HTX Matematik A 30. august 2011- Vejledende besvarelse

Side 1

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30. august 2011

1

HTX Matematik A

30. august 2011

htx112-MAT/A-

Løsning med WordMat ...................................................................................................................................... 2 Løsning med Maple ......................................................................................................................................... 15

Side 2

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30. august 2011

2

Løsning med WordMat

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formel-samling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

WordMat er blevet brugt som CAS-værktøj til løsningen af denne eksamen.

Opgave 1 a)

Linjens parameterfremstilling opstilles på følgende form:

( 𝑦) =()

𝑥 𝑥_{0} + 𝑡· 𝑥_{𝑟}

𝑧 𝑧_{0} + 𝑡· 𝑧_{𝑟}

𝑦_{0} + 𝑡 ·𝑦_{𝑟}

Hvor () er et punkt på linjen, t er parameteren og () er retningsvektorens koordinater.

𝑥_{0} 𝑥_{𝑟}
𝑦_{0} 𝑦_{𝑟}
𝑧_{0} 𝑧_{𝑟}

Vi bestemmer retningsvektorens koordinater ud fra punkt D og E.

𝐷≔( 4)

6

5,25

Du skal være opmærksom på, at når du bruger WordMat til at beregne en vektor ud fra to punkter, så skal du opstille punkterne som en vektor (Design - matrix)

𝐸≔( 1)

6

6

𝑟⃗=𝐷− 𝐸

=( 3)

0

−0,75

𝑟⃗≔( 3)

0

−0,75

Vi vælger punkt E som fast punkt på linjen og opstiller parameterfremstillingen:

Side 3

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30. august 2011

3

( 𝑦) =𝐸+ 𝑡· 𝑟⃗

𝑥 𝑧

=( 3 · t + 1)

6

−0,75 · t + 6

b)

Vi bestemmer en parameterfremstilling for planet på følgende form:

( 𝑦) =() + 𝑠 · () + 𝑡· ()

𝑥 𝑧

𝑥_{0} 𝑝_{1} 𝑞_{1}
𝑦_{0} 𝑝_{2} 𝑞_{2}
𝑧_{0} 𝑝_{3} 𝑞_{3}

Hvor er ( ) og (  ) er koordinaterne til to ikke-parallelle retningsvektorer på planet, (𝑥 ,𝑦 ,𝑧 ) er
                                                                              0  0 0

𝑝_{1} 𝑞_{1}
𝑝_{2} 𝑞_{2}
𝑝_{3} 𝑞_{3}

koordinaterne til et punkt på planet og s og t er parametre.

Punkt E benyttes som fast punkt i planet. Vi bestemmer (

𝑝_{1} 𝑞_{1}
𝑝_{2} 𝑞_{2}
𝑝_{3} 𝑞_{3}

) og (

) ud fra punkterne E, H og D, som defineres:

𝐻≔( 1)

0

6

Vektor EH bestemmes:

()=𝐻− 𝐸

𝑝_{1}
𝑝_{2}
𝑝_{3}

=( 0)

−6

0

Vektor ED bestemmes:

() =𝐷− 𝐸

𝑞_{1}
𝑞_{2}
𝑞_{3}

=( 3)

0

−0,75

Koordinaterne indsættes i ligningen. Ligningen for planet, som 𝐸𝐷𝐻 er en del af, er givet ved:

( 𝑦) =𝐸+ 𝑠· ( 0) + 𝑡· ( 3)

𝑥 0

𝑧 −0,75

−6

0

Side 4

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30. august 2011

4

=( 3 · 𝑡 +1)

−6 · 𝑠 + 6

−0,75· 𝑡 + 6

c)

Vi bestemmer en parameterfremstilling for skæringslinjen, der går igennem punkterne C og I.

Vi ændrer parameterfremstillingen for planen, der indeholder EDH, til en ligning:

𝑛 ⎯ ⃗ =( 0) × ( 3)

−6 0

0 −0,75

=( −4,5)

0

−18

Vi kan opstille følgende ligning:

0 ( 𝑥− 6) − 4,5 ( 𝑦 − 1) − 18 ( 𝑧 − 6) =0

Udtrykket reduceres vha. CAS-værktøjet WordMat.

