HTX Matematik A 29. maj 2015 - Vejledende besvarelse

Side 1

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. maj 2015

1

HTX Matematik A

29.maj 2015

htx151-MAT/A-

Løsning med WordMat ...................................................................................................................................... 2

Side 2

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. maj 2015

2

Løsning med WordMat

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formel-samling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

WordMat er blevet brugt som CAS-værktøj til løsningen af denne eksamen.

Opgave 1 a)

Formlen for størrelsen af en vinkel i en regulær polygon er:

𝑣=

360° 𝑛

Hvor n er antallet af vinkler. Vinkel O bestemmes ud fra ovenstående formel:

𝑂= =45°

360°

8

Vinkel O er bestemt til: 𝑂=45°

Trekanten OAB er ligebenet, da ottekanten er regulær. Størrelsen af vinkel A og B er derfor ens. Da vi ken-

der vinkelsummen i en trekant, som er 180^{o}, og størrelsen af vinkel O, kan vi udregne vinkel A og B. Vi ud-

regner vinkel A:

𝐴= = =67,5°

180°−45 135°

2 2

Vinkel A og B er bestemt til: 𝐴=67,5°.

b)

Her må det antages, at der menes punkternes koordinater i et x,y-koordinatsystem, som vist i figur 1. Ud fra figur 1 ses det, at punkt A har y-koordinatet:

𝑦=0

x-koordinatet bestemmes vha. sinusrelationerne. Sidelængden OA bestemmes vha. WordMat (CAS-Løs lig-ninger)

Side 3

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. maj 2015

3

𝐴𝐵 𝑂𝐴 sin ( 𝑂) sin ( 𝐵)

=

⇕

1 𝑂𝐴 sin (45) sin ( 67,5)

=

⇕ Ligningen løses for OA vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑂𝐴= √ 2·sin ( 67,5) = √ 2·sin ( 67,5) ≈1,306563
Sidelængden OA er bestemt til 1,307. Punkt A har således følgende koordinatsæt: 𝐴=(1,307;0)

Tegnes højden i trekant OAB, fra punkt B og vinkelret ned på grundlinjen, fås en retvinklet trekant. Vi kalder det vinkelrette hjørne for C. Se nedenstående skitse:

Da trekantens punkt O befinder sig i origo, er længden af OC lig B’s x-koordinatet og længden af BC er lig B’s y-koordinatet. Trekantens sidelængder OC og BC bestemmes vha. WordMats trekantløser (Diverse - tre-

kant). WordMats trekantsløser anvendes med input: O = 45°, B = 45°, C = 90°, OB = 1,306563

Side 4

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. maj 2015

4

45° O = 45°

B = 45°

C = 90°

BC = 0,9238796

OC = 0,9238796

OB = 1,306563

Længden af siden BC findes vha. sinus

𝐵𝐶=𝑂𝐵·sin ( 𝑂) =1,306563·sin ( 45) =0,9238796

Længden af siden OC findes vha. cosinus

𝑂𝐶=𝑂𝐵·cos ( 𝑂) =1,306563·cos ( 45) =0,9238796

Punkt B har således følgende koordinatsæt: 𝐵=(0,924;0,924).

c)

En ligning for planen bestemmes på normalform ud fra følgende ligning:

𝑎 ( 𝑥−𝑥_{𝑜}) +𝑏 ( 𝑦−𝑦_{0}) +𝑐 ( 𝑧−𝑧_{𝑜}) =0

Vi skal derfor kende et punkt i planet og en normalvektor til planet. Punkt T benyttes som fast punkt i pla-net:

𝑇= ( 0;0;3)

En normalvektor bestemmes ud fra krydsproduktet af to ikke-parallelle vektorer i planet. Vi bestemmer 𝐴𝐵

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ og 𝐴𝑇 ud fra punkterne A, B og T, som defineres nedenfor:

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

𝐴≔( 0)

1,306563

0

𝐵≔( 0,9238796)

0,9238796

0

45° 0,924 90°

0,924

1,31

Side 5

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. maj 2015

5

𝑇≔( 0)

0

3

Vektor AB bestemmes:

𝐴𝐵 =𝐵−𝐴≈( 0,9238796)

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

−0,3826834

0

Vektor AT bestemmes:

𝐴𝑇 =𝑇−𝐴 =( 0)

