STX Matematik A NET 2014 22. maj - Delprøven med autoriseret formelsamling

Side 1

Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 22. maj 2014

1

STX Matematik A (Netadgang) 22. maj 2014

Delprøven med formelsamling

1stx141-MATn/A-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning. Til denne delprøve er det tilladt at anvende en autoriseret formelsamling.

Opgave 1 a)

                                                 2
Den generelle løsning for en andengradsligning af typen: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐=0 er givet ved:

𝑥=

−𝑏 ± √𝑏^{2} − 4𝑎𝑐

2𝑎

=

− ( −1) ± √ ( −1)^{2} − 4 · 3 · ( −2)
2 · 3
=

1 ± √ 1 + 24

6

=

1 ± 5

6

Dvs.

𝑥_{1} =

1 + 5

6

=1

𝑥_{2} =

−4

6

=−

2

3

Ligningen har således to løsninger:

𝑥_{1} =1, 𝑥 =−

2

2

3

Side 2

Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 22. maj 2014

2

Opgave 2 a)

Koordinatsættet bestemmes vha. projektionsformlen:

𝑎⃗_{𝑏} = · 𝑏

𝑎⃗· 𝑏

⎯ ⃗

| 𝑏 |

⎯ ⃗^{2}

⎯ ⃗

= · ()

5 · ( −1) + 1 · 1 −1
( √ ( −1)^{2} + 1^{2})

2

1

= · ()

−5 + 1 −1
1 + 1 1
=−2 · ()

−1

1

=()

−2

2

Koordinatsættet til projektionen af 𝑎⃗ på 𝑏 er således givet ved 𝑎⃗_{𝑏} =()

⎯ ⃗

−2

2

Opgave 3 a) 𝑥 isoleres:

( √ 2𝑥+ 3)^{2} =5^{2}

⇕

2𝑥+ 3=25

⇕

2𝑥=25 − 3

⇕

𝑥=

22

2

=11

Det vil sige, at 𝑥=11.

Side 3

Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 22. maj 2014

3

Opgave 4 a)

Der er tale om en eksponentiel model, 𝑦=𝑏 ·𝑎^{𝑡}.

Konstanten 𝑏=250 angiver værdien af 𝑦, til tidspunktet 𝑡=0. Den fortæller os således, at der var 250 𝑔
stof, til tidspunktet 𝑡=0.

Konstanten 𝑎=0,9956 er fremskrivningsfaktoren og indeholder information om funktionens vækstrate.

Denne er givet ved sammenhængen:

𝑟=𝑎− 1
=0,9956 − 1
=−0,0044
=−0,44%

Konstanten 𝑎=0,9956 fortæller os altså, at massen aftager med 0,44% pr. sekund.

Opgave 5 a)

Parameterfremstillingen for en linje i planen, som går gennem punktet (𝑥 ,𝑦 ) og har retningsvektor
                                                           0  0

     𝑟
     1
𝑟⃗=(  ) er givet ved:
     𝑟
     2

()=() + 𝑡 · ()

𝑥 𝑥_{0} 𝑟_{1}
𝑦 𝑦_{0} 𝑟_{2}

En retningsvektor for linjen kan findes som:

𝑟 ⎯ ⎯ ⃗_{𝑙} =𝐴𝐵

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

= ()

5 − ( −1)
26 − 2
=()

6

24

Nu vælges punktet 𝐴, og den endelige parameterfremstilling bliver da:

𝑙:()=() + 𝑡 · ()

𝑥 𝑦

−1 6

2 24 b)

Når 𝑚 står vinkelret på 𝑙, må der gælde, at en alle normalvektorer til 𝑚 vil være retningsvektorer for 𝑙.

                                                                          𝑎
Ligningen kan opskrives på følgende form, hvor ( 𝑥 ,𝑦 ) angiver et punkt på linjen og 𝑛 ⎯ ⃗ = ( ) er en
                                         0 0
                                                                          𝑏

normalvektor til linjen.