−18 · 𝑧 − 4,5 · 𝑦+ 112,5=0

For at få et punkt på skæringslinjen løses to ligninger med to ubekendte:

𝑦 − 3𝑧+ 10=0

−18 · 𝑧 − 4,5 · 𝑦+ 112,5=0

⇕ Ligningssystemet løses for y,z vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,

𝑦=5 ∧ 𝑧=5

Vi har følgende koordinater til et punkt på linjen:

𝑃=( 5)

0

5

Vi bestemmer en retningsvektor til linje ved at beregne krydsproduktet af de to normalvektorer for planerne:

𝑟⃗=( −4,5) × ( 1)

0 0

−18 −3

=( 0)

31,5

0

Vi kan nu opstille parameterfremstillingen for skæringslinjen:

Side 5

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30. august 2011

5

( 𝑦) =( 5) + 𝑡 · ( 0)

𝑥 𝑧

0 31,5

5 0 d)

Da punkt C ligger på skæringslinjen, som har retningskoordinaterne y=0 og z=0, har punkt C samme y- og z-

koordinat som fast punktet:

𝑦=5

𝑧=5

Punkter ligger på samme plan som punkterne A, B, D, E og F og punkt har derfor samme x-koordinat. Punkt C har følgende koordinatsæt:

𝐶= ( 6,5,5)

Side 6

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30. august 2011

6

Opgave 2 a)

Vi benytter WordMats trekantløser.

WordMats trekantsløser anvendes med input: B = 98°, b = 8, c = 6

A B = 98 °
A = 34,03799°
C = 47,96201°

b = 8,0
c b a = 4,521947
c = 6,0

Længden af siden a findes vha. en cosinusrelation

𝑎=𝑐· cos ( 𝐵) + √ 𝑏^{2} − 𝑐^{2} · sin ( 𝐵)^{2}
=4,521947

Længden af a er lig 4,52.

b)

Arealet af en vikårlig trekant er givet ved:

𝑇= · 𝑎· 𝑐· 𝑠𝑖𝑛(𝐵)

1

2

Vi indsætter størrelserne:

𝑇= · 4,521947 · 6 · sin ( 98)

1

2

≈13,43382

Arealet af trekanten er 13,43.

B a C

Side 7

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30. august 2011

7

Opgave 3 a)

Vi foretager en eksponentiel regression over punktserien.

Det ses af 𝑅^{2} -værdien, som er lig 0,9869, og derved meget tæt på 1, at den eksponentielle tendenslinje

stemmer godt over ens med punktserien. Der kan derfor godt være tale om en eksponentiel udvikling i udbyttet.

b)

Forskriften for den eksponentielle model er generet af Excel ud fra den eksponentielle tendenslinje.

Forskriften er følgende:

𝑓 ( 𝑡) =53,59 · 𝑒^{0,1024𝑡}
=53,59 · 1,1078^{𝑡}

c)

Vi indsætter 𝑡≔8 i forskriften og beregner funktionsværdien:

𝑓 ( 𝑡) =53,59 · 𝑒^{0,1024𝑡}

≈121,5788

y = 53,59e^{0,1024x}
R² = 0,9869

0

20

40

60

80

100

120

Udbytte tid(år)

Udbytte som funktion af tiden

Side 8

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30. august 2011

8

I år 1997 er udbyttet af råvildt 122000.

d)

%=() · 100

121,5788 − 110

110

≈10,52618

Vores model afviger fra den faktiske model med 10,53 %

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 9

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30. august 2011

9

Opgave 4

Vi opskriver differentialligningen:

𝑐𝑜𝑠^{2} ( 𝑡) · 𝑠𝑖𝑛 ( 𝑡) · 𝑦^{′} ( 𝑡) =−𝑐𝑜𝑠^{3} ( 𝑡) · 𝑦 ( 𝑡) + 1

Vi isolerer for yʼ(t):

𝑦^{′} ( 𝑡) =

−𝑐𝑜𝑠^{3} ( 𝑡) · 𝑦 ( 𝑡) + 1
𝑐𝑜𝑠^{2} ( 𝑡) · 𝑠𝑖𝑛 (𝑡)

For at funktionen y(t) er en løsning til differentialligningen, skal udregningen af højre og venstre side af ligningen være lig hinanden. WordMat benyttes til udregning af henholdsvis højre og venstre side. Vi løser først venstre side af differentialligningen, som er yʼ(t), ved at differentiere funktionen 𝑦.

