STX Matematik A NET 2013 29. maj - Delprøven med autoriseret formelsamling

Side 1

Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 29. maj 2013

1

STX Matematik A (Netadgang)

29. maj 2013

Delprøven med formelsamling

2stx131-MATn/A-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning. Til denne delprøve er det tilladt at anvende en autoriseret formelsamling.

Opgave 1 a)

Forskriften har den generelle form:

𝑦=𝑎𝑥^{2} + 𝑏𝑥 + 𝑐

Førstekoordinaten i toppunktet kan da bestemmes vha.:

𝑥_{𝑡𝑜𝑝} =−

𝑏

2𝑎

=−

−8
2 · 2
=

8

4

=2

Andenkoordinaten bestemmes nu som:

𝑝 ( 2) =2 · 2^{2} − 8 · 2 + 5
=8 − 16 + 5
=−3

Koordinatsættet er således givet ved 𝑃 (2,−3)
                               𝑡𝑜𝑝

Side 2

Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 29. maj 2013

2

Opgave 2 a)

Arealet kan bestemmes som:

𝑇= · ℎ · 𝑔

1

2

= · 𝐴𝐶· 𝐶𝐵

1

2

Det vil sige:

𝐴𝐶=2 ·

𝑇

𝐶𝐵

=2 ·

24

6

=2 · 4
=8

AB kan bestemmes vha. Pythagoras:

𝐴𝐵= 𝐴𝐶^{2} + 𝐶𝐵^{2}

√
= 8 + 6^{2}

√^{2}
= √ 64 + 36
= √ 100
=10

Vi kan nu konkludere, at | 𝐴𝐶 | =8 og | 𝐴𝐵 | =10.

Opgave 3 a)

Kvartilsættene aflæses:

Kvinder: (30;35,5;45)

Mænd: (38,5;44;51)

Det ses af kvartilsættet for de kvindelige vindere, at 25% er yngre end 30 år, 50% er yngre end 35,5 år og

75% er yngre end 45 år. For mændene gælder, at 25% er yngre end 38,5 år, 50% er yngre end 44 år og 75% er yngre end 51 år. Vi kan altså konkludere, at de kvindelige vindere generelt er yngre end de mandlige.

Side 3

Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 29. maj 2013

3

Opgave 4 a)

Arealet kan bestemmes som:

𝐴= | det ( 𝑎⃗,𝑏)|

⎯ ⃗

=| | | |

8 3

1 5

= | 8 · 5 − 3 · 1 |
= | 40 − 3 |
=37

Arealet af det parallelogram, som udspændes af de to vektorer, er 37.

b)

Projektionsformlen anvendes:

𝑏_{𝑎} = 𝑎⃗

⎯ ⃗

𝑎⃗· 𝑏

⎯ ⃗

| 𝑎⃗ |^{2}
= · ()

8 · 3 + 1 · 5
8^{2} + 1^{2} 1

8

= · ()

29

65 1

8

= ()

29

65

· 8

29

65

· 1

= ()

232

65

29

65

                                      65
Koordinatsættet til projektionen af 𝑏 på 𝑎⃗ er ( )
                                      29

⎯ ⃗

232

65

Opgave 5 a)

Når 𝑓 har et lokalt ekstremum, må der gælde, at 𝑓′ har et nulpunkt (for samme 𝑥-værdi). Desuden må der

gælde, at 𝑓^{′} >0, når 𝑓 er voksende samt at 𝑓^{′} <0, når 𝑓 er aftagende. Det undersøges, om den

Side 4

Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 29. maj 2013

4 sammenhæng gælder for et par af grafer. Det ses, at en sådan sammenhæng gælder for graferne 𝐴 og 𝐵, hvor 𝐴 er grafen for 𝑓, mens 𝐵 er grafen for 𝑓′. Konklusionen bliver så:

𝐴 er grafen for 𝑓

𝐵 er grafen for 𝑓′

Opgave 6 a)

Funktionen differentieres:

𝑓^{′} ( 𝑥) =−3𝑥^{2} + 3 · 2𝑥 ( 𝐼)
=−3𝑥^{2} + 6𝑥

Nulpunkter for den afledede funktion søges:

0=−3𝑥^{2} + 6𝑥

⇕

0=𝑥· (−3𝑥 + 6)

Jf. nulreglen skal mindst en af de to faktorer være lig med 0. VI får nu to mulige løsninger:

