 1 ( 𝑦 − 3) + 2 ( 𝑧+ 6) =0

Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion,

2 · 𝑧 + 𝑦+ 7 · 𝑥+ 2=0

En ligning for planet 𝛼 er bestemt til 2 · 𝑧 + 𝑦+ 7 · 𝑥+ 2=0.

(I) Krydsvektoren mellem 2 vektorer står pr. definition vinkelret på begge vektorer, og derfor vinkelret på planen.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: b)

Vinklen mellem linjen 𝑙 og planen 𝛽 bestemmes ved at finde vinklen mellem normalvektoren til planen og retningsvektoren til linjen:

Normalvektoren til planen og retningsvektoren til linjen defineres:

𝑟 ⎯ ⎯ ⃗_{𝑙} ≔( 1)

1

3

𝑛 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ≔( −3 )
 𝛽

2

1

Vinklen bestemmes ved:

Side 5

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008

5

cos ( 𝑤) =

𝑟 ⎯ ⎯ ⃗ · 𝑛 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗
 𝑙  𝛽

| 𝑟 ⎯ ⎯ ⃗ | | 𝑛 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ |
 𝑙  𝛽

⇕ Ligningen løses for w vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑤=80,7255°

Vinklen mellem planen og linjen bestemmes ved:

𝑣=90° − 𝑤=9,2745°

Den spidse vinkel mellem linjen 𝑙 og planen 𝛽 er bestemt til 9,27° (afrundet til 2 decimaler).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 6

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008

6

Opgave 8 a)

Funktionen defineres:

𝑓 ( 𝑥) ≔10𝑥^{4} +

1 𝑥

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑥>0

Først bestemmes stamfunktionen til 𝑓 ( 𝑥):

𝐹 ( 𝑥) =∫𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥
≈2 · 𝑥^{5} + 2,302585 · log ( 𝑥) + 𝑘

Løsningen, der opfylder, at 𝐹 ( 1) =25 bestemmes:

𝐹 ( 1) =25

⇕

2 · 1^{5} + 2,302585 · log ( 1) + 𝑘=25

⇕ Ligningen løses for k vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑘=23

Den stamfunktion, der opfylder at 𝐹 ( 1) =25, er bestemt til:

𝐹 ( 𝑥) =2 · 𝑥^{5} + 2,302585 · log ( 𝑥) + 23

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 7

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008

7

Opgave 9 a)

Det oplyses at sammenhængen kan beskrives ved en lineær funktion. Forskriften for 𝑓 bestemmes derfor ved lineær regression:

Tabellen med data opstilles:

Årstal | År efter år 1900 | Forventet levealder for nyfødte

(år)

1900 | 0 | 46
1675 | 75 | 70

Lineær regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 1

𝑦=0,32𝑥+ 46

En forskrift for 𝑓 er bestemt til:

𝑓 ( 𝑥) =0,32𝑥+ 46

b)

Funktionerne defineres:

𝑔 ( 𝑥) ≔0,053𝑥 + 76

𝑓 ( 𝑥) ≔0,32𝑥+ 46

Årstallet, hvor den forventede levealder for nyfødte og for 65-årige er den samme, bestemmes ved:

𝑔 ( 𝑥) =𝑓 ( 𝑥)

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=112,3596

Den forventede levealder for nyfødte og 65-årige er bestemt til at være ens 112 år (afrundet til helt år) efter år 1900 altså ca. i år 2012.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 8

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008

8

Opgave 10 a)

Der er tale om en eksponentiel udvikling, da det oplyses at udviklingen sker med en fast % om året.

𝑓 ( 𝑥) =𝑏· 𝑎^{𝑥} =𝑏· ( 1 + 𝑟)^{𝑥}

Bevillingerne i år 2005 oplyses til at være 20 mia. kroner. I år 2020 er det besluttet, at bevillingerne skal være 60 mia. kroner om året. Dvs. at stigningen i bevillingerne skal ske over en periode på 15 år.

60=20 · ( 1 + 𝑟)^{15}

⇕ Ligningen løses for r vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑟=0,07598962 · 100%≈7,598962%

Den årlige procentvise stigning i bevillingerne er fundet til 7,6% (afrundet til 1 decimal).