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

−1,306563

3

Du skal være opmærksom på, at når du bruger WordMat til at beregne en vektor ud fra to punkter, så skal du opstille punkterne som en vektor (Design - matrix)

En normalvektor bestemmes ud fra krydsproduktet af vektor AB og AT:

𝑣 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯_{𝑛} ⃗ =( 0,9238796)×( 0)≈( 1,14805)

−0,3826834 −1,306563 2,771639

0 3 1,207107

Normalvektorens koordinater og koordinaterne for punkt T indsættes i ligningen og en ligning for planen ABT bestemmes:

2,772 ( 𝑥−0) +1,148 ( 𝑦−0) +1,207 ( 𝑧−3) =0

Side 6

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. maj 2015

6

Opgave 2 a)

Ud fra opgavebeskrivelsen ved vi, at planets ligning er givet ved:

1,148𝑥+2,772𝑦+1,207𝑧=3,621

Vi isolerer for z:

1,148𝑥+2,772𝑦+1,207𝑧=3,621

⇕ Ligningen løses for z vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑧=−2,296603·𝑦−0,9511185·𝑥+3

Forskriften for funktionen f, hvis graf er planen 𝛼, er givet ved:

𝑓 ( 𝑥,𝑦) =−0,951·𝑥−2,297·𝑦+3

b)

Trekanten afgrænses af to linjer på formen:

𝑦=𝑎𝑥+𝑏

Hvor a er linjens hældningskoefficient og b er skæringspunktet med y-aksen. Den en linje, som afgrænser grafområdet, går gennem punkterne O og B. Hældningskoefficienten a bestemmes ud fra de to punkter på linjen. Hældningskoefficienten bestemmes ud fra følgende formel:

𝑎=

𝑦_{2} −𝑦_{1}
𝑥_{2} −𝑥_{1}

Vi kender koordinaterne for punkterne:

𝐵= ( 0,923;0,923)

𝑂= ( 0;0)

Vi indsætter i formlen:

𝑎= =1

0,923−0
0,923−0

Hældningskoefficienten er lig 1. Linjen gennem punkterne O og B skærer y-aksen i origo. Derfor må størrel-sen af b være 0. Funktionsforskriften er derved:

𝑦=1·𝑥+0=𝑥

Side 7

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. maj 2015

7

Derudover afgrænses grafområdet af en linje, som går gennem punkterne C og B. Hældningskoefficienten a bestemmes ud fra de to punkter på linjen. Punkt C’s x-koordinat er nul, da punktet er placereret på y-aksen.

y-koordinatet er lig trekantens sidelængde(OA), som blev beregnet i opgave 1.

𝐶≔ ( 0;1,306563)

Hældningskoefficienten bestemmes:

𝑎=

𝑦_{2} −𝑦_{1}
𝑥_{2} −𝑥_{1}

⇕

𝑎= ≈−0,4155612

( 0,923−1,306563)
( 0,923−0)

Hældningskoefficienten er bestemt til: 𝑎=−0,416.

b er skæringen med y-aksen. b er derfor lig trekantens sidelængde.

𝑏=1,306563≈1,307

Forskriften for den anden linje, som afgrænser trekanten OBC, er bestemt til:

𝑦=−0,416𝑥+1,307

Hvilket stemmer overens med forskrifterne givet i opgaveformuleringen.

Vi har ikke medtaget besvarelsen af opgave 2c og 2d, da disse opgaver tilhører forberedelsesmaterialet, som blev udgivet i 2015. Opgaverne er derfor ikke inden for pensum.

Side 8

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. maj 2015

8

Opgave 3 a)

Den samlede højde h, kan udregnes således:

ℎ=ℎ_{𝑐} +(2·𝑝)

ℎ_{𝑐} er givet i opgaven og pilhøjden p udregnes vha. følgende formel:

𝑝=𝑟·(1−cos())

𝑣

2

Hvor r er kugleafsnittets radius og ν er udsnitsvinklen. Udsnitsvinklen kendes ikke, og vi opstiller derfor en trekant, hvor to af siderne har kugleafsnittets radius som sidelængde og den sidste side har cylinderens dia-meter som sidelængde.