𝑥=0

Eller:

−3𝑥+ 6=0

⇕

𝑥=

−6
−3
=2

Funktionen har således to kritiske punkter. Nu foretages 3 fortegnsundersøgelser:

Til venstre for første nulpunkt:

𝑓^{′} ( −1) =−3 · ( −1)^{2} + 6 · ( −1)
=−3 − 6
=−9

Det vil sige 𝑓^{′} ( 𝑥) <0 for 𝑥<0

Mellem de to nulpunkter:

Side 5

Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 29. maj 2013

5

𝑓^{′} ( 1) =−3 · 1^{2} + 6 · 1
=−3 + 6
=3

Det vil sige 𝑓^{′} ( 𝑥) >0 for 0<𝑥<2

Til højre for sidste nulpunkt:

𝑓^{′} ( 3) =−3 · 3^{2} + 6 · 3
=−27 + 18
=−9

Det vil sige, at 𝑓^{′} ( 𝑥) <0 for 𝑥>2

Da fortegnet for 𝑓′ afgør om funktionen vokser eller aftager, kan vi nu sammenfatte funktionens monotoniforhold: 𝑓 er voksende i intervallet [0,2]

𝑓 er aftagende i intervallerne ]− ∞,0] og [2,∞[

(𝑰):

( 𝒌 · 𝒇 ( 𝒙))^{′} =𝒌 · 𝒇^{′} ( 𝒙)

( 𝒇 ( 𝒙) ± 𝒈 ( 𝒙))^{′} =𝒇^{′} ( 𝒙) ± 𝒈^{′} ( 𝒙)

Funktion Afledt funktion

𝒙^{𝒂} 𝒂 · 𝒙

𝒂−𝟏

b)

𝑓 ( 𝑥) =0, så:

−𝑥^{3} + 3𝑥^{2} =0

⇕

𝑥^{2} · ( −𝑥+ 3) =0

Jf. nulreglen er der nu to mulige løsninger:

𝑥^{2} =0

⇕

𝑥=±0
=0

Side 6

Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 29. maj 2013

6

Eller:

−𝑥+ 3=0

⇕

𝑥=3

De eneste løsninger til ligningen er således 𝑥=0 og 𝑥=3.

c)

En grov skitse tegnes:

Arealet kan nu findes som det bestemte integral af funktionen med intervalgrænser 𝑥=0 og 𝑥=3.

𝐴_{𝑀} =∫−𝑥 + 3𝑥^{2} 𝑑𝑥

3

3

0

= [ − 𝑥^{4} + 3 · 𝑥^{3}] (𝐼)

1 1

4 3

0

3

= [ − 𝑥^{4} + 𝑥^{3}]

1

4

0

3

=− · 3^{4} + 3^{3} − 0 − 0

1

4

=− + 27

81

4

=− +

81 108

4 4

=

27

4

Arealet af 𝑀 er^{27}_{4}.

Side 7

Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 29. maj 2013

7

(𝑰):

Regneregler for integration

Bestemt integral

∫𝒇(𝒙) 𝒅𝒙= [ 𝑭 ( 𝒙)]_{𝒂}^{𝒃} =𝑭 ( 𝒃) − 𝑭(𝒂)

𝒃 𝒂

Sætte konstant udenfor ∫_{𝒂}^{𝒃} 𝒌 · 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙=𝒌 · ∫_{𝒂}^{𝒃} 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙

Sum/differens kan splittes i to integraler ∫_{𝒂}^{𝒃} 𝒇 ( 𝒙) ± 𝒈 ( 𝒙) 𝒅𝒙= ∫_{𝒂}^{𝒃} 𝒇 ( 𝒙) 𝒅𝒙 ± ∫_{𝒂}^{𝒃} 𝒈 ( 𝒙) 𝒅𝒙

Funktion Stamfunktion

𝒙^{𝒂} 𝒙^{𝒂+𝟏}

𝟏

𝒂+𝟏

Opgave 7 a)

En forskrift for alle stamfunktioner findes som det ubestemte integral:

𝐹 ( 𝑥) =∫2𝑥+ 1 + 𝑒^{𝑥} 𝑑𝑥

=2 · 𝑥^{2} + 𝑥+ 𝑒^{𝑥} + 𝑘 (𝐼)

