STX Matematik A 18. maj 2011 | Med hjælpemidler

Side 1

1stx111-MAT/A-

Vejledende besvarelse

STX Matematik A – 18. maj 2011

Alle formlerne i de nedenstående besvarelser henviser til Matematisk formelsamling stx A fra 2007.

Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formelnumre i løsningerne, er så læseren præcist kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende.

Det ”pæne” gangetegn ⋅ fås ved kommandoen \cdot. Alternativt kan man bruge *. Det virker fint med WordMat, men ser ikke så pænt ud.

Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.

Tips til TI-nSpire findes i slutningen af dokumentet.

Alle beregninger er, hvis ikke andet angivet, udført med WordMat.

Opgave 7 a)

Da der er tale om en potensmodel, bestemmes a og b ved en potensregression:

Faldhøjde (m) 1,7 2,0 2,9 4,1 5,6 6,3 7,0 8,0 10,0 13,9

Gennemsnitlige 42,0 21,0 10,3 6,8 5,1 4,8 4,4 4,1 3,7 3,2 antal fald

Potens regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 0,8965498

𝑦=46,09552· 𝑥^{−1,153573}

Dermed har vi 𝑎=−1,1536 afrundet til 4 decimaler og 𝑏=46,0955 afrundet til fire decimaler.

Side 2

1stx111-MAT/A-

b)

Vi indsætter f(x) = 15 i ovenstående forskrift og løser ligningen for x.

15=46,09552 · 𝑥^{−1,153573}

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=2,646418

Ifølge modellen er faldhøjden altså 2,6 meter afrundet til 1 decimal, når det gennemsnitlige antal fald er 15.

c)

Da der er tale om en potensfunktion ved vi at når x ganges med tallet 1 + 𝑟_{𝑥} så ganges 𝑓 ( 𝑥) med tallet
1 + 𝑟_{𝑦} (formel 108)

1 + 𝑟_{𝑦} = ( 1 + 𝑟_{𝑥})^{𝑎}

Vi indsætter 𝑟_{𝑥} =50 %=0,5 og 𝑎=−1,153573

1 + 𝑟_{𝑦} = ( 1 + 0,5)^{−1,153573}

⇕ Ligningen løses for r_y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑟_{𝑦} =−0,3735796

Dermed falder det gennemsnitlige antal fald ifølge modellen med 37 % afrundet til hele procenter, når faldhøjden øges med 50 %.

Side 3

1stx111-MAT/A-

Opgave 8 a)

Før sumkurven kan tegnes skal de kumulerede frekvenser bestemmes:

De kumulerede frekvenser er bestemt i Excel og trukket ind i skemaet herunder.

Mængde Antal Procent/frekvens Kumuleret frekvens

(l) kunder

0-10 | 10 | 11,2% | 11,2%
10-20 | 23 | 25,8% | 37,1%
20-30 | 16 | 18,0% | 55,1%
30-40 | 21 | 23,6% | 78,7%
40-50 | 10 | 11,2% | 89,9%
50-60 | 9 | 10,1% | 100,0%

I alt 89

Hvor beregningerne er lavet på denne måde i Excel

Mængde (l) Antal kunder Procent/frekvens Kumuleret frekvens
0-10 10 =B2/$B$8 =C2
10-20 23 =B3/$B$8 =C3+D2
20-30 16 =B4/$B$8 =C4+D3
30-40 21 =B5/$B$8 =C5+D4
40-50 10 =B6/$B$8 =C6+D5
50-60 9 =B7/$B$8 =C7+D6
I alt =SUM(B2:B7)

Man kan få Excel til at vise de underliggende formler, ved at vælge ”Vis formler / Show formulas” i fanen
”Formler / Formulas”. Det tager ganske få sekunder at sætte ind, og dokumenterer dine udregninger.

Sumkurven tegnes via WordMat:

Side 4

1stx111-MAT/A-

Kvartilsættet beregnes også i WordMat og aflæses til, afrundet til 1 decimal:

Nedre 15,3

Median 27,2

Øvre 38,5

Når man skal kopiere de kumulerede frekvenser man har udregnet først over i sumkurve arket, skal man bruge funktionen ”indsæt værdier”.

