STX Matematik A 12. december 2008 - Delprøven uden hjælpemidler

Side 1

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 12. december 2008

1

STX Matematik A

12. december 2008

Delprøven uden hjælpemidler

STX083-MAA

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Opgave 1

𝑓 ( 𝑥) = 𝑥^{2} − 4𝑥− 5

Førstekoordinaten for grafens skæringspunkter med 𝑥-aksen er lig andengradspolynomiets rødder:

Diskriminanten bestemmes:

𝑑 = 𝑏^{2} − 4𝑎𝑐
= ( −4)^{2} − 4 · 1 · ( −5) = 36
= 36

Diskriminanten 𝑑 >0 dvs. grafen har 2 skæringspunkter med 𝑥-aksen.

Rødderne bestemmes ved:

𝑥 =

−𝑏± √ 𝑑

2𝑎

⇕

𝑥_{1} =

− ( −4) − √ 36
2 · 1
= −

2

2

= −1

𝑥_{2} =

− ( −4) + √ 36
2 · 1
=

10

2

= 5

Koordinatsættet til, hver af grafens skæringspunkter med 𝑥-aksen, er bestemt til 𝑆 ( −1,0 ) og 𝑆 ( 5,0 ) .
                                                                   1         2

Side 2

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 12. december 2008

2

Opgave 2

𝑓 ( 𝑥) = 𝑥^{3} + 𝑒^{𝑥} + 1

𝑃 ( 0,𝑓(0))

Først bestemmes 𝑓^{′} ( 𝑥):

𝑓^{′} ( 𝑥) = 3𝑥^{2} + 𝑒^{𝑥} ( 𝐼)

Tangentens ligning er givet ved:

𝑦_{𝑡} = 𝑓^{′} ( 𝑥_{0}) · ( 𝑥 − 𝑥_{0}) + 𝑓 ( 𝑥_{0})
= ( 3 · 0^{2} + 𝑒^{0}) · ( 𝑥− 0) + ( 0^{3} + 𝑒^{0} + 1) (𝐼𝐼)
= 1· ( 𝑥− 0) + 2
= 𝑥 + 2

(I) 𝑓 ( 𝑥) 𝑓 ( 𝑥)

′

𝑥^{𝑎} 𝑎· 𝑥

𝑎−1
𝑒^{𝑥} 𝑒

𝑥 𝑘 0

(II) 𝑒^{0} = 1

Opgave 3

𝑝 =

4

𝑟 + 𝑠

⇕

𝑝 · ( 𝑟 + 𝑠) = 4

⇕

𝑟 + 𝑠 =

4 𝑝

⇕

𝑠 = − 𝑟

4 𝑝

Side 3

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 12. december 2008

3

Opgave 4

Integralet bestemmes:

∫ ( 2𝑥− 1)^{6} 𝑑𝑥(I)

= · ( 2𝑥− 1)^{7} + 𝑘

1

14

(I) 𝑓 ( 𝑥) 𝐹 ( 𝑥)

𝑥^{𝑎} 𝑥^{𝑎+1}

1

𝑎+1

Opgave 5

𝑥^{2} + 2𝑥+ 𝑦^{2} − 4𝑦 =0

𝑃(1,1)

Først bestemmes cirklens centrum. Cirklens ligning omskrives ved kvadratkomplotering:

( 𝑥+ 1)^{2} + ( 𝑦 − 2)^{2} = 1+ 4

⇕

( 𝑥+ 1)^{2} + ( 𝑦− 2)^{2} = 5 (𝐼)

Cirklens centrum aflæses til 𝐶 ( −1,2).

Tangenten vil stå vinkelret på afstanden fra centrum af cirklen og ud til punktet 𝑃. En normalvektor til tangenten vil da være lig:

𝐶𝑃 = () = ()

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

1 − ( −1) 2
1 − 2 −1

Vi kender nu både en normalvektor til tangenten og et punkt på linjen. Vi opstiller ligningen for tangenten:

2 · ( 𝑥− 1) − 1 · ( 𝑦 − 1) = 0 (𝐼𝐼)

⇕

2𝑥− 2 − 𝑦 + 1 =0

⇕

𝑦 = 2𝑥 − 1

Side 4

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 12. december 2008

4

(I) Cirklens ligning med centrum i 𝐶(𝑎,𝑏) og radius 𝑟 og, hvor punkt 𝑃(𝑥,𝑦) ligger på cirklen

( 𝑥− 𝑎)^{2} + ( 𝑦 − 𝑏)^{2} = 𝑟^{2}

(II) Linjens ligning for linjen gennem punktet P ( x_{0},y_{0}), der har nomalvektoren n ⎯ ⃗ = ()

a b

𝑎 ( 𝑥− 𝑥_{0}) + 𝑏 ( 𝑦 − 𝑦_{0}) = 0