WordMats trekantsløser anvendes med input: a = 0,74, b = 0,4, c = 0,4

B A = 135,3367°
B = 22,33165°
C = 22,33165°

a = 0,74
b = 0,4
c = 0,4

Vinkel A findes vha. cosinusrelationer

𝐴=cos^{−1} () =cos^{−1} () =135,3367°

𝑐^{2} + 𝑏^{2} − 𝑎^{2} 0,4^{2} + 0,4^{2} − 0,74^{2}
2·𝑏·𝑐 2·0,4·0,4

Vinkel A, som er udsnitsvinklen er bestemt til: 135,3367°. Pilhøjden kan nu udregnes:

𝑝=0,4·(1−cos())=0,4· ( 1−cos ( 67,66835)) ≈0,2480131

135,3367

2

Den samlede højde h kan nu udregnes:

ℎ=0,92+ ( 2·0,2480131) ≈1,416026

Højden h er lig 1,42 𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟 b)

Det samlede volumen af beholderen udregnes på følgende måde:

𝑉=𝑉_{𝑐𝑦𝑙𝑖𝑛𝑑𝑒𝑟} +(2·𝑉_{𝑘𝑢𝑔𝑙𝑒𝑎𝑓𝑠𝑛𝑖𝑡})

A b C c a

Side 9

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. maj 2015

9

Voluminet af cylinderen bestemmes ud fra følgende formel:

𝑉_{𝑐𝑦𝑙𝑖𝑛𝑑𝑒𝑟} =𝜋·𝑟^{2} ·ℎ

Hvor h er cylinderens højde ℎ og r er cylinderens radius. Størrelsen af ℎ er opgivet i opgavebeskrivelsen
                        𝑐                                 𝑐

og cylinderens radius udregnes ud fra cylinderes diameter. Vi definerer størrelserne og udregner voluminet af cylinderen.

𝑟≔

0,74

2

ℎ_{𝑐} ≔0,92

𝑉_{𝑐𝑦𝑙𝑖𝑛𝑑𝑒𝑟} =𝜋·𝑟^{2} ·ℎ_{𝑐} =𝜋·0,125948≈0,3956773

Voluminet af cylinderen er bestemt til: 𝑉=0,40 𝑚^{3}

Derudover består beholderen af et kugleafsnit i bunden og i toppen. Voluminet af kugleafsnit udregnes vha. følgende formel:

𝑉_{𝑘𝑢𝑔𝑙𝑒𝑎𝑓𝑠𝑛𝑖𝑡} =𝜋·ℎ^{2} ·(𝑟−)

ℎ

3

Hvor r er radius i den kugle, som kugleafsnittet er en del af, og h er højde i kugleafsnittet. Kugleafsnittets højde er lig pilhøjden udregnet i opgave 3a: ℎ≔0,2480131

Vi får oplyst radius i kugleafsnittet i opgaven:

𝑟_{𝑎} ≔0,4

Vi indsætter størrelserne i formlen:

𝑉_{𝑘𝑢𝑔𝑙𝑒𝑎𝑓𝑠𝑛𝑖𝑡} =𝜋·ℎ^{2} ·(𝑟_{𝑎} −)=𝜋·0,01951906≈0,06132094

ℎ

3

Det samlede volumen udregnes:

𝑉=0,3956773+ ( 2·0,06132094) ≈0,5183192

Det samlede volumen af beholderen er 0,52 𝑚^{3}.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: c)

Vi opskriver differentialligningen: 𝑑𝑝 𝑑𝑡

=0,005· ( 𝑝_{𝑘} −𝑝)

Side 10

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. maj 2015

10

For at funktionen p er en løsning til differentialligningen, skal udregningen af højre og venstre side af lignin-gen være lig hinanden. WordMat benyttes til udregning af henholdsvis højre og venstre side. Vi løser først

venstre side af ligningen, som er^{𝑑𝑝}_{𝑑𝑡}, ved at differentiere funktionen p.

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑝 ( 𝑡) =𝑝_{𝑘} · ( 1−𝑒^{−0.005𝑡})

𝑝^{′} ( 𝑡) =0,005·𝑝_{𝑘} ·𝑒^{−0,005·𝑡}

Vi løser nu højre side ved at indsætte funktionen p på p’s plads i differentialligningen:

0,005·(𝑝_{𝑘} −𝑝_{𝑘} · ( 1−𝑒^{−0.005𝑡}))

=0,005·𝑝_{𝑘} ·𝑒^{−0,005·𝑡}

Det ses at vi får samme udtryk, når vi løser henholdsvis højre og venstre side af differentialligningen. Vi har derved vist at funktionen p er en løsning til differentialligningen.

d)

