STX Matematik A 13. august 2008 - Delprøven med hjælpemidler

Side 1

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 13. August 2008

1

STX Matematik A

13. august 2008

Delprøven med hjælpemidler

STX082-MAA

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp STX 3.g

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 6 a)

Sammenhængen kan beskrives med en eksponentiel funktion. Tallene 𝑃_{0} og 𝑎 bestemmes derfor ved

eksponentiel regression:

Tabellen opstilles og, der udføres eksponentiel regression:

År efter 0 1 2 3 4 5 6 7 år 1999

Solenergi 7 11,7 15,6 22,6 32,8 49,4 68,9 116,4

(MW)

Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 0,9966133

𝑦=7,260465 · 1,470204^{𝑥}

Fra regressionsligningen aflæses tallet 𝑃
                                0

til 7,260 og tallet 𝑎 aflæses til 1,470 (afrundet til 3 decimaler).

b)

Først defineres funktionen:

𝑃 ( 𝑡) ≔7,260465 · 1,470204^{𝑡}

Side 2

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 13. August 2008

2

Til at forudsige mængden af udvundet solenergi i Spanien i år 2008 løses:

𝑃 ( 2008 − 1999) ≈233,0037

Ifølge modellen vil mængden af udvundet solenergi i Spanien i år 2008 være ca. 233 MW (afrundet).

Til at forudsige, hvornår udvindingen af solenergi overstiger 400MW løses følgende ligning:

𝑃 ( 𝑡) =400

⇕ Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑡=10,4022

Ifølge modellen vil udvindingen af solenergi i Spanien overstige 400 MW ca. 10,40 år efter år 1999 dvs. ca. i år 2009.

Side 3

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 13. August 2008

3

Opgave 7 a)

Siden |BD| bestemmes med WordMats trekantsløser:

WordMats trekantsløser anvendes med input: A’ = 33°, ν_{a} = 3,9, c = 4,7

B A’ = 33°
B = 56,06556°
D = 90,93444°

BD = 2,560144
ν_{a} = 3,9
c = 4,7

Længden af siden BD findes vha. en cosinusrelation

𝐵𝐷= √ ν_{𝑎}^{2} + 𝑐^{2} − 2 · ν_{a} · 𝑐· cos ( 𝐴′)

= √ 3,9^{2} + 4,7^{2} − 2 · 3,9 · 4,7 · cos ( 33°)
=2,560144

Siden |BD| aflæses til 2,56 (afrundet til 2 decimaler).

b)

Vinkel B findes vha. en cosinusrelation

𝐵=cos^{−1} ()

𝐵𝐷^{2} + 𝑐^{2} − ν_{𝑎}^{2}
2 · 𝐵𝐷· 𝑐

=cos^{−1} ()

2,560144^{2} + 4,7^{2} − 3,9^{2}
2 · 2,560144· 4,7
=56,06556°
Vinkel C findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
𝐶=180° − 𝐴 − 𝐵
=180° − 66° − 56,06556°
=57,93444°

A D c BD

ν_{a}

Side 4

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 13. August 2008

4

Opgave 8 a)

Kuglen har ligningen:

𝑥^{2} + 𝑦^{2} + 𝑧^{2} + 4𝑥 −6𝑦 − 8𝑧+ 4=0

For at kunne aflæse kuglens centrum og radius omskrives ovenstående ligning med kvadratkomplottering:

𝑥^{2} + 𝑦^{2} + 𝑧^{2} + 4𝑥 − 6𝑦− 8𝑧=−4

⇕

𝑥^{2} + 4𝑥 + 𝑦^{2} − 6𝑦 + 𝑧^{2} − 8𝑧=−4

⇕

( 𝑥+ 2)^{2} + ( 𝑦 − 3)^{2} + ( 𝑧 − 4)^{2} =−4 + 4 + 9 + 16

⇕

( 𝑥+ 2)^{2} + ( 𝑦− 3)^{2} + ( 𝑧 − 4)^{2} =25

Kuglens centrum kan nu aflæses til 𝐶 ( −2,3,4) og kuglens radius kan aflæses til 𝑟=5.

b)

Hvis planet skal tangere kuglen, skal den vinkelrette afstand fra centrum af kuglen og ud planet være lig

kuglens radius. Vi bestemmer en normalvektor til planet, der opfylder netop dette vha. punktet 𝑃 ( 1,−1,4),

der ligger på kuglens periferi, og kuglens centrum.

𝐶𝑃 =( −1 − 3)=( −4)

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

1 + 2 3

4 − 4 0

Med udgangspunkt i punktet P og vektor CP opskrives ligningen for planet, der tangerer kuglen netop i punktet 𝑃:

3 · ( 𝑥− 1) − 4 · ( 𝑦 + 1) =0

c)

Vinklen mellem linjen 𝑙 og planen 𝛼 bestemmes ved at finde vinklen mellem normalvektoren til planen og retningsvektoren til linjen.

