STX Matematik A 12. december 2008 - Delprøven med hjælpemidler

Side 1

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 12. december 2008

1

STX Matematik A

12. december 2008

Delprøven med hjælpemidler

STX083-MAA

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp STX 3.g

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 6 a)

Vektorerne defineres: 𝑎⃗≔()

2

3 𝑏 ≔()

⎯ ⃗

−1

2 𝑣⃗≔()

1

−1

Hvis situationen skal være ortogonal skal vektorernes prikprodukt være lig 0:

( 𝑎⃗+ 𝑠 · 𝑏) · 𝑣⃗=0

⎯ ⃗

⇕ Ligningen løses for s vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑠≔−0,3333333

Når tallet 𝑠 er lig −0,33 er situationen ortogonal.

For at være sikker på at 𝑠 ikke gør ( 𝑎⃗+ 𝑠 · 𝑏) til nulvektoren, indsættes 𝑠 i udtrykket, og der beregnes:

⎯ ⃗

Side 2

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 12. december 2008

2

( 𝑎⃗+ 𝑠 · 𝑏) ≈()≠0

⎯ ⃗

2,333333

2,333333

Værdien af 𝑠 er et sandt facit.

b)

Arealet af det udspændte parallelogram bestemmes ved den numeriske værdi af determinanten:

𝐴= | det(𝑎⃗, ( 𝑎⃗− 𝑏)) | =7

⎯ ⃗

Arealet af det udspændte parallelogram, som vektor 𝑎⃗ udspænder med vektor 𝑎⃗− 𝑏, har arealet 7.

⎯ ⃗ c)

Koordinatsættet til projektionen af vektor 𝑎⃗ på 𝑏 findes ved:

⎯ ⃗

𝑎⃗_{𝑏}_{⎯}_{⃗} = · 𝑏 ≈()

𝑎⃗· 𝑏

⎯ ⃗

| 𝑏 |

⎯ ⃗^{2}

⎯ ⃗

−0,8

1,6

Koordinatsættet til projektionen af vektor 𝑎⃗ på 𝑏 er fundet til ().

⎯ ⃗

−0,8

1,6

Side 3

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 12. december 2008

3

Opgave 7 a)

Vinklen A bestemmes med WordMats trekantsløser:

WordMats trekantsløser anvendes med input: a = 10, b = 15, c = 21

B A = 26,0498°
B = 41,20295°
C = 112,7472°

a = 10
b = 15
c = 21

Vinkel A findes vha. cosinusrelationer

𝐴=cos^{−1} () =cos^{−1} () =26,0498°

𝑐^{2} + 𝑏^{2} − 𝑎^{2} 21^{2} + 15^{2} − 10^{2}
2 · 𝑏 · 𝑐 2 · 15 · 21

Vinklen A aflæses til 26,05° (afrundet til 2 decimaler).

Arealet af trekant ABC beregnes ved:

𝑇= · 𝑐· 𝑏· sin ( 𝐴)

1

2

= · 21 · 15· sin ( 26,05)

1

2

≈69,16696

Arealet af trekant ABC er således 69,17 (afrundet til 2 decimaler).

b)

Medianen 𝑚_{𝑏} forbinder hjørnet B med midtpunktet af siden b. Dvs. at medianen 𝑚_{𝑏} kan findes i en
trekant, hvor siden b er lig^{15}_{2} =7,5. Trekanten beregnes med WordMats trekantsløser:

WordMats trekantsløser anvendes med input: A = 26,0498°, b = 7,5, c = 21

A b C c a

Side 4

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 12. december 2008

4

B A = 26,0498°
B = 13,0039°
C = 140,9463°

m_{b} = 14,63728
b = 7,5
c = 21

Længden af siden m_{b} findes vha. en cosinusrelation
𝑚_{𝑏} = √ 𝑏^{2} + 𝑐^{2} − 2 · 𝑏 · 𝑐· cos ( 𝐴)
= √ 7,5^{2} + 21^{2} − 2 · 7,5 · 21 · cos ( 26,0498°)
=14,63728
Medianen 𝑚_{𝑏} aflæses til 14,64 (afrundet til 2 decimaler).

