HTX Matematik A 31. maj 2012 - Vejledende besvarelse

Side 1

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 31. maj 2012

1

HTX Matematik A

31. maj 2012

htx121-MAT/A-

Side 2

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 31. maj 2012

2

Løsning med WordMat

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formel-samling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

WordMat er blevet brugt som CAS-værktøj til løsningen af denne eksamen.

Opgave 1 a)

Vi benytter afstandsformlen:

𝐴𝐵= √ ( 𝑥_{2} − 𝑥_{1})^{2} + ( 𝑦_{2} − 𝑦_{1})^{2} + ( 𝑧_{2} − 𝑧_{1})^{2}

Vi indsætter punkt A og B’s koordinater:

𝐴𝐵= ( ( −33) − ( −41))^{2} + ( 32 − 10)^{2} + ( ( −70) − ( −80))^{2}

√

≈25,45584

Afstanden mellem A og B er 25,46 cm b)

Vi benytter følgende formel:

𝑑𝑖𝑠𝑡 ( 𝐴,𝑚) =

|𝑟⃗ × 𝑃𝐴 |

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

|𝑟⃗|

Hvor 𝑟⃗ er linjen m’s retningsvektor og 𝑃𝐴

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ er vektoren fra punkt P, som linjen går igennem, til punkt A.

Punktet P aflæses ud fra parameterfremstillingen for linjen m. Vi definerer punkt P og A:

𝑃≔( 28)

−33

−40

𝐴≔( 10)

−41

−80

Vi bestemmer vektor PA:

Side 3

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 31. maj 2012

3

𝑃𝐴 =𝐴 − 𝑃

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

𝑃𝐴 ≔( −18)

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

−8

−40

Vi definerer linjens retningsvektor:

𝑟⃗≔( −18)

−8,5

38

Vi beregner afstanden:

𝑑𝑖𝑠𝑡 ( 𝐴,𝑚) =

| 𝑟⃗ × 𝑃𝐴 |

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

| 𝑟⃗ |

≈36,00807

Afstanden fra punkt A til linjen m er 36 cm c)

Vi benytter følgende formel:

cos ( 𝑣) =

𝑟⃗ · 𝑟 ⎯ ⎯ ⎯ ⃗
   1

| 𝑟⃗ | · |𝑟 ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ |
     1

Hvor vektor 𝑟⃗ og 𝑟

⃗
1

⎯

⎯

⎯ er linjernes retningsvektorer. Vi definerer retningsvektoren for n:

𝑟 ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ≔( 9 )
 1

41,5

−38

Vi isolerer for vinklen 𝑣:

cos ( 𝑣) =

𝑟⃗ · 𝑟 ⎯ ⎯ ⎯ ⃗
   1

| 𝑟⃗ | · |𝑟 ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ |
     1

⇕ Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑣=143,2522

Vi har bestemt den stumpe vinkel mellem linjerne. Vi bestemmer den spidse vinkel 𝑣, som er vist på figur 1:

180 − 143,2522≈36,7478

Vinkel v er 36,75^{o}

Side 4

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 31. maj 2012

4

Opgave 2 a)

Vi opskriver funktionens forskrift:

𝑓 ( 𝑥) ≔1 − 𝑒^{·𝑥}

1_{2}

4

−1

Punktet P er funktionen f’s skæring med x-aksen. Derfor er P’s y-koordinat lig nul. Vi sætter f lig nul og isolerer for x:

𝑓 ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=−2 ∨ 𝑥=2

Det ses, at f skærer x-aksen i x=-2 og x=2. Da punktet P ligger på højre side af y-aksen, har P følgende

koordinater:

𝑃=(2,0)

b)

(2)

Hældningskoefficienten for tangenten til funktionen f bestemmes ved at differentiere funktionen.

Funktionen differentieres i hvert led hver for sig.

(3)

En konstant differentieret er lig nul:

( 1)^{′} =0

Vi har derved:

𝑓^{′} ( 𝑥) =0 − (𝑒^{·𝑥})

1_{2}

4

−1

′

Her benytter vi følgende regel:

(𝑒^{𝑓}^{(}^{𝑥})′=𝑓′(𝑥) · 𝑒^{𝑓}^{(}^{𝑥}^{)}

)

(𝑒^{·𝑥}) =( · 𝑥^{2} − 1) · 𝑒^{·𝑥}

1_{2_{−1}} 1_{2_{−1}}

4 4

′

1

4

′

= · 2 · 𝑥^{2−1} · 𝑒^{·𝑥}

1

4

1_{2_{−1}}

4

= · 𝑥· 𝑒^{·𝑥}

1

2

1_{2_{−1}}

4

Side 5

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 31. maj 2012

5

Vi får derved:

𝑓^{′} ( 𝑥) =0 − · 𝑥· 𝑒^{·𝑥}

1

2

1_{2_{−1}}

4

=− · 𝑥· 𝑒^{·𝑥}

1

2

1_{2_{−1}}

4

(4)

Et udtryk for differentialkvotienten for f er fundet. Da tangenten l og funktionen f skærer hinanden i

                                      ′
punktet P, bestemmes tangentens hældning (𝑓 ( 𝑥 ) ) ved at indsætte punktets x-koordinat (𝑥 ) i
                                         0                                  0

differentialkvotienten for f.

𝑓^{′} ( 𝑥) =− · 𝑥· 𝑒^{·𝑥}^{2_{−1}}

1

2

1

4

𝑓^{′} ( 𝑥_{0}) =− · 2 · 𝑒^{·2}

1

2

1_{2_{−1}}

4

=−1

(5)

Tangentens hældning, punktet P’s x-koordinat (𝑥 =2) og punktet P’s y-koordinat (𝑓(𝑥 )=0) indsættes i
                                       0                               0

det generelle udtryk for tangentligningen og ligningen kan nu opstilles.

c)

Vi benytter følgende formel for areal mellem to funktioner afgrænset af grænseværdierne a og b:

𝐴=∫ 𝑔 ( 𝑥) − 𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥

𝑏 𝑎

Hvor g(x) er den øverste funktion.

Vi definer ligningen for tangenten l som blev fundet i opgave 2b. Vi kalder funktionen for g:

𝑔 ( 𝑥) ≔−𝑥 + 2

Det ses af figur 2, at grænseværdierne er følgende:

[ 𝑎,𝑏] =[0,2]

Vi beregner arealet:

𝐴=∫ 𝑔 ( 𝑥) − 𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥

2

0

≈1,076159

Arealet af det gråtonede område er 1,07.

Side 6

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 31. maj 2012

6

Opgave 2d er ikke medtaget, da opgaven relaterer sig til forberedelsesmaterialet.

Side 7

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 31. maj 2012

7

Opgave 3 a)

Vi benytter Excel til at opstille diagrammet b)

Vi foretager en lineær regression af punktserien:

220

225

230

235

240

245

250

255

260

0 90

Tid f [s]

Årstal(år efter 1900) [t]

y = -0,4009x + 259,88
R² = 0,9978

220

225

230

235

240

245

250

255

260

0 90

Tid f [s]

Årstal(år efter 1900) [t]

Side 8

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 31. maj 2012

8

Ud fra forskriften for tendenslinjen, kan vi aflæse følgende værdier for a og b:

𝑎=−0,4009

𝑏=259,88

c)

Hældningskoefficienten a er et udtryk for tilvæksten af rekordtid i sekunder pr. år. Derved kan vi aflæse, at man kan forvente, at verdensrekordtiden forbedres med ca. 0,4 sekunder hvert år.

d)

Vi udregner hvor mange år efter år 1900 tiden skal sættes til:

2015 − 1900=115

Vi definerer værdien for t: 𝑡≔115

Vi beregner funktionsværdien:

𝑓 ( 𝑡) ≔−0,4009·𝑡 + 259,88

𝑓 ( 115) =213,7765

Verdensrekordtiden i år 2015 er ifølge modellen 213,78 sekunder.

Side 9

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 31. maj 2012

9

Opgave 4 a)

Da punkt A er skæringspunktet mellem den indskrevne cirkels to tangenter, som tangerer i P og Q, er længden PA og QA lige lange. Vi kender derved længden af begge kateter i den retvinklede trekant OAQ, hvor radius er den ene katete, QA er den anden katete og OA er hypotenusen. Vi benytter Pythagoras’ læresætning til at beregne længden OA:

𝑎^{2} + 𝑏^{2} =𝑐^{2}

𝑟^{2} + 𝑄𝐴^{2} =𝑂𝐴^{2}

5^{2} + 20^{2} =𝑂𝐴^{2}

⇕ Ligningen løses for OA vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑂𝐴=−20,61553 ∨ 𝑂𝐴=20,61553

Da en længde kun kan være positiv er afstanden OA lig 20,62.

b)

Linjen OA er en vinkelhalveringslinje i trekanten ABC, da linjen går gennem centrum i den indskrevne cirkel.

