HTX Matematik A 28. august 2015 - Vejledende besvarelse

Side 1

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 28.august 2015

1

HTX Matematik A

28. august 2015

htx152-MAT/A-

Løsning med WordMat ...................................................................................................................................... 2 Løsning med Maple ......................................................................................................................................... 14

Side 2

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 28.august 2015

2

Løsning med WordMat

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formel-samling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

WordMat er blevet brugt som CAS-værktøj til løsningen af denne eksamen.

Opgave 1 a)

Vi benytter afstandsformlen:

𝐴𝐵= √ ( 𝑥_{1} − 𝑥_{2})^{2} + ( 𝑦_{1} − 𝑦_{2})^{2} + ( 𝑧_{1} − 𝑧_{2})^{2}

= ( 15 − 15)^{2} + ( 15 − ( −15))^{2} + ( 0,5 − 14)^{2}

√

≈32,89757

Længden AB er 32,9 meter.

b)

Parameterfremstillingen opstilles på følgende form:

( 𝑦) =() + 𝑡()

𝑥 𝑧

𝑥_{0} 𝑟_{1}
𝑦_{0} 𝑟_{2}
𝑧_{0} 𝑟_{3}

Hvor (𝑥_{0},𝑦_{0},𝑧_{0}) er et punkt på linjen og () er koordinaterne til retningsvektoren 𝑟⃗.

𝑟_{1}
𝑟_{2}
𝑟_{3}

Vi definerer punkterne A og B:

𝐴≔( 15)

15

0,5

𝐵≔( −15)

15

14

Bemærk, at vi definerer punkterne som matrixer, da vi senere skal bestemme en vektor ud fra punkterne.

Side 3

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 28.august 2015

3

Vi bestemmer retningsvektoren ud fra punkterne:

𝑟⃗=𝐵− 𝐴

𝑟⃗≔( −30)

0

13,5

Vi benytter punkt A som fast punkt og opstiller parameteerfremstillingen:

( 𝑦) =𝐴 + 𝑡· 𝑟⃗

𝑥 𝑧

=( −30 · 𝑡 + 15)

15

13,5 · 𝑡 + 0,5

c)

Vi bestemmer vektor AC:

𝐶≔( 15)

−15

14

𝐴𝐶 =𝐶− 𝐴

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

=( 0)

−30

13,5

Vi bestemmer vinklen 𝑣 mellem de to vektorer vha. følgende formel:

cos ( 𝑣) =

𝑎⃗· 𝑏

⎯ ⃗

| 𝑎⃗ | · |𝑏 |

⎯ ⃗

Hvor 𝑎⃗ er 𝑟⃗ og 𝑏 er 𝐴𝐶.

⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

Vi indsætter vektorernes koordinater og isolerer for 𝑣:

cos ( 𝑣) =

( −30) · ( 0)

0 −30

13,5 13,5

| ( −30) | · | ( 0) |

0 −30

13,5 13,5

⇕ Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑣=

252,2864 𝜋

Side 4

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 28.august 2015

4

≈80,30526

Vinklen v er 80,3^{o}

d)

Opgave 1d medtages ikke, da den relaterer sig til forberedelsesmaterialet.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 5

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 28.august 2015

5

Opgave 2 a)

Det ses af grafen, at h er lig g(x) når x=0. Vi definerer funktionen og sætter den lig nul.

𝑔 ( 𝑥) ≔0,5𝑥^{4} + 0,28𝑥^{2} − 1,44

𝑔 ( 0) =−1,44

Højden h er 1,44 meter.

b)

Vi bestemmer planets ligning på normalform:

𝑎 ( 𝑥− 𝑥_{0}) + 𝑏 ( 𝑦 − 𝑦_{0}) + 𝑐 ( 𝑧 − 𝑧_{0}) =0

Hvor [ 𝑏] er koordinaterne til en normalvektor på planet og (𝑥_{0},𝑦_{0},𝑧_{0}) er koordinaterne til et punkt på

𝑎 𝑐 planet.