Husk at data skal indtastes på denne måde:

0%

25%

50%

75%

100%

0 50 60 70

Side 5

1stx111-MAT/A-

Opgave 9 a)

Længden af s bestemmes med WordMat.

WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 90° , C = 40,7° , c = 2,7

A = 90°
B = 49,3°
C = 40,7°

a = 4,140479
s = 3,13904
c = 2,7

Vinkel B findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
𝐵=180° − 𝐴 − 𝐶=180° − 90° − 40,7°=49,3°

Længden af siden a findes vha. sinus

𝑎= = =4,140479

𝑐 2,7 sin ( 𝐶) sin ( 40,7)

Længden af siden s findes vha. tangens

𝑠= = =3,13904

𝑐 2,7 tan ( 𝐶) tan ( 40,7)

Længden af s er dermed 3,14 m afrundet til to decimaler.

For at bestemme vinkel w tegnes en skitse.

90° 3,14 40,7°

49,3°

2,7 4,14

Side 6

1stx111-MAT/A-

Til eksamen kan du evt. tegne skitsen i hånden og vedlægge den som bilag.

Da husiden danner en retvinklet trekant kan g bestemmes som

𝑔=𝑓− 𝑠=3,53 − 3,13904=0,39096

Da vi på forhånd kender længden af d, kan vinkel w nu beregnes:

WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 90° , g = 0,39096 , c = 2,5

A = 90°
w = 8,888154°
C = 81,11185°

a = 2,530385
g = 0,39096
c = 2,5

Længden af siden a findes vha. pythagoras

𝑎= √ 𝑐^{2} + 𝑔^{2} = √ 2,5^{2} + 0,39096^{2} =2,530385

Vinkel C findes vha. tangens

𝐶=tan^{−1} ()=tan^{−1} ()=81,11185°

𝑐 2,5 𝑔 0,39096

Vinkel w findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
𝑤=180° − 𝐴 − 𝐶=180° − 90° − 81,11185°=8,888154°

Vinkel w er dermed 8,9° afrundet til 1 decimal.

b)

I figuren er indtegnet en trekant. Arealet af denne trekant kaldes 𝐴
                                                      𝑡

. Da det er en regulær ottekant, kan det

samlede areal af grundfladen 𝐴_{𝑔} beregnes som 𝐴_{𝑔} =8 ⋅ 𝐴_{𝑡}.

Da det er en regulær ottekant ved vi, at vinklen „mod centrum“ i trekanten er^{360°}_{8} =45°

90° 0,391 81,1°

8,89°

2,5 2,53

Side 7

1stx111-MAT/A-

Vi kender nu en vinkel og længden af to tilstødende sider og kan dermed bruge „sinus-arealformlen“ til at beregne trekantens areal (formel 29).

𝐴_{𝑡} = 3,92 ⋅ 3,92 ⋅ sin45= ≈5,432843

1 7,6832

2

√ 2

Nu kan ottekantens areal bestemmes:

𝐴_{𝑔} =8 ⋅ 5,432843=43,46274

Arealet af grundfladen af fiskerhuset er dermed 43,46 m^{2} afrundet til to decimaler.

Husk at angive resultatet med enheder.

Man kunne også direkte have beregnet arealet af trekanten ved Herons formel, som siger at arealet af en trekant A med siderne a, b og c er givet ved:

𝐴= √ 𝑠 ( 𝑠− 𝑎)( 𝑠−𝑏)( 𝑠 − 𝑐)

        𝑎+𝑏+𝑐
Hvor 𝑠=

2

Side 8

1stx111-MAT/A-

Opgave 10 a)

Afstanden fra punktet 𝑃 ( 𝑥_{1},𝑦_{1},𝑧_{1}) til planen 𝛼 med ligningen 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧+ 𝑑=0 med er givet ved

(formel 52)

𝑑𝑖𝑠𝑡 ( 𝑃,𝛼) =

| 𝑎· 𝑥_{1} + 𝑏 ·𝑦_{1} + 𝑐· 𝑧_{1} + 𝑑 |
√ 𝑎^{2} + 𝑏^{2} + 𝑐^{2}

Dette er en af standardformlerne fra WordMat.