Vi kender alle sider i trekant AOP og kan derved bestemme det halve af vinkel A i denne trekant. Vi benytter WordMats trekantløser:

WordMats trekantsløser anvendes med input: PA = 20, OA = 20,62, OP = 5

P O = 75,91404°
P = 90,05283°
A = 14,03313°

O OA A PA = 20
OA = 20,62
OP = 5

Vinkel O og P findes vha. cosinusrelationer

𝑃=cos^{−1} ()

𝑂𝑃^{2} + 𝑃𝐴^{2} − 𝑂𝐴^{2}
2 · 𝑃𝐴 · 𝑂𝑃

=cos^{−1} ()

5^{2} + 20^{2} − 20,62^{2}
2 · 20 · 5
=90,05283°

OP PA

Side 10

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 31. maj 2012

10

𝑂=cos^{−1} ()

𝑂𝑃^{2} + 𝑂𝐴^{2} − 𝑃𝐴^{2}
2 · 𝑂𝐴 · 𝑂𝑃

=cos^{−1} ()

5^{2} + 20,62^{2} − 20^{2}
2 · 20,62 · 5
=75,91404°
𝑉𝑖𝑛𝑘𝑒𝑙 𝐴 𝑓𝑖𝑛𝑑𝑒𝑠 𝑣ℎ𝑎.𝑣𝑖𝑛𝑘𝑒𝑙𝑠𝑢𝑚 = 180° 𝑖 𝑒𝑛 𝑡𝑟𝑒𝑘𝑎𝑛𝑡
𝐴=180° − 𝑂 − 𝑃
=180° − 75,91404° − 90,05283°
=14,03313°

Vinkel A i trekant ABC er det dobbelte af vinkel A i trekant AOP. Vinkel A bestemmes:

𝐴=2 · 14,03313°
=28,06626
Vinkel A er 28,07^{o}

c)

Vi opstiller den retvinklede trekant BOQ. Vi ved, at vinkel Q er vinkelret, og at længden PQ er 5. BO er en vinkelhalveringslinje, da den går gennem centrum i den indskrevne cirkel. Ud fra vinkelsummen i en trekant kan vi beregne vinkel B i trekant ABC:

𝐵=180 − 𝐶− 𝐴
=180 − 90 − 28,06626
=61,93374

Vinkel B i trekant BQO er det halve af vinkel B i trekant ABC:

𝐵_{1} =

61,93374

2

=30,96687

Da vi kender en side og to vinkler i trekant BOQ kan vi beregne længden BQ. Vi benytter WordMats trekantløser:

WordMats trekantsløser anvendes med input: B = 30,96687°, Q = 90°, OQ = 5

O B = 30,96687°
O = 59,03313°
Q = 90°

OQ = 5
BQ = 8,332307
BO = 9,717373

B BQ Q

BO OQ

Side 11

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 31. maj 2012

11

Vinkel O findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
𝑂=180° − 𝐵 − 𝑄=180° − 30,96687° − 90°=59,03313°

Længden af siden BQ findes vha. tangens

𝐵𝑄=

𝑂𝑄 tan ( 𝐵)

=

5 tan ( 30,96687)

=8,332307

Længden af siden BO findes vha. sinus

𝐵𝑂=

𝑂𝑄 sin ( 𝐵)

=

5 sin ( 30,96687)

=9,717373

Længden AB er derved:

𝐴𝐵=20 + 8,332307

≈28,33231

Vi kender nu størrelsen af to vinkler og en side i trekant ABC og kan derved beregne de resterende sider. Vi benytter os af WordMats trekantløser:

WordMats trekantsløser anvendes med input: C = 90°, A = 28,06°, AB = 28,3

B C = 90°
B = 61,94°
A = 28,06°

AB = 28,3
AC = 24,97349
BC = 13,3122

Vinkel B findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
𝐵=180° − 𝐶− 𝐴
=180° − 90° − 28,06°
=61,94°

Længden af siden AC findes vha. cosinus

𝐴𝐶=𝐴𝐵· cos ( 𝐴)
=28,3 · cos ( 28,06)
=24,97349

C AC A

BC AB

Side 12

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 31. maj 2012

12

Længden af siden BC findes vha. sinus

𝐵𝐶=𝐴𝐵· sin ( 𝐴)
=28,3 · sin ( 28,06)
=13,3122

Vi kan beregne arealet af en trekant ud fra følgende formel:

𝐴= · ℎ · 𝑔

1

2

Hvor h er trekantens højde, som er sidelængde BC, og g er trekantens grundlinje, som er sidelængden AC.

