HTX Matematik A 29. maj 2013 - Vejledende besvarelse

Løsning med WordMat

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra. NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen! WordMat er blevet brugt som CAS-værktøj til løsningen af denne eksamen.

Opgave 1

a) Vi opstiller parameterfremstillingen for linjen på følgende form: Hvor t er en parameter,   er et punkt på linjen og   er linjens retningsvektor.

Vi definerer punkt A og B, som ligger på linjen. Bemærk, at vi definerer punkterne som matrixer, da vi senere skal bestemme en vektor ud fra punkterne. Vi bestemmer retningsvektoren: Vi benytter punkt B som fast punkt og opstiller parameterfremstillingen: Vi definerer punkt C: Vi bestemmer planets ligning på normalform: Hvor 󰇩 󰇪 er koordinaterne til en normalvektor på planet og 󰇛 󰇜 er koordinaterne til et punkt på planet.

Punkt B benyttes som fast punkt i planet. Normalvektoren bestemmes ud fra krydsproduktet af to ikkeparallelle vektorer i planet. Vi bestemmer  og  Vektor AB er lig retningsvektoren for linjen gennem punkt A og B. Vektor AC bestemmes: Normalvektoren bestemmes ud fra krydsproduktet af vektor AB og AC: Normalvektorens koordinater og koordinaterne for punkt B indsættes i ligningen. Ligningen for planet, som er en del af, er givet ved: Vinklen mellem to planer er lig vinklen mellem planernes normalvektorer. Koordinaterne til normalvektoren for planet  defineres: Koordinaterne til normalvektoren for planet  defineres: Vinklen mellem vektorernes normalvektor bestemmes vha. følgende formel:  Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat. Vinklen mellem planerne er 98 d) Taget består af seks ens trekanten. Vi bestemmer arealet af trekanterne. Punkt D har følgende koordinatsæt: Længden DE bestemme vha. afstandsformlen: Højden I trekant BED bestemmes vha. Pythagoras:  Ligningen løses for h vha. CAS-værktøjet WordMat.

Da en længde kun kan være positiv, benytter vi det positive resultat af h. Vi bestemmer arealet af trekant BED: Hvor g er grundlinje i trekanten og h er trekantens højde. Overfladearealet af pyramiden bestemmes: Overfladearealet af pyramiden er 8,84m e) Vi bestemmer voluminet af pyramidestubben vha.