Punkt B benyttes som fast punkt i planet. Normalvektoren bestemmes ud fra krydsproduktet af to ikke-parallelle vektorer i planet. Vi bestemmer 𝐴𝐵

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ og 𝐴𝐶 ud fra punkterne A, B og C, som defineres:

𝐴≔( 0)

−1,2

5,64

𝐵≔( −1,44)

0

6

𝐶≔( 0)

1,2

5,64

Vektor AB bestemmes:

𝐴𝐵 =𝐵− 𝐴

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

≈( −1,44)

1,2

0,36

Vektor AC bestemmes:

𝐴𝐶 =𝐶− 𝐴

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

=( 0)

2,4

0

Side 6

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 28.august 2015

6

Normalvektoren bestemmes ud fra krydsproduktet af vektor AB og AC:

𝑛 ⎯ ⃗ =( −1,44) × ( 0)

1,2 2,4

0,36 0

=( 0,864)

0

3,456

Normalvektorens koordinater og koordinaterne for punkt B indsættes i ligningen. Ligningen for planet, som 𝐴𝐵𝐶 er en del af, er givet ved:

0 ( 𝑥− 0) + 0,864 ( 𝑦 − (−1,44)) + 3,456 ( 𝑧 − 6) =0

Udtrykket reduceres vha. CAS-værktøjet WordMat.

3,456 · 𝑧 + 0,864 · 𝑦 − 19,49184=0

Opgave 2c og 2d medtages ikke, da den relaterer sig til forberedelsesmaterialet.

Side 7

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 28.august 2015

7

Opgave 3 a)

Vi danner en retvinklet trekant med r og h som kateter og s som hypotenuse.

Vi benytter os af Pythagoras til at bestemme sidelængden s:

𝑟^{2} + ℎ^{2} =𝑠^{2}

𝑟≔2 ℎ≔5

𝑟^{2} + ℎ^{2} =𝑠^{2}

⇕ Ligningen løses for s vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑠=− √ 29 ∨ 𝑠= √ 29

𝑠≈5,385165

S er lig 5,4 meter.

b)

Formlen for overfladearealet af en kegle er:

𝑂_{𝐴} =𝜋 ·𝑟 · 𝑠

Vi indsætter størrelserne:

𝑂_{𝐴} =𝜋 · 𝑟· 5,385165

≈33,83599

                              2
Overfladearealet af teltet er 33,84 m

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 8

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 28.august 2015

8 c)

Voluminet af en kegle kan bestemmes ud fra følgende formel:

𝑉= · 𝜋· 𝑟^{2} · ℎ

1

3

Da vi kender keglens volumen, kan vi bestemme et udtryk for h.

21= · 𝜋· 𝑟^{2} · ℎ

1

3

⇕ Ligningen løses for h vha. CAS-værktøjet WordMat.

ℎ=

63

𝜋· 𝑟^{2}

vha. Pythagoras kan vi bestemme et udtryk for s, da s kan ses som hypotenusen i en retvinklet trekant med kateterne h og r:

𝑠^{2} =𝑟^{2} + ℎ^{2}

=𝑟^{2} + ()

63

𝜋 ·𝑟^{2}

2

⇓

𝑠= 𝑟^{2} + ()

√

63

𝜋· 𝑟^{2}

2

Vi kan nu indsætte udtrykket for s i formlen for overfladeareal af en kegle:

𝑂_{𝐴} =𝜋· 𝑟 · 𝑠

=𝜋· 𝑟 · 𝑟^{2} + ()

√

63

𝜋 · 𝑟^{2}

2

Da r er en variable, kan følgende funktion opstilles:

𝐴 ( 𝑟) =𝜋 · 𝑟· 𝑟^{2} + ()

√

63

𝜋· 𝑟^{2}

2 d)

Vi foretager en monotoniundersøgelse for at finde funktionens minimum:

A defineres:

𝐴 ( 𝑟) ≔𝜋· 𝑟· 𝑟^{2} + ()

√

63

𝜋 · 𝑟^{2}

2

Side 9

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 28.august 2015

9

For at undersøge monotoniforholdene for A bestemmes først nulpunkter for A’. Dette gøres ved at løse ligningen:

𝐴^{′} ( 𝑟) =0

⇕ Ligningen løses for r vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑟=−2,420426 ∨ 𝑟=2,420426

Vi udregner nu fortegnet for A’ på begge sider af alle nulpunkterne:

𝐴^{′} ( −3) =

18 · 𝜋^{2} − 49
√ 9 · 𝜋^{2} + 49

≈10,95855

𝐴^{′} ( 1) =

2 · 𝜋^{2} − 3969
√ 𝜋^{2} + 3969
≈−62,60888

𝐴^{′} ( 3) =

18 · 𝜋^{2} − 49
√ 9 · 𝜋^{2} + 49

≈10,95855

Vi sammenfatter dette i en monotonilinje:

𝑥 −2,420426 2,420426
𝑓^{′} ( 𝑥) + 0 - 0 +

𝑓 ( 𝑥) ↗ ↘ ↗

A har minimum i r=2,42. Teltets radius skal derved være 2,42 meter for at overfladearealet bliver mindst

muligt.

