STX Matematik A NET 2014 14. august - Delprøven med autoriseret formelsamling

Side 1

Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 14. august 2014

1

STX Matematik A (Netadgang)

14. august 2014

Delprøven med formelsamling

stx142-MATn/A-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning. Til denne delprøve er det tilladt at anvende en autoriseret formelsamling.

Opgave 1 a)

Udtrykket reduceres:

( 𝑝 − 𝑞)( 𝑝 + 𝑞) − 𝑝^{2} + 2𝑞^{2}

⇕

𝑝^{2} − 𝑞^{2} − 𝑝^{2} + 2𝑞^{2} (𝐼)

⇕

𝑞^{2}

Her anvendes tredje kvadratsætning: ( 𝑎 + 𝑏)( 𝑎 − 𝑏) =𝑎^{2} − 𝑏^{2}

Opgave 2 a)

Linjen søges opskrevet på formen 𝑦=𝑎𝑥+ 𝑏

Da linjen er parallel med vektoren 𝐴𝐵

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

, vil linjen også være parallel med den linje, som går gennem punkterne 𝐴 og 𝐵. Da parallelle linjer har samme hældning, kan hældningen findes vha. punkterne 𝐴 og 𝐵:

Side 2

Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 14. august 2014

2

𝑎=

𝑦_{2} − 𝑦_{1}
𝑥_{2} − 𝑥_{1}
=

10 − 2
5 − 1
=

8

4

=2

𝑏 kan nu findes ved indsættelse af koordinatsættet for 𝐶 i linjens ligning, som nu er givet ved 𝑦=2𝑥 + 𝑏:

−4=2 · 2 + 𝑏

⇕

−4=4 + 𝑏

⇕

𝑏=−8

Linjens endelige ligning kan nu opskrives:

𝑦=2𝑥 − 8

b)

Arealet af trekanten kan udregnes som determinanten af et vektorpar, som udspænder den:

𝑇_{𝐴𝐵𝐶} = · | 𝑑𝑒𝑡 (𝐴𝐵,𝐴𝐶) |

1

2

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

Vektorerne udregnes:

𝐴𝐵 =()

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

5 − 1
10 − 2
=()

4

8

𝐴𝐶 =()

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

2 − 1
−4 − 2
=()

1

−6

Arealet udregnes

𝑇_{𝐴𝐵𝐶} = · | | | |

1

2 8 −6

4 1

= · | 4 · ( −6) − 8 · 1 |

1

2

= · | −24 − 8 |

1

2

= · | −32 |

1

2

Side 3

Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 14. august 2014

3

=16

Arealet af trekant ABC er således 16.

Opgave 3 a)

𝑥-koordinaten i toppunktet af en parabel med ligningen 𝑦=𝑎𝑥^{2} + 𝑏𝑥 + 𝑐 kan beregnes som:

𝑥_{𝑡𝑜𝑝} =

−𝑏

2𝑎

=

−8
2 · ( −1)
=4

𝑦_{𝑡𝑜𝑝} findes ved at indsætte 𝑥_{𝑡𝑜𝑝} =4 i parablens ligning:

𝑦_{𝑡𝑜𝑝} =−1 · 4^{2} + 8 · 4 − 1
=−16 + 32 − 1
=15

Koordinatsættet til parablens toppunkt er (4,15).

b)

Tallet 8 angiver hældningen af tangenten til grafen, når 𝑥=0. Den siger altså noget om, hvor stejl (form)

grafen er i skæringspunktet med 𝑦-aksen. Samtidig ved vi så, at det ene af de to steder på grafen, hvor

tangenthældningen er lig med 8, skal findes i 𝑥=0 (beliggenhed).

Opgave 4 a)

Der er tale om en eksponentiel model af typen 𝑦=𝑏·𝑎^{𝑡}

Konstanten 𝑏=130 angiver værdien af 𝑦 til tiden 𝑡=0. Det vil sige, at spændingsfaldet netop efter

opladningen er lig med 130 volt.

Konstanten 𝑎=0,8 indeholder information om funktionens vækstrate 𝑟:

𝑟=𝑎 − 1
=0,8 − 1

Side 4

Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 14. august 2014

4

=−0,2
=−20%

Det vil sige, at spændingsfaldet aftager med 20% hvert sekund.