Retningsvektoren til 𝑙 og normalvektoren til 𝛼 defineres:

Side 5

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 13. August 2008

5

𝑟 ⎯ ⎯ ⃗_{𝑙} ≔( 3)

0

−2

𝑛 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯_{𝛼} ⃗ ≔( 4)

3

−1

Vinklen bestemmes ved:

cos ( 𝑢) =

𝑛 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯_{𝛼} ⃗ · 𝑟 ⎯ ⎯ ⃗_{𝑙}

| 𝑛 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ | · | 𝑟 ⎯ ⎯ ⃗ |
  𝛼   𝑙

⇕ Ligningen løses for u vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑢≔40,40342°

Vinklen mellem planen og linjen bestemmes ved:

𝑣=90° − 𝑢=49,59658°

Vinklen mellem planen 𝛼 og linjen 𝑙 er 49,60° (afrundet til 2 decimaler).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 6

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 13. August 2008

6

Opgave 9 a)

Der er tale om en eksponentiel funktion:

𝑓 ( 𝑡) =297 · 1,0679^{𝑡},0≤𝑡≤20

Fordoblingstiden kan bestemmes ved:

𝑇_{2} =

log ( 2)

( 𝑎)

=

log ( 2) log ( 1,0679)

≈10,55113

Fordoblingstiden for 𝑓 ( 𝑡) er fundet til 10,6 (afrundet til 1 decimal) dvs. at ifølge modellen vil antallet af retspsykiatriske patienter under tilsyn fordobles i løbet af en periode på 10,6 år.

b)

Konstanten 297 betegner i dette tilfælde antallet af retspsykiatriske patienter under tilsyn i år 1980. Ifølge modellen var der således 297 retspsykiatriske patienter under tilsyn i år 1980.

Konstanten 1,0679 er fremskrivningsfaktoren 𝑎. Med fremskrivningsfaktoren 𝑎 kan vi beregne vækstraten 𝑟:

𝑎=1 + 𝑟⟺𝑟=𝑎− 1=1,0679 − 1=0,0679=6,79%

Ifølge modellen vil antallet af retspsykiatriske patienter under tilsyn i årene 1980 til 2000 stige med ca.

6,79% om året.

Side 7

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 13. August 2008

7

Opgave 10 a)

Funktionen defineres:

𝐼 ( 𝑡) ∶=200 · ( 1 − 0,9 · 𝑒^{−0,0091·𝑡})

Temperaturen efter 20 minutter bestemmes ved at løse 𝐼 ( 20):

𝐼 ( 20) ≈49,95176

Ifølge modellen vil temperaturen i stegen efter 20 minutter være 50°C (afrundet).

Tiden 𝑡 efter stegen er sat i ovnen som funktion af temperaturen 𝐼 bestemmes ved, at lade WordMat isolere 𝑡.

Hver opmærksom på, at 𝐼

( 𝑡

) skal udskiftes med 𝐼, for at WordMat kan løse ligningen. Når ligningen er løst kan 𝐼(𝑡) indsættes tilbage i besvarelsen.

𝐼=200 · ( 1 − 0,9 · 𝑒^{−0,0091·𝑡})

⇕ Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑡=−253,0313 · log ( −0,005555556· 𝐼 ( 𝑡) + 1,111111)

Side 8

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 13. August 2008

8

Opgave 11 a)

350 sekunder. Kun 25% af elev A’s samtaler er under 110 sekunder. De sidste 25% af elev A’s samtaler er endda over 310 sekunder.

sekunder, altså er størstedelen af elev B’s samtaler betydeligt kortere end elev A. Derimod har elev B både de længste og korteste samtaler.

Det kan konkluderes at elev B har betydeligt kortere samtaler end elev A, men samtidig har elev B både de korteste og længste samtaler omend ikke så hyppigt.

Side 9

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 13. August 2008

9

Opgave 12 a)

Funktionerne defineres:

𝑂 ( 𝑥) ≔0,0024 · 𝑥^{2} + 10^{6}

𝑎 ( 𝑥) ≔−0,008 · 𝑥 + 1300

Forskriften for 𝐹(𝑥) bestemmes ved:

𝐹 ( 𝑥) =𝑥· 𝑎 ( 𝑥) − 𝑂 ( 𝑥) =1300 · 𝑥 − 0,0104 · 𝑥^{2} − 1000000

Funktionen 𝐹 ( 𝑥) defineres:

𝐹 ( 𝑥) ≔1300 · 𝑥− 0,0104 · 𝑥^{2} − 1000000

For at bestemme det antal enheder, der skal fremstilles for at fortjenesten 𝐹 ( 𝑥) bliver størst mulig, skal maksima for 𝐹(𝑥) findes. Først bestemmes evt. ekstremumspunkter:

𝐹^{′} ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=62500

For at være sikker op, at der rent faktisk er tale om et maksimum foretages en funktionsundersøgelse omkring intervallet, hvor ekstremum befinder sig:

𝐹^{′} ( 60000) =52

𝐹^{′} ( 63000) ≈−10,4

𝑓 er voksende i intervallet ] − ∞;62500]

𝑓 er faldende i intervallet [62500;∞[

𝑓 har maksimum i 𝑥=62500

På baggrund af funktionsundersøgelsen, kan det konkluderes, at et antal på 62500 producerede enheder giver fabrikken den største fortjeneste.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 10

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 13. August 2008

10

Opgave 13 a)

Funktionen defineres og intervallet defineres:

𝑓 ( 𝑥) ≔4 · 𝑥− · 𝑥^{2}
√

1

2

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑥≥0

Først bestemmes evt. ekstrema:

𝑓^{′} ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=1,587401

Differentialkvotienten undersøges i intervallet omkring ekstrema:

𝑓^{′} ( 1) =1

𝑓^{′} ( 2) = √ 2 − 2≈−0,5857864

𝑓 er voksende i intervallet ]∞;1,587401] og faldende i intervallet [1,587401;∞[

𝑓 har maksimum i 𝑥=1,587401

b)

Først bestemmes grænserne for 𝑓(𝑥):

𝑓 ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=0 ∨ 𝑥=4

Volumen af det omdrejningslegeme, der fremkommer når 𝑀 drejes 360° omkring 1.aksen, bestemmes ved:

𝑉_{𝑀} =𝜋 ·∫ ( 𝑓 ( 𝑥))^{2} 𝑑𝑥 =1152 · ≈103,4033

4

0 𝜋

35

Volumen af omdrejningslegemet er således bestemt til 103,4 (afrundet til 1 decimal).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Volumen af omdrejningslegeme: 𝑉=𝜋· ∫_{𝑥_{1}}^{𝑥_{2}} ( 𝑓 ( 𝑥))^{2} 𝑑𝑥

Side 11

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 13. August 2008

11

Opgave 14 a)

Differentialligningen er givet ved:

𝑦^{′} = · 𝑦 +1

1 𝑥

Først bestemmes den fuldstændige løsning ved at lade WordMat løse differentialligningen:

Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion

𝑦= | 𝑥 | · ∫ 𝑑𝑥 + 𝑐· | 𝑥 |

1

| 𝑥 |

⇕

𝑦= | 𝑥 | · ln (| 𝑥 |) + 𝑐· | 𝑥 |

Her efter bestemmes den partikulære løsning, ved at indsætte værdierne fra punktet 𝑃 ( 1,4) og bestemme konstanten 𝑘:

4= | 1 | · ln (| 1 |) + 𝑘· | 1 |

⇕ Ligningen løses for k vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑘=4

Forskriften for 𝑓 er bestemt til 𝑓 ( 𝑥) = | 𝑥 | · ln (| 𝑥 |) + 4 · | 𝑥 |

Side 12

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 13. August 2008

12

Opgave 15 a)

Modellen er givet ved:

𝑁^{′} ( 𝑡) = · 𝑁 ( 𝑡)

0,08 · 𝑡− 1

𝑡

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑡>0,5

Først bestemme den partikulære løsning til differentialligningen, ved at lade WordMat løse

                                                 6
differentialligningen med betingelsen, at 𝑡=1 er lig 1,2 · 10 :

Løsningen defineres desuden:

Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen N(1)=1200000

𝑁 ( 𝑡) ≔12 ·

10^{2·log}

( 𝑒) · −2· +5

𝑡 log ( 𝑒)

25 25

| 𝑡 |

Populationens væksthastighed til tiden 𝑡=1 bestemmes ved at løse 𝑁^{′} ( 1):

𝑁^{′} ( 1) =−1104000

Ifølge modellen er væksthastigheden af individer i populationen efter 1 døgn -1104000 dvs. ifølge modellen vil antallet af individer i populationen falde med 1104000 individer i det første døgn.

Tiden, hvor antallet af individer i populationen er mindst, bestemmes ved at finde minima. Først bestemmes evt. ekstrema:

𝑁^{′} ( 𝑡) =0

⇕ Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑡=

25

2

Differentialkvotienten undersøges i intervallet omkring ekstrema:

𝑁^{′} ()≈−4930,64

20

2

𝑁^{′} ()≈3269,178

30

2

                            25
𝑓 er aftagende i intervallet ] − ∞; ]
                            2

                      25
𝑓 er voksende i intervallet [ ;∞[
                       2

                 25
𝑓 har minimum i 𝑡=
                  2

Side 13

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 13. August 2008

13

                                                                25
På baggrund af funkionsundersøgelsen, kan det konkluderes, at værdien 𝑡= =12,5 giver det mindste
                                                                 2

antal individer i populationen. Dvs. ifølge modellen vil der i det 12,5. døgn være færrest individer i populationen være mindst.