Side 10

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 28.august 2015

10

Opgave 4 a)

Vi opskriver differentialligningen: 𝑑𝑣 𝑑𝑡

=9,816 − 0,818𝑣

For at funktionen v(t) er en løsning til differentialligningen, skal udregningen af højre og venstre side af ligningen være lig hinanden. WordMat benyttes til udregning af henholdsvis højre og venstre side. Vi løser

                                        𝑑𝑣
først venstre side af differentialligningen, som er
                                        𝑑𝑡

, ved at differentiere funktionen v.

𝑣 ( 𝑡) ≔12 − 12𝑒^{−0,818𝑡}

𝑣^{′} ( 𝑡) =9,816 · 𝑒^{−0,818·𝑡}

Vi løser nu højre side ved at indsætte funktionen v på v’s plads i differentialligningen:

9,816 − 0,818 · 𝑣=9,816 − 0,818 · ( 12 − 12𝑒^{−0,818𝑡})
=9,816 · 𝑒^{−0,818·𝑡}

Det ses at vi får samme udtryk, når vi løser henholdsvis højre og venstre side af differentialligningen. Vi har derved vist at funktionen v(t) er en løsning til differentialligningen.

b)

Vi benytter GnuPlot til at plotte funktionen:

𝑣 ( 𝑡) =12 − 12𝑒^{−0,818𝑡}

Side 11

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 28.august 2015

11 c)

Differentialligningen beskriver den øjeblikkelige hastighedsændring. Vi sætter 𝑣=4 og løser ligningen:

𝑑𝑣 𝑑𝑡

=9,816 − 0,818 · 4

≈6,544

Den øjeblikkelige hastighedsændring er 6,544 meter pr. sekund.

d)

Vi sætter funktionen v lig 10 og isolerer for tiden t:

𝑣 ( 𝑡) =10

⇕ Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑡=ln ( 6) · 1,222494

≈2,190415

Det tager 2,19 sekunder før hastigheden er 10 meter pr. sekund.

Side 12

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 28.august 2015

12

Opgave 5 a)

Vi opstiller trekant ABD og benytter WordMats trekantløser til at bestemme længden BC.

WordMats trekantsløser anvendes med input: A = 98°, AD = 7,5, AB = 4,5

B A = 98°
B = 53,26096°
D = 28,73904°

BD = 9,267912
AD = 7,5
AB = 4,5

Længden af siden BD findes vha. en cosinusrelation

𝐵𝐷= √ 𝐴𝐷^{2} + 𝐴𝐵^{2} − 2 · 𝐴𝐷· 𝐴𝐵· cos ( 𝐴)
= √ 7,5^{2} + 4,5^{2} − 2 · 7,5 · 4,5 · cos ( 98°)
=9,267912

BD er 9,27 meter.

b)

Arealet af en trapez er følgende:

𝐴= · ( 𝑎+ 𝑏) · ℎ

1

2

Hvor a og b er længderne af de parallelle sider og h er højden mellem de parallelle sider. Da vi kender længderne af de parallelle sider og arealet af vinduespartiet, kan vi bestemme højden h:

34= · ( 7,5 + 8,5) · ℎ

1

2

⇕ Ligningen løses for h vha. CAS-værktøjet WordMat.

ℎ=

17

4

=4,25

Vi kan nu opstille en retvinklet trekant med højden h som katete og siden BD som hypotenuse. Vha.

