HTX Matematik A 25. august 2017 - Vejledende besvarelse

Side 1

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 25. august 2017

1

HTX Matematik A 25. August 2017

htx172-MAT/A-

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HTX 3. år

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 1

Planens ligning består af et punkt i planen (x

0 0 0

, y

, z

) og en normalvektor til planen

( 𝑎 𝑏 𝑐

)

.

𝑎 ( 𝑥− 𝑥_{0}) + 𝑏 ( 𝑦 − 𝑦_{0}) + 𝑐 ( 𝑧 − 𝑧_{0}) =0

Vi bestemmer en normalvektor til planen, som krydsproduktet mellem vektor 𝐴𝐵 og vektor 𝐴𝐶. Vi definerer

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ punkterne A, B og C:

𝐴≔( 0)

9

3,5

𝐵≔( 9)

9

3,5

𝐶≔( 4,5)

4,5

5

Vi bestemmer vektor 𝐴𝐵 og vektor 𝐴𝐶:

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

𝐴𝐵 =𝐵 − 𝐴=( 9)

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

0

0

𝐴𝐶 =𝐶− 𝐴=( 4,5)

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

−4,5

1,5

Side 2

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 25. august 2017

2

Vi definerer de to vektorer:

𝐴𝐵 ≔( 9)

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

0

0

𝐴𝐶 ≔( 4,5)

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

−4,5

1,5

Vi bestemmer en normalvektor til planen 𝛼, som krydsproduktet mellem de to vektorer.

𝑛 ⎯ ⃗_{𝛼} =𝐴𝐵 × 𝐴𝐶

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

=( 0)

13,5

40,5

Vi vælger punktet A som punktet i planens ligning, og opskriver en ligning for planen 𝛼:

13,5 · ( 𝑥− 9) + 0 · ( 𝑦 − 0) + 40,5 · ( 𝑧 − 3,5) =0

Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion, Udvid,

−263,25 + 13,5 𝑥 + 40,5 𝑧=0

En ligning for planen 𝛼 er bestemt til udtrykket herover.

b)

Vi bestemmer arealet af trekant ABC som halvdelen af den numeriske værdi af krydsproduktet mellem hhv.

vektor 𝐴𝐵 og vektor 𝐴𝐶.

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

𝑇_{𝐴𝐵𝐶} = · | 𝐴𝐵 × 𝐴𝐶 |

1

2

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

≈21,34537

Arealet af trekant ABC er bestemt til 21,35 m^{2} (afrundet til 2 decimaler).

c)

Parameterfremstillingen for planen 𝛽 er givet ved:

𝛽: ( 𝑦) =( 4,5) + 𝑠 · ( 0) + 𝑡 · ( 3)

𝑥 4,5 𝑧 5,0

1 3

0 1

Vi omskriver parameterfremstillingen til en ligning for planen. Vi bestemmer en normalvektor til planen som krydsproduktet mellem hhv. vektor ( 0) og vektor ( 3).

1 3

0 1

Side 3

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 25. august 2017

3

𝑛 ⎯ ⃗_{𝛽} =( 0) × ( 3)

1 3

0 1

=( −1)

0

3

Vi vælger punktet C (4,5; 4,5; 5,0) som punktet i planens ligning, og opskriver en ligning til planen 𝛽:

0 · ( 𝑥− 4,5) + ( −1) · ( 𝑦 − 4,5) + 3 · ( 𝑧− 5,0) =0

Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion, Udvid,

−10,5 − 𝑦 + 3 𝑧=0

Afstanden fra et punkt til en plan er givet ved formlen herunder:

𝑑𝑖𝑠𝑡 ( 𝑃,𝛽) =

| 𝑎𝑥_{1} + 𝑏𝑦_{1} + 𝑐𝑧_{1} + 𝑑 |
√ 𝑎^{2} + 𝑏^{2} + 𝑐^{2}

⇕

Vi indsætter punktet P(4,5; 4,5; 3,5) og ligningen til planen 𝛽 i udtrykket herover og bestemmer afstanden mellem punkt og plan.

𝑑𝑖𝑠𝑡 ( 𝑃,𝛽) =

| 0 · 4,5 + ( −1) · 4,5 + 3 · 3,5 + ( −10,5) |
√ 0^{2} + ( −1)^{2} + 3^{2}

≈1,423025

Afstanden fra punktet P til planen 𝛽 er bestemt til 1,42 (afrundet til 2 decimaler).

d)

Vi bestemmer vinklen mellem planen 𝛼 og planen 𝛽 ved at bestemme vinklen mellem normalvektoren til de to planer. Vi definerer normalvektoren til hhv. planen for 𝛼 og planen for 𝛽.