Side 9

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008

9

Opgave 11 a)

Funktionen 𝑓 defineres:

𝑓 ( 𝑥) ≔𝑥^{2} − 𝑥+ 2

Tangentens ligning til punktet 𝑃 ( 2,𝑓 ( 2)) bestemmes ved:

𝑦_{𝑡} =𝑓^{′} ( 2) · ( 𝑥− 2) + 𝑓 ( 2)
=3 · 𝑥− 2

b)

Funktionen 𝑔 defineres:

𝑔 ( 𝑥) ≔−𝑥^{2} + 5𝑥 −

5

2

Først bestemmes førstekoordinaten til punktet 𝑄:

𝑔 ( 𝑥) =𝑓 ( 𝑥)

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=1,5

Anden koordinaten til punktet 𝑄 bestemmes ved:

𝑓 ( 1,5) =2,75

Koordinatsættet til punktet 𝑄 er bestemt til 𝑄 ( 1,5,2,75)

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 10

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008

10

Opgave 12 a)

Tabellen med data opstilles:

Længde 0-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100 100-110 110-120

(cm)

Procentdel 0 9 11 0 31 25 19 5

Sumkurven og kvartilsættene bestemmes med WordMats skabelon for grupperede observationer:

Det er oplyst, at henholdsvis den mindste og største havkat er 51 cm og 120 cm. Kvartilsættene aflæses til:

Mindste: 51

Nedre: 81,61

Median: 89,68

Øvre: 99,6

Største: 120 b)

De 2 boksplot tegnes i WordMats skabelon for boksplot:

Kvartilsæt for havkatte i dybdeintervallet 40 - 80 m:

Mindste: 6

Nedre: 46

Median: 81

Øvre: 95

0%

25%

50%

75%

100%

40

Observationer

Sumkurve

Side 11

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008

11

Største: 123

Boksplottene tegnes:

I dybdeintervallet 5 - 40 m varierer havkattens længde generelt mindre end i dybdeintervallet 40 - 80 m.

50% af havkattene i dybdeintervallet 5 - 40 m er mellem 81,61 - 99,6 cm, altså et relativt lille interval på

17,99 cm.

I dybdeintervallet 40 - 80 m er 50% af havkattene mellem 46 - 95 cm, altså et meget større interval på 49 cm sammenlignet med havkattene i dybden 5 - 40 m.

I dybden 5 - 40 m finder vi heller ingen små havkatte og generelt spænder intervallet af havkattens længde meget mere i dybden 40 - 80 m. Forskellen i havkattens længde i de to dybdeintervaller kan muligvis forklares ved at havkatten fødes dybere og først bevæger sig op mod overfladen, når havkatten har nået en hvis længde.

40

Plot 1 Dybdeinterval 5-

40 m

Plot 2 Dybdeinterval

40-80 m

Side 12

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008

12

Opgave 13 a)

Funktionerne defineres:

𝑓 ( 𝑥) ≔ √ 3𝑥+ 9

𝑔 ( 𝑥) ≔𝑥+ 3

Grænserne for punktmængden 𝑀 bestemmes som skæringen mellem 𝑓 og 𝑔:

𝑔 ( 𝑥) =𝑓 ( 𝑥)

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=−3 ∨ 𝑥=0

Da 𝑓 > g i hele 2. kvadrant bestemmes arealet af punktmængden ved:

𝐴_{𝑀} =∫ 𝑓 ( 𝑥) − 𝑔 ( 𝑥) 𝑑𝑥 =1,5

0

−3

Arealet af punktmængden 𝑀 er bestemt til 1,5.

b) 𝑘 defineres:

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑘>0

Arealet af punktmængden 𝑀 og 𝑁 skal være lige store. Da 𝑔>𝑓 i hele 1.kvadrant bestemmes arealet af punktmængden 𝑁 ved. Det udnyttes til at bestemme 𝑘:

1,5=∫ 𝑔 ( 𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑘

0

⇕ Ligningen løses for k vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑘=2,333333

Værdien for 𝑘, der gør arealerne af 𝑁 og 𝑀 lige store, er bestemt til 2,33 (afrundet til 2 decimaler).

Side 13

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008

13

Opgave 14 a)

Modellen er givet ved:

𝑁^{′} ( 𝑡) =0,0004 · 𝑁 ·(315 − 𝑁)

En forskrift for 𝑁 bestemmes ved, at lade WordMat løse differentialligningen med betingelsen, at

biltætheden til tiden 𝑡=0 er 198:
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen N(0)=198
𝑁 ( 𝑡) =

315

0,5909091 · 10^{log}^{(}^{𝑒}^{)}^{·−0,126·𝑡} + 1

b)

Forskriften for 𝑁 defineres:

𝑁 ( 𝑡) ≔

315

0,5909091 · 10^{log}^{(}^{𝑒}^{)}^{·−0,126·𝑡} + 1

Et skøn over biltætheden i år 2008 bestemmes ved:

𝑁 ( 2008 − 1968) =

315

10^{log} · 0,5909091 + 1

( 𝑒) ·−5,04

≈313,7996

Ifølge modellen, vil biltætheden i 2008, være ca. 314 biler pr. tusinde indbyggere (afrundet).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 14

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008

14

Opgave 15 a)

Kyllingens vægt, når den er 30 døgn gammel bestemmes ved:

ln ( 𝑀) =1,6524 − 4,612 · 𝑒^{−0,0423·30}

⇕ Ligningen løses for M vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑀=1,427477

Ifølge modellen er kyllingens vægt, når den er 30 døgn gammel, ca. 1,43 kg (afrundet til 2 decimaler).