A b C

c m_{b}

Side 5

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 12. december 2008

5

Opgave 8 a)

Sammenhængen kan tilnærmelsesvis beskrives ved en lineærfunktion. Tabellen med data opstilles, og der foretages en lineær regression:

År efter år 0 4 7 11 14

1963

Testtal 502 492 488 480 470

Lineær regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 0,9842015

𝑦=−2,169381𝑥+ 502,0195

En forskrift for 𝑓 er fundet til:

𝑓 ( 𝑥) ≔−2,169381𝑥 + 502,0195

b)

Tallet -2,17 (afrundet til 2 decimaler) betegner hældningskoefficienten for linjen og dermed udviklingen i testtal pr. år. Ifølge modellen falder testtallet således med ca. 2,17 pr. år efter år 1963.

Tallet 502 (afrundet til 0 decimaler) betegner testtallet i år 1963 og dermed begyndelsesværdien. Testtallet i matematik i år 1963 ifølge modellen er således 502.

I år 1980 vil testtallet ifølge modellen være:

𝑓 ( 1980 − 1963) ≈465,14

Testtallet i år 1980 ifølge modellen er således fundet 465 (afrundet til helt testtal). Sammenlignes tallet med det faktiske testtal i år 1980 på 466, står det klart, at testtallet fundet med modellen og det faktiske testtal stort set stemmer overens.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 6

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 12. december 2008

6

Opgave 9 a)

Det oplyses at bruttonationalproduktet pr. indbygger i de 2 lande vil vokse med en uændret årlig vækstrate efter år 2003 dvs. at der er tale om en eksponentiel udvikling:

𝑓 ( 𝑥) =𝑏· 𝑎^{𝑥} =𝑏· ( 𝑟 + 1)^{𝑥}

En model for udviklingen i bruttonationalproduktet pr. indbygger i Kina kan skrives som:

𝐾 ( 𝑥) ≔5003 · ( 0,085 + 1)^{𝑥}

Bruttonationalproduktet pr. indbygger i Kina i år 2020 beregnes som:

𝐾 ( 2020 − 2003) ≈20023,32

Ifølge modellen vil bruttonationalproduktet i Kina i år 2020 være 20023,3 US$ (afrundet til 1 decimal).

b)

En model for bruttonationalproduktet pr. indbygger i USA kan skrives som:

𝑈 ( 𝑥) ≔37562 · ( 0,021 + 1)^{𝑥}

I skæringspunktet mellem de 2 grafer for henholdsvis USA og Kina vil landene have samme bruttonationalprodukt pr. indbygger:

𝑈 ( 𝑥) =𝐾 ( 𝑥)

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=33,15855

Ifølge modellerne vil USA og Kina have samme bruttonationalprodukt pr. indbygger 33,16 (afrundet til 2 decimaler) år efter år 2003 dvs. ca. i år 2036.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 7

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 12. december 2008

7

Opgave 10 a)

Den spidse vinkel mellem planerne 𝛼 og 𝛽 bestemmes ved, at finde vinklen mellem normalvektorerne til de

2 planer:

En normalvektor for plan 𝛼 og 𝛽 aflæses fra plan ligningerne og defineres:

𝑛 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯_{𝛼} ⃗ ≔( −3)

2

6

𝑛 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯_{𝛽} ⃗ ≔( 1)

5

−3

Vinklen mellem normalvektorerne bestemmes ved:

cos ( 𝑢) =

𝑛 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ · 𝑛 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗
 𝛼  𝛽

| 𝑛 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯_{𝛼} ⃗ | | 𝑛 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯_{𝛽} ⃗ |

⇕ Ligningen løses for u vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑢≔105,4038°

Vinklen er stump, den spidse vinkel bestemmes ved:

