STX Matematik A 13. august 2008 - Delprøven uden hjælpemidler

Side 1

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 13. august 2008

1

STX Matematik A

13. august 2008

Delprøven uden hjælpemidler

STX082-MAA

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Opgave 1

Reducer:

( 𝑎 − 𝑏)^{2} + 2𝑏 ( 𝑎 − 𝑏)

⇕

𝑎^{2} + 𝑏^{2} − 2𝑎𝑏 + 2𝑏𝑎 − 2𝑏^{2} (𝐼)

⇕

𝑎^{2} − 𝑏^{2}

Reducer:

3𝑥 − 3𝑦
𝑥^{2} − 2𝑥𝑦 + 𝑦^{2}

⇕

3 ( 𝑥 − 𝑦)
( 𝑥 − 𝑦)^{2}

(𝐼)

⇕

3

(𝑥 − 𝑦)

(I) ( 𝑎 − 𝑏)^{2} = 𝑎^{2} + 𝑏^{2} − 2𝑎𝑏

Side 2

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 13. august 2008

2

Opgave 2

𝑎⃗ = ()

𝑡+ 1

2𝑡

𝑏 = ()

⎯ ⃗

3

4

Når vektorerne er ortogonale, er skalarproduktet lig 0:

𝑎⃗ · 𝑏 = 0

⎯ ⃗

⇕

( 𝑡 + 1) · 3 + 2𝑡· 4 = 0 (𝐼)

⇕

3𝑡 + 3 + 8𝑡 = 0

⇕

11𝑡 = −3

⇕

𝑡 =

−3

11

                                                −3
Tallet 𝑡, der gør vektor 𝑎⃗ og 𝑏 ortogonale, er fundet til 𝑡 =
                                                11

⎯ ⃗

Når vektorerne er parallelle, er determinanten lig 0:

det ( 𝑎⃗,𝑏) = 0

⎯ ⃗

⇕

−𝑏_{2} 𝑎_{1} + 𝑏_{1} 𝑎_{2} = 0 (𝐼𝐼)

⇕

−4 · ( 𝑡 + 1) + 3 · 2𝑡 = 0

⇕

−4𝑡 − 4 + 6𝑡 = 0

⇕

2𝑡 = 4

⇕

𝑡 = 2
Tallet 𝑡, der gør vektor 𝑎⃗ og 𝑏 parallelle er fundet til 𝑡 = 2.

⎯ ⃗

(I) Skalarprodukt:

𝑎⃗ · 𝑏 = 0,𝑎⃗ ⊥ 𝑏

⎯ ⃗ ⎯ ⃗

⇕

Side 3

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 13. august 2008

3

𝑎⃗ · 𝑏 = 𝑎_{1} 𝑏_{1} + 𝑎_{2} 𝑏_{2}

⎯ ⃗

(II) Determinanten:

𝑑𝑒𝑡 ( 𝑏 · 𝑎⃗) = 0, 𝑎⃗||𝑏

⎯ ⃗ ⎯ ⃗

⇕

𝑑𝑒𝑡 ( 𝑎⃗,𝑏) = −𝑏_{2} 𝑎_{1} + 𝑏_{1} 𝑎_{2}

⎯ ⃗

Opgave 3

𝑓 ( 𝑥) = 𝑏· 𝑥^{𝑎}

𝑓 ( 2) = 2

𝑓 ( 4) = 16

Punkterne indsættes i funktionsudtrykket:

2 = 𝑏 · 2^{𝑎}

16 = 𝑏 · 4^{𝑎}

De 2 udtryk divideres og 𝑎 isoleres:

16 𝑏· 4^{𝑎}
2 𝑏· 2^{𝑎}

=

⇕

8 =

4^{𝑎}
2^{𝑎}

⇕

8 = ()

4^{𝑎}

2

⇕

8 = 2^{𝑎}

⇕

𝑎 = 3

Værdien for 𝑏 findes ved at indsætte værdien for 𝑎 i et af udtrykkene og isolere 𝑏:

Side 4

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 13. august 2008

4

2 = 𝑏 · 2^{3}

⇕

2 = 𝑏 · 8

⇕

2

8

= 𝑏

⇕

𝑏 =

1

4

Opgave 4

𝑃 ( 2,3,−1)

4𝑥 − 2𝑦 + 4𝑧 − 5 = 0

Afstanden fra punktet P til planen 𝛼 er givet ved:

𝑑𝑖𝑠𝑡 ( 𝑃,𝛼) =

| 𝑎 · 𝑥_{1} + 𝑏· 𝑦_{1} + 𝑐· 𝑧_{1} + 𝑑 |
√ 𝑎^{2} + 𝑏^{2} + 𝑐^{2}
=

| 4 · 2 − 2 · 3 + 4 · ( −1) − 5 |
√ 4^{2} + ( −2)^{2} + 4^{2}
=

| −7 |

6

=

7

6

Opgave 5

𝑓 ( 𝑥) = 𝑒^{2𝑥} + 3

𝑑𝑦 𝑑𝑥

= 2𝑦 − 6

Der gøres prøve og reduceres: 𝑑𝑦 𝑑𝑥

= 2𝑦 − 6(𝐼)

⇕

Side 5

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 13. august 2008

5

( 𝑒^{2𝑥} + 3)^{′} = 2 · ( 𝑒^{2𝑥} + 3) − 6 (𝐼𝐼)

⇕

𝑒^{2𝑥} · 2 = 2𝑒^{2𝑥} + 6 − 6

⇕

2𝑒^{2𝑥} = 2𝑒^{2𝑥}

Ovenstående er et sandt udsagn for alle 𝑥 -værdier, det betyder, at 𝑓 ( 𝑥) ér en løsning til differentialligningen.

(I)^{𝑑𝑦}_{𝑑𝑥} = 𝑓^{′} ( 𝑥)

(II)

𝑓^{′} ( 𝑔 ( 𝑥)) = 𝑓^{′} ( 𝑔 ( 𝑥)) · 𝑔^{′} ( 𝑥)

𝑓 ( 𝑥) ………𝑓 ( 𝑥)

′

𝑒^{𝑓}^{(}^{𝑥} ………𝑒 · 𝑓^{′} ( 𝑥)

) 𝑓 ( 𝑥) 𝑘 ……………0