WordMats trekantløser bestemmer vi vinkel 𝜈:

WordMats trekantsløser anvendes med input: B’ = 90°, h = 4,25, BD = 9,27

A AD D

AB BD

Side 13

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 28.august 2015

13

D D = 27,288°
B = 62,712°

h = 4,25
BD = 9,27

Vinkel B findes vha. sinus

𝐵=𝜈=sin ()

−1

ℎ

𝐵𝐷

=sin^{−1} ()

4,25

9,27

=

85,72874 𝜋

≈27,28831

                                        o
Vinklen B, som i opgaven er lig vinkel 𝜈, er lig 27,3 .

c)

Vi benytter WordMats trekantløser.

WordMats trekantsløser anvendes med input: 𝜈 = 27,28831°, BD = 9,27, BC = 8,5

𝜈 = 27,28831°
C = 86,59925°
D = 66,25145°

CD = 4,237462
BD = 9,27
BC = 8,5

Længden af siden CD findes vha. cosinusrelationen:

𝐶𝐷= √ 𝐵𝐷^{2} + 𝐵𝐶^{2} − 2 · 𝐵𝐷· 𝐵𝐶· cos ( 𝑣)
= √ 9,27^{2} + 8,5^{2} − 2 · 9,27 · 8,5 · cos ( 27,28831)
= √ −157,59 · cos ( 27,28831) + 158,1829

≈4,258047

Længden CD er 4,26 meter.

B

BD h

B BD D

C

BC CD 𝜈

Side 14

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 28.august 2015

14

Løsning med Maple

Alle opgaver er regnet med Maple, da vores erfaring viser, at det er et stærkt værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af Maple som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra Maples Gym-pakken egen formelsamling. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Side 15

(1.2.5)(1.2.5)

30 (1.1.2)(1.1.2)

(1.2.4)(1.2.4)

(1.2.1)(1.2.1)

(1.1.1)(1.1.1)

(1.2.2)(1.2.2)

(1.2.3)(1.2.3)

HTX Matematik A - 28. august 2015

htx152-MAT/A-

Alle beregninger er udført med Maple som CAS-værktøj . Maple bruger "." som decimaladskiller.

Opgave 1 a)

Vi benytter afstandsformlen:

Vi indsætter punkternes koordinater:

Længden AB er 32,9 meter.

b)

Parameterfremstillingen gennem punktet og retningsvektoren opstilles på følgende form:

Hvor t er en parameter. Vi definerer punkterne A og B:

Vi bestemmer retningsvektoren:

Vi benytter A sopm fast punkt og opstiller parameterfremstillingen:

Side 16

(1.3.3)(1.3.3)

(1.2.6)(1.2.6)

(1.3.1)(1.3.1)

(1.3.2)(1.3.2)

61 (1.3.4)(1.3.4) c)

Vi bestemmer vinklen mellem vektor AB og AC. C defineres:

Vi bestemmer vektorerne:

Vinklen mellem vektorerne beregnes:

Vinklen v er 80,3

Opgave 1d medtages ikke, da den relaterer sig til forberedelsesmaterialet.

Side 17

(2.2.3)(2.2.3)

(2.2.5)(2.2.5)

(1.2.6)(1.2.6)

(2.2.2)(2.2.2)

(2.1.2)(2.1.2)

(2.1.1)(2.1.1)

(2.1.3)(2.1.3)

(2.2.1)(2.2.1) p (2.2.4)(2.2.4)

Opgave 2 a)

Det ses af grafen, at h er lig g(x) når x=0. Vi definerer funktionen og sætter den lig nul.

Vi definerer intervallet:

Højden h er 1,44 meter.

b)

Vi definerer punkterne:

Vi bestemmer planet og generer en ligning for planet:

Opgave 2c og 2d medtages ikke, da den relaterer sig til forberedelsesmaterialet.

Side 18

2 (3.1.2)(3.1.2)

(1.2.6)(1.2.6)

07 (3.1.4)(3.1.4)

5 (3.1.1)(3.1.1)

(3.1.3)(3.1.3)

(3.2.1)(3.2.1)

Opgave 3 a)

Vi danner en retvinklet trekant med og som kateter og som hypotenuse.

s h r s h r

Vi definerer størrelsen af og

Vi benytter pythagoras til at bestemme sidelængden s:

En længde kan kun være positiv. er derved lig 5,4 meter.

b)

Formlen for overfladearealet af en kegle med radius og sidelængden er:

Teltets krumme overfladeareal er 33,84 c)