Side 4

Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 22. maj 2014

4

𝑎· ( 𝑥− 𝑥_{0}) + 𝑏· ( 𝑦− 𝑦_{0}) =0

Vi vælger punktet 𝐴 og normalvektoren 𝑛 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯_{𝑚} ⎯ ⃗ =𝑟 ⎯ ⎯ ⃗_{𝑙} til at opskrive ligningen:

6 · ( 𝑥− (−1)) + 24 · ( 𝑦 − 2) =0

⇕ (Der divideres med 6 på begge sider af lighedstegnet)

1 · ( 𝑥+ 1) + 4 · ( 𝑦 − 2) =0

⇕

𝑥+ 1 + 4𝑦 − 8=0

⇕

𝑥+ 4𝑦 − 7=0

Vi kan konkludere, at 𝑚 har ligningen 𝑚:𝑥 + 4𝑦− 7=0

Opgave 6 a)

Kvartilsættet aflæses ved at finde de værdier på 𝑥-aksen, der hører til 𝑦-værdierne 25%, 50% og 75%:

𝑁𝑒𝑑𝑟𝑒:165 𝑐𝑚

𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛:176,5 𝑐𝑚

Ø𝑣𝑟𝑒:187,5

Den andel af elever på skolen, der er lavere end 160 𝑐𝑚 bestemmes ved at aflæse den 𝑦-værdi, der hører til 𝑥-værdien 160 𝑐𝑚. Det ses, at 20% af eleverne er lavere end 160 𝑐𝑚. Da der i alt er 800 elever med i målingerne, skal det antal elever, som er lavere end 160 𝑐𝑚, findes som:

𝑛=0,2 · 800
=160

Der er altså 160 elever, som er lavere end 160 𝑐𝑚.

Side 5

Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 22. maj 2014

5

Opgave 7 a)

En ligningen for tangenten til grafen for en funktion 𝑓 i et punkt (𝑥 ,𝑓 ( 𝑥 ) ) er givet ved:
                                                      0    0

𝑦=𝑓^{′} ( 𝑥_{0}) · ( 𝑥− 𝑥_{0}) + 𝑓 ( 𝑥_{0})

𝑓′(0) beregnes:

𝑓^{′} ( 𝑥) =12 · 3𝑥^{2} − 24 · 2𝑥+ 12 · 1 (𝐼)
=36𝑥^{2} − 48𝑥 + 12

𝑓^{′} ( 0) =36 · 0^{2} − 48 · 0 + 12
=12

𝑓(0) beregnes:

𝑓 ( 0) =12 ·0^{3} − 24 · 0^{2} + 12 · 0
=0

Tangentens ligning opskrives:

𝑦=12 · ( 𝑥− 0) + 0
=12𝑥

En ligning for tangenten til grafen for 𝑓 i punktet 𝑃 er således givet ved:

𝑦=12𝑥

(𝐼): Her anvendes blandt andet:

( 𝑘· 𝑓 ( 𝑥))^{′} =𝑘· 𝑓^{′} ( 𝑥)

( 𝑓 ( 𝑥) ± 𝑔 ( 𝑥))^{′} =𝑓^{′} ( 𝑥) ± 𝑔^{′} ( 𝑥)

Funktion Afledt funktion

𝑥^{𝑎} 𝑎· 𝑥

𝑎−1

b)

Arealet af den punktmængde 𝑀, som afgrænses mellem førsteaksen og en funktion 𝑓(𝑥) i et interval [𝑎,𝑏] kan bestemmes som:

𝐴_{𝑀} =∫ 𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥

𝑏 𝑎

=∫ 12𝑥^{3} − 24𝑥^{2} + 12𝑥 𝑑𝑥

1

0

Side 6

Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 22. maj 2014

6

= [ 12 · 𝑥^{4} − 24 · 𝑥^{3} + 12 · 𝑥^{2}]

1 1 1

4 3 2

0

1

= [ 3𝑥^{4} − 8𝑥^{3} + 6𝑥^{2}]_{0}^{1}
=3 · 1^{4} − 8 · 1^{3} + 6 · 1^{2} − 3 · 0^{4} − 8 · 0^{3} + 6 · 0^{2}
=3 − 8 + 6
=1

Arealet af 𝑀 er altså: 𝐴_{𝑀} =1

I denne opgave anvendes blandt andet:

Bestemt integral

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥= [ 𝐹 ( 𝑥)]_{𝑎}^{𝑏} =𝐹 ( 𝑏) − 𝐹(𝑎)