𝑛 ⎯ ⃗_{𝛽} ≔( −1)

0

3

𝑛 ⎯ ⃗_{𝛼} ≔( 0)

13,5

40,5

Side 4

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 25. august 2017

4

Vi bestemmer vinklen mellem de to vektorer herover:

cos ( 𝑣) =

𝑛 ⎯ ⃗_{𝛽} · 𝑛 ⎯ ⃗_{𝛼}
| 𝑛 ⎯ ⃗_{𝛽} | | 𝑛 ⎯ ⃗_{𝛼} |

⇕ Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑣=25,841933

Vi bestemmer den stumpe vinkel w ved at trække v fra 180°;

𝑤=180 − 𝑣
=180 − 25,841933

≈154,15807

Den stumpe vinkel mellem planerne er bestemt til 154,16° (afrundet til 2 decimaler).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 5

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 25. august 2017

5

Opgave 2 a)

Omkredsen i en jævn cirkel er givet ved:

𝑂=2𝑟 · 𝜋

⇕

Vi løser for radius R i den store cirkel, hvor O = 245, dvs.:

245=2 · 𝑅· 𝜋

⇕ Ligningen løses for R vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑅=38,992961

Vi løser for radius r i den store cirkel, hvor O = 163,5, dvs.:

163,5=2 · 𝑟· 𝜋

⇕ Ligningen løses for r vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑟=26,021833

Vi kan konkludere, at radius i den store cirkel er bestemt til 39 cm (afrundet til helt tal), og at radius i den lille cirkel er bestemt til 26 cm (afrundet til helt tal). Vi har dermed gjort rede.

b)

Vi har, at overfladearealet af milestenen består af hhv. arealet af keglestubbens krumme overflade og overfladearealet af keglen:

𝐴_{𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠𝑡𝑒𝑛} =𝐴_{𝑘𝑟𝑢𝑚} + 𝐴_{𝑘𝑒𝑔𝑙𝑒}

Vi har, at arealet af keglestubbens krumme overflade er givet ved O = 𝜋 · (r + R) · S, og at overfladearealet

A

af keglen er givet ved O = 𝜋 · r · s, dvs.:

A

𝐴_{𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠𝑡𝑒𝑛} =𝜋 · ( 𝑟 + 𝑅) · 𝑆 + 𝜋· 𝑟· 𝑠
=𝜋 · ( 26 + 39) · 146 + 𝜋 · 26 · 28

≈32100,79

                                              2
Overfladearealet af milestenen er bestemt til 32100,8 cm (afrundet til 1 decimal).

Side 6

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 25. august 2017

6 c)

Vi bestemmer højden h af milestenen, som summen af højden af keglestubben og keglen.

Vi bestemmer overfladearealet af keglestubbens krumme overflade:

𝑂_{𝑘𝑟𝑢𝑚} =𝜋 · ( 26 + 39) · 146

≈29813,714

Overfladearealet af den keglestubbens krumme overfalde kan desuden beskrives ved:

𝑂_{𝑘𝑟𝑢𝑚} =𝜋 · ( 𝑟 + 𝑅) · √ ℎ^{2} + ( 𝑟 − 𝑅)^{2}

⇕

Vi indsætter kendte størrelser og løser for højden h af keglestubben, hvor h > 0:

29813,714=𝜋 · ( 26 + 39) · √ ℎ^{2} + ( 26 − 39)^{2}

⇕ Ligningen løses for h vha. CAS-værktøjet WordMat. med følgende antagelser/definitioner: ℎ> 0

ℎ=145,42008

Højden h af keglestubben er bestemt til 145,42008 cm.

Vi bestemmer overfladearealet af keglen:

𝑂_{𝑘𝑒𝑔𝑙𝑒} =𝜋 · 26 · 28

≈2287,0795

Overfladearealet af keglen kan desuden beskrives ved:

𝑂_{𝑘𝑒𝑔𝑙𝑒} =𝜋 · 𝑟 · 𝑟 + ℎ^{2}

√^{2}

⇕

Vi indsætter kendte størrelser og løser for højden h af keglen, hvor h > 0:

2287,0795=𝜋 · 26 · 26^{2} + ℎ^{2}

√

⇕ Ligningen løses for h vha. CAS-værktøjet WordMat. med følgende antagelser/definitioner: ℎ> 0
ℎ=10,392306

Vi bestemmer højden af milestenen ved:

ℎ_{𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠𝑡𝑒𝑛} =140,42008 + 10,392306

≈150,81239

Højden af milestenen h er bestemt til 151 cm (afrundet til helt tal).