1

2

=𝑒^{𝑥} + 𝑥^{2} + 𝑥 + 𝑘

Vi indsætter nu, at 𝐹 ( 0) =3:

3=𝑒^{0} + 0^{2} + 0 + 𝑘

⇕

3=1 + 𝑘

⇕

𝑘=2

Den endelige forskrift kan nu opskrives:

𝐹 ( 𝑥) =𝑒^{𝑥} + 𝑥^{2} + 𝑥+ 2

Side 8

Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 29. maj 2013

8

(𝑰):

Ubestemt integral

Hvor F(x) er stamfunktion til f(x): ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙=𝑭 ( 𝒙) + 𝒄

Sætte konstant udenfor: ∫ 𝒌 · 𝒇(𝒙)𝒅𝒙=𝒌 · ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙

Sum/differens kan splittes i to integraler: ∫ 𝒇 ( 𝒙) ± 𝒈(𝒙)𝒅𝒙= ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙± ∫ 𝒈(𝒙)𝒅𝒙

Funktion Stamfunktion

𝒆^{𝒙} 𝒆

𝒙

𝒙^{𝒂} 𝒙^{𝒂+𝟏}

𝟏

𝒂+𝟏
𝒌 𝒌 · 𝒙

Opgave 8 a)

En ligning for tangenten til grafen for en funktion 𝑓 i et punkt 𝑃(𝑥 ,𝑦 ) er givet ved:
                                                     0  0

𝑦=𝑓^{′} ( 𝑥_{0}) · ( 𝑥− 𝑥_{0}) + 𝑓 ( 𝑥_{0})

Vi har, at 𝑥_{0} =1 og 𝑓 ( 𝑥_{0}) =4.

𝑓^{′} (𝑥_{0}) findes nu ved indsættelse af punktets koordinater i differentialligningen:

𝑓^{′} ( 1) =

2 · 4 + 4 · 1^{2}

1

=8 + 4
=12

Ligningen kan nu bestemmes:

𝑦=12 · ( 𝑥− 1) + 4
=12𝑥− 12 + 4
=12𝑥− 8

En ligning for tangenten er givet ved 𝑦=12𝑥− 8

Side 9

Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 29. maj 2013

9

Opgave 9 a)

En ligning for tangenten til grafen for en funktion 𝑓 i et punkt 𝑃(𝑥 ,𝑓(𝑥 )) er givet ved:
                                                     0    0

𝑦=𝑓^{′} ( 𝑥_{0}) · ( 𝑥− 𝑥_{0}) + 𝑓 ( 𝑥_{0})

Da funktionerne har fælles tangent i punktet, må der gælde, at 𝑓 ( 1) =𝑔(1) og 𝑓^{′} ( 1) =𝑔′(1). De

indgående funktionsværdier udregnes:

𝑓 ( 1) =−1^{2}
=−1

𝑓^{′} ( 𝑥) =−2𝑥 (𝐼)

𝑓^{′} ( 1) =−2

𝑔 ( 1) =2 · 1^{2} + 𝑏· 1 + 𝑐
=2 + 𝑏+ 𝑐

𝑔^{′} ( 𝑥) =2 · 2𝑥+ 𝑏 (𝐼𝐼)
=4𝑥+ 𝑏

𝑔^{′} ( 1) =4 · 1 + 𝑏
=4 + 𝑏

Nu løses 𝑓^{′} ( 1) =𝑔′(1):

−2=4 + 𝑏

⇕

𝑏=−2 − 4
=−6

Så løses 𝑓 ( 1) =𝑔(1):

2 + 𝑏+ 𝑐=−1

Med indsættelse af 𝑏=−6, får vi:

2 + ( −6) + 𝑐=−1

⇕

𝑐=−1 − 2 + 6
=3
Vi kan nu konkludere, at 𝑏=−6 og 𝑐=3

Side 10

Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 29. maj 2013

10

(𝑰) og (𝑰𝑰)

( 𝒌 · 𝒇 ( 𝒙))^{′} =𝒌 · 𝒇^{′} ( 𝒙)

( 𝒇 ( 𝒙) ± 𝒈 ( 𝒙))^{′} =𝒇^{′} ( 𝒙) ± 𝒈^{′} ( 𝒙)

Funktion Afledt funktion

𝒙^{𝒂} 𝒂 · 𝒙

𝒂−𝟏

𝒌 𝟎