𝑣=180° − 𝑢=74,5962°

Den spidse vinkel mellem normalvektorerne til planerne 𝛼 og 𝛽, der svarer til den reelle vinkel mellem planerne, er fundet til 74,60° (afrundet til 2 decimaler).

b)

Hvis linjen 𝑙 skal være parallel med planen 𝛼, må linjen 𝑙 og planen 𝛼 ikke skærer hinanden. Dette kan testes ved at tage prikproduktet af retningsvektoren til 𝑙 og normalvektoren til planen 𝛼, hvis resultatet giver 0, er vektorerne ortogonale dvs. linjen og planen er parallel:

Retningsvektoren til 𝑙 aflæses fra parameterfremstillingen og defineres:

𝑟 ⎯ ⎯ ⃗_{𝑙} ≔( 4)

3

1

Retningsvektoren og normalproduktet prikkes:

𝑛 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ · 𝑟 ⎯ ⎯ ⃗ =0
 𝛼  𝑙

Det kan konkluderes at linjen 𝑙 og planen 𝛼 er parallelle.

Side 8

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 12. december 2008

8

Skæringspunktet mellem linjen 𝑙 og planen 𝛽 bestemmes ved, at indsætte linjen 𝑙s koordinatligninger i ligningen for planen 𝛽:

5 · ( 10 + 𝑡 · 3) + ( 16 + 𝑡 · 4) − 3 · ( 3 + 𝑡· 1) =9

⇕ Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑡=−3

Vi kender nu forlængelsen 𝑡= −3. Værdien for 𝑡 indsættes i parameterfremstillingen for linjen 𝑙 og

koordinatsættet til skæringspunktet findes:

𝑆_{𝑙𝛽} ( 𝑦) =( 16) + ( −3) · ( 4)=( 4)

𝑥 𝑧

10 3 1

3 1 0

Skæringspunktet mellem linjen 𝑙 og planen 𝛽 har koordinatsættet ( 1,4,0)

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 9

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 12. december 2008

9

Opgave 11 a)

Funktionen defineres:

𝑓 ( 𝑥) ≔𝑥^{2} − 10𝑥+ 30

Arealet af punktmængden 𝑀 bestemmes ved det bestemte integral, hvor kordinataksen og ligningen

𝑥=10 betegner grænserne for arealet:

𝐴_{𝑀} =∫𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥 ≈133,3333

10

0

Arealet af punktmængden 𝑀 er således fundet til 133,33 (afrundet til 2 decimaler).

b)

Rumfanget af det omdrejningslegeme, der forekommer når punktmængden 𝑀 drejes 360° omkring førsteaksen, bestemmes ved:

𝑉_{𝑀} =𝜋· ∫ ( 𝑓 ( 𝑥))^{2} 𝑑𝑥 ≈7330,383

10

0

Volumen af 𝑉_{𝑀} er således fundet til 7330,83 (afrundet til 2 decimaler).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 10

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 12. december 2008

10

Opgave 12

Funktionen defineres og intervallet defineres. Husk at skifte til radianer, når der er tale om en trigonometrisk funktion:

𝑓 ( 𝑥) ≔𝑥+ 2 · sin ( 𝑥)

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 0≤𝑥≤2𝜋

Ligningen 𝑓^{′} ( 𝑥) =0 løses:

𝑓^{′} ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=2 · ∨ 𝑥=4 ·

𝜋 𝜋

3 3

Monotoniforholdene bestemmes ved, at tjekke differentialkvotienten tjekkes på begge sider af ekstremum:

𝑓^{′} ( 1) ≈2,080605

𝑓^{′} ( 3) ≈−0,979985

𝑓^{′} ( 5) ≈1,567324

Det kan konkluderes på baggrund af funktionsundersøgelsen at:

                           𝜋       𝜋
𝑓 er voksende i intervallet [0;2 · ] og [ 4 · ,2𝜋 ]
                           3       3