Side 7

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 25. august 2017

7 d)

Volumen af milestenen er summen af hhv. volumen af keglestubben og volumen af keglen.

Volumen af keglestubben er givet ved:

𝑉_{𝑘𝑒𝑔𝑙𝑒𝑠𝑡𝑢𝑏} = · 𝜋 · ℎ· ( 𝑟^{2} + 𝑅^{2} + 𝑟 · 𝑅)

1

3

= · 𝜋 · 145,42008 · ( 26^{2} + 39^{2} + 26 · 39)

1

3

≈488982,5

Volumen af keglestubben er ca. 488982,5 cm^{3}.

Volumen af keglen er givet ved:

𝑉_{𝑘𝑒𝑔𝑙𝑒} = · 𝜋 · 𝑟^{2} · ℎ

1

3

= · 𝜋 · 26^{2} · 10,392306

1

3

≈7356,771

Volumen af keglen er ca. 7356,8 cm^{3}.

Vi bestemmer volumen af milestenen:

𝑉_{𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠𝑡𝑒𝑛} =𝑉_{𝑘𝑒𝑔𝑙𝑒𝑠𝑡𝑢𝑏} + 𝑉_{𝑘𝑒𝑔𝑙𝑒}

≈488982,5 + 7356,771

≈496339,3

Volumen af milestenen er ca. 496339,3 cm^{3}.

                                        3
Vi får oplyst, at massefylden af granit er 2,6 g/cm . Vi bestemmer massen af milestenen:

𝑉_{𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠𝑡𝑒𝑛} =496339,3 · 2,6

≈1290482

Massen af milestenen er ca. 1290482 g, dvs. ca. 1290,5 kg.

Side 8

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 25. august 2017

8

Opgave 3 a)

Cirklens ligning er generelt givet ved cirklens centrum C(x

0 0

, y

) og cirklens radius r.

( 𝑥− 𝑥_{0})^{2} + ( 𝑦− 𝑦_{0})^{2} =𝑟^{2}

Vi har, at cirklen tangerer x-aksen dvs. at cirklens radius er givet ved 2. koordinaten til cirklens centrum, vi

har da, at r = 100. Vi opskriver en ligning for cirklen med centrum i C(0; 100):

( 𝑥− 0)^{2} + ( 𝑦 − 100)^{2} =100^{2}

⇕

𝑥^{2} + ( 𝑦 − 100)^{2} =100^{2}

En ligning for cirklen med centrum i C er bestemt til ligningen herover, vi har dermed gjort rede.

b)

Vi bestemmer 2. koordinaten til punktet A ved at indsætte punktet i cirklens ligning og herefter løse for y: a

( −15,0)^{2} + ( 𝑦 − 100)^{2} =100^{2}

⇕ Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦=1,1314003 ∨ 𝑦=198,8686

Vi ser, at punktet A ligger på husets tag, vi kan derved udelukke løsningen y = 1,1314003.

Vi kan konkludere, at 2. koordinaten y a er bestemt til 198,9 (afrundet til 1 decimal).

c)

Vinklen u er givet ved summen af halvdelen af vinkelsummen af en cirkel, dvs. 180° og vinklen mellem y-aksen og linjen, der går fra cirklens centrum C til punktet A. Vi bestemmer denne vinkel som vinklen mellem vektor 𝐶𝐴 og en vektor, der går fra centrum af cirklen til øverste punkt, hvor cirklen skærer y-aksen, vi kalder

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ denne vektor 𝐶𝑌 dvs.

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

For vektor 𝐶𝐴:

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

𝐶𝐴 =𝐴 − 𝐶

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

=() − ()

−15,0 0

198,8686 100

≈()

−15

98,8686

Side 9

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 25. august 2017

9

For vektor 𝐶𝑌:

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

𝐶𝑌 =𝑌 − 𝐶

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

=() − ()

0 0

200 100

=()

0

100

Vi definerer de to vektorer:

𝐶𝐴 ≔()

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

−15

98,8686

𝐶𝑌 ≔()

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

0

100

Vi bestemmer vinklen mellem de to vektorer:

cos ( 𝑣) =

𝐶𝐴 · 𝐶𝑌

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

| 𝐶𝐴 || 𝐶𝑌 |

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

⇕ Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑣=8,6269265

Vi bestemmer vinkel u ved:

𝑢=180 + 𝑣
=180+ 8,6269265

≈188,62693

Vinkel u er bestemt til 188,6° (afrundet til 1 decimal), vi har dermed gjort rede.

d)

Vi deler det tonede område op i 3 arealer, hhv. de to identiske rektangler, samt afsnittet af det tonede område i cirklen med centrum i C og afsnittet af det tonede område i cirklen med centrum i B.