Opgave 5 a)

En ligning for tangenten til grafen for en funktion 𝑓 i et punkt 𝑃(𝑥 ,𝑓 ( 𝑥 ) ) kan bestemmes som:
                                                     0    0

𝑦=𝑓^{′} ( 𝑥_{0}) · ( 𝑥− 𝑥_{0}) + 𝑓 ( 𝑥_{0})

Vi har så, at 𝑥_{0} =0 og søger nu 𝑓(0):

𝑓 ( 0) =0 · 𝑒^{0} + 3 · 0
=0

Nu søges 𝑓′(0): 𝑓 ( 𝑥) differentieres:

𝑓^{′} ( 𝑥) =1 · 𝑒^{−𝑥} + 𝑥· ( −1) · 𝑒^{−𝑥} + 3 (𝐼)
=𝑒^{−𝑥} − 𝑥· 𝑒^{−𝑥} + 3

Det vil sige:

𝑓^{′} ( 0) =𝑒^{0} − 0 · 𝑒^{0} + 3
=1 − 0 + 3
=4

Vi får så:

𝑦=4 · ( 𝑥− 0) + 0
=4𝑥

En ligning for tangenten til grafen for 𝑓 i punktet 𝑃 er således givet ved 𝑦=4𝑥

( 𝐼): Følgende regler anvendes:

( 𝑘· 𝑓 ( 𝑥))^{′} =𝑘· 𝑓^{′} ( 𝑥)

( 𝑓 ( 𝑥) ± 𝑔 ( 𝑥))^{′} =𝑓^{′} ( 𝑥) ± 𝑔^{′} ( 𝑥)

( 𝑓 ( 𝑥) · 𝑔 ( 𝑥))^{′} =𝑓^{′} ( 𝑥) · 𝑔 ( 𝑥) + 𝑓(𝑥)· 𝑔′(𝑥)

Funktion Afledt funktion

Side 5

Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 14. august 2014

5

𝑒^{𝑘·𝑥} 𝑘· 𝑒

𝑘·𝑥 𝑥 1

Opgave 6 a)

Funktionerne ℎ og 𝑔 kan omskrives:

𝑔 ( 𝑥) =2 · 3 · 1,2^{𝑥}
=6 · 1,2^{𝑥}

ℎ ( 𝑥) =3 · 1,2^{2𝑥}

Det ses, at funktionsværdien, når 𝑥=0, er størst for den funktion, som har grafen 𝐴.

𝑓 ( 0) =3 · 1,2^{0} =3

𝑔 ( 0) =6 · 1,2^{0} =6

ℎ ( 0) =3 · 1,2^{2·0} =3

Vi kan heraf konkludere, at 𝐴 er grafen for 𝑔.

Da vi ved, der er tale om eksponentielle modeller, vil 𝑓 og ℎ kun have et skæringspunkt. Dette skæringspunkt ligger i 𝑃(0,3).

Denne viden kombineret med et blik på graferne fortæller os, at funktionsværdien, når 𝑥=𝑘, 𝑘>0, er

størst for den funktion, som har grafen 𝐵.

𝑓 ( 𝑘) =3 · 1,2^{𝑘}
ℎ ( 𝑘) =3 · 1,2^{2𝑘}

Når 𝑘>0, vil der gælde, at ℎ>𝑓.

Vi kan heraf konkludere, at 𝐵 er grafen for ℎ, mens 𝐶 er grafen for 𝑓.

Opgave 7 a)

I skæringspunkterne, vil der gælde, at 𝑓 ( 𝑥) =𝑔(𝑥). Førstekoordinaterne kan således findes ved at løse:

𝑥^{3} − 2𝑥+ 7=𝑥^{3} + 𝑥^{2} − 4𝑥 + 7

Side 6

Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 14. august 2014

6

⇕

𝑥^{3} + 𝑥^{2} − 4𝑥 +7 − 𝑥^{3} + 2𝑥− 7=0

⇕

𝑥^{2} − 2𝑥=0

⇕

𝑥· ( 𝑥− 2) =0

Jf. nulreglen skal mindst en af faktorerne være lig med 0, før produktet bliver 0. Første løsning er da:

𝑥_{1} =0

Anden løsning bliver:

𝑥_{2} − 2=0

⇕

𝑥_{2} =2

Førstekoordinaterne til skæringspunkterne mellem graferne for 𝑓 og 𝑔 er således 𝑥 =0 og 𝑥 =2
                                                                   1        2

b)

Arealet af den punktmængde, der afgrænses i et interval [𝑎,𝑏] mellem to funktioner 𝑓 og 𝑔, hvor 𝑓≥𝑔 i

hele intervallet, kan bestemmes som:

𝐴=∫ 𝑓 ( 𝑥) − 𝑔 ( 𝑥) 𝑑𝑥

𝑏 𝑎

Da 𝑀 afgrænses af graferne for 𝑓 og 𝑔 i intervallet [0,2], hvor 𝑓≥𝑔 i hele intervallet, kan arealet

bestemmes som:

𝐴_{𝑀} =∫𝑥 − 2𝑥 +7 − ( 𝑥^{3} + 𝑥^{2} − 4𝑥+ 7) 𝑑𝑥

3

2

0

=∫𝑥 − 2𝑥 +7 − 𝑥^{3} − 𝑥^{2} + 4𝑥− 7𝑑𝑥

3

2

0

=∫−𝑥 + 2𝑥 𝑑𝑥

2

2

0

= [ − 𝑥^{3} + 2 · 𝑥^{2}] (𝐼)

