STX Matematik A 13. august 2015 - Delprøven uden hjælpemidler

Side 1

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 13. august 2015

STX Matematik A 13. august 2015

Delprøven uden hjælpemidler

stx152-MAT/A-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Opgave 1

𝑦 = 3𝑥 + 4

𝑥 = 7

⇓

𝑦 = 3 ·7 + 4
= 25

Der gælder om lineære funktioner, at hvis 𝑥 vokser med 1, så vokser 𝑦 med 𝑎, hvor 𝑦 = 𝑎𝑥+ 𝑏

Hvis 𝑥 vokser med 5, må 𝑦 således vokse med:

5 · 𝑎 = 5 · 3
= 15

𝑎 er hældningskoefficienten for en ret linje og angiver netop, hvor meget 𝑦 vokser, når 𝑥 vokser med 1.

Opgave 2

Eksponentialfunktioner vokser med en fast procentdel om året (vækstraten 𝑟 = 4,5% = 0,045) med

                                                                         𝑡
udgangspunkt i en startværdi (𝑏 = 213). Eksponentialfunktionen har forskriften: 𝑦 = 𝑏· 𝑎

Der gælder for eksponentialfunktioner, at

𝑎 = 1 + 𝑟 = 1 + 0,045
= 1,045

𝑡 angiver antal år efter 2015 og 𝑦 angiver varens pris.

Side 2

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 13. august 2015

𝑦 = 213 · 1,045^{𝑡}

Opgave 3

Følgende regler gælder om parabler:

Benene vender opad, hvis og kun hvis 𝑎 er positiv.

𝑎 > 0 𝑏 angiver hældningen af tangenten til grafen i skæringspunktet med 𝑦-aksen.

𝑏 < 0 𝑐 angiver 𝑦-værdien i skæringspunktet ml. grafen og 𝑦-aksen.

𝑐 > 0

𝑑 er defineret som 𝑑 = 𝑏^{2} − 4𝑎𝑐

Hvis og kun hvis 𝑑 < 0, har parablen ingen skæringspunkter med x-aksen.

𝑑 < 0

Hvis man ikke kan/ønsker at huske ovenstående regler, kan fortegnsreglerne også udledes matematisk. Det tager lidt længere tid, men når man har udledt dem én gang, bliver reglerne nemmere at huske.

For alle parabler gælder, at 𝑎 ≠ 0

Reglen om 𝑎:

For parabler er grænseværdierne ens for 𝑥 → −∞ og 𝑥 → +∞:

𝑙𝑖𝑚 𝑎𝑥^{2} + 𝑏𝑥 + 𝑐
𝑥→±∞

𝑥 sættes udenfor parentes

⇓

𝑙𝑖𝑚 (𝑎𝑥+ 𝑏 +) ·𝑥
𝑥→±∞ 𝑥

𝑐

Heraf ses, at

                             𝑐
Hvis 𝑎 > 0 ⇒ 𝑙𝑖𝑚   (𝑎𝑥+ 𝑏 +  ) ·𝑥 = +∞ (glad parabel: mundvige opad)
              𝑥→±∞
                             𝑥

                             𝑐
Hvis 𝑎 < 0 ⇒ 𝑙𝑖𝑚   (𝑎𝑥+ 𝑏 +  ) ·𝑥 = −∞ (sur parabel: mundvige nedad)
              𝑥→±∞
                             𝑥

Side 3

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 13. august 2015

Reglen om 𝑏:

𝑦 = 𝑎𝑥^{2} + 𝑏𝑥 + 𝑐

⇓

𝑦^{′} = 2𝑎𝑥+ 𝑏

⇓

𝑦^{′} ( 0) = 𝑏

Reglen om 𝑐:

𝑦 = 𝑎𝑥^{2} + 𝑏𝑥 + 𝑐

⇓

𝑦 ( 0) = 𝑐

Reglen om 𝑑: Den generelle løsningsmodel finder 𝑥-værdierne i evt. skæringspunkter med 𝑥-aksen (𝑦 = 0).

Formlen skal huskes udenad:

𝑥 =,𝑑 = 𝑏^{2} − 4𝑎𝑐

−𝑏 ± √ 𝑑

2𝑎

Hvis 𝑑 < 0 ⇒ √ 𝑑 ∉ ℝ (Ingen reelle løsninger). Altså ingen skæringspunkter med 𝑥-aksen.

               −𝑏
Hvis 𝑑 = 0 ⇒ 𝑥 = . Altså et skæringspunkt (røringspunkt).
               2𝑎

Hvis 𝑑 > 0 ⇒ √ 𝑑 ∈ ℝ og √ 𝑑 > 0. Altså to skæringspunkter.