                        𝜋    𝜋
𝑓 er faldende i intervallet [2 · ;4 · ]
                        3    3

                          𝜋
𝑓 har lokalt maksimum i 𝑥=2 · ≈2,094395
                          3

                         𝜋
𝑓 har lokalt minimum i 𝑥=4 · ≈4,18879
                         3

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 11

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 12. december 2008

11

Opgave 13 a)

Modellen opstilles:

𝐿^{′} ( 𝑡) =0,619 · 𝑒^{−0,22·𝑡} · 𝐿 ( 𝑡)

En forskrift for 𝐿(𝑡) bestemmes ved at lade WordMat løse differentialligning med startsbetingelsen, at en

10 år gammel atlantisk havkat er 72 cm lang:

Løsningen defineres desuden:

Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen L(10)=72
𝐿 ( 𝑡) ≔𝑒^{𝑒^{−0,22·𝑡}} · 98,33951

·−2,813636

b)

Længden af en 16 år gammel atlantisk havkat bestemmes ved at løse:

𝐿 ( 16) ≈90,48136

Ifølge modellen er længden af en 16-årig gammel atlantisk havkat ca. 90,48 cm lang (afrundet til 2 decimaler).

Alderen af en 40 cm lang atlantisk havkat bestemmes ved at løse ligningen:

𝐿 ( 𝑡) =40

⇕ Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑡=5,183374

Ifølge modellen vil en 40 cm lang atlantisk havkat være ca. 5,18 år gammel (afrundet til 2 decimaler).

Side 12

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 12. december 2008

12

Opgave 14 a)

Volumen af en kasse er givet ved:

𝑉_{𝑘𝑎𝑠𝑠𝑒} =ℎ · 𝑏· 𝑙

Højden kan beskrives som:

ℎ=

𝑉_{𝑘𝑎𝑠𝑠𝑒}
𝑏 · 𝑙

Substitueres oplysninger fra opgaven ind i ovenstående udtryk, kan ℎ udtrykkes ved x på følgende måde:

ℎ=

125 𝑑𝑚^{3}
𝑥· ( 𝑥+ 3)

Det udgår ikke fra opgavebeskrivelsen om kassens overfladeareal også betegner indmaden af kassen.

Overfladearealet beregnes kun for ydersiden af kassen:

𝑂_{𝑘𝑎𝑠𝑠𝑒} =2 · ℎ· 𝑙+ 2 · ℎ· 𝑏+ 𝑏· 𝑙

Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Faktoriser,

𝑂_{𝑘𝑎𝑠𝑠𝑒} = ( 2 · ℎ + 𝑏) · 𝑙+ 2 · 𝑏· ℎ

Substitueres oplysninger fra opgaven og udtrykket for højden ind i ovenstående udtryk, fås et udtryk for kassens overfladeareal givet ved følgende:

𝑂_{𝑘𝑎𝑠𝑠𝑒} =(2 · + 𝑥) · ( 𝑥+ 3) + 2 · 𝑥·

125 125

𝑥· ( 𝑥+ 3) 𝑥· ( 𝑥+ 3)

Udtrykket reduceres vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑂_{𝑘𝑎𝑠𝑠𝑒} = ( 𝑥 + 3) · ( + 𝑥) +

250 250

𝑥· ( 𝑥+ 3) 𝑥+ 3

Side 13

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 12. december 2008

13

Opgave 15 a)

Populationen betegner reelt alle mennesker, der har adgang til hjemmesiden. Stikprøven betegner de mennesker, som benytter sig af hjemmesiden, og dertil vælger at deltage i undersøgelsen vedrørende kosttilskuds betydning for helbredet. Problemet med stikprøven er, at stikprøven ikke er repræsentativ for befolkningen, som firmaet hævder, eftersom det kun er de mennesker, der besøger hjemmesiden, der kan deltage i undersøgelsen. Et andet problem opstår i, at der er en overhængende chance for, at de mennesker, der vælger at deltage i undersøgelsen på forhånd har en mening om kosttilskud, og derfor ikke er en upartisk stemme. Den skjulte variabel bliver i undersøgelsen de upartiske tilkendegivelser, som firmaet med baggrund i senere vælger at bruge i en pressemeddelelse, hvor firmaet absolut hævder at 80% af befolkningen tydeligt mærker en positiv forskel ved indtagelse af kosttilskud.