1 1

3 2

0

2

= [ − 𝑥^{3} + 𝑥^{2}]

1

3

0

2

=− · 2^{3} + 2^{2} − 0 − 0

1

3

Side 7

Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 14. august 2014

7

=− + 4

8

3

=− +

8 12

3 3

=

4

3

(𝐼):

Bestemt integral ∫_{𝑎}^{𝑏} 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥= [ 𝐹 ( 𝑥)]_{𝑎}^{𝑏} =𝐹 ( 𝑏) − 𝐹(𝑎)

Sætte konstant udenfor ∫_{𝑎}^{𝑏} 𝑘 ·𝑓(𝑥) 𝑑𝑥=𝑘· ∫_{𝑎}^{𝑏} 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

Sum/differens kan splittes i to integraler ∫_{𝑎}^{𝑏} 𝑓 ( 𝑥) ± 𝑔 ( 𝑥) 𝑑𝑥= ∫_{𝑎}^{𝑏} 𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥± ∫_{𝑎}^{𝑏} 𝑔 ( 𝑥) 𝑑𝑥

Funktion Stamfunktion

𝑥^{𝑎} 𝑥^{𝑎+1}

1

𝑎+1

Opgave 8 a)

BC kan isoleres og beregnes vha. arealformlen for en trekant:

𝑇= · ℎ · 𝑔

1

2

𝑇_{𝐴𝐵𝐶} = · 𝐵𝐶· 𝐴𝐶

1

2

⇕

Side 8

Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 14. august 2014

8

𝐵𝐶=2 ·

𝑇_{𝐴𝐵𝐶}

𝐴𝐶

=2 ·

12

4

=6

Vi kan konkludere, at siden BC har en længde på 6.

Arealet af trekant EFG kan bestemmes som:

𝑇_{𝐸𝐹𝐺} = · 𝐹𝐺· 𝐸𝐺

1

2

I ensvinklede trekanter er de indbyrdes forhold mellem ensliggende sider givet ved en positiv konstant, 𝑘.

Det vil sige:

𝑇_{𝐸𝐹𝐺} = · 𝑘· 𝐵𝐶· 𝑘· 𝐴𝐶

1

2

⇕

𝑘^{2} =2 ·

𝑇_{𝐸𝐹𝐺}
𝐴𝐶· 𝐵𝐶

⇕

𝑘= 2 ·

√

𝑇_{𝐸𝐹𝐺}
𝐴𝐶· 𝐵𝐶

= 2 ·

√

12 · 9
4 · 6
= √ 9
=3

Det vil sige:

𝐸𝐺=3 · 𝐴𝐶
=3 · 4
=12

Siden EG Har således længden 12.

Opgave 9 a)

Integralet kan bestemmes vha. substitution (𝐼). Den indre funktion i kvadratroden benævnes 𝑔 ( 𝑥) =𝑡:

Side 9

Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 14. august 2014

9

𝑔 ( 𝑥) =𝑡=𝑥 + 2𝑥

4 𝑑𝑡 𝑑𝑥

=4𝑥^{3} + 2

⇕

𝑑𝑥= · 𝑑𝑡

1

4𝑥^{3} + 2

Da fås:

∫ 𝑑𝑥=∫ · 𝑑𝑡

4𝑥^{3} + 2 4𝑥^{3} + 2 1
√ 𝑥^{4} + 2𝑥 √

𝑡

4𝑥^{3} + 2
=∫ 𝑑𝑡

1

√

𝑡

=∫ 𝑑𝑡 (𝐼𝐼)

1

𝑡_{1}

1

2

=∫𝑡^{−} 𝑑𝑡 (𝐼𝐼𝐼)

2

= · 𝑡 + k (IV)

1

1

2_{1}

⁄

1

2

=2 · 𝑡 + k

2

=2 𝑡 + 𝑘 (𝐼𝐼)
√
=2 𝑥 + 2𝑥+ 𝑘

√^{4}

Det vil sige, at integralets løsning er 2 √ 𝑥^{4} + 2𝑥+ 𝑘

(𝐼): Integration ved substitution ∫ 𝑓(𝑔 ( 𝑥)) · 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥=∫ 𝑓 ( 𝑡) 𝑑𝑡 , hvor t=g(x)

            𝑟
    𝑠      (
       𝑟
            𝑠
(𝐼𝐼): √ 𝑎 =𝑎

)

           1
      −𝑟
( 𝐼𝐼𝐼 ) : 𝑎 =
            𝑟
           𝑎

                                          1
                                   𝑎         𝑎+1
(𝐼𝑉): Integration af en potensfunktion: ∫ 𝑥 𝑑𝑥= 𝑥 + 𝑘
                                         𝑎+1