Vi bestemmer arealet af de to rektangler. Sidelængden af rektanglet er lig afstanden mellem punkterne C og

B dvs. l = 400, og tykkelsen er lig b = 22,0. Arealet af de to rektangler er givet ved:

𝐴_{2𝑟𝑒𝑘} =2 · 𝑙 · 𝑏
=2 · 400· 22,0
=17600

Vi bestemmer arealet af tonede område i cirklen med centrum i C. Arealet er givet ved differensen mellem

arealet af cirkelusnittet i cirklen med radius r = 100 og arealet af cirkelusnittet i cirklen med radius r - b = 100

- 22,0. Vi bestemmer gradtallet for cirkelusnittet.

Side 10

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 25. august 2017

10

𝑣=360° −𝑢
=360°− 188,6°
=171,4°

Vi bestemmer arealet af det tonede område:

𝐴_{𝐶} = · 𝜋 · 𝑟^{2} − · 𝜋 · ( 𝑟 − 𝑏)^{2}

𝑣 𝑣

360 360

= · 𝜋 ·100^{2} − · 𝜋 · ( 100 − 22,0)^{2}

171,4 171,4

360 360

≈5857,3459

Vi bestemmer arealet af tonede område i cirklen med centrum i B. Arealet er givet ved differensen mellem

arealet af cirkelusnittet i cirklen med radius R = 130 og arealet af cirkelusnittet i cirklen med radius R - b =
130 - 22,0. Gradtallet for cirkelusnittet er v = 188,6°:

𝐴_{𝐵} = · 𝜋 · 𝑅^{2} − · 𝜋 · ( 𝑅− 𝑏)^{2}

𝑣 𝑣

360 360

= · 𝜋 · 130^{2} − · 𝜋 · ( 130 − 22,0)^{2}

188,6 188,6

360 360

≈8617,647

Vi bestemmer det samlede areal af det tonede område:

𝐴=𝐴_{2𝑟𝑒𝑘} + 𝐴_{𝐶} + 𝐴_{𝐵}
=17600+ 5857,3459 + 8617,647

≈32074,993

Arealet af det tonede område er bestemt til 32075 cm^{2} (afrundet til helt tal).

Side 11

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 25. august 2017

11

Opgave 4 a)

Vi bestemmer solsikkens væksthastighed dh/dt, når solsikker er 50 cm, ved at bestemme dh/dt, når h = 50:

𝑑ℎ 𝑑𝑡

=0,00025 · 50 · ( 300 − 50)
=3,125

Solsikkens væksthastighed, når den er 50 cm høj, er bestemt til 3,13 cm/døgn (afrunde til 2 decimaler).

b)

Vi kan identificere forskriften for dh/dt til den logistiske ligning på den generelle form, dvs.:

𝑦^{′} =𝑎𝑦 · ( 𝑀− 𝑦),𝑎>0,𝑀>0

Kendetegnet for denne type af differentialligning, er at den største væksthastighed finder sted, når y = ½ ·

M. Vi bestemmer højden, hvor solsikkens væksthastighed er største ved:

ℎ= · 300

1

2

=150

Vi kan konkludere, at solsikkens væksthastighed er størst, når solsikkens højde er 150 cm.

Side 12

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 25. august 2017

12

Opgave 5 relaterer sig til forberedelsesmaterialet.

Opgave 5 a)

Vi tegner et Venn-diagram, der illustrerer hændelserne S, L samt S ∩ L: b)

Vi har, at sandsynligheden for at hunden er af racen labrador retriever er givet ved:

𝑃 ( 𝐿) =0,13

Vi har, at sandsynligheden for, at hunden er af racen labrador retriever og er sort, er givet ved:

𝑃 ( 𝐿 ∩ 𝑆) =0,13· 0,54

≈0,0702

Vi har, at sandsynligheden for, at hunden er sort og ikke er af racen labrador retriever, er givet ved, hvor (SIL: sort hund, der ikke er af racen labrador):

𝑃 ( 𝑆𝐼𝐿) =0,05

Vi skal bestemme sandsynligheden for, at hunden er sort. Vi har at de to mængder hhv. L ∩ S og SIL er indbyrdes disjunkte, dvs. at sandsynligheden for foreningsmængden er givet ved:

𝑃 ( 𝑆) =𝑃 ( ( 𝐿 ∩ 𝑆) ∪ 𝑆𝐼𝐿)
= 𝑃 ( 𝐿 ∩ 𝑆) + 𝑃 ( 𝑆𝐼𝐿)
=0,0702+ 0,05
=0,1202

Side 13

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 25. august 2017

13

Sandsynligheden for, at hunden er sort er bestemt til 12,0 % (afrundet til 1 decimal).

c)

Vi skal bestemme P(L|S), dvs. med andre ord skal vi bestemme den betingede sandsynlighed for, at hunden er af racen labrador, efter den følgende hændelse er indtruffet, at hunden er sort.