𝑦 ( 𝑡) = −

1 1 𝑐𝑜𝑠 ( 𝑡) 𝑠𝑖𝑛 ( 𝑡)

⇓

𝑦^{′} ( 𝑡) = +

cos ( 𝑡) sin ( 𝑡)

sin^{2} ( 𝑡) cos^{2} ( 𝑡)
=

cos^{3} ( 𝑡) + sin^{3} (𝑡)
sin^{2} ( 𝑡) · cos^{2} (𝑡)

Vi løser nu højre side ved at indsætte funktionen 𝑦 på 𝑦ʼs plads i differentialligningen:

𝑦^{′} ( 𝑡) =

−cos^{3} ( 𝑡) · 𝑦 ( 𝑡) + 1
cos^{2} ( 𝑡) · sin ( 𝑡)

=

−cos^{3} ( 𝑡) · ( −) + 1

1 1 𝑐𝑜𝑠 ( 𝑡) 𝑠𝑖𝑛 ( 𝑡)

cos^{2} ( 𝑡) · sin ( 𝑡)

=

− + + 1

cos^{3} ( 𝑡) cos^{3} ( 𝑡)

cos ( 𝑡) sin ( 𝑡)

cos^{2} ( 𝑡) · sin ( 𝑡)

=

−cos^{2} ( 𝑡) + + 1

cos^{3} ( 𝑡)

sin ( 𝑡)

cos^{2} ( 𝑡) · sin ( 𝑡)
=

−cos^{2} ( 𝑡) · sin ( 𝑡) + cos^{3} ( 𝑡) · sin ( 𝑡)
cos^{2} ( 𝑡) · sin^{2} ( 𝑡)
=

−sin ( 𝑡) · (1 − cos^{2} (𝑡)) + cos^{3} ( 𝑡)
cos^{2} ( 𝑡) · sin^{2} ( 𝑡)
=

sin^{3} (𝑡) +cos^{3} ( 𝑡)
cos^{2} ( 𝑡) · sin^{2} (𝑡)

Det ses at vi får samme udtryk, når vi løser henholdsvis højre og venstre side af differentialligningen. Vi har derved vist, at funktionen y er en løsning til differentialligningen.

Side 10

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30. august 2011

10

Opgave 5 a)

Grafen skærer med x-aksen når f(x)=0. Koordinaterne til skæringspunkterne med x-aksen er derved:

( −11,0)

( −7,0)

(−3,0)

Grafen skærer med y-aksen når x=0. Koordinaterne til skæringspunkterne med y-aksen er derved:

( 0,2) b)

Side 11

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30. august 2011

11

Opgave 6 a)

Vi benytter Graph, hvor vi indsætter funktionen som en parameterfunktion: b)

Farten er lig længden af hastighedsvektoren. Vi differentierer funktionen for at bestemme hastighedsvektoren: 𝑟⃗(𝑡)≔()

sin ( 𝑡) + 2
3 · sin ( 0,5𝑡) + 1

𝑟⃗^{′} ( 𝑡) =()

cos ( 𝑡)

1,5 · cos ( 0,5 · 𝑡)

Vi bestemmer forskriften for farten

|𝑟⃗^{′} ( 𝑡) |= √ ( cos ( 𝑡)^{2} + 2,25 · cos ( 0,5 · 𝑡)^{2})

Side 12

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30. august 2011

12

Hvor |𝑟⃗^{′} ( 𝑡) |=|𝑣⃗ ( 𝑡) |

c)

Jeg opstiller formlen for længden af kurven og indsætter de givne grænseværdier:

𝐿=∫ √ cos ( 𝑡)^{2} + 2,25 · cos ( 0,5 · 𝑡)^{2} 𝑑𝑡

4𝜋

0

≈15,48265

Bilen har kørt 15,48 m

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: d)

Vi skal bestemme funktionens minimum.

Funktionen for farten defineres:

𝑣 ( 𝑡) ≔ √ cos ( 𝑡)^{2} + 2,25 · cos ( 0,5 · 𝑡)^{2}

For at undersøge monotoniforholdene for 𝑣 bestemmes først nulpunkter for 𝑣′. Dette gøres ved at løse ligningen:

𝑣^{′} (𝑡)=0

Ligningen løses numerisk for t vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑡≈2,168203 ∨ 𝑡≈3,141593 ∨ 𝑡≈4,114983 ∨ 𝑡≈6,283185 ∨ 𝑡≈8,451388 ∨ 𝑡

≈9,424778

Følgende t-værdier er inde for intervallet: 𝑡≈3,141593 𝑡≈4,114983 𝑡≈6,283185

Vi udregner nu fortegnet for v’ på begge sider af alle nulpunkterne:

𝑣^{′} ( 3) ≈0,06059056

𝑣^{′} ( 4) ≈−0,0763175

𝑣^{′} ( 5) ≈0,6571465

𝑣^{′} ( 7) ≈−0,5424995

Side 13

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30. august 2011

13 𝑥 3,141593 4,114983 6,283185

𝑓^{′} ( 𝑥) + 0 - 0 + 0 -

𝑓 ( 𝑥) ↗ ↘ ↗ ↘

f har lokalt minimum for 𝑥=4,114983

f har lokalt maksimum for 𝑥= 3,141593 ∧ 6,283185

Vi bestemmer de tilførende funktionsværdier for minimum.