Vi indsætter størrelserne:

𝐴= · 13,3122 · 24,97349

1

2

≈166,226

Trekantens areal er 166,2.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 13

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 31. maj 2012

13

Opgave 5 a) f skærer y-aksen, når x er lig nul. Vi definerer funktionen f:

𝑓 ( 𝑥) ≔− √ 32,5^{2} − 𝑥^{2} + 12,5

Vi sætter x=0 og beregner funktionsværdien:

𝑓 ( 0) =−20

f skærer y-aksen i (0,-20) b)

Vi får oplyst, at vi kan bestemme volumen af grillens bund ved at bestemme volumen af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når det gråtonede område på figuren i opgaven drejes 360° om y-aksen.

Det gråtonede område er afgrænset af koordinatsystemets akser og grafen for f i intervallet [a;b]. Vi kan se

på figuren, at a = 0. Vi bestemmer b ved at bestemme funktionens positive nulpunkt:

𝑓 ( 𝑥) =0
⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat. med følgende antagelser/definitioner: 𝑥>0
𝑥=30

Funktionens positive nulpunkt er x = 30, så b = 30.

Når g er en positiv funktion, så kan vi benytte følgende formel til at bestemme volumen af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når området mellem x-aksen og grafen for g i intervallet [c;d] drejes

360° om y-aksen:

𝑉_{𝑦} =2 · 𝜋· ∫ ( 𝑔 ( 𝑥) · 𝑥) 𝑑𝑥

𝑑 𝑐

På figuren kan vi se, at den del af grafen for f, der afgrænser grillens bund, er under x-aksen, dvs. at f er negativ i intervallet [0;30]. Dermed er -f positiv i intervallet [0;30]. Vi kan tegne grafen for -f ved at spejle grafen for f i x-aksen.

Side 14

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 31. maj 2012

14

Vi bemærker, at hvis vi drejer området mellem x-aksen og grafen for -f i intervallet [0;30] 360° om y-aksen, så får vi et omdrejningslegeme, der har samme volumen som det omdrejningslegeme, der fremkommer, når det gråtonede område på figuren i opgaven drejes 360° om y-aksen.

Da -f er en positiv funktion, så kan vi benytte ovenstående formel til at bestemme volumen af omdrejningslegemet:

𝑉_{𝑦} =2 ·𝜋· ∫ ( −𝑓 ( 𝑥) · 𝑥) 𝑑𝑥

30

0

≈32463,12

Bundens volumen er ca. 32463,12 cm^{3}.

Opgave 5c er ikke medtaget, da opgaven relaterer sig til forberedelsesmaterialet.

Side 15

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 31. maj 2012

15

Opgave 6 a)

Til tiden t=0 affyres pilen. Vi sætter t-værdien ind i y-funktionen og bestemmer funktionsværdien.

𝑦_{𝑃} ( 𝑡) ≔−4,91 · 𝑡^{2} + 30 · 𝑡 + 0,95

𝑦_{𝑃} ( 0) =0,95

Bedøvelsespilen affyres i højden 0,95 meter.

b)

Vi definerer funktionen: 𝑝⃗ ( 𝑡) ≔()

25 · 𝑡
−4,91 · 𝑡^{2} + 30 · 𝑡 + 0,95

Vi bestemmer pilens hastighedsvektor, som er tangent til banekurven. Vi differentierer funktionen:

𝑝⃗^{′} ( 𝑡) =()

25

−9,82 · 𝑡 + 30

Vi har nu et udtryk for pilens retning. Vi bestemmer retningen til tiden t=0:

𝑝⃗^{′} ( 0) =()

25

30

Vi har nu et udtryk for tangentens hældning i t=0. Vi benytter tangens til at bestemme vinklen:

tan ( 𝑣) =

ℎ𝑜𝑠𝑙𝑖𝑔𝑔𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑘𝑎𝑡𝑒𝑡𝑒 𝑚𝑜𝑑𝑠𝑡å𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑘𝑎𝑡𝑒𝑡𝑒

=

30

25

⇕ Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑣=50,19443

Vinklen v er 50,2^{o}

c)

Vi undersøger til hvilket tidspunkt de to funktioner har samme x-koordinat:

8=25 · 𝑡

⇕ Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑡=0,32

Side 16

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 31. maj 2012

16

De to banekurver skærer hinanden til tiden t=0,32 sekunder. Vi undersøger nu om funktionerne har samme

position ved dette tidspunkt: 𝑝⃗ ( 0,32) ≈()

8

10,04722 𝑞⃗ ( 0,32) ≈()

8

11,49722

Funktionerne har ikke samme position til skæringstidspunktet, og bedøvelsespilen rammer derfor ikke det røde punkt på aben.