Voluminet af en kegle kan bestemmes ud fra følgende formel:

Side 19

(3.3.8)(3.3.8)

(3.3.1)(3.3.1)

(3.3.2)(3.3.2)

(3.3.5)(3.3.5)

(1.2.6)(1.2.6)

(3.3.7)(3.3.7)

(3.3.3)(3.3.3) s (3.3.6)(3.3.6)

(3.3.9)(3.3.9)

(3.3.4)(3.3.4)

Da vi kender keglens volumen, kan vi bestemme et udtryk for h.

assign vha. Pythagoras kan vi bestemme et udtryk for s, da s kan ses som hypotenusen i en retvinklet trekant med kateterne h og r:

Udtrykket for indsætter i udtrykket for : assign to a name

Vi kan nu indsætte udtrykket for i formlen for overfladeareal af en kegle:

Da nu er en variable af overfladearealet A, kan følgende funktion opstilles:

Vi forkorter brøken: d)

Vi benytter følgende værktøj til at bestemme A's minimum:

Side 20

(1.2.6)(1.2.6)

Funktionen har lokalt minimum i intervallet til følgende værdier af r:

Da radius r er en længde, kan vi kun benytte den positive værdi. Når r er lig 2,42 meter er teltets krumme overfladeareal mindst muligt.

Side 21

(4.1.3)(4.1.3)

(1.2.6)(1.2.6)

(4.1.4)(4.1.4)

(4.1.2)(4.1.2)

(4.1.1)(4.1.1)

Opgave 4 a)

Vi opskriver differentialligningen:

For at funktionen er en løsning til differentialligningen, skal udregningen af højre og venstre side af ligningen være lig hinanden. WordMat benyttes til udregning af henholdsvis højre og venstre side. Vi løser først venstre side af differentialligningen, som er , ved at differentiere funktionen .

Vi løser nu højre side ved at indsætte funktionen på plads i differentialligningen:

Det ses at vi får samme udtryk, når vi løser henholdsvis højre og venstre side af differentialligningen. Vi har derved vist at funktionen er en løsning til differentialligningen.

b)

Side 22

4 (4.3.1)(4.3.1)

(1.2.6)(1.2.6)

(4.3.2)(4.3.2)

(4.4.1)(4.4.1) c)

Differentialligningen beskriver den øjeblikkelige hastighedsændring. Vi sætter v=4 og løser

ligningen:

Den øjeblikkelige hastighedsændring er 6,544 meter pr. sekund.

d)

Vi sætter funktionen lig 10 og isolerer for tiden t:

Det tager 2,19 sekunder før hastigheden er 10 meter pr. sekund.

Side 23

4.5 (5.1.2)(5.1.2)

39 (5.1.4)(5.1.4)

7.5 (5.1.1)(5.1.1)

98 (5.1.3)(5.1.3)

(1.2.6)(1.2.6)

(5.2.1)(5.2.1)

Opgave 5 a)

Vi opstiller trekant ABD og benytter cosinusrelationen til at bestemme længden af BD:

D

A

B

AB

BD

AD

BD er 9,27 meter.

b)

Arealet af en trapez er følgende:

Hvor a og b er længderne af de parallelle sider og h er højden mellem de parallelle sider. Da vi kender længderne af de parallelle sider og arealet af vinduespartiet, kan vi bestemme højden h:

Side 24

69 (5.2.8)(5.2.8)

8.5 | (5.2.4)(5.2.4)
8.5 | (5.3.1)(5.3.1)

34 (5.2.2)(5.2.2)

(1.2.6)(1.2.6)

(5.2.7)(5.2.7) h (5.2.6)(5.2.6)

7.5 | (5.2.3)(5.2.3)

00 (5.2.5)(5.2.5) assign to a name

Vi bestemmer størrelsen af ved at opstille en retvinklet trekant med højden h som katete og siden BD som hypotenuse.

B C

A D

X Y

h = x

v

Z

Vinkel er lig 27,3 c)

Vi bestemmer længden af CD ved at opstille trekanten BCD:

B D

C

Side 25

studienet.dk
Matematik A HTX - Skriftlig eksamen - 28. august 2015
{Y = 86.44547854, Z = 66.25955473, x = 4.258191682} (5.3.2)
Længden af CD er 4,26 meter.
25