Side 14

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 13. August 2008

14

Opgave 16 a)

Den hurtigste løsning til at finde en forskrift for parablen, er at lægge toppunktet i (0,0), det eliminerer

konstanterne 𝑏=𝑐=0, og parablens ligning bliver 𝑦=𝑎· 𝑥^{2}:

Skitse af situation. Skitsen er ikke et krav til eksamen:

Konstanten 𝑎 bestemmes ved at indsætte værdien for et af punkterne og isolere 𝑎. Punktet 𝐵(5,4) vælges og indsættes:

4=𝑎· 5^{2} ⟺𝑎=

4

25

En ligning for parablen bliver:

𝑦= · 𝑥^{2}

4

25

Side 15

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 13. August 2008

15

I eksamensbesvarelsen skal kun en af opgaverne 17a og 17b vedlægges. I denne besvarelse vises løsninger til begge opgaver.

Opgave 17a a)

Trekant 𝐴𝐵ℎ er retvinklet og siden |𝐴𝐵| udtrykt ved ℎ kan bestemmes ved:

sin ( 𝐴) = ⟺ | 𝐴𝐵 | =

ℎ ℎ

|𝐴𝐵| sin ( 45)

Vi kender nu et udtryk for siderne | 𝐴𝐵 | = | 𝐶𝐷 | udtrykt ved ℎ.

For at bestemme omkredsen af trapezet som funktion af ℎ skal, et udtryk for siden 𝑎= | 𝐵𝐶 | og 𝑏= | 𝐴𝐷 |

udtrykt ved ℎ, findes. Det udnyttes at arealet af trapezet 𝐴𝐵𝐶𝐷 er lig 10:

10= · ℎ · ( 𝑎+ 𝑏)

1

2

⇕

10= · ℎ · ( 𝐵𝐶+ 𝐴𝐷)

1

2

⇕

20 ℎ

=𝐵𝐶+ 𝐴𝐷

Omkredsen af trapezet 𝐴𝐵𝐶𝐷 som funktion af ℎ kan nu bestemmes som:

𝑂 ( ℎ) = | 𝐴𝐵 | + | 𝐵𝐶 | + | 𝐴𝐷 | + | 𝐶𝐷 |

⇕

𝑂 ( ℎ) = + +

ℎ 20 ℎ sin ( 45) ℎ sin ( 45)

⇕

𝑂 ( ℎ) =2 · +

ℎ 20 sin ( 45) ℎ

Side 16

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 13. August 2008

16

Opgave 17b a)

Funktionen defineres:

𝑓 ( 𝑥) ≔2 · 𝑥^{3} − 15𝑥^{2} + 24𝑥 + 5

Førstekoordinaten til punktet 𝑃 defineres som 𝑥 :
                                       0

𝑥_{0} ≔5

Tangenten 𝑚 bestemmes ved:

𝑦=𝑓^{′} ( 𝑥_{0}) · ( 𝑥− 𝑥_{0}) + 𝑓 ( 𝑥_{0})
=24 · 𝑥− 120

Det udnyttes at linjen 𝑙 er lineær dvs. at hældningen for 𝑙 kan findes jf. formlen for en lineær funktions hældning, ved:

𝑎_{𝑙} = = (1)

𝑓 ( 𝑥_{𝑙}) − 𝑓 ( 5) 𝑓 ( 𝑥_{𝑙})
𝑥_{𝑙} − 5 𝑥_{𝑙} − 5

Hældningen for 𝑙 i punktet kan også bestemmes som:

𝑎_{𝑙} =𝑓^{′} ( 𝑥_{𝑙}) (2)

Sættes udtryk (1) og (2) lig og løses ligningen fås:

𝑓^{′} ( 𝑥_{𝑙}) =

𝑓 ( 𝑥_{𝑙})
𝑥_{𝑙} − 5

⇕

𝑓 ( 𝑥_{𝑙}) =𝑓^{′} ( 𝑥_{𝑙}) · (𝑥_{𝑙} − 5)

⇕

2 · 𝑥_{𝑙}^{3} − 15𝑥_{𝑙}^{2} + 24𝑥_{𝑙} + 5= ( 6𝑥_{𝑙}^{2} − 30𝑥_{𝑙} + 24) · ( 𝑥_{𝑙} − 5)

⇕ Ligningen løses for x_l vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥_{𝑙} = ∨ 𝑥 =5

5

4 𝑙

Den anden løsning svarer til tangenten 𝑚. Det kan konkluderes at førstekoordinaten for røringspunktet til

                5
tangenten 𝑙 er 𝑥 = .
             𝑙
                4