Side 14

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 12. december 2008

14

I eksamensbesvarelsen skal kun en af opgaverne 16a og 16b vedlægges. I denne besvarelse vises løsninger til begge opgaver.

Opgave 16a a)

Sammenhængen mellem husradonkoncentrationen og studeradonkoncentrationen opskrives og husradonkoncentrationen isoleres.

H må isoleres med WordMat og manuelt med simple logaritmeregneregler:

log ( 𝐻) =0,227 + 0,922 · log ( 𝑆)

⇕ Ligningen løses for H vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝐻=1,686553 · 10^{0,922·log}

( 𝑆)

⇕

𝐻=1,686553 · ( log ( 𝑆))^{0,922}

⇕

𝐻=1,686553 + 𝑆^{0,922}

Husradonkoncentrationen som funktion af studeradonkoncentrationen kan altså omskrives til en potensfunktion:

Den %-mæssige sammenhæng mellem den afhænge og uafhængige variabel i en potensfunktion kan beskrives ved:

𝐹_{𝑦} =𝐹_{𝑥}^{𝑎} (𝐼)

Når studeradonkoncentrationen vokser med 20% vokser Husradonkoncentrationen med:

𝑟_{𝑦} =𝐹_{𝑦} − 1=1,20^{0,922} − 1≈0,1830555
=18,30555%

Når studeradonkoncentrationen vokser med 20% vokser husradonkoncentrationen med 18,31% (afrundet til 2 decimaler).

                     𝑎
(I) Potensudvikler: 𝐹 =𝐹 ⇔ ( 𝑟 + 1 ) = ( 𝑟 + 1 )
                𝑦   𝑥      𝑦        𝑥

Side 15

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 12. december 2008

15

Opgave 16b a)

Funktionen defineres:

𝑓 ( 𝑥) ≔𝑥^{3} + 6𝑥^{2} + 𝑘

Så undersøges nulpunkterne for den afledte funktion 𝑓′:

𝑓^{′} ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=−4 ∨ 𝑥=0

Monotoniforhold bestemmes på begge sider af ekstremum:

𝑓^{′} ( −5) =15

𝑓^{′} ( −3) =−9

𝑓^{′} ( 1) =15

På baggrund af ovenstående funktionsundersøgelse, kan vi konkludere at 𝑓 har lokalt maksimum i 𝑥=−4
og lokalt minimum i 𝑥=0. Dvs. at tredjegradspolynomiet har 2 vendetangenter uafhængig af 𝑘. Det

indses, at de eneste situationer, hvor tredjegradspolynomiet har 2 skæringspunkter med 𝑥-aksen, er hvor enten det lokale maksimum eller minimum tangerer med x-aksen.

Den eneste indflydelse konstanten 𝑘 har på 𝑓, er at den parallelforskyder grafen op og ned ad 𝑦-aksen. For at bestemme de værdier af 𝑘, der netop gør at det lokale minimum eller maksimum tangerer, med 𝑥-aksen bestemmes ved først at finde værdierne for 𝑓 i maksima og minima:

Maksimum:

𝑓 ( −4) =32

Dvs. at for situationen, hvor maksimum tangerer 𝑥-aksen, skal grafen for 𝑓 forskydes 32 i negativ retning

dvs. 𝑘=−32

Minimum:

𝑓 ( 0) =0

Dvs. at for situationen, hvor minimum tangerer 𝑥-aksen, er 𝑘=0.

De 2 værdier for 𝑘, der medfører at grafen for 𝑓 har to skæringspunkter med 𝑥-aksen, er 𝑘=−32 og
𝑘=0.

Side 16

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 12. december 2008

16

Skitse af situation. Skitsen er ikke et krav til eksamen.