𝑀 som funktion af 𝑡 bestemmes ved at lade WordMat isolere 𝑀:

ln ( 𝑀) =1,6524 − 4,612 · 𝑒^{−0,0423·𝑡}

⇕ Ligningen løses for M vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑀 ( 𝑡) =10^{log}

( 𝑒) ·−4,612·10^{log}^{(} +log ( 𝑒) ·1,6524

𝑒) ·−0,0423·𝑡

Side 15

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008

15

Opgave 16 a)

Antallet af individer til tiden 𝑡 er givet ved 𝑃 ( 𝑡).

                                                             ′
Hastigheden, som antallet af individer vokser med til tiden 𝑡, er givet ved 𝑃 ( 𝑡 )

Det oplyses at 𝑃^{′} ( 𝑡) er proportionel med forskellen mellem 2600 og 𝑃 ( 𝑡) og 𝑃 ( 𝑡). Forskellen skrives som
2600 − 𝑃 ( 𝑡).

Forskriften som 𝑃 ( 𝑡) opfylder, hvor 𝑘 betegner proportionalitetskonstanten, vil være givet ved:

𝑃^{′} ( 𝑡) =𝑘· 𝑃 ( 𝑡) · ( 2600 − 𝑃 ( 𝑡))

Det er oplyst, at når 𝑃^{′} ( 𝑡) =10, så er 𝑃 ( 𝑡) =100. Konstanten 𝑘 bestemmes ved:

10=𝑘· 100 · ( 2600 − 100)

⇕ Ligningen løses for k vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑘=

1

25000

Den fuldstændige ligning som 𝑃 ( 𝑡) opfylder er fundet til:

𝑃^{′} ( 𝑡) = · 𝑃 ( 𝑡) · ( 2600 · 𝑃 ( 𝑡))

1

25000

Side 16

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008

16

Til eksamen skal kun en af opgaverne 17a og 17b løses. Vi viser løsningen på begge.

Opgave 17a a)

Et udtryk for ℎ bestemmes:

1

3

𝑥^{3} + ℎ · 𝑥^{2} =100

⇕ Ligningen løses for h vha. CAS-værktøjet WordMat.

ℎ=−

𝑥^{3} − 300
3 · 𝑥^{2}

Udtrykket substitueres ind i udtrykket for 𝑆 og udtrykket defineres:

𝑆 ( 𝑥) ≔ ( 1 + √5) · 𝑥^{2} + 4𝑥· ( −)

𝑥^{3} − 300
3 · 𝑥^{2}

Værdien for 𝑥, der gør beholderens areal mindst mulig bestemmes ved optimering. Først bestemmes evt.

ekstrema:

𝑆^{′} ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=4,719369

Differentialkvotienten tjekkes på begge sider af ekstremum:

𝑆^{′} ( 4) =8 · √5 − ≈−9,778123

83

3

𝑆^{′} ( 5) =2 · 5 − ≈3,027346

3

2

58

3

𝑓 er aftagende i intervallet ]∞;4,719]

𝑓 er voksende i intervallet [4,719;∞[

𝑓 har minimum i 𝑥=4,719

Det kan konkluderes på baggrund af funktionsundersøgelsen, at den værdi, der gør beholderens

overfaldeareal mindst mulig, er 𝑥=4,719 (afrundet til 3 decimaler).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 17

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008

17

Opgave 17b a)

Hvis linjen 𝑙 skal tangere kuglen, skal kuglen og linjen kun have et røringspunkt. Det testes om kuglen 𝐾 og linjen 𝑙 har netop et røringspunkt, ved at indsætte parameterfremstillingen for linjen i kuglens ligning.

Først defineres stedkoordinaterne fra parameterfremstillingen for linjen 𝑙:

𝑥≔ ( −8 + 𝑡· ( −5))

𝑦≔ ( 2 + 𝑡· 7)

𝑧≔ ( −3 + 𝑡 · ( −3))

Kuglens ligning opstilles, og der reduceres:

𝑥^{2} − 4𝑥 + 𝑦^{2} + 2𝑦 + 𝑧^{2} − 2𝑧=36

Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion,

83 · 𝑡^{2} + 166 · 𝑡+ 119=36

Tallet 𝑡 bestemmes:

⇕ Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑡=−1

Dvs. da der kun er en løsning for 𝑡, skærer linjen 𝑙 kuglen 𝑘 én 1 gang. Det kan konkluderes at linjen 𝑙 er en tangent til kuglen 𝑘.