HTX Matematik A 25. maj 2011 - Vejledende besvarelse

Løsning med WordMat

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra. NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen! WordMat er blevet brugt som CAS-værktøj til løsningen af denne eksamen.

Opgave 1

a) Punkt B har følgende koordinater: Da punkt C ligger på x, y planet har punktet z-koordinatet nul. Da trekanten dannet af punkterne ABC er ligesidet, er C’s x-koordinat det halve af sidelængden. For at bestemme punkt C’s y-koordinat bestemmer vi højden i trekant ABC vha. WordMats trekantløser. Vi opstiller en retvinklet trekant, som har hypotenusen AC. A = 60° C = 30° h = 12,99038 AC = 15 Længden af siden h findes vha. Pythagoras C har koordinaterne: b) Linjens parameterfremstilling opstilles på følgende form: Hvor   er et punkt på linjen, t er parameteren og   er retningsvektorens koordinater. Vi bestemmer retningsvektorens koordinater ud fra punkt B og E. Du skal være opmærksom på, at når du bruger WordMat til at beregne en vektor ud fra to punkter, så skal du opstille punkterne som en vektor (Design - matrix) Vi vælger punkt B som fast punkt på linjen og opstiller parameterfremstillingen: c) Vi bestemmer planets ligning på normalform: Hvor 󰇩 󰇪 er koordinaterne til en normalvektor på planet og 󰇛 󰇜 er koordinaterne til et punkt på planet.

Punkt B benyttes som fast punkt i planet. Normalvektoren bestemmes ud fra krydsproduktet af to ikkeparallelle vektorer i planet. Vi bestemmer  og  ud fra punkterne A, B og E, som defineres: Vektor AB bestemmes: Vektor AE bestemmes: Normalvektoren bestemmes ud fra krydsproduktet af vektor AB og AE: Normalvektorens koordinater og koordinaterne for punkt B indsættes i ligningen. Ligningen for planet, som er en del af, er givet ved: Indtegnes medianerne i pyramidens grundflade, dannes seks ens retvinklede trekant. Se skitsen nedenfor. Kateternes længde er lig D’s x- og y-koordinat. Kateten kaldet x er lig den halve sidelængde: Vinkel Q er lig: Længden af y bestemmes vha. WordMats trekantløser.