Vi indsætter punktet 𝑇(0,0,20) og koefficienterne for planen 𝛼 i ligningen:

𝑑𝑖𝑠𝑡 ( 𝑇,𝛼) = =8 · √ 10≈25,29822

| 1 · 0 + 0 · 0 + 3 · 20 + 20 |
√ 1^{2} + 0^{2} + 3^{2}

Afstanden fra T til 𝛼 er 8 · √ 10.

b)

Vi kan bestemme vinklen mellem sidefladen og 𝛼 ved at bestemme vinklen mellem en normalvektor for hver flade.

Vi bestemmer først en normalvektor for sidefladen, der indeholder T, D og C. To vektorer i sidefladen bestemmes (TD og CD) (formel 61) og en normalvektor bestemmes som krydsproduktet mellem dem

(formel 68).

𝑇𝐷=( −20 − 0)=( −20)

−20 − 0 −20

0 − 20 −20

𝐶𝐷=()=( −40)

−20 − ( −20) 0
−20 − 20
0 − 0 0

Nu bestemmes en normalvektor:

𝑛_{𝑇𝐷𝐶} =( −20) × ( −40)=( 0)

−20 0 −800

−20 0 800

En normalvektor for planen 𝛼 kan ud fra planens ligning aflæses til (formel 71):

𝑛_{𝛼} =( 0)

1

3

Vinklen mellem de to fundne normalvektorer kan nu beregnes ved formlen (formel 64):

cos ( 𝑣) =

𝑎⃗· 𝑏

⎯ ⃗

| 𝑎⃗ | | 𝑏 |

⎯ ⃗

Side 9

1stx111-MAT/A-

Denne formel kan også indsættes direkte fra WordMat (Vektor -> Rumgeometri)

cos ( 𝑣) =

( 0) · ( 0)

−800 1

800 3

| ( 0) || ( 0) |

−800 1

800 3

⇕ Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑣=cos^{−1} ()=cos^{−1} ()≈63,43495

1 1

√ 5 √ 5

Den spidse vinklen mellem planen og sidefladen, der indeholder T,D og C er altså 63,4° afrundet til en

decimal og den stumpe vinkel er 180° − 63,43495°=116,6° afrundet til en decimal.

c)

For at bestemme en parameterfremstilling for linjen gennem T og F, skal vi anvende en retningsvektor for linjen og et punkt på linjen (formel 73).

En retningsvektor for linjen kan bestemmes som vektoren TF (formel 61)

𝑇𝐹=( 20 − 0)=( 20)

20 − 0 20

0 − 20 −20

Som punkt anvendes T og vi kan dermed opstille parameterfremstillingen for linjen:

( 𝑦) =( 0) + 𝑡( 20)

𝑥 𝑧

0 20

20 −20

Som det fremgår af skitsen er punktet B det sted på linjen der går igennem T og F, hvor den skærer planen 𝛼.

For at finde skæringspunktet mellem linjen og planen indsætter vi udtrykkene for x,y og z fra parameterfremstillingen i planens ligning og løser for t:

( 20𝑡) + 3 ( 20 − 20𝑡) + 20=0

⇕ Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑡=2

Ved at indsætte 𝑡=2 i parameterfremstillingen findes dermed koordinatsættet for punktet B.

𝐵=( 0) + 2( 20)=( 40)

0 20 40

20 −20 −20

Vi har dermed fundet B(40,40,-20).

Side 10

1stx111-MAT/A-

Opgave 11 a)

Først defineres funktionerne f og g:

𝑓 ( 𝑥) ≔17 − 𝑥^{2}

𝑔 ( 𝑥) ≔8

Vi afbilder først graferne for de to funktioner ved hjælp af WordMat / Vis Graf / GnuPlot

Da grafen for f ligger over grafen for g i det område som graferne for de to funktioner afgrænse, kan arealet

af dette område 𝐴_{𝑀} bestemmes med følgende formel: (formel 154)

𝐴_{𝑀} =∫ ( 𝑓 ( 𝑥) − 𝑔(𝑥)) 𝑑𝑥

𝑏 𝑎

Hvor a og b angiver grafernes skæringspunkter.

