HTX Matematik A 30. august 2012 - Vejledende besvarelse

Løsning med WordMat

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra. NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen! WordMat er blevet brugt som CAS-værktøj til løsningen af denne eksamen.

Opgave 1

a) Vi benytter afstandsformlen: Vi indsætter punkternes koordinater: Afstanden AB er lig 7,35 meter b) Vi bestemmer vinklen mellem vektorerne AB og AC vha. følgende formel: Vi definerer punkterne A, B og C: Bemærk at vi definerer punkterne som matrixer, da vi senere skal beregne vektorer ud fra punkterne. Vi bestemmer vektorerne AB og AC: Vi bestemmer vinklen mellem linjestykkerne:  Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat. Vinklen mellem linjestykkerne AB og AC er 48,19 Vi bestemmer planets ligning på normalform: Hvor 󰇩 󰇪 er koordinaterne til en normalvektor på planet og 󰇛 󰇜 er koordinaterne til et punkt på planet.

Punkt B benyttes som fast punkt i planet. Normalvektoren bestemmes ud fra krydsproduktet af to ikkeparallelle vektorer i planet. Normalvektoren bestemmes ud fra krydsproduktet af vektor AB og AC: Normalvektorens koordinater og koordinaterne for punkt B indsættes i ligningen. Ligningen for planet, som er en del af, er givet ved: d) Vi benytter følgende formel: Hvor  er D’s koordinater og a, b, c, d konstanter i planets ligning. Vi definerer størrelserne: Vi bestemmer afstanden: Afstanden fra punkt D til planen  er 5,37 meter.

Opgave 2

a) Vi indsætter dataet i et koordinatsystem og foretager en eksponentiel regression: Det ses, at den eksponentielle tendenslinje stemmer godt overens med punktserien, da linjen går igennem alle punkter. Desuden ses det, at den kvadreret R-værdi næsten er lig 1, hvilket også er et udtryk for at punktserien kan beskrives ved en eksponentiel model. b) Forskriften for f er genereret af Excel og er følgende: Vi definerer forskriften for f: Vi sætter tiden t=0,5 og beregner funktionsværdien: Fluorescensværdien er 2,8 til tiden 0,5 døgn. y = 1,8452e R² = 0,9992 f t [døgn] f(t) d) Opgaverne 2.d og 2.e relaterer sig til forberedelsesmaterialet.