Differentialligningen er et udtryk for øjeblikkelig trykændring. Vi har i opgaven fået givet trykket p og kom-pressorens tryk p. Vi definerer værdierne: k 𝑝≔7,95

𝑝_{𝑘} ≔8

Værdierne indsættes i differentialligningen: 𝑑𝑝 𝑑𝑡

=0,005· ( 𝑝_{𝑘} −𝑝) ≈0,00025

Den øjeblikkelige trykændring er 0,00025 𝑏𝑎𝑟

Side 11

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. maj 2015

11

Opgave 4 a)

Følgende formel beskriver voluminet af et omdrejningslegeme drejet om x-aksen:

𝑉_{𝑥} =𝜋·∫ 𝑟 ( 𝑥)^{2} 𝑑𝑥

𝑏 𝑎

Hvor funktionen r(x) er den givne funktion, som beskriver den indvendige radius. Vi definerer funktionen

𝑟 ( 𝑥):=0,0014𝑥^{3} −0,062𝑥^{2} +0,65𝑥+2,64 0≤𝑥≤28

Da der påfyldes 15 cm vand, har vi følgende grænseværdier:

𝑥∈ [ 𝑎,𝑏] = [ 0;15]

Funktionen og grænseværdierne indsættes i formlen:

𝑉_{𝑥} =𝜋·∫ ( 𝑟(𝑥))^{2} 𝑑𝑥

15

0

=37163244846256500205148907030190422237375
· ≈784,2346

𝜋

148873535527910577765226390751398592512

Voluminet af vandet i karaflen er 784,235 𝑐𝑚^{3}

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: b)

Karaflens største diameter er lig funktionens maksimum. Vi skal derfor finde koordinaterne til skæringspunk-terne for de vandrette tangenter til grafen. Tangenterne befinder sig ved maksimum, minimum eller som vandret vendetangent. Det ses dog af grafen, at der kun er tale om maksimums- og minimumspunkter. For at bestemme maksimum og minimumspunkterne bestemmes funktionens monotoniforhold. For at under-søge monotoniforholdene for r bestemmes først nulpunkter for r’. Dette gøres ved at løse ligningen:

𝑟^{′} ( 𝑥) =0

⇕ The equation is solved for x by WordMat.

𝑥=6,815086 ∨ 𝑥=22,70872

Vi udregner nu fortegnet for r’ på begge sider af alle nulpunkterne:

𝑟^{′} ( 6) ≈0,0572

𝑟^{′} ( 7) ≈−0,0122

𝑟^{′} ( 23) ≈0,0198

Side 12

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. maj 2015

12

Vi sammenfatter dette i en monotonilinje 𝑥 6,815 22,709

𝑟^{′} ( 𝑥) 0 0

+ - +

𝑟 ( 𝑥) ↗ ↘ ↗

Vi kan dermed konkludere: r er voksende i intervallerne [ 0;6,815] og [22,709;28[ r er aftagende i intervallet [6,815;22,709]

r har lokalt maksimum for 𝑥=6,815 og

r har lokalt minimum for 𝑥=22,709

Da vi kender maksimums x-koordinat, indsættes denne værdi i funktionen og y, som er er lig radius, be-stemmes: 𝑥≔6,815089

𝑟 ( 𝑥) =0,0014𝑥^{3} −0,062𝑥^{2} +0,65𝑥+2,64≈4,633332

Karaflens største radius er 4,63 cm, hvilket ganges med 2 for at finde den største diameter.

𝑑=4,633332·2=9,266664

Karaflens største diameter er 9,27𝑐𝑚

Side 13

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. maj 2015

13

Opgave 5 a)

Vi benytter kommandoen Indsæt - diagram -XY-punktdiagram, hvorefter punkterne indsættes i et Excel ark.

b)

Vi benytter lineær regression til at generere en ret linje gennem punktsættet givet i opgaven og benytter Excel til at generere en funktionsforskrift for tendenslinjen.

30000

35000

40000

45000

50000

55000

60000

10 11

Antal personer

År efter 2000

Antal personer med misligholdt gæld

y = 2726.2x + 29980
R² = 0.9937

30000

35000

40000

45000

50000

55000

60000

10 11

Antal personer

År efter 2000

Antal personer med misligholdt gæld

Side 14

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. maj 2015

14

Den lineære model er:

𝑁 ( 𝑡) =2726,2𝑥+29980

c)

Vi benytter regression til at generere en eksponentiel tendenslinje gennem punktsættet givet i opgaven og benytter Excel til at generere en funktionsforskrift for tendenslinjen.