Vi bestemmer skæringspunkterne ved at løse ligningen:

𝑓 ( 𝑥) =𝑔(𝑥)

Side 11

1stx111-MAT/A-

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=−3 ∨ 𝑥=3

Vi kan nu beregne arealet:

𝐴_{𝑀} =∫ ( 𝑓 ( 𝑥) − 𝑔 ( 𝑥)) 𝑑𝑥 =36

3

−3

Arealet af M er dermed 36.

b)

Rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 360° omkring førsteaksen kan beregnes som: (formel 155)

𝑉_{𝑀} =𝜋 ∫ ( 𝑓 ( 𝑥))^{2} 𝑑𝑥− 𝜋∫ ( 𝑔 ( 𝑥))^{2} 𝑑𝑥 =4176 · ≈2623,858

3 3

−3 −3

𝜋

5

I ovenstående ligning beregner vi først rumfanget af hele det omdrejningslegeme, der fremkommer når hele arealet under f over førsteaksen drejes omkring førsteaksen. Derefter fratrækker vi det, som ikke er med i M.

𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 12

1stx111-MAT/A-

Opgave 12 a)

HUSK AT INDSTILLE TIL RADIANER! Her er der tale om en sinusfunktion og altså ikke trigonometriske beregninger. Derfor skal WordMat (eller andet CAS-værktøj) indstilles til at regne i radianer. Husk at klikke den væk igen, når du er færdig med opgaven.

Først defineres f

𝑓 ( 𝑡) ≔6,61 ⋅ sin ( 0,0167𝑡 − 1,303) + 12,2

For at bestemme længden af dagen til 𝑡=100 bestemmes

𝑓 ( 100) =sin ( 0,367) · 6,61 + 12,2=14,57178

Ifølge modellen er dagens længde ved 100 døgn efter 1. januar 2011 14,57 timer afrundet til to decimaler.

b)

For at bestemme det tidspunkt hvor længden af dagen ifølge modellen er størst skal vi bestemme ekstrema for funktionen f.

Vi undersøger derfor monotoniforholdene for f.

Først løses ligningen

𝑓^{′} ( 𝑡) =0

⇕ Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑡=376,2386 · ℤ − 16,03571 ∨ 𝑡=376,2386 · ℤ + 172,0836

Da der er tale om en trigonometrisk ligning (𝑓^{′} ( 𝑡) =0,110387 · cos ( 0,0167 · 𝑡 − 1,303)) har ligningen
måske flere løsninger for 0≤𝑡≤365. Derfor skal vi under WordMats indstillinger

Side 13

1stx111-MAT/A-

vælge ”Alle løsninger”

Husk Z angiver alle heltal. Dvs. -2,-1,0,1,2,3… Man indsætter dette i løsningerne hvor ℤ står og ser om t ligger inden for det angivne interval.

Dette giver to løsninger i intervallet [ 0,365].

𝑡=376,2386 · 1 −16,03571=360,2029 ∨ 𝑡=376,2386 · 0 + 172,0836 =172,0836

Altså har grafen for f en vandret tangent for 𝑡=172,08 og 𝑡=360,20. Vi undersøger nu om disse er

ekstremaer, ved at beregne fortegnet for f’ på hver side af nulpunkterne.

𝑓^{′} ( 170) =0,003840287

𝑓^{′} ( 175) =−0,005374127

𝑓^{′} ( 360) =−0,0003740987

𝑓^{′} ( 361) =0,00146932

Da f’ er positiv på venstre side af 𝑡=172,08 og negativ på højre side er der tale om et maksimum.

Da f’ er negativ på venstre side af 𝑡=360,20 og positiv på højre side, er der tale om et minimum.

Ifølge modellen er dagen derfor længst efter 172 dage afrundet til hele dage.

c)

Vi indsætter 𝑡=100 i f’

𝑓^{′} ( 100) =0,1030361

Dette tal angiver væksthastigheden i dagens længde efter netop 100 dage (den instantane vækstrate). Efter

100 dage vokser dagens længde med 0,10 timer pr. dag.

𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 14

1stx111-MAT/A-

Opgave 13 a)

                        𝑑𝐼
Vi benytter notationen 𝐷𝐼=
                        𝑑𝑡

Vi indsætter 𝐼=0,3 i differentialligningen:

0,4 ⋅ 𝐷𝐼 + 10 ⋅ 0,3=9

⇕ Ligningen løses for I vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝐷𝐼=15

Strømstyrkens væksthastighed, når strømstyrken er 0,3 ampere er 15 ampere pr. sekund.