Vi har, at den betingede sandsynlighed er givet ved:

𝑃 ( 𝐿 | 𝑆) =

𝑃 ( 𝐿 ∩ 𝑆)

𝑃(𝑆)

Hvor P(L|S) kun er defineret for P(S) > 0.

Vi har, at sandsynligheden for, at hunden er af racen labrador retriever og er sort dvs. P(L ∩ S) er givet ved:

𝑃 ( 𝐿 ∩ 𝑆) =0,13· 0,54

≈0,0702

Sandsynligheden for, at hunden er sort er givet ved:

𝑃 ( 𝑆) =0,1202

Dvs.:

𝑃 ( 𝐿 | 𝑆) =

𝑃 ( 𝐿 ∩ 𝑆)

𝑃 ( 𝑆)

=

0,0702

0,1202

≈0,58402662

Sandsynligheden for, at hunden er af racen labrador retriever efter den følgende hændelse er indtruffet, at

hunden er sort, er bestemt til 0,58 = 58 % (afrundet til 2 decimaler).

Side 14

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 25. august 2017

14

Opgave 6 a)

Den generelle forskrift for en parabel er givet ved:

𝑓 ( 𝑥) =𝑎𝑥^{2} + 𝑏𝑥 + 𝑐

Vi gøre rede for parablens forskrift.

Vi har, at tallet c betegner parablens skæring med y-aksen i x = 0, vi kan herved konkludere, at c = H.

Vi har, at 1. koordinaten for parablens toppunkt generelt er givet ved:

𝑇_{𝑥} =

−𝑏

2𝑎

Da parablens toppunkt i vores tilfælde ligger på y-aksen vil 1. koordinaten være lig 0, og dermed vil tallet b være lig 0.

Vi bestemmer et udtrykt for tallet a, ved at indsætte punktet -L i udtrykket herunder for parablen, og herefter løse for a.

0=𝑎 · ( −𝐿)^{2} + 0 + 𝐻

⇕ Ligningen løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑎=−𝐻 · 𝐿^{−2}

Vi kender nu a = -H / L^{2}, b = 0 og c = H, vi opskriver en forskrift til grafen for f.

𝑓 ( 𝑥) =− · 𝑥^{2} + 𝐻

𝐻

𝐿^{2}

En forskrift til grafen for f er bestemt til udtrykket herover, vi har dermed gjort rede.

b)

Vi opskriver og definerer en forskrift til grafen for f, hvor H = 3 og L = 2.

𝑓 ( 𝑥) ≔− · 𝑥^{2} + 3

3

2^{2}

Vi bestemmer arealet af det gråtonede område som arealet under grafen for f i intervallet [0; 2], vha. det bestemte integral herunder.

𝐴=∫ 𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥

2

0

≈4

Side 15

Matematik A HTX – Skriftlig eksamen – 25. august 2017

15

Arealet af det gråtoende område er bestemt til 4.

c)

Vi gør rede for trin (2), (3), (5) og (6) i beregningen:

Trin (2): Udtrykket for f(x) indsættes i det bestemte integral.

Trin (3): Forskriften for f(x) integreres vha. reglerne for integration herunder. Herefter skrives det bestemte integral yderligere ud.

𝑓 ( 𝑥) 𝐹 ( 𝑥)

𝑥^{𝑎}

1

𝑎+ 1

𝑥^{𝑎+1}

𝑘 𝑘𝑥

Trin (5): Udtrykket reduceres yderligere. Vi har, at den sidste parentes er lig 0. I den første parentes ganges

L^{3} op på brøken:

− · 𝐿^{3} =− · 𝐻· 𝐿

𝐻 1

3𝐿^{2} 3

Trin (6): Udtrykket reduceres yderligere. Omskriver vi begge led til brøker indser vi:

− 𝐻· 𝐿 + 𝐻· 𝐿= 𝐻· 𝐿

1 3 2

3 3 3

Tilbage har vi et udtryk for A givet ved A = 2/3 H · L, hvor H > 0 og L > 0.