𝑏 𝑎

Sum/differens kan splittes i to integraler ∫_{𝑎}^{𝑏} 𝑓 ( 𝑥) ± 𝑔 ( 𝑥) 𝑑𝑥= ∫_{𝑎}^{𝑏} 𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥± ∫_{𝑎}^{𝑏} 𝑔 ( 𝑥) 𝑑𝑥

Sætte konstant udenfor ∫_{𝑎}^{𝑏} 𝑘 ·𝑓(𝑥) 𝑑𝑥=𝑘· ∫_{𝑎}^{𝑏} 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

Funktion Stamfunktion

𝑥^{𝑎} 𝑥^{𝑎+1}

1

𝑎+1

Opgave 8 a)

Højden trukket fra 𝐴 i trekant ABC er lig med halvdelen af rektanglets længde:

ℎ_{𝐴} = · 8=4

1

2

Den tilhørende grundlinje er da 𝑔=6.

Arealet er givet ved:

𝑇_{𝐴𝐵𝐶} = · ℎ · 𝑔

1

2

= · 4 · 6

1

2

=12

Arealet af trekant ABC er 12 𝑐𝑚^{2}.

Side 7

Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 22. maj 2014

7 b)

Da trekanten er ligebenet, og benlængden 𝑙 er lig med halvdelen af diagonalens længde 𝑑 kan vi nu skrive:

𝑂_{𝐴𝐵𝐶} =𝐵𝐶+ 2𝑙
=𝐵𝐶+ 2 · · 𝑑

1

2

=𝐵𝐶+ 𝑑

Jf. Pythagoras kan vi nu se, at:

𝑑^{2} =8^{2} + 6^{2}

⇕

𝑑= √ 64 + 36
= √ 100
=10

Vi får så:

𝑂_{𝐴𝐵𝐶} =6 + 10
=16

Omkredsen af trekant ABC er 16 𝑐𝑚.

Opgave 9 a)

Vi ved, at hældningen for tangenten til en graf i et punkt ( 𝑥 ,𝑓 ( 𝑥 ) ) svarer til 𝑓′(𝑥 ). Vi kan således aflæse
                                                0    0             0

tangentens hældning og konstatere, at:

𝑓^{′} ( 1) =−1

𝑓 ( 𝑥) differentieres:

𝑓^{′} ( 𝑥) =2𝑥+ 𝑏 (𝐼)

Nu kan 𝑏 bestemmes ved at indsætte 𝑓^{′} ( 1) =−1:

−1=2 · 1 + 𝑏

⇕

𝑏=−3

Vi har nu, at:

𝑓 ( 𝑥) =𝑥^{2} − 3𝑥+ 𝑐

Side 8

Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 22. maj 2014

8

Vi ved også, at ligningen for tangenten til grafen for 𝑓 i et punkt ( 𝑥_{0},𝑓 ( 𝑥_{0})) er givet ved:

𝑦=𝑓^{′} ( 𝑥_{0}) · ( 𝑥− 𝑥_{0}) + 𝑓 ( 𝑥_{0})

Vi indsætter 𝑥_{0} =1 og 𝑓^{′} ( 𝑥_{0}) =−1:

𝑦=−1 · ( 𝑥− 1) + 𝑓(1)

⇕

𝑦=−𝑥+ 1 + 𝑓(1)

Hvis vi sammenholder denne ligning med den angivne tangentligning, kan vi se, at:

1 + 𝑓 ( 1) =5

⇕

𝑓 ( 1) =4

Det vil sige:

4=1^{2} − 3 · 1 + 𝑐

⇕

𝑐=4 − 1 + 3
=6

Konstanterne er således bestemt til: 𝑏=−3 og 𝑐=6

(𝐼): Her anvendes blandt andet:

( 𝑘· 𝑓 ( 𝑥))^{′} =𝑘· 𝑓^{′} ( 𝑥)

( 𝑓 ( 𝑥) ± 𝑔 ( 𝑥))^{′} =𝑓^{′} ( 𝑥) ± 𝑔^{′} ( 𝑥)

Funktion Afledt funktion

𝑥^{𝑎} 𝑎· 𝑥

𝑎−1

k 0