Grunden til at vi bruger denne notation, er at så kan ligningen løses med WordMat.

b)

Vi opstiller modellen med notationen^{𝑑𝐼}_{𝑑𝑡} =𝐼′(𝑡)

0,4 ⋅ 𝐼^{′} ( 𝑡) + 10 ⋅ 𝐼 ( 𝑡) =9
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen I(0)=0

𝐼 ( 𝑡) = − 9 ·

9 𝑒^{−}^{(}^{25·𝑡}

10 10

)

Hvis man vil bruge den notation, der står i opgaven, skal d’erne indtastes som \dd.

Hvis TI-nSpire CAS benyttes, kan det gøres på følgende måde:

Side 15

1stx111-MAT/A-

Opgave 14 a)

Vi definerer funktionen f

𝑓 ( 𝑥) ≔ ( 𝑥− 3)^{2}

En ligning for tangenten til grafen for f i punktet (1,f(1)) er givet ved (formel 119)

𝑦=𝑓^{′} ( 1)( 𝑥 − 1) + 𝑓 ( 1) =8 − 4 · 𝑥

                                                              2
Hvis man bruger TI-nspire CAS kan man benytte funktionen TangentLine((x-3) ,x,1)

b)

En ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(a,f(a)) kan tilsvarende bestemmes:

𝑦=𝑓^{′} ( 𝑎)( 𝑥− 𝑎) + 𝑓(𝑎)

Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion,

𝑦= ( 2 · 𝑎− 6) · 𝑥− 𝑎^{2} + 9

For punktet Q gælder der at 𝑥=0.

𝑦= ( 2 · 𝑎− 6) · 0 − 𝑎^{2} + 9=9 − 𝑎^{2}

Vi har dermed 𝑄(0,9 − 𝑎^{2})

For punktet R gælder der at 𝑦=0. Dette indsættes i tangentens ligning, og der løses for x

0= ( 2 · 𝑎− 6) · 𝑥− 𝑎^{2} + 9

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=

𝑎 + 3

2

               𝑎+3
Vi har dermed 𝑅(  ,0)
                2

c)

For at bestemme den værdi af a, der gør arealet af trekant OQR størst muligt skal vi bestemme ekstrema for T. Vi undersøger derfor monotoniforholdene for T.

T defineres

𝑇 ( 𝑎) ≔ ( 9 − 𝑎^{2})( 𝑎 + 3)

1

4

Først løses ligningen

𝑇^{′} ( 𝑎) =0

Side 16

1stx111-MAT/A-

⇕ Ligningen løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑎=−3 ∨ 𝑎=1

Da 𝑎>0 bortkaster vi den negative løsning.

Altså har grafen for T en vandret tangent for 𝑎=1. Vi undersøger nu om dette er et ekstremum, ved at

beregne fortegnet for T’ på hver side af dette nulpunkt.

𝑇^{′} ( 0,5) =1,3125

𝑇^{′} ( 1,5) =−1,6875

Da T’ er positiv på venstre side af nulpunktet og negativ på højre side er der tale om et maksimum.

Arealet af trekanten er størst når 𝑎=1.

Side 17

studienet.dk
1stx111-MAT/A-
TI-nSpire - Specielle kommandoer
Opgave 7
1.1 1.2 *Ikke gemt
{1.7,2.,2.9,4.1,5.6,6.3,7,8,10,13.9}→x
{1.7,2.,2.9,4.1,5.6,6.3,7,8,10,13.9}
{42,21,10.3,6.8,5.1,4.8,4.4,4.1,3.7,3.2}→y
{42,21,10.3,6.8,5.1,4.8,4.4,4.1,3.7,3.2}
PowerReg x,y: CopyVar stat.RegEqn,f1:
Udført
Stat.results
3/99
1.1 1.2 *Ikke gemt
"Titel" "Potensregression"
"RegEqn" "a*x^b"
"a" 46.0955
"b" -1.15357
"r²" 0.89655
"r" -0.946863
"Resid" "{...}"
"ResidTrans" "{...}"
4/99
Opgave 10
1.1 1.2 *Ikke gemt
crossP([-20 -20 -20],[-40 0 0])
[0 800 -800]
1/99
17

Side 18

1stx111-MAT/A-

Opgave 12

Husk at indstille til Radianer (gøres under ”Filer” - ”Indstillinger”)

Opgave 13

Side 19

1stx111-MAT/A-

Opgave 14