Opgave 4

Kassens rumfang er givet ved:

𝑉 = 𝑙·𝑏 ·ℎ

𝑙 = 3ℎ+ 4

𝑏 = 2𝑙+ 1

Udtrykket for 𝑙 substitueres ind udtrykket for 𝑏:

𝑏 = 2 · ( 3ℎ + 4) + 1
= 6ℎ + 8 + 1
= 6ℎ + 9

𝑉 opskrives endeligt:

𝑉 = 𝑙· 𝑏· ℎ
= ( 3ℎ + 4) · ( 6ℎ + 9) · ℎ

Side 4

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 13. august 2015

Opgave 5

𝑑𝑦 𝑦 + 𝑥· 𝑦

𝑑𝑥 𝑥

=

𝑓 ( 𝑥) = 𝑥· 𝑒^{𝑥}

𝑓^{′} ( 𝑥) = 𝑒^{𝑥} + 𝑥 ·𝑒^{𝑥} (I)

Hvis 𝑓 ( 𝑥) er en løsning, kan 𝑓 ( 𝑥) og 𝑓^{′} ( 𝑥) substitueres ind i differentialligningen, og begge sider af

ligningen vil vise det samme. Dette efterprøves nu:

𝑑𝑦 𝑦 + 𝑥· 𝑦

𝑑𝑥 𝑥

=

⇕

𝑒^{𝑥} + 𝑥· 𝑒^{𝑥} =

𝑥· 𝑒^{𝑥} + 𝑥· 𝑥· 𝑒^{𝑥}

𝑥

⇕

𝑒^{𝑥} + 𝑥· 𝑒^{𝑥} = 𝑒^{𝑥} + 𝑥· 𝑒^{𝑥}

Der står det samme på begge sider af lighedstegnet, og derfor er 𝑦 en løsning til differentialligningen

(I) Her anvendes produktreglen for differentiation: ( 𝑓 ( 𝑥) · 𝑔 ( 𝑥))^{′} = 𝑓^{′} ( 𝑥) · 𝑔 ( 𝑥) + 𝑓 ( 𝑥) · 𝑔′ ( 𝑥)

Opgave 6

∫ 𝑑𝑥

3𝑥^{2} + 2
√ 𝑥^{3} + 2𝑥+ 4

2

0

Integralet kan bestemmes ved hjælp af substitution (I).

𝑡 = 𝑔(𝑥) sættes lig med den indre funktion i kvadratroden i nævneren

𝑡 = 𝑔(𝑥) = 𝑥^{3} + 2𝑥 + 4

𝑡 differentieres mht. 𝑥: 𝑑𝑡 𝑑𝑥

= 3𝑥^{2} + 2 (II)

                                                   𝑑𝑡
Substitutionsreglen tillader os at opfatte differentialkvotienten som en almindelig brøk:
                                                   𝑑𝑥

𝑑𝑥· ( 3𝑥^{2} + 2) = 𝑑𝑡

⇕

Side 5

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 13. august 2015

𝑑𝑥 = 𝑑𝑡

1

3𝑥^{2} + 2

De nye grænser udregnes:

𝑔 ( 2) = 2^{3} + 2 · 2 + 4 = 16

𝑔 ( 0) = 0^{3} + 0^{2} + 4 = 4

Der foretages nu substitution af grænserne, den indre funktion i tælleren samt af differentialet 𝑑𝑥, og integralet bliver så:

∫ · 𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑡

3𝑥^{2} + 2 1 1
√ √

𝑡 𝑡

3𝑥^{2} + 2

𝑔(2) 16 𝑔(0) 4

= ∫ 𝑑𝑡 (III)

1 𝑡

1

2

16

4

= ∫ 𝑡^{−} 𝑑𝑡 (IV)

1

2

16

4

= [ 2𝑡]

1

2

4

16

= [ 2 𝑡]^{16} (III)
√_{4}

= 2 √ 16 − 2 √ 4

= 2 · 4 − 2 · 2

= 4

(𝐼): Integration ved substitution

∫ 𝑓 ( 𝑔 ( 𝑥)) · 𝑔^{′} ( 𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓 ( 𝑡) 𝑑𝑡 = [ 𝐹 ( 𝑡)]_{𝑔}^{𝑔}_{(}^{(}_{𝑎}^{𝑏} = 𝐹 ( 𝑔 ( 𝑏)) − 𝐹 ( 𝑔 ( 𝑎))

𝑏 𝑔 ( 𝑏) 𝑎 𝑔 ( 𝑎)

)

)

(𝐼𝐼) Ledvis differentiation, differentiation af potensfunktioner og differentiation af en konstant

( 𝑓 ( 𝑥) ± 𝑔 ( 𝑥))^{′} = 𝑓^{′} ( 𝑥) ± 𝑔^{′} ( 𝑥)

𝑓 ( 𝑥) = 𝑥^{𝑎} ⇒ 𝑓^{′} ( 𝑥) = 𝑎· 𝑥^{𝑎−1}

𝑓 ( 𝑥) = 𝑘 ⇒ 𝑓^{′} ( 𝑥) = 0

(𝐼𝐼𝐼) Potens-rod-sammenhæng:

√^{𝑠} 𝑎^{𝑟} = 𝑎^{(}^{𝑠}^{)}

𝑟

Side 6

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 13. august 2015

(𝐼𝑉) Potensregneregel

𝑎^{−𝑟} =

1

𝑎^{𝑟}