𝑣 ( 4,114983) ≈0,8992184

Bilens mindste fart er 0,9 m/s

Side 14

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30. august 2011

14

Opgave 7 a)

Vi løser differentialligningen:

𝑘^{′} ( 𝑡) + · 𝑘 ( 𝑡) = · sin ( 𝑡) +

1 1 1

5 500 250

Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion

𝑘 ( 𝑡) =0,0003846154 · sin ( 𝑡) − 0,001923077· cos ( 𝑡) + 𝑐· 𝑒^{−0,2·𝑡} + 0,02

c er en konstant.

b)

Vi indsætter startbetingelsen og løser differentialligningen:

𝑘^{′} ( 𝑡) + · 𝑘 ( 𝑡) = · sin ( 𝑡) +

1 1 1

5 500 250

Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen k(0)=0,7
𝑘 ( 𝑡) =𝑒^{−0,2·𝑡} · ( 0,002 · ( 0,9615385 · 𝑒^{0,2·𝑡} · ( 0,2 · sin ( 𝑡) − cos ( 𝑡)) + 10 · 𝑒^{0,2·𝑡}) + 0,6819231)

Udtrykket reduceres vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑘 ( 𝑡) =0,0003846154 · sin ( 𝑡) − 0,001923077 · cos ( 𝑡) + 0,6819231 · 𝑒^{−0,2·𝑡} + 0,02

c)

Selvom spørgsmålet ikke siger det, formoder vi, at vi skal bruge løsningsfunktionen fra opgave 7b.

Vi definerer løsningsfunktionen, som vi fandt i opgave 7b:

𝑘 ( 𝑡) ≔0,0003846154· sin ( 𝑡) − 0,001923077· cos ( 𝑡) + 0,6819231 · 𝑒^{−0,2·𝑡} + 0,02

Vi sætter funktionen lig 0,03 og isolerer for t:

𝑘 ( 𝑡) =0,03

Ligningen løses numerisk for t vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑡≈22,1338

Der går 22,13 tidsenheder før forureningskoncentrationen er på 0,03 g/L.

Side 15

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30. august 2011

15

Løsning med Maple

Alle opgaver er regnet med Maple, da vores erfaring viser, at det er et stærkt værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af Maple som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra Maples Gym-pakken egen formelsamling. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Side 16

(1.1.3)(1.1.3)

(1.1.2)(1.1.2)

(1.1.4)(1.1.4)

(1.1.1)(1.1.1)

(1.1.5)(1.1.5)

Alle beregninger er udført med Maple som CAS-værktøj . Maple bruger "." som decimaladskiller.

Opgave 1 a)

Parameterfremstillingen for linjen med E benyttet som fast punkt og med retningsvektoren opstilles på følgende form:

Hvor t er en parameter. Vi definerer punkterne E og D, som vi af hensyn til Maple kalder :

Vi bestemmer retningsvektoren:

Vi benytter E som fast punkt og opstiller parameterfremstillingen:

Linjen gennem punkt E og D har parameterfremstillingen: b)

Side 17

(1.2.3)(1.2.3)

E (1.3.1)(1.3.1)

(1.2.1)(1.2.1)

(1.3.2)(1.3.2)

(1.2.2)(1.2.2)

(1.2.4)(1.2.4)

Vi bestemmer en parameterfremstilling for planet på følgende form:

Hvor er og er koordinaterne til to ikke-parallelle retningsvektorer på planet, er koordinaterne til et punkt på planet og s og t er parametre. Vi definerer punkt H og bestemmer :

Vi benytter E sopm fast punkt og opstiller parameterfremstillingen:

Planet, som EDH er en del af, har parameterfremstillingen: c)

Vi bestemmer ligningen for planet, som EDH er en del af. Vi definerer punkt E,D og H:

Side 18

(1.3.4)(1.3.4) form of the object line3d (1.3.8)(1.3.8)

(1.4.2)(1.4.2) l (1.3.7)(1.3.7)

(1.4.1)(1.4.1) p2 (1.3.6)(1.3.6)

(1.3.9)(1.3.9)

(1.3.5)(1.3.5)

(1.4.3)(1.4.3)

H (1.3.3)(1.3.3)

Warning, assume that the parameter in the parametric (1.3.8)(1.3.8)

Vi bestemmer planet og generer en ligning for planet:

`while processing result`

`while processing result`

Vi definerer planet for tagpladen:

Vi definerer skæringslinjen: equations is _t equation of the line

Parameterfremstillingen for skæringslinjen mellem planerne er følgende: d)

Da punkt C ligger på skæringslinjen, som kun har en parameter i x-koordinatet, kan vi aflæse y-og z-koordinatet fra parameterfremstillingen:

Punkter ligger på samme plan som punkterne A, B, D, E og F og punkt har derfor samme x-koordinat. Punkt C har følgende koordinatsæt:

Side 19

69 (2.2.2)(2.2.2)

(2.1.1)(2.1.1)

T (2.2.1)(2.2.1)

Opgave 2 a)

Vi benytter Maples værktøj til at bestemme størrelserne i en trekant:

Siden a er 4,52.

b)

Vi definerer trekanten:

Arealet af trekanten er 13,43.

Side 20

(3.1.1)(3.1.1)

Opgave 3 a)

Vi definerer punktserien:

Vi foretager en eksponentiel regression:

Det ses af -værdien, som er lig 0,9869, og derved meget tæt på 1, at den eksponentielle tendenslinje stemmer godt over ens med punktserien. Der kan derfor godt være tale om en eksponentiel udvikling i udbyttet.

Side 21

45 (3.4.1)(3.4.1)

(3.2.1)(3.2.1) b)

Vi bestemmer forskriften for den eksponentielle model ved at aflæse tendenslinjens forskrift: c)

Vi sætter t lig 8 i funktionsudtrykket og beregner funktionsværdien:

= 82

I år 1997 er udbyttet af råvildt 122000.

d)

Vi beregner afvigelsesprocenten:

Vores model afviger fra den faktiske model med 10,51 %

Side 22

(4.2)(4.2)

(4.1)(4.1)

Opgave 4

Vi isolerer for y' i differentialligningen:

For at funktionen y(t) er en løsning til differentialligningen, skal udregningen af højre og venstre side af ligningen være lig hinanden. Maple benyttes til udregning af henholdsvis højre og venstre side. Vi

=

Det ses at vi får samme udtryk, når vi løser henholdsvis højre og venstre side af differentialligningen.

Side 23

Vi har derved vist, at funktionen y er en løsning til differentialligningen.

Vi anbefaler ikke at benytte Maple's CAS-værktøj i denne opgave, da ligningen skal udtrykkes på en helt specifik måde for at kunne vise at ligningen er en løsning til differentialligningen.

Side 24

(5.1.4)(5.1.4)

(5.1.2)(5.1.2)

(5.1.1)(5.1.1)

(5.1.3)(5.1.3)

Opgave 5 a)

Grafen skærer med x-aksen når f(x)=0. Koordinaterne til skæringspunkterne med x-aksen er

derved:

Grafen skærer med y-aksen når x=0. Koordinaterne til skæringspunkterne med y-aksen er derved:

b)

Side 25

studienet.dk
Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 30. august 2011

y
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
−1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9 −10 −11 −12 −13 −14 −15
X
−15 −14 −13 −12 −11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

restart
24

Side 26

(6.2.1)(6.2.1)

Opgave 6 a)

Vi plotter vektorfunktionen: b)

Vi definerer vektorfunktionen:

Farten er lig længden af hastighedsvektoren, hvor hastighedsvektoren er den afledte funktion af vektorfunktionen r:

Side 27

(6.3.3)(6.3.3)

(6.3.4)(6.3.4)

0 (6.3.2)(6.3.2)

(6.3.5)(6.3.5)

(6.2.2)(6.2.2)

(6.3.1)(6.3.1)

106 (6.4.1)(6.4.1) c)

Vi definerer forskriften for farten:

Grænseværdierne defineres:

Jeg opstiller udtrykket for længden af kurven og indsætter de givne grænseværdier:

Bilen har kørt 15,48 m d)

Vi minimere funktionen for farten i det givne interval:

Bilens mindste fart er 0,9 m/s

Side 28

(7.2.1)(7.2.1)

11 (7.3.2)(7.3.2)

(7.3.1)(7.3.1)

(6.2.2)(6.2.2)

(7.1.1)(7.1.1)

Opgave 7 a)

Den fuldstændige løsning til differentialligningen er

, hvor er en konstant.

b)

Vi indsætter startbetingelsen og løser differentialligningen: c)

Selvom spørgsmålet ikke siger det, formoder vi, at vi skal bruge løsningsfunktionen fra opgave 7b.

Vi definerer løsningen:

Vi sætter funktionen lig 0,03 og isolerer for t:

Der går 22,13 tidsenheder før forureningskoncentrationen er på 0,03 g/L.