Den eksponentielle model er:

𝑀 ( 𝑡) =32598·𝑒^{0,0572𝑥}
≈32598·1,0589^{𝑥}

d)

Ud fra de generede 𝑅^{2} -værdier er det muligt at vurdere, hvilken model som passer bedst på sammenhæn-
gen ud fra hvilken models 𝑅^{2} -værdi, som ligger tættest på 1.

Den lineære model havde følgende 𝑅^{2} -værdi:

𝑅^{2} =0,9937

Den eksponentielle model havde følgende 𝑅^{2} -værdi:

𝑅^{2} =0,9984

y = 32598e^{0.0572x}
R² = 0.9988

30000

35000

40000

45000

50000

55000

60000

10 11

Antal personer

År efter 2000

Antal personer med misligholdt gæld

Side 15

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. maj 2015

15

Ud fra 𝑅^{2} -værdierne er det den eksponentielle model, som passer bedst på sammenhængen, da modellens
𝑅^{2} -værdi ligger tættest på 1. Da begge 𝑅^{2} -værdier ligger meget tæt på 1 kan man ikke ud fra denne værdi

afgøre, hvilken model, som passer bedst på sammenhængen. For at understøtte første antagelse ser vi på punkternes beliggenhed i forhold til modellen. Her ses det også, at den eksponentielle model passer bedst på sammenhængen, da punkterne følger den eksponentielle tendenslinje bedre end den lineære.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 16

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. maj 2015

16

Opgave 6 a)

Vi definerer funktionen f og punktet, som tangenten tangerer i:

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑓 ( 𝑥) =,( 𝑥_{0},𝑓 ( 𝑥_{0}))

1 𝑥

En ligning for tangenten til grafen for f i punktet (𝑥 ,𝑓(𝑥 )) er givet ved
                                         0    0

𝑦=𝑓^{′} ( 𝑥_{0})( 𝑥−𝑥_{0}) +𝑓 ( 𝑥_{0})

=   −
       2

2 𝑥

𝑥_{0} 𝑥_{0}

Denne forskrift stemmer overens med den forskrift, som er opgivet i opgaven.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: b)

Vi vil i denne opgave benytte os af integralregning. Arealet i intervallet

[ 𝑎,𝑏

] afgrænset af x-aksen og funk-tionen g(x) er givet ved:

𝐴=∫ 𝑔 ( 𝑥) 𝑑𝑥

𝑏 𝑎

Værdien for x indsættes i funktionsforskriften for tangenten:

0

𝑔 ( 𝑥) =(−)·𝑥+ =−0,64·𝑥+1,6

1 2

1,25^{2} 1,25

Intervallets grænseværdier(a,b) skal nu bestemmes. Da punktmængden afgrænses af y-aksen er den nedre

grænse: 𝑎=0

Funktionens øvre grænse b bestemmes ud fra funktionens skæringspunkt med y-aksen. Funktionen sættes lig nul og der isoleres for x:

0=−0,64·𝑥+1,6

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=2,5

Funktionens nedre grænse b er 2,5. Funktionen og grænseværdierne indsættes i integralet og arealet ud-regnes:

𝐴=∫ −0,64·𝑥+1,6𝑑𝑥 =2

2,5

0

Det gråtonede område har et areal på 2

Side 17

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 29. maj 2015

17

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: c)

Vi opstiller tangentens ligning:

ℎ(𝑥)=  ( − ) ·𝑥+
           2

1 2

𝑥_{𝑜} 𝑥_{0}

Grænseværdierne bestemmes nu som værdier udtrykt ved x

0

. Vi sætter funktionen lig nul og isolerer for x:

0=  ( −  ) ·𝑥+
        2

1 2

𝑥_{0} 𝑥_{0}

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=2·𝑥_{0}

Funktionens grænseværdier er bestemt til:

[ 𝑎;𝑏] = [ 0;2·𝑥_{0}]

Funktionen og grænseværdierne indsættes i integralet for arealet af det gråtonede område:

𝐴=∫      ( −  ) ·𝑥+   𝑑𝑥 =2
             2

1 2

𝑥_{0} 𝑥_{0}

2·𝑥_{0}

0

Arealet er uafhængig af værdien x

0

, da det ses, at 2 er en konstant.